安徽省名校2020届 高三 数学 第一次联考 理

“皖南八校”2020届高三第一次联考数 学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内，复数21iz i=+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D 【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可.详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112i i i i i z i i i i --====+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.若集合{}2|560A x x x =-->，{}|21xB x =>，则()R C A B =（ ）A. {}|10x x -≤<B. {}|06x x <≤C. {}|20x x -≤<D. {}|03x x <≤【答案】B 【解析】 【分析】求得集合{|1A x x =<-或6}x >，{}|0B x x =>，根据集合运算，即可求解，得到答案．【详解】由题意，集合{}2|560{|1A x x x x x =-->=<-或6}x >，{}{}|21|0x B x x x =>=>，则{}|16R C A x x =-≤≤，所以(){}|06R C A B x x =<≤.故选B ．【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3.若3log 0.3a =，0.3log 0.2b =，0.30.2c =，则（ ） A. a b c << B. b c a << C. a c b << D. b a c <<【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数性质，逐个分析abc 取值范围，进而比较大小。

合肥市2021届高三调研性检测数学试（理科）（考试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z满足1zi -=，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为（ ）A.B.C.D. 3B首先根据题意得到z i =，再计算模长即可.因为1zi -=，所以221++===iz i ii.所以==z 故选：B2. 若集合{}1A xx =>∣，{}2230B x x x =--≤∣，则A B =（ ） A. (1,3] B. [1,3] C. [1,1)- D. [1,)-+∞A化简集合B ，根据交集的定义，即可求解.{}2230[1,3]B x x x =--≤=-∣, {}1(1,)A x x =>=+∞∣,(1,3]A B ∴=。

故选：A.3. 若变量x ，y 满足约束条件1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，则目标函数3z x y =+的最小值为（ ）A. 92- B. 4- C. 3- D. 1D根据变量x ，y 满足1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，画出可行域，然后平移直线30x y +=，当直线在y 轴上截距最小时，目标函数取得最小值.由变量x ，y 满足1133x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，画出可行域如图所示：平移直线30x y +=，当直线在y 轴上截距最小时，经过点1,0A ，此时目标函数取得最小值，最小值是1，故选：D4. 为了保障广大人民群众的身体健康，在新冠肺炎疫情防控期间，有关部门对辖区内15家药店所销售的A 、B 两种型号的口罩进行了抽检，每家药店抽检10包口罩（每包10只），15家药店中抽检的A 、B 型号口罩不合格数（Ⅰ、Ⅱ）的茎叶图如图所示，则下列描述不正确．．．的是（ ）A. 估计A 型号口罩的合格率小于B 型号口罩的合格率B. Ⅰ组数据的众数大于Ⅱ组数据的众数C. Ⅰ组数据的中位数大于Ⅱ组数据的中位数D. Ⅰ组数据的方差大于Ⅱ组数据的方差 D根据茎叶图中的数据计算出两种型号口罩的合格率，可判断A 选项的正误；求出两组数据的众数，可判断B 选项的正误；求出两组数据的中位数，可判断C 选项的正误；利用排除法可判断D 选项的正误. 对于A选项，由茎叶图可知，A 型号口罩的不合格数为658210124131416202130199++⨯++⨯++++++=，B 型口罩的不合格数为245682101131416212528180++++⨯++⨯+++++=，A 型号口罩的合格率为1991301115001500-=，B 型口罩的合格率为1801320115001500-=， 所以，A 型口罩的合格率小于B 型口罩的合格率，A 选项正确； 对于B 选项，Ⅰ组数据的众数为12，Ⅱ组数据的众数11，B 选项正确； 对于C 选项，Ⅰ组数据的中位数为12，Ⅱ组数据的11，C 选项正确； 由排除法可知D 选项不正确.故选：D.5. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3122n n S a =-，则5S =（ ）A. 81B. 121C. 243D. 364B利用递推式与等比数列求和的通项公式即可得出.31,22n n S a =-∴当2n ≥时，113122n n S a --=-，∴111313133222222n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫=-=---=- ⎪⎝⎭， 化简可得：13n n a a -=， 当1n =时，1113122a S a ==-，解得：11a =. ∴数列{}n a 是等比数列,首项为1,公比为3,()()55151113121113a q S q-⨯-∴===--.故选：B.6. 函数cos ()x xx xf x e e -=+在[],ππ-上的图象大致是（ ）A. B.C .D.A先由函数的奇偶性定义，判断()f x 为奇函数，排除B ，D ，再由()f x 在(0,),(,)22πππ函数值的正负值判断，即可得出结论.cos (),[,]x xx xf x x e eππ-=∈-+定义域关于原点对称， cos ()(),()x xx xf x f x f x e e ---==-∴+是奇函数，图象关于原点对称，排除选项B ，D ，(0,),()0,,()022x f x x f x ππ∈>==，(,),()02x f x ππ∈<，所以选项C 不满足，选项A 满足.故选：A. 7. 周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20C先计算出4个人的全排列，再减去不符合情况的种数即可.4个人坐四个座位，共有4424A =种坐法，当孩子坐在一起并且坐在最边上时，有一个孩子没有大人陪伴，共有222228A A =种，所以每个孩子旁边必须有大人陪着共有24-8=16种坐法. 故选：C .8. 已知函数()2)0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的单调递减区间为（ ）A. 32,2()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. 3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. 372,2()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D. 37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D由图可知，20,218822f f ππππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，338288T πππ=-=，从而可求出2,4πωϕ==-，()2)4f x x π=-，进而由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈可求得答案解：由图可知，20,218822f f ππππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以18k πωϕπ+=，1k Z ∈，2224k ππωϕπ+=+或2232,24k k Z ππωϕπ+=+∈，因为338288T πππ=-=，所以T π=，所以2ππω=， 因为0>ω，所以2ω=， 所以14k πϕπ=-，1k Z ∈，2324k πϕπ=-+或222,4k k Z πϕπ=-+∈ 因为||2ϕπ<，所以4πϕ=-， 所以()2)4f x x π=-，由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得37,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故选：D 由三视图可知，几何体为一个三棱锥A BCD -， 如下图所示：根据三视图可知，4DB =，2DC =，高为2，1182323A BCD V DC DB -∴=⨯⨯⨯⨯=，∴所求几何体体积：83，故选：C .10. 在ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点，AD 、BE 、CF 交于点G ，则：①1122EF CA BC =-；②1122BE AB BC =-+；③AD BE FC +=； ④0GA GB GC ++=． 上述结论中，正确的是（ ） A. ①② B. ②③C. ②③④D. ①③④C 分析】作出图形，利用平面向量的加法法则可判断①②③④的正误. 如下图所示：对于①，F 、E 分别为AB 、AC 的中点，111222FE BC CA BC ∴=≠-，①错误； 对于②，以BA 、BC 为邻边作平行四边形ABCO ，由平面向量加法的平行四边形法则可得2BE BO BA BC AB BC ==+=-+，1122BE AB BC ∴=-+，②正确；对于③，由②同理可得2AD AB AC =+，1122AD AB AC ∴=+，同理可得1122CF CA CB =+，()102AD BE CF AB AC BA BC CA CB ∴++=+++++=， AD BE CF FC ∴+=-=，③正确；对于④，易知点G 为ABC 的重心，所以，23GA AD =-，23GB BE =-，23GC CF =-，因此，()203GA GB GC AD BE CF ++=-++=，④正确.故选：C. 11. 双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，M 为C 的渐近线上一点，直线2F M 交C 于点N ，且20F M OM ⋅=，2232F M F N =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ） A. 5 B. 2 C. 3 D. 2 A设点M 为第一象限内的点，求出直线2F M 的方程，可求得点M 的坐标，由2232F M F N =可求得点N 的坐标，再将点N 的坐标代入双曲线C 的方程，进而可求得双曲线C 的离心率.设点M 为第一象限内的点，可知直线OM 的方程为by x a=，()2,0F c ，2F M OM ⊥，所以，直线2F M 的方程为()ay x c b=--， 联立()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2,a ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点(),N x y ，()222,,0,a ab b ab F M c c c c c ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2,F N x c y =-，2232F M F N =，()23232b x c c ab y c ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，解得222323a c x c ab y c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2222,33a c ab N c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将点N 的坐标代入双曲线C 的方程得22222222331a c ab c c a b ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=， 可得22249e e e⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，整理得25e =，1e >，解得5e =故选：A.12. 已知a 、b R ∈，函数()()3210f x ax bx x a =+++<恰有两个零点，则+a b 的取值范围（ ）A. (),0-∞B. (),1-∞-C. 1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D. 1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D利用导数分析函数()y f x =的单调性，可得出该函数的极小值()10f x =，由题意得出()()2111321111321010f x ax bx f x ax bx x ⎧=++=⎪⎨=+++='⎪⎩，进而可得23112111223a x xb x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，可得出32111222a b x x x +=--，令110t x =<，由0a <可得出12t <-，构造函数()32222g t t t t =--，求得函数()y g t =在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上的值域，由此可求得+a b 的取值范围.()321f x ax bx x =+++且0a <，()2321f x ax bx '=++，24120b a ∆=->， 则方程()0f x '=必有两个不等的实根1x 、2x ，设12x x <， 由韦达定理得1223bx x a+=-，12103x x a=<，则必有120x x <<，且()21113210f x ax bx '=++=，① 当1x x <或2x x >时，()0f x '<；当12x x x <<时，()0f x '>.所以，函数()y f x =的单调递增区间为()12,x x ，单调递减区间为()1,x -∞和()2,x +∞.由于()010f =>，若函数()y f x =有两个零点，则()32111110f x ax bx x =+++=，②联立①②得21132111321010ax bx ax bx x ⎧++=⎨+++=⎩，可得23112111223a x xb x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，所以，32111222a b x x x +=--， 令110t x =<，令()32222g t t t t =--，则()a b g t +=， ()3222210a t t t t =+=+<，解得12t <-，()()()()2264223212311g t t t t t t t '=--=--=+-.当12t <-时，()0g t '>，此时，函数()y g t =单调递增，则()321111122222224a b g t g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=<-=⨯--⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D.第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在答题卡上的相应位置． 13. 若命题:p 若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α不平行；则命题p ⌝是________命题（填“真”或“假”）．假先写出p ⌝，再判断真假即可.命题:p 若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α不平行； 命题p ⌝：若直线l 与平面α内的所有直线都不平行，则直线l 与平面α平行，假命题. 故答案为：假命题.14. 若直线l 经过抛物线24x y =-的焦点且与圆22(1)(2)1x y -+-=相切，则直线l 的方程为________．0x =或4330x y --=先根据抛物线方程24x y =-，求得焦点坐标()0,1F -，再分直线的斜率不存在和直线的斜率存在时，两种情况设直线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求解. 因为抛物线方程为24x y =-， 所以焦点坐标为：()0,1F -，当直线的斜率不存在时，设直线方程为：0x =， 圆心到直线的距离为1d r ，符合题意，当直线的斜率存在时，设直线方程为：1y kx =-，即10kx y --=， 圆心到直线的距离为2311k d r k -===+，解得43k =， 所以直线方程为4330x y --=， 故答案为：0x =或4330x y --=15. 已知函数()cos ()f x x x x R =-∈，α，β是钝角三角形的两个锐角，则(cos )f α________(sin )f β （填写：“>”或“<”或“=”）．>对函数()f x 求导判断其单调性，再由钝角三角形内角判断cos ,sin αβ的大小. 由()1sin 0f x x '=+≥，可得()f x 在R 上单调递增， 因为α，β是钝角三角形两个锐角，所以2παβ+<，022ππβα<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调增，sin sin 2πβα⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，sin cos βα<，所以()(cos )sin f f αβ> 故答案为：>16. 已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△，且三棱锥P ABC -的外接球半径为3，则PAB PBC PAC S S S ++△△△的最大值为________． 18连AO 交BC 于D ，由顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，得AD BC ⊥，进而证明,,BC PA PC AB PD BC ⊥⊥⊥，由2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△。

