高中数学人教A版选修4-5学案：第3讲2一般形式的柯西不等式

二 一般形式的柯西不等式1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．(重点)2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 三维形式的柯西不等式阅读教材P 37～P 38“探究”以上部分，完成下列问题．设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ，则(a 21＋a 22＋a 23)·(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2.当且仅当b 1＝b 2＝b 3＝0或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．已知x ，y ，z ∈R ＋且x ＋y ＋z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A ．1 B.13 C.23 D ．2【解析】 根据柯西不等式，x 2＋y 2＋z 2＝13(12＋12＋12)·(x 2＋y 2＋z 2)≥13(1×x ＋1×y ＋1×z )2＝13(x ＋y ＋z )2＝13.【答案】 B教材整理2 一般形式的柯西不等式 阅读教材P 38～P 40，完成下列问题．设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.当且仅当b i ＝0(i＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D.4【解析】 (a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1，当且仅当x 1a 1＝x 2a 2＝…＝x na n＝1时取等号，∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1. 【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，1a ＋2b ＋3c ＝2，求a ＋2b ＋3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值．【精彩点拨】 由于1a ＋2b ＋3c ＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解．【自主解答】 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＋3c ·(a ＋2b ＋3c )＝[⎝⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2][(a )2＋(2b )2＋(3c )2]≥⎝⎛⎭⎪⎫1a ·a ＋2b ·2b ＋3c ·3c 2＝(1＋2＋3)2＝36. 又1a ＋2b ＋3c ＝2， ∴a ＋2b ＋3c ≥18，当且仅当a ＝b ＝c ＝3时等号成立， 综上，当a ＝b ＝c ＝3时， a ＋2b ＋3c 取得最小值18.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．[再练一题]1．已知x ＋4y ＋9z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2的最小值． 【解】 由柯西不等式，知(x ＋4y ＋9z )2≤(12＋42＋92)(x 2＋y 2＋z 2) ＝98(x 2＋y 2＋z 2)． 又x ＋4y ＋9z ＝1， ∴x 2＋y 2＋z 2≥198，(*)当且仅当x ＝y 4＝z9时，等号成立， ∴x ＝198，y ＝249，z ＝998时，(*)取等号． 因此，x 2＋y 2＋z 2的最小值为198.已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围．【精彩点拨】 “恒成立”问题需求1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x的最大值，设法应用柯西不等式求最值．【自主解答】 ∵x >0，y >0，z >0. 且x ＋y ＋z ＝xyz . ∴1yz ＋1xz ＋1xy ＝1. 又1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1xy ＋1yz ＋1zx ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1·1xy ＋1·1yz ＋1·1zx ≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(12＋12＋12)⎝ ⎛⎭⎪⎫1xy ＋1yz ＋1zx 12＝32，当且仅当x ＝y ＝z ，即x ＝y ＝z ＝3时等号成立． ∴1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x的最大值为32. 故1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立时， 应有λ≥32.因此λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理．[再练一题]2．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，试求a 的取值范围.【导学号：32750052】【解】 由a ＋b ＋c ＋d ＝3，得b ＋c ＋d ＝3－a ， 由a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，得2b 2＋3c 2＋6d 2＝5－a 2， (2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2.由条件可得，5－a 2≥(3－a )2，解得1≤a ≤2， 所以实数a 的取值范围是[1,2]．[探究共研型]探究 a i ＝kb i (i ＝1,2,3，…，n )，可以吗？【提示】 不可以．若b i ＝0而a i ≠0，则k 不存在．已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a b a ＋c b ＋ac ≥9.【精彩点拨】 对应三维形式的柯西不等式，a 1＝ab ，a 2＝bc ，a 3＝c a ，b 1＝ba ，b 2＝cb ，b 3＝ac ，而a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3＝1，因而得证．【自主解答】 ∵a ，b ，c ∈R ＋， 由柯西不等式，知 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ＝[⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝⎛⎭⎪⎫c a 2]×[⎝⎛⎭⎪⎫b a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫c b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a c 2] ≥⎝⎛⎭⎪⎫a b ×b a ＋b c ×c b ＋c a ×a c 2 ＝(1＋1＋1)2＝9， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋bc ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ≥9.1．