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第16讲 一般均衡与福利经济学的两个基本定理1．考虑一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下()()211212,u x x x x = ()118,4e = ()()()21212,ln 2ln u x x x x =+ ()23,6e =（1）描绘出帕累托有效集的特征（写出该集的特征函数式）； （2）发现瓦尔拉斯均衡。
解：（1）由消费者1的效用函数()()211212,u x x x x =，可得121122MU x x =，122122MU x x =，故消费者1的边际替代率为1211112212121212122MU x x x MRS MU x x x ===。
同理可得消费者2的边际替代率为22212212x MRS x =。
在帕累托有效集上的任一点，每个消费者消费两种物品的边际替代率都相同，即：121212MRS MRS = 从而有：122212112x x x x = ① 又因为212210x x =-，211121x x =-，把这两个式子代入①式中，就得到了帕累托有效集的特征函数：1122111110422x x x x -=- ② （2）由于瓦尔拉斯均衡点必然位于契约曲线上，所以在均衡点②式一定成立。
此外在均衡点处，预算线和无差异曲线相切（如图16-1所示），这就意味着边际替代率等于预算线的斜率，即：1112121211211418x p x MRS p x x -===- ③联立②、③两式，解得：1158/4x =，1258/11x =。
进而有21112126/4x x =-=，21221052/11x x =-=。
图16-1 均衡时边际替代率等于预算线的斜率2．证明：一个有n 种商品的经济，如果（1n -）个商品市场上已经实现了均衡，则第n 个市场必定出清。
证明：假设第k 种商品的价格为k p ，{}1,2,,k n ∈。
系统内存在I （I 为正整数）个消费者，第i 个消费者拥有第k 种物品的初始禀赋为ik e ，而第i 个消费者对第k 种商品的消费量为k i x ，根据瓦尔拉斯定律可知系统中的超额的市场价值为零，即：()10ni ik k k k i Ii Ip x e =∈∈-=∑∑∑当前1n -个商品市场已经实现均衡，即前1n -个商品市场的超额需求为零，这时有：()()()11n i i i ik k k n k k k i Ii Ii Ii Ii i nkki Ii Ii i k ki Ii Ip x e p x e p x e x e -=∈∈∈∈∈∈∈∈-+-=∑∑∑∑∑-=∑∑=∑∑由此就可以得出第n 个市场的超额需求也为零，即第n 个商品市场也实现了均衡。
平新乔《微观经济学十八讲》第16讲 一般均衡与福利经济学的两个基本定理1．考虑一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下()()211212,u x x x x = ()118,4e = ()()()21212,ln 2ln u x x x x =+ ()23,6e =（1）描绘出帕累托有效集的特征（写出该集的特征函数式）； （2）发现瓦尔拉斯均衡。
解：（1）由消费者1的效用函数()()211212,u x x x x =，可得121122MU x x =，122122MU x x =，故消费者1的边际替代率为1211112212121212122MU x x x MRS MU x x x ===。
同理可得消费者2的边际替代率为22212212x MRS x =。
在帕累托有效集上的任一点，每个消费者消费两种物品的边际替代率都相同，即：121212MRS MRS =从而有：122212112x x x x = ① 又因为212210x x =-，211121x x =-，把这两个式子代入①式中，就得到了帕累托有效集的特征函数：1122111110422x x x x -=- ② （2）由于瓦尔拉斯均衡点必然位于契约曲线上，所以在均衡点②式一定成立。
此外在均衡点处，预算线和无差异曲线相切（如图16-1所示），这就意味着边际替代率等于预算线的斜率，即：1112121211211418x p x MRS p x x -===- ③ 联立②、③两式，解得：1158/4x =，1258/11x =。
