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平新乔《微观经济学十八讲》课后习题
第16讲一般均衡与福利经济学的两个基本定理
1．考虑一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下
()()211212,u x x x x =()
118,4e =()()()
21212,ln 2ln u x x x x =+()23,6e =（1）描绘出帕累托有效集的特征（写出该集的特征函数式）；
（2）发现瓦尔拉斯均衡。
解：（1）由消费者1的效用函数()()2
11212,u x x x x =，可得121122MU x x =，122122MU x x =，故消费者1的边际替代率为121
1112212
121212122MU x x x MRS MU x x x ===。同理可得消费者2的边际替代率为22212
212x MRS x =。在帕累托有效集上的任一点，每个消费者消费两种物品的边际替代率都相同，即：
121212
MRS MRS =从而有：
122212112x x x x =①
又因为212210x x =-，211121x x =-，把这两个式子代入①式中，就得到了帕累托有效集的特征函数：
1122111110422x x x x -=-②
（2）由于瓦尔拉斯均衡点必然位于契约曲线上，所以在均衡点②式一定成立。此外在
均衡点处，预算线和无差异曲线相切（如图16-1所示），这就意味着边际替代率等于预算线的斜率，即：
111212121121
1418x p x MRS p x x -===-③
联立②、③两式，解得：1158/4x =，1258/11x =。进而有21112126/4x x =-=，21221052/11x x =
-=。
图16-1均衡时边际替代率等于预算线的斜率
2．证明：一个有n 种商品的经济，如果（1n -）个商品市场上已经实现了均衡，则第n 个市场必定出清。
证明：假设第k 种商品的价格为k p ，{}1,2,,k n ∈ 。系统内存在I （I 为正整数）个消
费者，第i 个消费者拥有第k 种物品的初始禀赋为i k e ，而第i 个消费者对第k 种商品的消费
量为k i x ，根据瓦尔拉斯定律可知系统中的超额的市场价值为零，即：
()
10n i i k k k k i I i I p x e =∈∈-=∑∑∑当前1n -个商品市场已经实现均衡，即前1n -个商品市场的超额需求为零，这时有：
()()
()1100n i i i i k k k n k k k i I i I i I i I
i i n k k i I i I
i i k k i I i I p x e p x e p x e x e -=∈∈∈∈∈∈∈∈-+-=∑∑∑∑∑-=∑∑=∑∑
由此就可以得出第n 个市场的超额需求也为零，即第n 个商品市场也实现了均衡。
3．有一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下
(){}
11212,min ,u x x x x =()130,0e =()212,2v p y p p ()
20,20e =注意：第2个消费者的效用函数在这里是间接效用函数。
（1）发现瓦尔拉斯一般均衡。
（2）如果禀赋状态为()15,0e =，()20,2e =，重新计算一般均衡。
解：（1）由消费者1的效用函数的形式可以得到相应的马歇尔需求函数为：
111121212
30p m x x p p p p ===++对消费者2，根据罗伊恒等式(),i i v p x p m v ∂∂=-∂，可以得到他的马歇尔需求函数为：22101,22i i i
p m x i p p ===均衡时，每种商品市场都会出清，这就意味着：
12122
30202002p p p p p +-=+解得1212
p p =，从而有：111210x x ==；2120x =；2210x =。（2）若禀赋状态为()15,0e =，()20,2e =。此时消费者1的马歇尔需求函数为：
111121212
5p m x x p p p p ===++消费者2的马歇尔需求函数为：222i i i p m x p p =
=，1,2i =。由均衡时，每种商品市场出清，即：12122520p p p p p +-=+，解得1214
p p =，进而可得11121x x ==；214x =，221x =。4．假定在一个经济中只有三种商品（1x ，2x ，3x ），对于2x 与3x 的超额需求函数为
221313/2/1
ED p p p p =-+-
321314/2/2
ED p p p p =--（1）请证明这些函数关于1p 、2p 与3p 是零次齐次的。
（2）运用瓦尔拉斯法则表示，如果230ED ED ==，1ED 也一定为零。能否同样用瓦尔拉斯法则去计算1ED ？
（3）请解有关均衡相对价格21/p p 与31/p p 的方程组，32/p p 的均衡值是多少？解：（1）对任意的0t >，有：()()()()33222211113322331111
3
21321422422tp p tp p ED tp ED p tp tp p p tp p tp p ED tp ED p tp tp p p =-+-=-+-==--=--=所以2ED 和3ED 关于1p 、2p 与3p 是零次齐次的。
（2）根据瓦尔拉斯法则可知，均衡时每种商品的超额需求的价值之和为零，即：
1230ED ED ED ++=①
如果230ED ED ==由①可知10ED =，把2ED 和3ED 的表达式代入①式中，可以解得：
33222111111
3214223p p p p p ED p p p p p =-+-++=-（3）当市场达到均衡时，必有230ED ED ==，即：
3211321
1321422p p p p p p p p ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得：
2131
35p p p p ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩于是33122153
p p p p p p ==。5．考虑一种两人、两物品的纯粹交易经济。消费者的效用函数与禀赋如下