江淮十校2020届高三第一次联考数学（理科） 2019.8命题单位：阜阳一中 命题人：孙晓林 杨敏 王小云审题人：肖璐洋注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合1,0A y y x x x ⎧⎫==+≠⎨⎬⎩⎭，集合{}240B x x =-≤，若A B P =I ，则集合P 的子集个数为A.2B.4C.8D.162.复数z 满足342z i ++=，则z z ⋅的最大值是A.7B.49C.9D.813.设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D 既不充分也不必要条件.4.已知向量a r ，b r 均为非零向量，()2a b a -⊥r r r ，a b =r r，则a r ，b r 的夹角为A.6πB.3π C.23π D.56π 5.已知ln x π=，13y e-=，13log z π=，则A.x y z <<B.z x y <<C.z y x <<D.y z x <<6.勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为A.()23323ππ-- B.()323π- C.()323π+ D.()23323ππ-+7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上的动点，下列说法正确的是A.对任意动点F ，在平面11ADD A 内不存在．．．与平面CBF 平行的直线B.对任意动点F ，在平面ABCD 内存在．．与平面CBF 垂直的直线C.当点F 从1A 运动到1D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成角变大．．D.当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变小．．8.某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工年龄构成情况，随机采访了9位代表，将数据制成茎叶图如图.若用样本估计总体，年龄在(),x s x s -+内的人数占公司总人数的百分比是（其中x 为平均数，s 为标准差，结果精确到1%）A.56%B.14%C.25%D.67%9.将余弦函数的图像向右平移2π个单位后，再保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数()f x 的图像，下列关于()f x 的叙述正确的是A.最大值为1，且关于3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称B.周期为π，关于直线2x π=对称C.在,68ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，且为奇函数 D.在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且为偶函数 10.对任意实数x ，恒有10xe ax --≥成立，关于x 的方程()ln 10x a x x ---=有两根为1x ，2x （12x x <），则下列结论正确的为A.122x x +=B.121x x ⋅=C.122x x =D.12xx e =11.已知双曲线2222:1x y C a b-=的两条渐近线分别为1l 与2l ，A 与B 为1l 上关于坐标原点对称的两点，M 为2l 上一点且AM BM k k e ⋅=，则双曲线离心率e 的值为A.B.12C.212.在四面体ABCD 中，若1AD DB AC CB ====，则当四面体ABCD 的体积最大时其外接球表面积为A.53πB.43πC.πD.2π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知实数x ，y 满足210020x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为14.已知()()512x x a ++的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含2x 项的系数是15.关于x 的方程sin 2cos 0x x a ++=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内有解，则实数a 的取值范围是16.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，且2AF FB λ=u u u r u u u r （λ为非零常数）.以A 为切点作抛物线C 的切线交直线1y =-于M 点，则MF 的长度为 （结果用含λ式子表示）.三、解答题：共70分。

第2节 两直线的位置关系最新考纲 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.知 识 梳 理1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行. (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 2.两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应. 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解. 3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.[微点提醒]1.两直线平行的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).2.两直线垂直的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()解析(1)两直线l1，l2有可能重合.(2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.(必修2P114A10改编)两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0之间的距离为()A.235 B.2310 C.7 D.72解析由题意知a＝6，直线3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y－24＝0，所以两平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝72.答案 D3.(必修2P89练习2改编)已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y ＋1＝0，则m＝________.解析由题意知m－4－2－m＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.答案 14.(2019·郑州调研)直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝()A.2B.－3C.2或－3D.－2或－3解析直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有2m＝m＋13≠4－2，故m＝2或－3.答案 C5.(2018·昆明诊断)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为()A.1B.2C. 2D.2 2解析圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y＝x＋3得x－y＋3＝0，则圆心到直线的距离d＝|－1－0＋3|12＋（－1）2＝ 2.答案 C6.(2019·高安期中)经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l 的方程是()A.6x －4y －3＝0B.3x －2y －3＝0C.2x ＋3y －2＝0D.2x ＋3y －1＝0解析 因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0.答案 A考点一 两直线的平行与垂直【例1】 (1)(2019·河北五校联考)直线l 1：mx －2y ＋1＝0，l 2：x －(m －1)y －1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知三条直线2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23 解析 (1)由l 1∥l 2得－m (m －1)＝1×(－2)，得m ＝2或m ＝－1，经验证，当m ＝－1时，直线l 1与l 2重合，舍去，所以“m ＝2”是“l 1∥l 2”的充要条件. (2)由题意得直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0平行，或者直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点.当直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0分别平行时，m ＝23或－43；当直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点时，m ＝－23.所以实数m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23.答案 (1)C (2)D规律方法 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.【训练1】 (一题多解)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)当l 1∥l 2时，求a 的值； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值.解 (1)法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2； 当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1∥l 2可得⎩⎪⎨⎪⎧－a2＝11－a ，－3≠－（a ＋1），解得a ＝－1. 综上可知，a ＝－1.法二 由l 1∥l 2知⎩⎨⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0，即⎩⎨⎧a （a －1）－1×2＝0，a （a 2－1）－1×6≠0⇒⎩⎨⎧a 2－a －2＝0，a （a 2－1）≠6⇒a ＝－1. (2)法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合；当a ≠1时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1⊥l 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a ＝－1⇒a ＝23.法二 ∵l 1⊥l 2，∴A 1A 2＋B 1B 2＝0， 即a ＋2(a －1)＝0，得a ＝23. 考点二 两直线的交点与距离问题【例2】 (1)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为________________.(2)(2019·广州模拟)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________.(3)(2019·厦门模拟)若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________.解析 (1)先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1，2)， 再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53， 于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.(2)由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解之得0≤a ≤10， 所以a 的取值范围是[0，10].(3)依题意知，63＝a －2≠c－1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c 2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋（－2）2＝21313，解得c ＝2或－6.答案 (1)5x ＋3y －1＝0 (2)[0，10] (3)2或－6 规律方法 1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.2.利用距离公式应注意：(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数分别化为相等.【训练2】 (1)(2019·贵阳监测)已知曲线y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过点A (m ，n )，则点A 到直线x ＋y －3＝0的距离为________.(2)(一题多解)直线l 过点P (－1，2)且到点A (2，3)和点B (－4，5)的距离相等，则直线l 的方程为________.解析 (1)由题意，可知曲线y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过点(0，1)，所以A (0，1)，点A (0，1)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|0＋1－3|2＝ 2.(2)法一 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13. ∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)， 即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意.