进而有21112126/4x x =-=，21221052/11x x =-=。
图16-1 均衡时边际替代率等于预算线的斜率2．证明：一个有n 种商品的经济，如果（1n -）个商品市场上已经实现了均衡，则第n 个市场必定出清。
证明：假设第k 种商品的价格为k p ，{}1,2,,k n ∈ 。
平新乔《微观经济学十八讲》第16讲 一般均衡与福利经济学的两个基本定理1．考虑一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下()()211212,u x x x x = ()118,4e = ()()()21212,ln 2ln u x x x x =+ ()23,6e =（1）描绘出帕累托有效集的特征（写出该集的特征函数式）； （2）发现瓦尔拉斯均衡。
解：（1）由消费者1的效用函数()()211212,u x x x x =，可得121122MU x x =，122122MU x x =，故消费者1的边际替代率为1211112212121212122MU x x x MRS MU x x x ===。
同理可得消费者2的边际替代率为22212212x MRS x =。
在帕累托有效集上的任一点，每个消费者消费两种物品的边际替代率都相同，即：121212MRS MRS =从而有：122212112x x x x = ① 又因为212210x x =-，211121x x =-，把这两个式子代入①式中，就得到了帕累托有效集的特征函数：1122111110422x x x x -=- ② （2）由于瓦尔拉斯均衡点必然位于契约曲线上，所以在均衡点②式一定成立。
此外在均衡点处，预算线和无差异曲线相切（如图16-1所示），这就意味着边际替代率等于预算线的斜率，即：1112121211211418x p x MRS p x x -===- ③ 联立②、③两式，解得：1158/4x =，1258/11x =。
进而有21112126/4x x =-=，21221052/11x x =-=。
图16-1 均衡时边际替代率等于预算线的斜率2．证明：一个有n 种商品的经济，如果（1n -）个商品市场上已经实现了均衡，则第n 个市场必定出清。
证明：假设第k 种商品的价格为k p ，{}1,2,,k n ∈ 。
平新乔《微观经济学十八讲》第3讲 价格变化对消费者的配置效应与福利效应跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．证明：如果一个消费者只消费两种商品，假设是1x 与2x ，那么它们不可能都是劣等品。
证明：劣等品是指随着消费者收入的增加，其需求量减少的商品。
如果假设(),i x p m 是第i 种商品的马歇尔需求函数，那么商品i 是劣等品就意味着(),0i x p m m∂<∂。
对于消费两种商品的消费者，如下的预算约束恒成立：()()11212212,,,,p p p m p p x p x m m += ①①式两边关于收入m 求导，得到：()()11221212,,,,1x p p m x p p m p p mm∂∂+=∂∂ ②对于消费两种商品的消费者，等式②恒成立。
假设商品1和2都是劣等品，那么就有(),0i x p m m∂<∂，1i =或2，从而②式左边恒小于零，等式②不成立，这与假设矛盾！所以如果一个消费者只消费两种商品，那么它们不可能都是劣等品。
2．如果偏好是凹的，替代效应仍然为负吗？答：如果偏好是凹的，替代效应不一定为负，但肯定是非正的。
分析如下： 一种商品的替代效应是指价格变化引起商品需求量的总变化当中，仅仅因为该商品和其他商品之间的相对价格变化而引起的需求量的变化。
替代效应包括希克斯替代效应和斯拉茨基替代效应。
希克斯替代效应是指保持消费者的效用不变的情况下，价格变化引起的需求量的变化（如图3-1所示）；斯拉茨基替代效应是指保持消费者的购买能力不变的情况下，价格变化引起的需求量的变化（如图3-2所示）。
第18章外部性与公共品18.1课后复习题详解1．下列哪个描述了外部性，哪个没有？解释它们的区别。
（1）巴西限制咖啡出口的政策导致美国咖啡的价格上升，它反过来又导致茶叶的价格上升。
（2）一则广告传单使一个驾驶汽车的人分心，结果使他撞上一根电线杆。
答：（1）巴西限制咖啡出口的政策没有外部性。
巴西限制咖啡出口的政策导致美国咖啡的价格上升，是因为美国所面临的咖啡的供给减少了。