当a i ，b i 是正数时，柯西不等式变形为(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.2．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．[再练一题]3．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9. 【解】 (1)因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m . 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }． 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1.又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.[构建·体系]一般形式的柯西不等式—⎪⎪⎪⎪—三维形式—一般形式—一般形式的应用1．设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a·b 的最小值为( ) A ．18 B ．6 C ．－18D.12【解析】 |a·b |≤|a ||b |，∴|a·b |≤18.∴－18≤a·b ≤18，当a ，b 反向时，a·b 最小，最小值为－18. 【答案】 C2．若a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，b 21＋b 22＋…＋b 2n ＝4，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．[－2,2]C ．(－∞，2]D.[－1,1]【解析】 ∵(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，∴(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2≤4， ∴|a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n |≤2， 即－2≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤2，当且仅当a i ＝12b i (i ＝1,2，…，n )时，右边等号成立；当且仅当a i ＝－12b i (i ＝1,2，…，n )时，左边等号成立，故选B. 【答案】 B3．(2014·陕西高考)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________．【解析】 根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m 2＋n 2的最小值为 5.【答案】54．设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b ＋36c 的最小值为________.【导学号：32750053】【解析】 由a ，b ，c 为正数， ∴(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b ＋36c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2＋＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·3b ＋c ·6c 2＝121，当且仅当a 2＝b 3＝c6＝k (k >0)时等号成立． 故(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b ＋36c 的最小值是121.【答案】 1215．已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，求t ＝x 2＋4y 2＋z 2的最小值． 【解】 由柯西不等式得(x 2＋4y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z )2. ∵x ＋2y ＋z ＝1，∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1，即x 2＋4y 2＋z 2≥13.当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝13时等号成立．故x 2＋4y 2＋z 2的最小值为13.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评（十）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值是( ) A ．1 B. 3 C ．3D.9【解析】 由柯西不等式得[(a )2＋(b )2＋(c )2](12＋12＋12)≥(a ＋b ＋c )2，∴(a ＋b ＋c )2≤3×1＝3， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立． ∴a ＋b ＋c 的最大值为 3.故选B. 【答案】 B2．设a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，则2a ＋2b ＋2c 的最小值为( )【导学号：32750054】A ．4B ．3C ．6D.2【解析】 ∵(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋2c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]· ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2c 2≥ ⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c 2＝18.∴2a ＋2b ＋2c ≥2. 【答案】 D3．设a 1，a 2，…，a n 为实数，P ＝a 21＋a 22＋…＋a 2nn ，Q ＝a 1＋a 2＋…＋a n n，则P 与Q 的大小关系为( )A ．P ＞QB ．P ≥QC ．P ＜QD.不确定【解析】 由柯西不等式知≥a 1＋a 2＋…＋a n ，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ·n ≥a 1＋a 2＋…＋a n ，即得a 21＋a 22＋…＋a 2nn ≥a 1＋a 2＋…＋a n n，∴P ≥Q .【答案】 B4．若实数x ＋y ＋z ＝1，则F ＝2x 2＋y 2＋3z 2的最小值为( ) A ．1 B ．6 C ．11 D.611【解析】 ∵(2x 2＋y 2＋3z 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1＋13≥2x ·12＋y ·1＋3z ·13＝(x ＋y ＋z )2＝1，∴2x 2＋y 2＋3z 2≥1116＝611，即F ≥611，当且仅当2x ＝y ＝3z 时，取等号．【答案】 D5．已知x ，y ，z 均大于0，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z 的最小值为( ) A ．24 B ．30 C ．36 D ．