法二 当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1，4). ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.答案 (1)2 (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 考点三 对称问题多维探究角度1 对称问题的求解【例3－1】 若点(a ，b )关于直线y ＝2x 的对称点在x 轴上，则a ，b 满足的条件为( ) A.4a ＋3b ＝0 B.3a ＋4b ＝0 C.2a ＋3b ＝0D.3a ＋2b ＝0解析 设点(a ，b )关于直线y ＝2x 的对称点为(t ，0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －t ×2＝－1，b ＋02＝2×a ＋t 2，解得4a ＋3b ＝0. 答案 A角度2 对称问题的应用【例3－2】 (一题多解)光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程. 解 法一 由⎩⎨⎧x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2.∴反射点M 的坐标为(－1，2).又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5，0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)， 由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5.而PP ′的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－52，y 02，又Q 点在l 上，∴3·x 0－52－2·y 02＋7＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋5＝－23，32（x 0－5）－y 0＋7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0.法二 设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x＝－23， 又PP ′的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x ＝－23，3×x ＋x2－（y ＋y 0）＋7＝0. 可得P 点的横、纵坐标分别为x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813，代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0， ∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.规律方法 1.解决点关于直线对称问题要把握两点，点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，且直线l 与直线MN 垂直.2.如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.3.若直线l 1，l 2关于直线l 对称，则有如下性质：(1)若直线l 1与l 2相交，则交点在直线l 上；(2)若点B 在直线l 1上，则其关于直线l 的对称点B ′在直线l 2上. 【训练3】 已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为________. 解析 A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线所在直线.点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上.设A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0，3).同理设A 2(x 2，y 2)，易求得A 2(－2，－1). 所以BC 边所在直线方程为2x －y ＋3＝0. 答案 2x －y ＋3＝[思维升华]1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1，l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意.2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法解决问题. [易错防范]1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑.2.在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2时，一定要注意将两方程中x ，y的系数分别化为相同的形式.数学抽象——活用直线系方程1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.直线系方程的常见类型(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；(3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2).类型1相交直线系方程【例1】(一题多解)已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.解法一解l1与l2组成的方程组得到交点P(0，2)，因为k3＝34，所以直线l的斜率k＝－43，方程为y－2＝－43x，即4x＋3y－6＝0.法二设所求l的直线为：4x＋3y＋c＝0，由法一可知：P(0，2)，将其代入方程，得c＝－6，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.法三设所求直线l的方程为：x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.类型2平行直线系方程【例2】求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程.解设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠5)，由题意知，2×1＋3×(－4)＋c＝0，所以c＝10，故所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.【例3】已知直线l1与直线l2：x－3y＋6＝0平行，l1能和x轴、y轴围成面积为8的三角形，请求出直线l1的方程.解设直线l1的方程为：x－3y＋c＝0(c≠6)，则令y＝0，得x＝－c；令x＝0，得y＝c3，依照题意有：12×|－c|×⎪⎪⎪⎪⎪⎪c3＝8，c＝±4 3.所以l1的方程是：x－3y±43＝0.【例4】(一题多解)已知直线方程3x－4y＋7＝0，求与之平行而且在x轴、y轴上的截距和是1的直线l的方程.解法一设存在直线l：xa＋yb＝1，则a＋b＝1和－ba＝34组成的方程组的解为a＝4，b＝－3.故l的方程为：x4－y3＝1，即3x－4y－12＝0.法二根据平行直线系方程的内容可设直线l为：3x－4y＋c＝0(c≠7)，则直线l在两坐标轴上截距分别对应的是－c3，c4，由－c3＋c4＝1，知c＝－12.故直线l的方程为：3x－4y－12＝0.类型3垂直直线系方程【例5】求经过A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程.解因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A(2，1)，所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.类型4直线系方程的应用【例6】已知三角形三边所在的直线方程分别为：2x－y＋4＝0，x＋y－7＝0，2x－7y－14＝0，求边2x－7y－14＝0上的高所在的直线方程.解设所求高所在的直线方程为2x－y＋4＋λ(x＋y－7)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－1)y＋(4－7λ)＝0，可得(2＋λ)×2＋(λ－1)×(－7)＝0，解得λ＝11 5，所以所求高所在的直线方程为7x＋2y－19＝0.【例7】求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3，1)，B (5，7)等距离的直线方程.解 设所求直线方程为2x ＋7y －4＋λ(7x －21y －1)＝0，即(2＋7λ)x ＋(7－21λ)y ＋(－4－λ)＝0，由点A (－3，1)，B (5，7)到所求直线等距离，可得 |（2＋7λ）×（－3）＋（7－21λ）×1－4－λ|（2＋7λ）2＋（7－21λ）2＝|（2＋7λ）×5＋（7－21λ）×7－4－λ|（2＋7λ）2＋（7－21λ）2， 整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，解得λ＝2935或λ＝13，所以所求的直线方程为21x －28y －13＝0或x ＝1.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( )A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能确定 解析 直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率为k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1.答案 C2.已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( )A.2B.－2C.12D.－12解析 因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a 2＝－1，解得a ＝－2. 答案 B3.(一题多解)过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )A.19x －9y ＝0B.9x ＋19y ＝0C.19x －3y ＝0D.3x ＋19y ＝0解析 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－197，y ＝37，则所求直线方程为：y ＝37－197x ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.法二 设直线方程为x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0，即(1＋2λ)x －(3－λ)y ＋4＋5λ＝0，又直线过点(0，0)，所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，解得λ＝－45，故所求直线方程为3x ＋19y ＝0.答案 D4.从点(2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A.x ＋2y －4＝0B.2x ＋y －1＝0C.x ＋6y －16＝0D.6x ＋y －8＝0 解析 由直线与向量a ＝(8，4)平行知，过点(2，3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0，2)，又点(2，3)关于y 轴的对称点为(－2，3)，所以反射光线过点(－2，3)与(0，2)，由两点式知A 正确. 答案 A5.(2019·运城二模)在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( ) A.102 B.10 C.5 D.10解析 由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，∴MP ⊥MQ ，∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10.答案 D6.(2019·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( )A.7B.172C.14D.17解析 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝172.答案 B7.已知坐标原点关于直线l 1：x －y ＋1＝0的对称点为A ，设直线l 2经过点A ，则当点B (2，－1)到直线l 2的距离最大时，直线l 2的方程为( )A.2x ＋3y ＋5＝0B.3x －2y ＋5＝0C.3x ＋2y ＋5＝0D.2x －3y ＋5＝0 解析 设A (x 0，y 0)，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x 02－y 02＋1＝0，y 0x 0＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝1，即A (－1，1).设点B (2，－1)到直线l 2的距离为d ，当d ＝|AB |时取得最大值，此时直线l 2垂直于直线AB ，又－1k AB＝32，∴直线l 2的方程为y －1＝32(x ＋1)，即3x －2y ＋5＝0 . 答案 B8.一只虫子从点(0，0)出发，先爬行到直线l ：x －y ＋1＝0上的P 点，再从P 点出发爬行到点A (1，1)，则虫子爬行的最短路程是( )A. 2B.2C.3D.4解析 点(0，0)关于直线l ：x －y ＋1＝0的对称点为(－1，1)，则最短路程为（－1－1）2＋（1－1）2＝2.答案 B二、填空题9.(2018·郑州模拟)如果直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，则a＝________.解析 ∵直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，即直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y －(a －7)＝0平行，∴a 3＝2a －1≠3a －（a －7），解得a ＝3.答案 310.(2019·安徽四校联考)已知入射光线经过点M (－3，4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.解析 设点M (－3，4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －（－3）＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2，6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案 6x －y －6＝011.(一题多解)(2018·南昌模拟)已知点A (1，0)，B (3，0)，若直线y ＝kx ＋1上存在一点P ，满足PA ⊥PB ，则k 的取值范围是________.解析 法一 设P (x 0，kx 0＋1)，依题意可得k PA ·k PB ＝－1，即kx 0＋1x 0－1×kx 0＋1x 0－3＝－1，即(k 2＋1)x 20＋(2k －4)x 0＋4＝0，则Δ＝(2k －4)2－16(k 2＋1)≥0，化简得3k 2＋4k ≤0，解得－43≤k ≤0，故k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，0. 法二 若直线y ＝kx ＋1上存在点P ，满足PA ⊥PB ，则直线y ＝kx ＋1与以AB 为直径的圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点，故|2k ＋1|1＋k 2≤1，即3k 2＋4k ≤0，故－43≤k ≤0，k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，0.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，0 三、解答题12.已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2，2).(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.(1)解 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线.∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，∴⎩⎨⎧2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2， 故直线经过的定点为M (2，－2).(2)证明 过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴M 与Q 不可能重合，即|PM |＝42，∴|PQ |<42，故所证成立.能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(2018·丹东二模)已知直线l 1：2x －y ＋3＝0，直线l 2：4x －2y －1＝0和直线l 3：x ＋y －1＝0，若点M 同时满足下列条件：(1)点M 是第一象限的点；(2)点M 到l 1的距离是到l 2的距离的12；(3)点M 到l 1的距离与到l 3的距离之比是2∶ 5.则点M 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3718 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718 解析 设点M (x 0，y 0)，若点M 满足(2)，则|2x 0－y 0＋3|5＝12×|4x 0－2y 0－1|16＋4，故2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0，若点M (x 0，y 0)满足(3)，由点到直线的距离公式，得|2x 0－y 0＋3|5＝25×|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，故x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0，由于点M (x 0，y 0)在第一象限，故3x 0＋2＝0不符合题意，联立方程得⎩⎨⎧2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝－3，y 0＝12不符合题意；联立方程得⎩⎨⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718，即点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718. 答案 D 14.(2019·岳阳模拟)已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )且Q (4，0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为( )A.92B.94C.1D.9解析 因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，设点Q (4，0)到直线l 的距离为d ，当d ＝|PQ |时取最大值，所以（4－1）2＋（－m ）2＝3，解得m ＝0.所以a ＋c ＝2，则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12(52＋2c 2a ·2a c )＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号.答案 B15.若△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，则直线BC 的方程为________. 解析 由AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0可以知道k AC ＝－2，又A (5，1)，AC 边所在直线方程为2x ＋y －11＝0，联立直线AC 与直线CM 方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3，所以顶点C 的坐标为C (4，3). 设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12， 由M 在直线2x －y －5＝0上，得2x 0－y 0－1＝0，B 在直线x －2y －5＝0上，得x 0－2y 0－5＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－3，所以顶点B 的坐标为(－1，－3).于是直线BC 的方程为6x －5y －9＝0.答案 6x －5y －9＝016.在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合.若直线l 与直线l 1关于点(2，3)对称，则直线l 的方程是________________.解析 由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34，∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，取直线l 上的一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2，3)的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m ，6－b －3m 4， ∴6－b －3m 4＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝18.∴直线l 的方程是y ＝34x ＋18，即6x －8y ＋1＝0.答案 6x －8y ＋1＝0。

1 2019年8月安徽省皖江名校联盟2020届高三第一次联考 数学（理科）参考答案解析1.【解析】{|12}AB x x =<<，故选D. 2.【解析】1343434252525i z i i -===-+，所以z 的实部为325，虚部为425- ，z 的共 轭复数为342525i +15=，故选C. 3.【解析】因为3,4a b ==,故双曲线22+1916x y =的右焦点的坐标是. 4.【解析】因为0.40.54log 0.40,41,00.41m n p =<=><=<,所以m p n <<.5.【解析】232(32)()x x y x x e x x e '=+++,所以1|7x y e ='=,又1x =时,2y e =,所以所求切线方程为27(1)y e e x -=-,即75y ex e =-6.【解析】因为11515815()15152a a S a +===,所以81a =,又411a =,所以公差 111542d -==-,所以24211516a a d =-=+=． 7.【解析】因为sin 3cos3)4y x x x π=+=+, 所以将其图象向左平移4π个单位长度,可得)])244y x x x ππ=++=+π=,故选C. 8.【解析】根据题意,分2步分析：①先从5个人里选2人,其位置不变,有2510C =种 选法,②对于剩余的三人,因为每个人都不能站在原来的位置上,因此第一个人有两种站法, 被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上,因此三个人调换有2种调换方法,故不同的调换方法有10220⨯=种.而基本事件总数为55120A =,所以所求概率为2011206=. 9.【解析】由题意可知,当x R ∈时,1()x x f x e e =-,所以1()0x x f x e e '=+>为R 上的单调递增函数,故由2(2)(3)0f x x f --<,得2(2)(3)f x x f -<,即2230x x --<,解得13x -<<,故选A.。

2020届安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中）高三联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2{4,},1,A a B a ==，a R ∈，则AB 不可能．．．是（ ） A ．{}1,1,4- B ．{}1,0,4 C ．{}1,2,4D ．{}2,1,4-【答案】A 【解析】由题选择A B 不可能．．．的选项，依次检验找出矛盾即可. 【详解】 依次检验：如果是A 选项，则只能考虑1a =-，集合B 不满足元素互异性； 当0a =，B 选项正确； 当2a =，C 选项正确； 当2a =-，D 选项正确； 故选：A 【点睛】此题考查集合并集运算和元素互异性，对分析问题能力要求较高. 2．复数z 的实部为1，且1z i -=，则复数z 的虚部为（ ） A ．i B ．i -C ．1D ．1-【答案】C【解析】根据复数实部为1，设出复数，求出模长，便可解得. 【详解】设复数1,1(1)1z bi z i b i =+-=+-=1=，解得1,1b z i ==+ 故选：C 【点睛】本题考查复数的基本运算和概念，容易出现概念混淆不清，把虚部弄错.3．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【答案】B【解析】由题分析出“弓”所在弧长，结合弧长公式得出这段弧所对圆心角，双手之间距离即是这段弧所对弦长. 【详解】由题：“弓”所在弧长54488l ππππ=++=，其所对圆心角58524ππα==，两手之间距离 1.25 1.768d =≈.故选：B 【点睛】此题考查扇形的圆心角和半径与弧长关系的基本计算，关键在于读懂题目，提取有效信息.4．数列{}n a 的前n 项和()1n S n n =-，若510k a a -=，则k =（ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．25【答案】A【解析】通过数列{}n a 的前n 项和()1n S n n =-计算出n a ，再根据k a 求出k . 【详解】由题：()1n S n n =-，()11(2),2,n S n n n n N -+=--≥∈, 所以22n a n =-，2,n n N +≥∈ 当=1n 时，110212a S ===⨯-， 所以22n a n =-，n ∈+N510k a a -=，即22810k --=，解得：10k =. 故选：A 【点睛】此题考查数列前n 项和与通项n a 的关系，依据n S 求n a 还应注意考虑n 的取值范围.5．已知向量(),1a λ=-，若()1,3b =-r，3232a b a b -=+，则λ的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A【解析】两个向量模长相等，平方处理，即可转化成通过求a b ⋅的值解得未知数. 【详解】由题：3232a b a b -=+，所以223232a b a b -=+，化简得：0a b ⋅=，即30λ--= 所以3λ=-. 故选：A 【点睛】此题考查向量的基本运算，对运算能力要求较高，在具体问题中适当处理坐标利于简化运算，如果此题先代入坐标运算，计算量很大，先处理模长大大降低计算量.6．曲线21:C y x =，22:4C y x x =-以及直线:2l x =所围成封闭图形的面积为（ ）A ．1B ．3C ．6D ．8【答案】D【解析】根据微积分基本定理，求出积分即是封闭图形面积 【详解】由题：2222220((4))428x x x dx xdx x--===⎰⎰，所以，封闭图形面积为8. 故选：D 【点睛】此题考查用微积分基本定理进行简单计算，用来解决曲线围成封闭图形的面积. 7．已知正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“1012112+>S S S ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题1012112+>S S S ，变形得1211a a >即可选出选项 【详解】由题：1012112+>S S S ，12111110S S S S ->-，即1211a a >，由于题目给定{}n a 各项为正，所以等价于公比为1q >. 故选：C 【点睛】此题考查与等比数列有关的两个条件充分性与必要性，关键在于题目给定各项均为正的前提下如何利用1012112+>S S S . 8．函数2211()sin f x x x x π=+-在区间[]2,2ππ-上的大致图像为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据奇偶性排除A ，D ，根据()0,f π=(0,)x π∈，(,2)x ππ∈函数值的正负可选出选项. 【详解】由题可得2211()sin f x x x x π=+-是偶函数，排除A,D 两个选项， ()0,f π=当(0,)x π∈时，2211sin 0,x x x π>>，()0f x >， 当(,2)x ππ∈时，2211sin 0,x x x π<<，()0f x <， 所以当(2,2)x ππ∈-时，()f x 仅有一个零点. 故选：C 【点睛】此题考查函数的奇偶性和零点问题，解题时要善于观察出函数的一个零点，再分别讨论(0,)x π∈，(,2)x ππ∈函数值的正负便可得出选项.9．已知平面,,αβγ有一个公共点，直线,,a b c 满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线,,a b c 不可能．．．满足以下哪种关系（ ） A ．两两平行 B ．两两异面C ．两两垂直D ．两两相交【答案】A【解析】三个平面一有个公共点说明三个平面两两相交，且三条交线交于一点，可以考虑在长方体某一顶点处的三个平面内分别检验，发现可以满足两两异面，两两垂直，两两相交的情况，不能满足两两平行. 【详解】取长方体某一顶点处的三个平面内分别检验，三条交线就可以满足两两垂直，两两相交，也易作出两两异面，如图：平面1ADD ，平面11C DD ，平面111C A D ，取11C D 中点E ，111,,AD AC DE 两两异面，11111,,DD AD D C 两两相交，两两垂直，对于两两平行，考虑反证法：假设符合题意的三个平面内直线,,a b c 两两平行，则任意两条直线形成的平面共三个，这三个平面要么相交于同一条直线，要么三条交线两两平行，均与题目矛盾. 【点睛】此题考查线面位置关系，对空间图形的直观认识能力要求较高，解决这类问题可以作图处理，更可以考虑利用好身边的墙壁，桌面，笔模拟线面位置关系，更能直观地判定. 10．安徽怀远石榴（Punicagranatum ）自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（ ）（参考数据：1001.015 4.432,lg11 1.041≈≈）A ．0.04y x =B ． 1.0151x y =-C ．tan 119x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()11log 310y x =-【答案】D【解析】根据奖励规则，函数必须满足：(6,100]x ∈，增函数，3,0.2y y x ≤≤ 【详解】对于函数：0.04y x =，当100x =时，43y =>不合题意； 对于函数： 1.0151xy =-，当100x =时， 3.4323y =>不合题意；对于函数：tan 119x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，不满足递增，不合题意；对于函数：()11log 310y x =-，满足：(6,100]x ∈，增函数， 且()111111log 310010log 290log 13313y ≤⨯-=<=，结合图象：符合题意． 故选：D 【点睛】此题考查函数模型的应用，关键在于弄清题目给定规则，依次用四个函数逐一检验.11．设函数()()21ln xf x e e x =-+（其中e 为自然对数的底数），则函数()f x 的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】利用导函数，得出函数单调性，分析函数极值与0的大小关系即可求解. 【详解】由题()()222,0x x e ef x e f x e x x'''=-=+>，所以()f x ¢在(0,)x ∈+∞单调递增， ()10f e '=-<，()220f e e '=->，所以()f x ¢的零点0(1,2)x ∈，且002xe e x =，且当0(0,)x x ∈时，()0f x ¢<，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x ¢>，即()f x 在0(0,)x x ∈单调递减，在0(,)x x ∈+∞单调递增，()f x 的极小值()()000002221ln 2(1ln )xx e e f x e e x e x e=-+=-+= 0000112((1ln 2))2(2ln 2)e e x e x x x -+-=+--，00015(1,2),2x x x ∈+<， ()0512ln 2ln 2ln 2022f x <--=-=<， 当0x +→时，()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →+∞； 所以共两个零点. 