因为咖啡的价格提高，所以消费者转向咖啡的替代品茶，从而使得茶的需求增加，因此导致茶叶价格的上升。
这是市场的作用，而不是外部性。
（2）广告传单有外部性。
广告传单通过宣传某些产品或服务而传达信息。
但是，它传达这些信息的方式可能会使驾驶汽车的人分心，对那些在电线杆附近的驾驶者就可能会造成事故。
因为广告公司索取的广告费中并不包含使驾驶者分心的外部性的成本，传单对驾驶者产生了危害他们安全的负的外部性。
两者的区别在于：巴西的这项政策对美国产生的影响并没有造成其私人成本和社会成本之间，或其私人收益和社会收益之间的不一致，所以没有外部性；而广告传单对它所处的经济环境产生负面影响，所以具有外部性。
2．在减污的成本和收益不确定时，比较和对照下列三种对付污染外部性的机制：（a）排污费；（b）排污标准；（c）可转让排污许可证制度。
答：（1）三种机制的含义排污费是对厂商每单位污染物的收费。
征收一定的排污费将产生有效率的行为。
排污标准是对厂商可以排放多少污染物的法定限制。
如果厂商超过限制，它就会面临经济惩罚甚至刑事惩罚。
可转让排污许可证是一种可以产生数量一定且有限的污染的许可证，它分配在各个厂商之间并且可以在它们之间进行买卖。
（2）排污费和排污标准的比较①某一点的有效排放水平可以通过排污费或者排污标准来实现。
如图18-1所示，*E点的有效排污水平可以通过排污费或者排污标准来实现。
当面临每单位排放3美元的费时，厂商减少排放直至排污费等于边际收益那一点。
同样水平的排放削减可以用标准将排放限制在12单位来实现。
平新乔《微观经济学⼗⼋讲》模拟试题及详解【圣才出品】平新乔《微观经济学⼗⼋讲》配套模拟试题及详解（⼀）⼀、简答题（每题10分，共40分）1．假设政府与流浪者之间存在如下社会福利博弈：请分析下，在这场博弈中政府和流浪汉各⾃有没有优势策略均衡？有没有纳什均衡？在此基础上说明优势策略均衡和纳什均衡的区别和联系。
答：（1）从流浪汉的⾓度来看，如果政府选择“救济”，流浪汉的最佳策略是“游⼿好闲”；如果政府选择“不救济”，流浪汉的最佳策略是“寻找⼯作”。
因此，流浪汉没有优势策略。
从政府的⾓度来看，如果流浪汉选择“寻找⼯作”，政府的最佳策略是“救济”；如果流浪汉选择“游⼿好闲”，政府的最佳策略是“不救济”。
因此，政府也没有优势策略。
从⽽，这场博弈中没有优势策略均衡。
如果流浪汉选择“寻找⼯作”，则政府会选择“救济”；反过来，如果政府选择“救济”，则流浪汉会选择“游⼿好闲”。
因此，（救济，寻找⼯作）不是纳什均衡，同理，可以推断出其他三个策略组合也不是纳什均衡。
所以，这场博弈中也没有纳什均衡。
（2）当博弈的所有参与者都不想改换策略时所达到的稳定状态称为均衡。
⽆论其他参与者采取什么策略，该参与者的唯⼀最优策略就是他的优势策略。
由博弈中所有参与者的优势策略所组成的均衡就是优势策略均衡。
给定其他参与者策略条件下每个参与者所选择的最优策略所构成的策略组合则是纳什均衡。
优势策略均衡与纳什均衡的关系可以概括为：优势策略均衡⼀定是纳什均衡，纳什均衡不⼀定是优势策略均衡。
2．（1）张⼤⼭的偏好关系的⽆差异曲线由下列函数形式表达（为常数）其偏好满⾜严格凸性吗？为什么？（2）李经理的偏好关系的⽆差异曲线由下列函数表达：该偏好满⾜单调性吗？满⾜凸性吗？满⾜严格凸性吗？为什么？（3）崔⼤⽜的偏好关系的⽆差异曲线由下列函数表达：该偏好满⾜单调性吗？满⾜凸性吗？为什么？你能从⽣活中举出⼀个例⼦对应这种偏好关系吗？答：（1）该偏好满⾜严格凸性，理由如下：⽆差异曲线的图像如图1所⽰，可知其偏好满⾜严格凸性。
第七讲18%9.一个富有进取心的企业家购买了两个工厂以生产装饰品.每个工厂生产相同的产品且每个工厂的生产函数都是q=(K i L i) 1/2（i=1,2）,但是K1=25，K2=100，K 与L的租金价格由w=r=1元给出。
（1）如果该企业家试图最小化短期生产总成本，产出应如何分配。
（5%）min{STC}= min{125+L1 +L2}S.T 5 L11/2+10L21/2≥QL(L1 ,L2)=125+ L1 +L2+λ[ Q-(5 L11/2+10L21/2 )]F.O.C(一阶条件) :1=5/2*λ* L1-1/21=10/2*λ* L2-1/2将两式相除得L2=4 L1再代入5 L11/2+10L21/2=Q得q1=5* L11/2=1/5Q ，q2=10* L21/2=4/5Q（2）给定最优分配，计算短期总成本、平均成本、边际成本曲线。