48 【解析】 (x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z≥⎝⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2＝36， ∴1x ＋4y ＋9z ≥36. 【答案】 C 二、填空题6．已知a ，b ，c ∈R ，且2a ＋2b ＋c ＝8，则(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是__________．【解析】 由柯西不等式得：(4＋4＋1)×[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥[2(a －1)＋2(b ＋2)＋c －3]2，∴9[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥(2a ＋2b ＋c －1)2. ∵2a ＋2b ＋c ＝8，∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2≥499，∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是499. 【答案】 4997．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．【解析】 ∵a ＋2b ＋3c ＝6，∴1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6.∴(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12.当且仅当1a ＝12b ＝13c ，即a ＝2，b ＝1，c ＝23时取等号．【答案】 128．设x ，y ，z ∈R ，若(x －1)2＋(y ＋2)2＋z 2＝4，则3x －y －2z 的取值范围是__________．又3x －y －2z 取最小值时，x 的值为__________．【解析】 [(x －1)2＋(y ＋2)2＋z 2][32＋(－1)2＋(－2)2]≥(3x －3－y －2－2z )2,4×14≥(3x －y －2z －5)2，∴－214≤3x －y －2z －5≤214，即5－214≤3x －y －2z ≤5＋214.若3x －y －2z ＝5－214，又x －13＝y ＋2－1＝z －2＝t ， ∴3(3t ＋1)－(－t －2)－2(－2t )＝5－214，∴t ＝－147，∴x ＝－3147＋1. 【答案】 [5－214，5＋214] －3147＋1 三、解答题9．已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1.(1)求证：x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y≥13； (2)求4x ＋4y ＋4z 2的最小值．【解】 (1)证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ·(y ＋2z ＋z ＋2x ＋x ＋2y )≥x y ＋2z ·y ＋2z ＋y z ＋2x ·z ＋2x ＋z x ＋2y·x ＋2y ＝1， 即3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥1， ∴x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥13. (2)由基本不等式，得4x ＋4y ＋4z 2≥334x ＋y ＋z 2，因为x ＋y ＋z ＝1，所以x ＋y ＋z 2＝1－z ＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫z －122＋34≥34， 故4x ＋4y ＋4z 2≥33434＝32，当且仅当x ＝y ＝14，z ＝12时等号成立，所以4x ＋4y ＋4z 2的最小值为3 2.10．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的所有系数均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：对于任何正数x 1，x 2，当x 1·x 2＝1时，必有f (x 1)·f (x 2)≥1.【证明】 由于f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且a ，b ，c 大于0，∴f (x 1)·f (x 2)＝(ax 21＋bx 1＋c )(ax 22＋bx 2＋c )≥(ax 1·ax 2＋bx 1·bx 2＋c )2＝(ax 1x 2＋b x 1x 2＋c )2 ＝[f (x 1x 2)]2＝[f (1)]2.又f (1)＝a ＋b ＋c ，且a ＋b ＋c ＝1，∴f (x 1)·f (x 2)≥1.[能力提升]1．若2a ＞b ＞0，则a ＋4(2a －b )·b 的最小值为( ) A ．1B ．3C ．8 D.12【解析】 ∵2a ＞b ＞0，∴2a －b ＞0，∴a ＋4(2a －b )·b ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2a －b )＋b ＋8(2a －b )·b ≥12·33(2a －b )·b ·8(2a －b )·b＝3. 当且仅当2a －b ＝b ＝8(2a －b )·b，即a ＝b ＝2时等号成立， ∴当a ＝b ＝2时，a ＋4(2a －b )·b有最小值3.【答案】 B2．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝( ) A.14B.13C.12D.34【解析】 由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝400，当且仅当a x ＝b y ＝c z ＝12时取等号，因此有a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12. 【答案】 C3．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝6，则2a ＋2b ＋1＋2c ＋3的最大值为________.【导学号：32750055】【解析】 由柯西不等式得：(2a ＋2b ＋1＋2c ＋3)2＝(1×2a ＋1×2b ＋1＋1×2c ＋3)2≤(12＋12＋12)(2a ＋2b ＋1＋2c ＋3)＝3(2×6＋4)＝48. 当且仅当2a ＝2b ＋1＝2c ＋3，即2a ＝2b ＋1＝2c ＋3时等号成立．又a ＋b ＋c ＝6，∴a ＝83，b ＝136，c ＝76时，2a ＋2b ＋1＋2c ＋3取得最大值4 3.【答案】 4 34．△ABC 的三边长为a ，b ，c ，其外接圆半径为R .求证：(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2. 【证明】 由三角形中的正弦定理，得sin A ＝a 2R ，所以1sin 2A ＝4R 2a 2，同理1sin 2B ＝4R 2b 2，1sin 2C ＝4R 2c 2，于是由柯西不等式可得左边＝(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫4R 2a 2＋4R 2b 2＋4R 2c 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2R a ＋b ·2R b ＋c ·2R c 2＝36R 2， ∴原不等式得证．。