故选：C 【点睛】此题考查函数单调性与极值和函数零点问题，其中重点考查隐零点问题的处理，和极限思想的应用.12．锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin5A C b Aa+=，22BA BC AB AC ⋅+⋅=．则ABC ∆面积的取值范围是（ ）A ．14,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．C ．()1,2D ．3⎫⎪⎪⎭【答案】D【解析】根据三角关系求出角B ，根据向量数量积求出边c ，作出三角形，数形结合求解. 【详解】由题sin sin5A C b Aa+=，三角形ABC ∆中，A B C π++=，A C B π+=-， 结合正弦定理，sin sin sin 5sin B B A A π-=，sin sin 5BB π-=，B 为锐角， 所以5B B π-=，=6B π， 22BA BC AB AC⋅+⋅=，即cos cos ac B bcA +=，由射影定理：c = 作图：在1Rt ABC ∆中，12cos6BC π==在2Rt ABC ∆中，22cos6BC ==当点C 在线段12C C 之间（不含端点）时，三角形ABC ∆为锐角三角形，11223ABCSBC =⨯⨯∈⎭， 所以面积取值范围⎭故选：D 【点睛】此题考查锐角三角形三内角和关系，正余弦定理，边角互化综合应用，重在数形结合思想.二、填空题13．已知不等式组330300x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域为D ，,P Q 是区域D 内任意两点，若()3,3R ，则,PR QR 的最大值是____________． 【答案】90【解析】平面直角坐标系中作出可行域，观察图象,PR QR 即,RP RQ 的最大值，由图便知. 【详解】作出可行域如图所示：解出(0,3),(3,0)A B ，结合图象观察可得,RP RQ 的最大值即0,90RA RB =. 故答案为：90 【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，向量夹角，数形结合思想，属于简单题目，如果不结合图象分析，计算量会很大.14．cos102cos20cos10-⋅=____________．【答案】 【解析】三角恒等变换，处理角度cos10cos(2010)=-即可. 【详解】由题：cos102cos20cos10cos(2010)2cos20cos10-⋅=--⋅cos20cos10sin 20sin10cos20cos10(cos20cos10sin 20sin10)=⋅+⋅-=-⋅-⋅cos30=-=-故答案为： 【点睛】此题考查三角恒等变换，关键在于合理处理两个角度，便于运算，此题陷阱在于两个角度有很多特殊关系，不易找准方向.15．若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则k =________.【答案】1或1e【解析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得斜率和截距相等，从而求得切线方程的答案。

专题29 空间向量与立体几何（解答题）1．如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PC AC ⊥，BC AC ⊥，2AC PC ==，4CB =，M 是PA 的中点．（1）求证：PA ⊥平面MBC ；（2）设点N 是PB 的中点，求二面角N MC B --的余弦值．【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理）【答案】（1）证明见解析；（2）3． 【解析】（1）平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC平面ABC =AC ，BC ⊂平面ABC ，BC AC ⊥，所以BC ⊥平面PAC ，因为PA ⊂平面PAC ，所以BC PA ⊥，因为AC PC =，M 是PA 的中点，所以CM PA ⊥， 因为CMBC C =，,CM BC ⊂平面MBC ，所以PA ⊥平面MBC ．（2）因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC平面ABC =AC ，PC ⊂平面PAC ，PC AC ⊥，所以PC ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以PC BC ⊥，以C 为原点，CA ，CB ，CP 为x ，y ，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，(2,0,0)A ，(0,4,0)B ，(0,0,0)C ，(0,0,2)P ，(1,0,1)M ，(0,2,1)N ，则(1,0,1)CM =，(0,2,1)CN =，(2,0,2)PA =-，由（1）知(2,0,2)PA =-是平面MBC 的一个法向量，设(,,)n x y z =是平面MNC 的法向量，则有00CM n CN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1y =，则2z =-，2x =，所以(2,1,2)n =-，设二面角N MC B --所成角为θ，由图可得θ为锐角，则2cos cos ,||||PA n PA n PA n θ⋅⨯=<>===【名师点睛】解题的关键是熟练掌握面面垂直的性质定理，线面垂直的判定和性质定理，并灵活应用，处理二面角或点到平面距离时，常用向量法求解，建立适当的坐标系，求得所需点的坐标及向量坐标，求得法向量坐标，代入夹角或距离公式，即可求得答案． 2．在四棱锥P ABCD -中，PAB △为直角三角形，90APB ∠=︒且12PA AB CD ==，四边形ABCD 为直角梯形，//AB CD 且DAB ∠为直角，E 为AB 的中点，F 为PE 的四等分点且14EF EP =，M 为AC 中点且MF PE ⊥．（1）证明：AD ⊥平面ABP ；（2）设二面角A PC E --的大小为α，求α的取值范围． 【试题来源】山东省德州市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】（1）证明见解析；（2）,32ππα【解析】（1）取PE 的中点N ，连接AN ，DN ，CE ，如图所示：因为12AE AB =，12AP AB =，所以AP AE =，AN PE ⊥．因为四边形ABCD 为直角梯形，且90DAB ∠=︒，12CD AB =， 所以四边形AECD 为正方形，即M 为DE 的中点． 因为14EF EP =，N 为PE 的中点，所以F 为EN 的中点．所以//MF DN ． 因为MF PE ⊥，所以DN PE ⊥．所以PE DN PE ANPE DN AN N ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪⋂=⎩平面ADN ． 因为DA ⊂平面ADN ，所以PE DA ⊥．所以DA AB DA PEDA PE AB E ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪⋂=⎩平面ABP ． （2）以A 为原点，AB ，AD 分别为y ，z 轴，垂直AB 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设AD a =，1PA CD ==，2AB =，则()0,0,0A，1,02P ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,1,0E ，()0,1,C a ． 31,02AP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,AC a =，1,02PE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,CE a =-． 设平面PAC 的法向量()111,,n x y z =，则1111310220AP n x yAC n y az ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令1y =，解得11x =，1z =，故1,3,n⎛=- ⎝⎭． 设平面PEC 的法向量()222,,m x y z =，则222310220PE mx y CE m az ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-=⎩，令2y =21x =，20z =，故()1,3,0m =．由图知，二面角A PC E --的平面角α为锐角，所以11cos 0,2α-⎛⎫==⎪⎝⎭．故,32ππα．3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，112BC AD ==且CD =E 为AD 的中点，F 是棱PA 的中点，2PA =，PE ⊥底面ABCD ．AD CD ⊥（1）证明：//BF平面PCD ； （2）求二面角P BD F --的正弦值；（3）在线段PC （不含端点）上是否存在一点M ，使得直线BM 和平面BDF 所成角的正弦值为13？若存在，求出此时PM 的长；若不存在，说明理由． 【试题来源】天津市滨海七校2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】（1）证明见解析；（2（3）存在，7PM = 【解析】（1）由题意得//BC DE ，=BC DE ，90ADC ∠=︒，所以四边形BCDE 为矩形， 又PE ⊥面ABCD ，如图建立空间直角坐标系E xyz -，则()0,0,0E ，()1,0,0A，()B ，()1,0,0D -，(P ，()C -，1,0,22F ⎛ ⎝⎭，设平面PCD的法向量为(),,m x y z=，()0,DC =，(DP =则00DC m DP m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则0x ==⎪⎩，则0y =，不妨设x =1z =，可得()3,0,1m =-，又1,22BF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，可得0BF m ⋅=，因为直线BF ⊄平面BCD ，所以//BF 平面BCD ．（2）设平面PBD 的法向量为()1111,,x n y z =，()1,DB =，(0,BP =，则1100DB n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111100x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，不妨设x =()13,1,1n =--，设平面BDF 的法向量为()2222,,n xy z =，32DF ⎛= ⎝⎭，则2200DB n DF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222203022x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，不妨设2x =，可得()2n =-，因此有121212cos ,65n n n n n n ⋅==-⋅，（注：结果正负取决于法向量方向） 于是21212465sin ,1cos ,n n n n =-=，所以二面角P BD F --．（3）设((),PM PC λλλ==-=-，()0,1λ∈(),BM BP PM λ=+=-，由（2）可知平面BDF 的法向量为()23,1,3n =-，2223cos ,BM n BM n BM n⋅===⋅，有23410λλ-+=，解得1λ=（舍）或13λ=， 可得1,333PM ⎛=-- ⎝⎭，所以73PM =． 4．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA =//DC AB ，90DAB ∠=︒，3AB =，2AD CD ==，M 是棱PD 的中点．（1）求异面直线DP 与BC 所成的角的余弦值； （2）求AM 与平面PBC 所成的角的大小；（3）在棱PB 上是否存在点Q ，使得平面QAD 与平面ABCD 所成的锐二面角的大小为60°？若存在，求出AQ 的长；若不存在，说明理由．【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第四次月考 【答案】（1；（2）45︒；（3）125． 【解析】如图，以,,AD AB AP 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则(()()()()(,0,0,0,3,0,0,2,2,0,0,2,0,P A B C D M ，（1）(0,DP =-，()1,2,0BC =-，所以cos,DP BC==，即异面直线DP与BC（2）(AM=，(3,0,PB=-，()1,2,0BC=-设平面PBC的法向量(),,m x y z=，则mPBm BC⎧⋅=⎨⋅=⎩，3020xx y⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，所以可取(m=，设AM与平面PBC所成的角为θ，则sin cos,AM mθ===，所以AM与平面PBC所成的角为45︒；（3）平面ABCD的法向量可取()10,0,1n=，设(()3,0,3,0,PQ PBλλλ==-=-，则()3Qλ，所以()3AQλ=，()0,2,0AD =，设平面QAD的法向量为()2222,,n x y z=，则22nAQn AD⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，()2223020x zyλ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可取()223,0,3nλ=-，因为平面QAD与平面ABCD所成的锐二面角的大小为60°.所以121cos,2n n=，12=，解得25λ=或2λ=-（舍）所以6,0,55AQ⎛=⎝⎭，所以61255AQ⎛==5．如图，在正四面体A BCD-中，点E，F分别是,ABBC的中点，点G，H分别在,CD AD 上，且14DH AD=，14DG CD=．（1）求证：直线,EH FG 必相交于一点，且这个交点在直线BD 上； （2）求直线AB 与平面EFGH 所成角的正弦值．【试题来源】陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试（理） 【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）因为//,//EF AC GH AC ，11=,=24EF AC GH AC ，所以//GH EF 且12GH EF =，故E ，F ，G ，H 四点共面，且直线,EH FG 必相交于一点，设=EH FG M ，因为,∈M EH EH平面ABD ，所以M ∈平面ABD ，同理：M ∈平面BCD ，而平面ABD ⋂平面BCD BD =，故M ∈平面BCD ，即直线,EH FG 必相交于一点，且这个交点在直线BD 上； （2）取BD 的中点O ，则,⊥⊥BD OA BD OC ，所以BD ⊥平面AOC ，不妨设OD =，则BD AC ==12AO CO ==， 所以1441441921cos 212123+-∠==⨯⨯AOC ，以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,(12,0,0),(6,--A B C F G ，故=BA ，(=-FG ，(8,0,=-AC ，(4,0,=-EF ，设平面EFGH 的法向量为(,,)n x y z =，由00n EF n FG ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得50y x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，令x =，则(52,=n ，则182cos ,3||||92⋅<>===⨯BA n BA n BA n ，故直线AB 与平面EFGH ． 6．如图，已知四边形ABCD 为菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，60BAD ∠=︒，平面ADEF平面BCEF =直线EF ，FO ⊥平面ABCD ，22BC CE DE EF ====（1）求证：//EF DA ；（2）求二面角A EF B --的余弦值．