产量为100、125、200时的边际成本是多少？（5%）STC(Q)=125+5* L1=125+Q2/125SAC(Q)=125/Q+Q/125SMC(Q)=2/125*Q SMC(Q=100)=1.6, SMC(Q=125)=2, SMC(Q=200)=3.2（3）长期应如何分配？计算长期总成本、平均成本、边际成本。
（5%）min{LTC}= min{ K1+ K2+L1 +L2}S.T (K1 L1) 1/2 +(K2 L2) 1/2≥QL(L1 ,L2,K1,K2)= K1+ K2+ L1 +L2+λ[ Q-(K1 L1) 1/2 -(K2 L2) 1/2 )]F.O.C 1=1/2*λ*(K1/ L1 ) 1/21=1/2*λ*(K2/ L2 ) 1/21=1/2*λ*(L1/ K1 ) 1/21=1/2*λ*(L2/ K2 ) 1/2从而有K1/ L1 =K2/ L2，K1=L1，K2= L2所以L1+L2=Q,分配比例任意LC(Q)=2(L1+L2)=2Q LAC=2 LMC=2（4）如果两个厂商呈现规模报酬递减，则第三问会有什么变化？（3%）如果两个厂商呈现规模报酬递减则长期总成本、平均成本、边际成本均是产量的增函数。
平新乔《微观经济学十八讲》第18讲企业的性质、边界与产权跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。
1．有三种类型的契约被用来区分一块农地的租佃者向地主支付租金的方式：（1）以货币（或固定数量的农产品）；（2）以收成的固定比率；（3）以“劳动租”，即同意在地主的另一块土地上工作的形式来付租金。
这些各自不同的契约规范会对佃农的生产决策产生什么影响？在实施每种契约时会发生何种交易费用？在不同的地方或在不同的历史阶段中，哪些经济因素会影响已确定的契约类型？答：（1）对于货币租来说，这种形式的租金是将市场的风险在地主与佃农之间进行分担，这使得佃农在做生产决策时不仅要考虑生产上可能出现的风险，比如天气状况变化对生产的影响等等，还必须考虑到市场上农产品价格变化对佃农利益的影响。
如果佃农是风险回避的，则这种加大佃农风险的承租方式会导致农民不愿意租土地进行经营。
这样会使土地的出租率下降，从而导致土地的租金下降，最终影响到地主的利益。
交易费用主要是地主为鼓励农民使用这种形式的契约而不得不放弃部分地租。
对于这种形式的契约，一般是在市场经济有了很大的发展以后才会发生，因此，必然出现在资本主义萌芽以后的社会。
在资本主义社会里，由于货币的普遍使用，因此使得土地的租金更多地采用了货币的形式，这对于农民来说意味着更大的风险，因此租金比以前的租金形式有所下调，并且出现了各种各样的金融工具来帮助农民来分散风险，例如金融衍生工具中的期货便具有这种功能。
（2）对于分成地租，更多是在劳动地租逐渐消亡以后才出现的，它是为了调动农民积极性而采取的一种租金形式。
第18讲企业的性质、边界与产权18.1 课后习题详解1．有三种类型的契约被用来区分一块农地的租佃者向地主支付租金的方式：（1）以货币（或固定数量的农产品）；（2）以收成的固定比率；（3）以“劳动租”，即同意在地主的另一块土地上工作的形式来付租金。
这些各自不同的契约规范会对佃农的生产决策产生什么影响？在实施每种契约时会发生何种交易费用？在不同的地方或在不同的历史阶段中，哪些经济因素会影响已确定的契约类型？答：（1）对于货币租来说，这种形式的租金是将市场的风险在地主与佃农之间进行分担，这使得佃农在做生产决策时不仅要考虑生产上可能出现的风险，比如天气状况变化对生产的影响等等，还必须考虑到市场上农产品价格变化对佃农利益的影响。
如果佃农是风险回避的，则这种加大佃农风险的承租方式会导致农民不愿意租土地进行经营。
这样会使土地的出租率下降，从而导致土地的租金下降，最终影响到地主的利益。
交易费用主要是地主为鼓励农民使用这种形式的契约而不得不放弃部分地租。
对于这种形式的契约，一般是在市场经济有了很大的发展以后才会发生，因此，必然出现在资本主义萌芽以后的社会。
在资本主义社会里，由于货币的普遍使用，因此使得土地的租金更多地采用了货币的形式，这对于农民来说意味着更大的风险，因此租金比以前的租金形式有所下调，并且出现了各种各样的金融工具来帮助农民来分散风险，例如金融衍生工具中的期货便具有这种功能。
（2）对于分成地租，更多是在劳动地租逐渐消亡以后才出现的，它是为了调动农民积极性而采取的一种租金形式。