【试题来源】江西省五市九校协作体2021届高三第一次联考 【答案】（1）证明见解析；（2）35． 【解析】（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以//AD BC ，AD ⊄平面BCEF ，BC ⊂平面BCEF ，//AD ∴平面BCEF ，因为平面ADEF平面BCEF =直线,EF AD ⊂平面ADEF ，所以//EF AD ；（2）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，因为OF ⊥平面ABCD ，所以以O 为坐标原点、OA ，OB ，OF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，取CD 中点M ，连EM ，OM ，60BAD ︒∠=，21BC OA OC OB OD =∴====，2BC CD CE DE CDE ====∴为正三角形，EM =11//,=,//,=22OM BC OM BC EF BC EF BC，//,=//,=EF OM EF OM OF EM OF EM∴∴，从而1(0,1,0),((0,1,0),(22A B C D E---，设平面ADEF一个法向量为(,,)m x y z=，则m DAm DE⎧⋅=⎨⋅=⎩，即12yx y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令11,(1,x y z m=∴===-，设平面BCEF一个法向量为(,,)n x y z=，则n BCn EC⎧⋅=⎨⋅=⎩，即122yx y⎧-=⎪⎨-+-=⎪⎩，令11,(1,3,1)x y z n=∴==-=--，3cos,5|||,|m nm nm n⋅∴<>==，因此二面角A EF B--的余弦值为35．7．如图，在四棱锥P ABCD-中，90BAD∠=，//AD BC，PA AD⊥，PA AB⊥，122PA AB BC AD====．（1）求证：//BC平面PAD；（2）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．【试题来源】北京房山区2021届高三上学期数学期末试题【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）解法1．因为//BC AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以//BC平面PAD，解法2．因为PA AD⊥，PA AB⊥，AD AB⊥，所以以A为坐标原点，,,AB AD AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz-，则(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2),(2,2,0)A B D P C ，平面PAD 的法向量为(1,0,0)t ， (0,2,0)BC = ，因为 0120000t BC ⋅=⨯+⨯+⨯= ，BC ⊄平面PAD ，所以//BC 平面PAD ； （2）因为PA AD ⊥，PA AB ⊥AD AB ⊥，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2),(2,2,0)A B D P C所以平面PAB 的法向量为(0,1,0)n = ， 设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =， (2,2,2)PC =-，(0,4,2)PD =- ，所以2220042020x y z x y m PC m PC y z z y m PD m PD ⎧⎧+-==⎧⎧⊥⋅=⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨-==⊥⋅=⎩⎩⎩⎩，令1(1,1,2)y m ==得 ，cos ,1n mn m n m ⋅<>===⨯，设平面PAB 与平面PCD 所成角为θθ，为锐角， 所以cos θ=． 8．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，3BAD π∠=，E 是线段AD 的中点，连结BE ．（1）求证：BE PA ⊥；（2）求二面角A PD C --的余弦值；（3）在线段PB 上是否存在点F ，使得//EF 平面PCD ？若存在，求出PF PB 的值；若不存在，说明理由．【试题来源】北京市朝阳区2021届高三上学期期末数学质量检测试题【答案】（1）证明见解析；（2）7-；（3）存在；12PF PB =． 【解析】（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以AB AD =．因为3BAD π∠=，E 为AD 的中点，所以BE AD ⊥． 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，所以BE ⊥平面PAD ． 因为PA ⊂平面PAD ，所以BE PA ⊥．（2）连结PE ．因为PA PD =，E 为AD 的中点，所以PE AD ⊥．由（1）可知BE ⊥平面PAD ，所以BE AD ⊥，PE BE ⊥．设2AD a =，则PE a =．如图，建立空间直角坐标系E xyz -．所以(,0,0),,0),(2,0),(,0,0),(0,0,)A a B C a D a P a --．所以),0(D C a =-，(,0,)D a P a =．因为BE ⊥平面PAD ，所以(0,,0)EB =是平面PAD 的一个法向量．设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则00n DC n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00ax ax az ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，所以,.x x z ⎧=⎪⎨=-⎪⎩令3x =，则1y =，z =(3,1,n =．所以cos ,||||7n EB n EB n EB ⋅===．由题知，二面角A PD C --为钝角，所以其余弦值为- （3）当点F 是线段PB 的中点时，//EF 平面PCD ．理由如下： 因为点E ∈/平面PCD ，所以在线段PB 上存在点F 使得//EF 平面PCD 等价于0EF ⋅=n ．假设线段PB 上存在点F 使得//EF 平面PCD ．设([0,1])PF PBλλ=∈，则PF PB λ=．所以(0,0,),),)EF EP PF EP PB a a a a a λλλ=+=+=+-=-．由)0EF a a a λ⋅=-=n ，得12λ=． 所以当点F 是线段PB 的中点时，//EF 平面PCD ，且12PF PB =． 9．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，4PD =，底面ABCD 是边长为2的正方形，E ，F 分别为PB ，PC 的中点．（1）求证：平面ADE ⊥平面PCD ；（2）求直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值．【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】（1）证明见解析；（2）15． 【解析】（1）因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥．因为底面ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥．因为PD CD D ⋂=，所以AD ⊥平面PCD ．因为AD ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面PCD ．（2）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD AD ⊥，PD CD ⊥．因为底面ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥．如图建立空间直角坐标系D xyz -．因为4PD =，底面ABCD 为边长为2的正方形，所以()0,0,4P ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，()1,1,2E ，()0,1,2F ． 则()2,0,0DA =，()1,1,2DE =，()2,1,2BF =--．设平面ADE 的法向量(),,m x y z =，由00m DA m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得2020x x y z =⎧⎨++=⎩． 令1z =-，则0x =，2y =．所以()0,2,1m =-．设直线BF 与平面ADE 所成角为θ，则,sincos ,9BF mBF m BF m θ====．所以直线BF 与平面ADE ． 【名师点睛】本题考查了面面垂直的判定，核心是要求面面垂直，先考虑线面垂直；同时也考查了线面角的计算方法，核心是要求正弦值，先求余弦值．10．如图，已知11ABB A 是圆柱1OO 的轴截面，O 、1O 分别是两底面的圆心，C 是弧AB 上的一点，30ABC ∠=，圆柱的体积和侧面积均为4π．（1）求证：平面1ACA ⊥平面1BCB ；（2）求二面角11B A B C --的大小．【试题来源】江西省吉安市2021届高三大联考数学（理）（3-2）试题【答案】（1）证明见解析 ；（2）60 ．【解析】（1）因为1AA 是圆柱的母线，所以1AA ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ， 所以1AA BC ⊥，又C 是弧AB 上的一点，且AB 是圆O 的直径，所以AC BC ⊥，因为1AA AC A =，所以BC ⊥平面1ACA ，又BC ⊂平面1BCB ，所以平面1ACA ⊥平面1BCB ；（2）设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，因为圆柱的体积和侧面积均为4π，所以2244rl r l ππππ=⎧⎨=⎩，解得，2r ，1l =，即4AB =，11AA =，因为30ABC ∠=，所以2AC =，BC =设圆柱过C 点的母线为CD ，以C 为原点，CA ，CB ，CD 所在直线分别为x 轴､y 轴､z 轴建立空间直角坐标系C xyz -，如图所示；则()0,0,0C ，()B ，()12,0,1A ，()1B ；所以()12,0,1CA =，()10,CB =，()12,BA =-，()10,0,1BB = 设平面11CA B 的法向量为(),,n x y z =，由1120000x z n CA n CB z ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩，取z =x =1y =-，所以平面11CA B的一个法向量为(3,n =--， 设平面11BA B 的法向量为(),,m a b c=，由1102000m BA a c m BB c ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅==⎪⎪⎩⎩， 取1b =，则a =0c ，所以平面11BA B 的一个法向量为()3,1,0m =， 所以1cos ,23n mm n n m ⋅===-+⋅， 由图中可看出二面角11B A B C --是锐角，故二面角11B A B C --的值为60．【名师点睛】证明面面垂直的方法：（1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可； （2）利用性质：//,αββγαγ⊥⇒⊥（客观题常用）；（3）面面垂直的定义（不常用）； （4）向量方法：证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于0．11．如图1，正方形ABCD ，边长为a，,E F 分别为,AD CD 中点，现将正方形沿对角线AC 折起，折起过程中D 点位置记为T ，如图2．（1）求证：EF TB ⊥；（2）当60TAB ︒∠=时，求平面ABC 与平面BEF 所成二面角的余弦值．【试题来源】安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）取AC 中点O ，连,,OT OB BT ，因为ABCD 为正方形，所以,AC OT AC OB ⊥⊥，又OT OB O ⋂=，所以AC ⊥平面OBT ，而TB ⊂平面OBT ，所以AC TB ⊥． 又,E F 分别为,AD CD 中点，所以//EF AC ，所以EF TB ⊥；（2）因为60TAB ︒∠=，所以TAB △为等边三角形，TB a =，又2OT OB a ==，所以222TB OB OT =+，即OT OB ⊥． 如图建立空间直角坐标系O xyz -，则,0,0,0,,B E F ⎫⎛⎛⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，220,,0,,,2244EF a EB a ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，平面ABC 法向量(0,0,1)m =设平面BEF 法向量(,,1)x n y =，由00n EF n EB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，00244y ay =⎧+-=⎩，012y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，1,0,1,cos ,2||||11mn n m n m n ⋅⎛⎫=<>=== ⎪⋅⎝⎭⋅， 记平面ABC 与平面BEF 所成二面角为θ，则θ为锐角，所以cos 5θ=即平面ABC 与平面BEF ． 12．如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，侧棱垂直于底面，点E ，F 分别在棱1AA ，1CC 上，且满足113AE AA =，113CF CC =，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ．（1）证明：直线l ⊥平面1BDD ；（2）已知2EF =，14BD =，设BF 与平面1BDD 所成的角为θ，求sin θ的取值范围．【试题来源】海南省2021届高三年级第二次模拟考试【答案】（1）证明见解析；（2）35⎫⎪⎪⎝⎭．【解析】（1）如图，连接AC ，与BD 交于点O ．由条件可知//AE CF ，且AE CF =，所以//AC EF ，因为EF ⊂平面BEF ，所以//AC 平面BEF ．因为平面BEF 平面ABC l =，所以//AC l ． 因为四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且侧棱垂直于底面，所以AC BD ⊥，1AC BB ⊥，又1BD BB B ⋂=，所以AC ⊥平面1BDD ，所以l ⊥平面1BDD ．（2）如图所示，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC 的方向为x ，y 轴的正方向建立空间直角坐标系．设2BD a =，因为1BD BD <，所以02a <<．则OB a =，1DD ==所以(,0,0)B a ，(0,1,0)C，F ⎛ ⎝． 由（1）可知(0,1,0)OC =是平面1BDD的一个法向量，而BF a ⎛=- ⎝， 所以sin cos ,OC BF OC BF OC BF θ⋅=<>===当02a <<35<<，即3sin 5θ⎫∈⎪⎪⎝⎭．【名师点睛】求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果．13．在三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，1AA =AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E 是1B C 的中点．（1）求证：平面1AB C ⊥平面11ABB A ；（2）求直线AE 与平面11AAC C 所成角的正弦值．【试题来源】浙江省宁波市2020-2021学年高三上学期期末【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）由1B C ⊥平面ABC ，AB平面ABC ，得1AB B C ⊥， 又AB AC ⊥，1CB AC C =，故AB ⊥平面1AB C ， AB 平面11ABB A ，故平面11ABB A ⊥平面1AB C ．