在征收分成地租的情况下，农民要承担一定的生产风险，即如果收成不好，则农民的收入就会减少。
通常情况下，分成地租是通过将每年收成的一个固定的百分比给予地主，而将收入的剩余部分留给农民。
这种形式的契约有利于调动农民的积极性，当然同时也给农民带来了一定的风险。
在历史上，还出现过另外的一种固定地租的形式，即地主规定农民必须在每年上缴一定的收成，剩余的归农民，这种形式的租金是将全部的风险都留给了农民，其前提假设是农民是风险中性的。
平新乔《微观经济学十八讲》第 18讲 企业的性质、边界与产权1 •有三种类型的契约被用来区分一块农地的租佃者向地主支付租金的方式：（1） 以货币（或固定数量的农产品）； （2） 以收成的固定比率；（3） 以“劳动租”，即同意在地主的另一块土地上工作的形式来付租金。
这些各自不同的契约规范会对佃农的生产决策产生什么影响？在实施每种契约时会发 生何种交易费用？在不同的地方或在不同的历史阶段中，哪些经济因素会影响已确定的契 约类型？答：（1）对于货币租来说，这种形式的租金是将市场的风险在地主与佃农之间进行分担,这使得佃农在做生产决策时不仅要考虑生产上可能出现的风险, 影响等等，还必须考虑到市场上农产品价格变化对佃农利益的影响。
则这种加大佃农风险的承租方式会导致农民不愿意租土地进行经营。
下降，从而导致土地的租金下降，最终影响到地主的利益。
交易费用主要是地主为鼓励农民使用这种形式的契约而不得不放弃部分地租。
对于这种形式的契约， 一般是在市场经济有了很大的发展以后才会发生， 因此，必然出 现在资本主义萌芽以后的社会。
在资本主义社会里，由于货币的普遍使用， 因此使得土地的租金更多地采用了货币的形式，这对于农民来说意味着更大的风险，因此租金比以前的租金形式有所下调，并且出现了各种各样的金融工具来帮助农民来分散风险， 例如金融衍生工具中的期货便具有这种功能。
（2） 对于分成地租，更多是在劳动地租逐渐消亡以后才出现的，它是为了调动农民积极性而采取的一种租金形式。
在征收分成地租的情况下，农民要承担一定的生产风险，即如 果收成不好，则农民的收入就会减少。
通常情况下，分成地租是通过将每年收成的一个固定 的百分比给予地主，而将收入的剩余部分留给农民。
这种形式的契约有利于调动农民的积极性，当然同时也给农民带来了一定的风险。
在历史上，还出现过另外的一种固定地租的形式，即地主规定农民必须在每年上缴一定的收成， 剩余的归农民，这种形式的租金是将全部的风险都留给了农民，其前提假设是农民是风险中性的。
第16讲 一般均衡与福利经济学的两个基本定理16.1 课后习题详解1．考虑一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下（1）描绘出帕累托有效集的特征（写出该集的特征函数式）； （2）发现瓦尔拉斯均衡。
解：（1）由消费者1的效用函数，可得，，故消费者1的边际替代率为。
同理可得消费者2的边际替代率为。
在帕累托有效集上的任一点，每个消费者消费两种物品的边际替代率都相同，即：从而有：① 又因为，，把这两个式子代入①式中，就得到了帕累托有效集的特征函数：② （2）由于瓦尔拉斯均衡点必然位于契约曲线上，所以在均衡点②式一定成立。
此外在()()211212,u x x x x =()118,4e =()()()21212,ln 2ln u x x x x =+()23,6e =()()211212,u x x x x =121122MU x x =122122MU x x =1211112212121212122MU x x x MRS MU x x x ===22212212x MRS x =121212MRS MRS =122212112x x x x =212210x x =−211121x x =−1122111110422x x x x −=−均衡点处，预算线和无差异曲线相切（如图16-1所示），这就意味着边际替代率等于预算线的斜率，即：③ 联立②、③两式，解得：，。
进而有，。
图16-1 均衡时边际替代率等于预算线的斜率2．证明：一个有种商品的经济，如果（）个商品市场上已经实现了均衡，则第个市场必定出清。
证明：假设第种商品的价格为，。
系统内存在（为正整数）个消费者，第个消费者拥有第种物品的初始禀赋为，而第个消费者对第种商品的消费量为，根据瓦尔拉斯定律可知系统中的超额的市场价值为零，即：当前个商品市场已经实现均衡，即前个商品市场的超额需求为零，这时有：1112121211211418x p x MRS p x x −===−1158/4x =1258/11x =21112126/4x x =−=21221052/11x x =−=n 1n −n k k p {}1,2,,k n ∈I I i k ik e i k k i x ()10ni ik k k k i Ii Ip x e =∈∈−=∑∑∑1n −1n −()()()11n i i i ik k k n k k k i Ii Ii Ii Ii i nkki Ii Ii i k ki Ii Ip x e p x e p x e x e −=∈∈∈∈∈∈∈∈−+−=∑∑∑∑∑−=∑∑=∑∑由此就可以得出第个市场的超额需求也为零，即第个商品市场也实现了均衡。
3．有一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下注意：第2个消费者的效用函数在这里是间接效用函数。
（1）发现瓦尔拉斯一般均衡。
（2）如果禀赋状态为，，重新计算一般均衡。
解：（1）由消费者1的效用函数的形式可以得到相应的马歇尔需求函数为：对消费者2，根据罗伊恒等式，可以得到他的马歇尔需求函数为：均衡时，每种商品市场都会出清，这就意味着：解得，从而有：；；。
（2）若禀赋状态为，。
此时消费者1的马歇尔需求函数为：消费者2的马歇尔需求函数为：，。
由均衡时，每种商品市场出清，即：，解得，进而可得；，。
4．假定在一个经济中只有三种商品（，，），对于与的超额需求函数为n n (){}11212,min ,u x x x x =()130,0e =()212,2v p y p p ()20,20e =()15,0e =()20,2e =11112121230p mx x p p p p ===++(),ii v p x p m v m∂∂=−∂∂22101,22i i ip m x i p p ===1212230202002p p p p p +−=+1212p p =111210x x ==2120x =2210x =()15,0e =()20,2e =1111212125p mx x p p p p ===++222i i ip mx p p ==1,2i =12122520p p p p p +−=+1214p p =11121x x ==214x =221x =1x 2x 3x 2x 3x 221313/2/1ED p p p p =−+−（1）请证明这些函数关于、与是零次齐次的。
（2）运用瓦尔拉斯法则表示，如果，也一定为零。
能否同样用瓦尔拉斯法则去计算？（3）请解有关均衡相对价格与的方程组，的均衡值是多少？ 解：（1）对任意的，有：所以和关于、与是零次齐次的。
（2）根据瓦尔拉斯法则可知，均衡时每种商品的超额需求的价值之和为零，即：①如果由①可知，把和的表达式代入①式中，可以解得：（3）当市场达到均衡时，必有，即：解得：于是。
5．考虑一种两人、两物品的纯粹交易经济。
消费者的效用函数与禀赋如下321311p 2p 3p 230ED ED ==1ED 1ED 21/p p 31/p p 32/p p 0t >()()()()33222211113322331111321321422422tp p tp pED tp ED p tp tp p p tp p tp p ED tp ED p tp tp p p =−+−=−+−==−−=−−=2ED 3ED 1p 2p 3p 1230ED ED ED ++=230ED ED ==10ED =2ED 3ED 332221111113214223p p p p pED p p p p p =−+−++=−+230ED ED ==32113211321422p p p p p p p p ⎧−=−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩213135p p p p ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩33122153p p p p p p ==求：（1）对两种物品的超额需求函数。
（2）为该经济决定均衡价格比率。
解：（1）由题设所给的效用函数可以得出每个消费者的马歇尔需求函数为：所以两种商品的超额需求函数为：（2）当经济达到均衡时，每个市场的超额需求为零，即：解得：。