（2）以C 为原点，CA 为x 轴，1CB 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则()0,0,0C ，()1,0,0A ，()1,1,0B，又BC =11BB AA == 故11CB =，()10,0,1B ，10,0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,0CA =， ()111,1,1AA BB ==--，11,0,2AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面11AAC C 的一个法向量为(),,n x y z =，则100n CA n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x x y z =⎧⎨--+=⎩，令1y =，则1z =， ()0,1,1n =， 设直线AE 与平面11AAC C 所成的角为θ，故1sin 102nAEn AE θ⋅===，即直线AE 与平面11AAC C14．如图，在平面四边形PABC 中，PA AC ⊥，AB BC ⊥，PA AB ==，2AC =，现把PAC △沿AC 折起，使P 在平面ABC 上的射影为O ，连接OA 、OB ，且OB//AC ．（1）证明：OB ⊥平面PAO ；（2）求二面角O PB C --的余弦值．【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（理）【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）PO ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，PO AC ∴⊥，又PA AC ⊥，PAPO P =，所以AC ⊥平面PAO ， //OB AC ，所以OB ⊥平面PAO ；（2）在Rt ABC 中，AB =2AC =，则1BC ==，30BAC ∴∠=，在Rt OAB 中，903060OAB ∠=-=，所以12OA AB ==，32OB =，Rt PAO 中，PA =AO =32OP ∴==， 以点O 为坐标原点，OB 、OA 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则0,,02A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、,02C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、3,0,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭、30,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以33,0,22PB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，32PC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，由（1）可知()0,1,0m =为平面POB 的一个法向量，设平面平PBC 的法向量为(),,n x y z =，则有330223202x z x y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩y x z x ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩，取x =(3,n =-，cos ,717m n m n m n ⋅===-⋅⨯， 由图可知，二面角O PB C --为钝角，所以，二面角O PB C --的余弦值为7-． 15．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，//,90BC AD ADC ∠=︒，11,2BC CD AD E ===为线段AD 的中点，过BE 的平面与线段,PD PC 分别交于点,G F ．（1）求证：GF ⊥平面PAD ；（2）若PA PD ==G为PD 的中点，求平面PAB 与平面BEGF所成锐二面角的余弦值．【试题来源】安徽省名校2020-2021学年高三上学期期末联考（理）【答案】（1）证明见解析；（2．【解析】证明：（1）因为12BC AD =，且E 为线段AD 的中点，所以BC DE =， 因为//BC AD ，所以四边形BCDE 为平行四边形，所以//BE CD ，因为CD ⊂平面,PCD BE ⊂/平面PCD ，所以//BE 平面PCD ，又平面BEGF ⋂平面PCD GF =，所以//BE GF ，又BE AD ⊥，且平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =， 所以BE ⊥平面PAD ，所以GF ⊥平面PAD ；（2）因为,PA PD E =为线段AD 的中点，所以PE AD ⊥，‘’因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，以E 为坐标原点，EA 的方向为x 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -；则11(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,0),(1,0,0),,0,22P A B E D G ⎛⎫--⎪⎝⎭， 则11(1,0,1),(0,1,1),(0,1,0),(1,0,1),,0,22PA PB BE DP EG ⎛⎫=-=-=-==- ⎪⎝⎭， 设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z =，则0{0PA m PB m ⋅=⋅=，，，即11110,0x z y z -=⎧⎨-=⎩， 不妨令11x =，可得(1,1,1)n =为平面BEGF 的一个法向量，设平面BEGF 的法向量为()222,,n x y z =，则0{0BE n EG n ⋅=⋅=，，，即222011022y x z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，，不妨令21x =，可得(1,0,1)n =为平面BEGF 的一个法向量，设平面PAB 与平面BEGF 所成的锐二面角为α，于是有2cos |cos ,|32m n α=〈〉==； 所以平面PAB 与平面BEGF ．16．如图所示，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，对角线AC 与BD 交于点F ，侧面SBC 是边长为2的等边三角形，点E 在棱BS 上．（1）若//SD 平面AEC ，求SE EB的值； （2）若平面SBC ⊥平面ABCD ，求二面角B AS C --的余弦值．【试题来源】江苏省G4（苏州中学、常州中学、盐城中学、扬州中学）2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】（1）1；（2． 【解析】（1）连结EF ，因为//SD 平面AEC ，SD ⊂平面BSD ，平面BSD ⋂平面AEC EF =，所以//SD EF ．因为底面ABCD 是正方形，F 为AC 中点，所以EF 是SD 的中位线，则1SE EB=． （2）取BC 的中点为O ，AD 的中点为M ，连结MO ，则MO BC ⊥， 因为平面SBC ⊥平面ABCD ，平面SBC平面ABCD BC =，OM ⊂平面ABCD ， 所以OM ⊥平面SBC ．又OS BC ⊥，所以O 为坐标原点．以{},,OS OC OM 为正交基底建立空间直角坐标系O xyz -．则()0,1,2A -，()010B -,,，()0,1,0C，)S，1,022E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，从而()SC =-，()0,2,2AC =-，()0,0,2AB =-，()3,1,2AS =-． 设平面ASC 的法向量为(),,m x y z =， 则0,0.m SC m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,0.y y z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩取1x =，则y =z = 所以平面ASC的一个法向量为(1,3,m =．设平面ASB 的法向量为(),,n x y z =， 则0,0.n AB n AS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20,20.z y z -=⎧⎪+-=取y =1x =-，0z =． 所以平面ASB 的一个法向量为()1,3,0n =-．所以7cos ,7m n m n m n ⋅〈〉==． 因为二面角B AS C --的平面角为锐角，所以二面角B AS C --的余弦值为7． 【名师点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：（1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．（2）设,m n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n <>互补或相等．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．17．在三棱锥P ABC -中，底面ABC 为正三角形，平面PBC ⊥平面,1,ABC PB PC D ==为AP 上一点，2,AD DP O =为三角形ABC 的中心．（1）求证：AC ⊥平面OBD ；（2）若直线PA 与平面ABC 所成的角为45︒，求二面角A BD O --的余弦值．【试题来源】山东省威海市2020-2021学年高三上学期期末【答案】（1）证明见解析；（2）5． 【解析】（1）证明：连接AO 并延长BC 交于点E ，则E 为BC 中点，连接PE ．如图所示：因为О为正三角形ABC 的中心，所以2,AO OE =又2AD DP =，所以//,DO PE 因为PB PC =，E 为BC 中点，所以,PE BC ⊥ 又平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC 平面ABC BC =，所以PE ⊥平面,ABC 所以DO ⊥平面,ABC AC ⊂平面PBC ，所以,DO AC ⊥又,AC BO DO BO O ⊥⋂=，所以AC ⊥平面OBD ．（2）由PE ⊥平面ABC 知，所以45PAE ∠=︒ ，所以,PE AE =所以,ABE PBE ≌ 所以1AB PB BC AC ====，由（1）知，,,EA EB EP 两两互相垂直，所以分别以,,EA EB EP 的方向为,,x y z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则1,0,,0,0,0,,22263A B P D ⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，10,,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以31,,0,2231,,623AB BD ⎛⎫-⎛= ⎪ ⎪⎝⎭=-⎝⎭， 设平面ABD 的法向量为(),,n x y z =， 则302302x y nBD z y n AB x ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，令1,x =可得1y z ==，则()1,3,1n =． 由（1）知AC ⊥平面,DBO 故1,02AC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭为平面DBO 的法向量， 所以2cos ,5nAC n AC n AC -⋅===-，由图可知二面角A BD O --的为锐二面角，所以二面角A BDO --的余弦值为5． 18．如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，且22AB CD ==，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，且FB =，M ，N 分别为EF ，AB 的中点．（1）求证：//MN 平面FCB；（2）若直线AF 与平面FCB 所成的角为60°，求平面MAB 与平面MAC 所成锐二面角的余弦值．【试题来源】山西省运城市2021届高三上学期期末（理）【答案】（1）证明见解析；（2．【解析】（1）取BC 的中点Q ，连接NQ ，FQ ，则1//2NQ AC ，且12NQ AC =， 又1//2MF AC ，且12MF AC = ，所以//MF NQ 且MF NQ =， 所以四边形MNQF 为平行四边形，所以//MN FQ ，因为FQ ⊂平面FCB ，MN ⊄平面FCB ，所以//MN 平面FCB ；（2）由四边形ABCD 为等腰梯形，且22AB CD ==，60ABC ∠=︒，可得1BC =，AC =90ACB ∠=︒，所以AC BC ⊥．因为四边形ACFE 为矩形，所以AC CF ⊥，所以AC ⊥平面FCB ，所以AFC ∠为直线AF 与平面FCB 所成的角，即60AFC ∠=︒，所以1FC =．因为FB =，所以222FB FC CB =+，所以FC BC ⊥．则可建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，3(3,0,0),(0,1,0),,0,12A B M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以3,0,1,(3,1,0)2MA AB ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，设(,,)m x y z =为平面MAB 的法向量，则00MA m AB m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即30230x z x y ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，取23x =，则(23,6,3)m =为平面MAB 的一个法向量，又(0,1,0)n =为平面MAC的一个法向量， 所以657257cos 571||m n mn m n ⋅〈〉====⨯∣∣， 故平面MAB 与平面MAC 所成锐二面角的余弦值为5719． 19．如图，该多面体由底面为正方形ABCD 的直四棱柱被截面AEFG 所截而成，其中正方形ABCD 的边长为4，H 是线段EF 上（不含端点）的动点，36==FC EB ．（1）若H 为EF 的中点，证明：//GH 平面ABCD ；（2）若14=EH EF ，求直线CH 与平面ACG 所成角的正弦值． 【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】（1）证明见解析；（26． 【解析】（1）证明：取BC 的中点M ，连接HM ，DM ．因为该多面体由底面为正方形ABCD 的直四棱柱被截面AEFG 所截而成，所以截面AEFG 是平行四边形，则4=-=DG CF EB ．因为36==FC EB ，所以1(26)42=⨯+=HM ，且DG//HM ，所以四边形DGHM 是平行四边形，所以GH //DM ．因为DM ⊂平面ABCD ，GH ⊄平面ABCD ，所以//GH 平面ABCD ．（2）解：如图，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，则(4,0,0)A ，(0,4,0)C ，(0,0,4)G ，(3,4,3)H ，(4,4,0)=-AC ，(4,0,4)=-AG ，(3,0,3)=CH ．设平面ACG 的法向量为(,,)n x y z =，则440440AC n x y AG n x z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，令1x =，得(1,1,1)n =．因为cos ,3||||32⋅〈〉===⨯CH n C n n CH H ，所以直线CH 与平面ACG 所成角的正弦值为3．【名师点睛】本题考查了立体几何中的线面平行的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面关系的相互转化，通过严密推理证明线线平行从而得线面平行，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解．20．如图，已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，//AD BC ，//CE BG ，且2BCD BCE π∠=∠=，120ECD ∠=︒．22BC CD CE AD BG ====．（1）求证：//AG 平面BDE ；（2）求二面角E BD C --的余弦值．【试题来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查（理）【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】（1）证明：在平面BCEG 中，过G 作GN CE ⊥于N ，交BE 于M ，连DM ， 由题意知，MG MN =，////MN BC DA 且12MN AD BC ==， 因为//MG AD ，MG AD =，故四边形ADMG 为平行四边形，所以//AG DM ， 又DM ⊂平面BDE ，AG ⊂/平面BDE ，故//AG 平面BDE ．（2）由题意知BC ⊥平面ECD ，在平面ECD 内过C 点作CF CD ⊥交DE 于F ， 以C 为原点，CD ，CB ，CF 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设1AD =，则22BC CD CE BG ====．且()0,0,0C ，()2,0,0D ，()0,2,0B ，(E -，设平面EBD 的法向量(),,n x y z =，则由0,0,DE n BD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩得30,220,x x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 取1y =，得(1,1,3n =，易知平面BCD 的一个法向量为()0,0,1m =，3cos ,51m nm n m n ⋅==⋅=⋅E BD C --． 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，M 为PC 的中点．（1）求证：//AP 平面BDM ；（2）若PB PC ==CD PC ⊥，求二面角C DM B --的余弦值．【试题来源】河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考（理）【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）连接AC 交BD 于E ，连接EM ，则E 为AC 中点，所以EM 为APC △的中位线，所以//EM AP ，因为EM ⊂平面BDM ，AP ⊄平面BDM ，所以//AP 平面BDM ．（2）在PBC 中，因为2224PB PC BC +==，所以PB PC ⊥，取BC 中点O ，AD 中点F ，连接PO ，OF ，则PO BC ⊥，1PO =，因为BC CD ⊥，CD PC ⊥，BC 、PC ⊂平面PBC ，BC PC C ⋂=，所以CD ⊥平面PBC ，因为PO ⊂平面PBC ，所以CD PO ⊥，因为PO BC ⊥，BC CD C ⋂=，BC 、CD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，因为OF ⊂平面ABCD ，所以PO OF ⊥，所以PO ，OF ，OB 两两垂直，如图所示，以O 为原点，OF ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(2,1,0)D -，(0,0,1)P ，(0,1,0)B ，(0,1,0)C -，所以110,,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得112,,22DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(2,2,0)BD =-，(2,0,0)CD =．设平面BDM 的法向量为()111,,m x y z =， 则0 0m BD m DM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11111220112022x y x y z -=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，取(1,1,3)m =， 设平面CDM 的法向量为()222,,n x y z =，则00n CD n DM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即222220112022x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，取(0,1,1)n =-，所以222cos ,11||||112m n m nm n ⋅〈〉===⋅⨯， 所以二面角C DM B --的余弦值为11．22．如图所示，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直， //BE CF ，BCF CEF ∠=∠=90°，AD =EF =（1）求证：EF ⊥平面DCE（2）当AB 的长为何值时，二面角A EF C --的大小为60°． 【试题来源】山东省菏泽市2020-2021学年高三上学期期末【答案】（1）证明见解析；（2）60°．【解析】（1）因为平面ABCD ⊥平面BEFC ，平面ABCD 平面BEFC BC =，CD BC ⊥，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面BEFC ，EF ⊂平面BEFC ，从而CD EF ⊥． 因为EF CE ⊥，CD CE C =，,CD CE ⊂平面CDE ，所以EF ⊥平面CDE ．（2）如图所示，以点C 为坐标原点，以CB 、CF 和CD 所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系．过点E 作EG CF ⊥于点G ．在Rt EFG中，EG AD ==EF =1FG =．因为CE EF ⊥，则90EFC ECF BCE ∠=︒-∠=∠，所以Rt EFG Rt ECB △△，EG GF EF BE BC EC==，所以2,BE CE == 所以2CG =，所以3CF =．设AB a ，则()0,0,0C，)A a，)E ，()0,3,0F ．()0,2,AE a =-，()EF =-，()2,2,0CE =， 设平面AEF 的法向量(),,n x y z =．则00n AE n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即200y az y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 令2z=，得,2n a ⎫=⎪⎭．因为CD ⊥平面EFC ，()0,0,CD a =，所以1cos ,2n CD ==，解得a =所以当AB =A EF C --的大小为60°．【名师点睛】本题考查空间向量法求二面角．求空间角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论； （2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出平面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．23．如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AB BC ⊥，//CD AB ，面ABE ⊥面ABCD ，且224AB AE BE BC CD =====，点M 在棱AE 上．（1）证明：当2MA EM =时，直线//CE 平面BDM ；（2）当AE ⊥平面MBC 时，求二面角E BD M --的余弦值．【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试（理）【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）连结BD 与AC 交于点N ，连结MN ，//AB CD ，24AB CD ==， CND ANB ∴△∽△，12CD CN AB AN ∴==， 12EM MA =，EM CN MA AN∴=，MN //EC ∴， 又MN ⊂面BDM ，CE ⊂面BDM ，//CE ∴平面BDM ．（2）AE 平面MBC ，AE BM ∴⊥，M ∴是AE 的中点，取AB 的中点为O ， OE ∴⊥平面ABCD ，以OD ，OA ，OE 所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,2,0)B-，E ，(2,0,0)D ，(0,2,0)A ，M ，设平面EBD 的法向量为()1111,,x n y z=，则1111112200020x y n BD n BE y ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩， 令11z =，则1y=1x =1(3,3,1)n ∴=-，设平面BDM 的法向量为()2222,,n x y z =，则2222222200030x y n BD n BM y ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅==⎪⎪⎩⎩，令2z 21y =-，21x =，1(1,13)n ∴=-， 1212123105cos ,||n n n n n n ⋅∴<>===⋅ ∴二面角E BD M --的余弦值为35． 24．已知正方体1111ABCD A B C D -，棱长为2，M 为棱CD 的中点，N 为面对角线1BC 的中点，如图．（1）求证：ND AN ⊥；（2）求平面1AMD 与平面11AAC C 所成锐二面角的余弦值．【试题来源】安徽省池州市2020-2021学年高三上学期期末（理）【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】（1）取BC 的中点分别为F ，连接NF ，DF ，因为N ，F 分别为1BC ，BC 的中点，1111ABCD A B C D -是正方体，易得NF ⊥平面ABCD ，所以NF AM ⊥；因为FC MD =，AD DC =，FCD MDA ∠=∠，所以FCD MDA ≌△△，所以CFD DMA ∠=∠，所以90FDC DMA ∠+∠=︒，所以FD AM ⊥，因为NF FD F =，NF ⊂平面NFD ，FD ⊂平面NFD ，所以AM ⊥平面NFD ， 又DN ⊂平面NFD ，所以ND AM ⊥；（2）以A 为原点，分别以AB 、AD 、1AA 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如下图所示空间直角坐标系：连接BD ，1C D ，在正方体1111ABCD A B C D -中，易知1BD C D =，且N 为1BC 中点，所以1DN BC ⊥．又11//BC AD ，所以1AD DN ⊥． 因为1AD AM A =，1AD ⊂平面1AMD ，AM ⊂平面1AMD ，所以ND ⊥平面1AMD ，故ND 为平面1AMD 的一个法向量；由1111ABCD A B C D -是正方体，得BD ⊥平面11AAC C ，故BD 为平面11AAC C 的一个法向量，因为()2,0,0B ，()0,2,0D ，()2,1,1N ， 所以()2,1,1ND =--，()2,2,0BD =-， 所以(cos ,ND BDND BD ND BD -⋅<>===⋅则平面1AMD 与平面11AAC C25．如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，AB ∥CD ，122AB AD CD ===，点M 在线段EC 上．（1）当点M 为EC 中点时，求证：BM ∥平面ADEF ；（2）当平面BDM 与平面ABFM 在线段EC 上的位置．【试题来源】宁夏固原市第五中学2021届高三年级期末考试（理）【答案】（1）证明见解析；（2）点M 为EC 中点．【解析】（1）以直线DA 、DC 、DE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,4,0)C ，(0,0,2)E ，所以(0,2,1)M ．所以(2,0,1)BM =-， 又(0,4,0)DC =是平面ADEF 的一个法向量．因为0BM DC ⋅=即BM DC ⊥，BM ⊄平面ADEF ，所以BM ∥平面ADEF ；（2）设(,,)M x y z ，则(,,2)EM x y z =-，又(0,4,2)EC =-，设()01EM EC λλ=≤≤，则0,4,22x y z λλ===-，即(0,4,22)M λλ-．设111(,,)n x y z =是平面BDM 的一个法向量，则11112204(22)0DB n x y DM n y z λλ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取11x =得11y =-，此时显然1λ=时不符合，则121z λλ=-，即2(1,1,)1n λλ=--， 又由题设，(2,0,0)DA =是平面ABF 的一个法向量，所以cos ,622DA n DA n DA n ⋅===⋅，解得12λ=，即点M 为EC 中点． 【名师点睛】利用法向量求解空间面面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”．26．如图所示，在多面体ABCDEF 中，//AB CD ，AB BC ⊥，22AB BC CD ==，四边形ADEF 为矩形，平面ADEF ⊥平面ABCD ，AF AB λ=．（1）证明：//DF 平面BCE ；（2）若二面角C BE F --λ的值． 【试题来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题【答案】（1）证明见解析；（2）1．【解析】（1）取AB 的中点为M ，连接FM CM DM ，，，因为//AM CD 且AM CD =，四边形AMCD 为平行四边形，所以//AD MC 且AD MC =，因为四边形ADEF 为矩形，所以//FE MC 且=FEMC ，所以四边形EFMC 是平行四边形，所以//FM EC ，且EC ⊂平面BEC ，FM ⊄平面BEC ，。

2024-2025学年安徽省皖豫名校联盟高三（上）联考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|y =x +1}，B ={x|14<2x <4}，则A ∩B =( )A. (−1,2)B. [−1,2)C. (−2,−1)D. (−2,−1]2.已知直线l 1：a 2x +y +1=0与直线l 2：x−3ay +7=0，则“a =3”是“l 1⊥l 2”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.下列四个数中最大的是( )A. lg20B. lg (lg20)C. (lg20)2D. 1lg204.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：ℎ)之间的关系式为P =P 0e −λt (t ≥0)，其中P 0为初始污染物含量，P 0，λ均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4ℎ过滤掉了80%的污染物.如果废气中污染物的含量不超过0.04P 0时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为( )A. 4ℎB. 6ℎC. 8ℎD. 12ℎ5.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( )A. f(x)=(x−1x )cosx B. f(x)=(x +1x )sinx C. f(x)=(x +1x )ln |x|D. f(x)=(x +1x )cosx6.已知函数f(x)={x 2−ax +2a,x <−1,1−ln (x +2),x ≥−1在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,0]B. [0,+∞)C. [−2,+∞)D. [−2,0]7.已知函数f(x)=e x−3−e 3−x +x ，则满足f(2m−2)+f(m +1)>6的m 的取值范围是( )A. (3,+∞)B. (32,+∞)C. (13,+∞)D. (73,+∞)8.定义[x]为不超过x 的最大整数，区间[a,b](或(a,b)，[a,b)，(a,b])的长度记为b−a.若关于x 的不等式k[x]>|2[x]−6|的解集对应区间的长度为2，则实数k 的取值范围为( )A. (0,45]B. (12,45]C. (12,1]D. (45,1]二、多选题：本题共3小题，共18分。