6．判断下列命题，并给出理由：（1）如果知道了契约线，则我们就知道了任何交易的结果。
（2）如果已达到了帕累托有效，则就无法使任何人的状况再得以改善。
答：（1）错误。
理由如下：契约线是埃奇沃斯方框图中所有帕累托有效的分配点的集合，但是对于一个具体的交易而言，其最终结果还依赖于每个消费者的初始禀赋，如图16-2所示，其中和是初始禀赋点，可见不同的初始禀赋导致不同的均衡结果。
()()11121212,123 8,30u x x x x x x e =++=()()22121212,89 10,10u x x x x x x e =++=()()112111221212511,21 ,922p p x p p x p p p p =+⨯=⨯+()()222111221212119,9 ,122p p x p p x p p p p =+⨯=⨯+12222111111121112222225181021918301522111910309140153022p p p ED x x p p p p p p ED x x p p p =+−−=+++−=−=+−−=⨯++⨯+−=−2112301515300p pp p −=−=122p p =A B图16-2 不同的初始禀赋导致不同的均衡（2）错误。
理由如下：帕累托有效是指在不损害其他任何人的利益的条件下，不能使经济系统中某些人的境况变得更好。
但是如果允许损害某些人的利益，那么对帕累托有效的配置而言，就有可能使某些人的境况变得更好。
比如在一个包括两个消费者和一种商品的经济中，其中一个人拥有全部的商品，而另一个人一无所有，这是一个帕累托有效的配置；但是现在让情况反过来，使得原来一无所有的人拥有全部商品，那么这个人的境况就得到了改善。
7．请证明：在两物品、两个消费者的纯粹交易经济里，帕累托有效的一个必要条件是这里，上标表示人，下标表示物。
证明：根据定义，帕累托有效的资源配置可以通过以下最大化问题得到：构造这个问题的拉格朗日函数：112211112222u x u x u x u x ∂∂∂∂=∂∂∂∂()()12121122111122221212max,, 1,2x x x x i i i u x x u x x ux s x i t e =.+=.=，，，，()()()()()112211122212121212121211112222,,,,,L x x x x u x x u u x x x x e x x e λμμ⎡⎤=−−−+−−+−⎣⎦效用最大化的一阶条件为：从而可得到：8．在—个岛上，有200磅粮食要在两个孤立无援的水手之间分配。
第一个水手的效用函数为是由第一个水手消费的数量。
对于第二个水手，其粮食消费的效用函数为 （1）如果粮食在两个人之间平均分配，他们各自的效用是多少？ （2）如果他们的效用相等，粮食应如何分配？ （3）要使两个人的效用之和最大，应如何分配粮食？（4）假设第二个水手的能够求生的效用水平是5，如果想要在第二个水手得到最低效用水平的前提下使效用之和最大化，应如何分配粮食？（5）假定两个水手都赞成的社会福利函数为。
那么，在两个水手之间应怎样分配粮食才能使社会福利最大化？解：（1）如果粮食在两个人之间平均分配，即。
他们各自的效用分别是：1111111111222222112222220000L u x x L u x x L ux x L u x x μμλμλμ∂∂=−=∂∂∂∂=−=∂∂∂∂=−=∂∂∂∂=−=∂∂11221111122222u x u x u x u x μμ∂∂∂∂==∂∂∂∂11u F 1F 2212u F =1/21/212W u u =12100F F ==1110010u F 2210.510052u F（2时，解得。
又因为，从而解得，。
故他们的效用相等，则第一个水手消费40磅粮食，第二个水手消费160磅粮食。
（3）两个人的效用和最大化问题为：从约束条件中解出，并把它代入目标函数式中，就有：从一阶条件解得：，。
要使两人效用之和最大，第一个水手和第二个水手分别消费粮食160磅、40磅。
（4）这相当于求解如下最优化问题：从式中解出，并把它代入目标函数式中，就有：由于目标函数式在时，取得惟一的最大值。
所以，当时，目标函数式的值随着的增加而增加，又因为。
所以满足题目条件的解为，从而。
故如果想要在第二个水手得到最低效用水平的前提下使效用之和最大化，两个水手各消费100磅粮食。
