2020广州综合测试(一)理科数学试卷及其答案

2020年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|01,},{|2,}R R M x x x N x x x =<<∈=<∈，则（ ）A ．M N M =IB ．M N N =IC ．M N M =UD ．R M N =U2．若复数z 满足方程220z +=，则3z =（ ）A ．±B ．-C ．-D ．±3．若直线10kx y -+=与圆222410x y x y ++-+=有公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[3,)-+∞B ．(,3]-∞-C ．(0,)+∞D ．(,)-∞+∞4．已知:12p x +>，:23q x <<，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．设函数1()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对任意R x ∈都有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π6．已知直三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，若,P Q 分别在11,AA CC 上，且1111,33AP AA CQ CC ==，则四棱锥B APQC -的体积为（ ）A ．16VB ．29VC ．13VD ．79V7．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ）A ．514B ．914C ．37D ．478．已知直线:2l y x =-与x 轴的交点为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，则AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为（ ） A ．8 B ．6 C ．5 D ．49．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1251,43a a a =+=，若48()N n n S a n *+∈≥，则n 的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1110．已知点00(,)P x y 是曲线32:1C y x x =-+上的点，曲线C 在点P 处的切线方程与直线811y x =-平行，则（ ）A ．02x =B ．043x =-C ．02x =或043x =-D ．02x =-或043x =11．已知O 为坐标原点，设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线C 上位于第一象限上的点，过点2F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为A ，若122b F F OA =-，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．54B ．43C ．53D ．212．已知函数221,0()1,0x x x f x x x x ⎧--+<⎪=⎨-+⎪⎩≥，若()()sin(2020)1F x f x x π=--在区间[1,1]-上有m 个零点123,,,,m x x x x L ，则123()()()()m f x f x f x f x ++++=L （ ）A ．4042B ．4041C ．4040D ．4039二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边 三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的 体积为 ，表面积为 ．14．在251(1)ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是15， 则实数a = ．15．已知单位向量1e u r 与2e u u r 的夹角为3π，若向量122e e +u r u u r 与122e ke +u r u u r 的夹角为56π，则实数k 的值为．16．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1cos sin ()22n n a a n n n n ππ*++=-∈N ，且20191009m S +=-，10a m >，则119a m+的最小值为 ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c．已知c =sin sin sin sin ab Ca Ab Bc C=+-（1）求角C 的大小；（2）求2b a +的最大值． 18．（本小题满分12分）随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参（1）以这训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y 的分布列及数学期望()E Y ． 19．（本小题满分12分）如图1，在边长为2的等边ABC △中，,D E 分别为边,AC AB 的中点．将AED △沿DE 折起，使得AB AD ⊥，AC AE ⊥，得到如图2的四棱锥A BCDE -，连结BD ，CE ，且BD 与CE 交于点H ． （1）求证：AH ⊥平面BCDE ； （2）求二面角B AE D --的余弦值．E CHBDA图1图220．（本小题满分12分）已知M e过点A，且与22:(16N x y +=e 内切，设M e 的圆心M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设直线l 不经过点(2,0)B 且与曲线C 相交于,P Q 两点．若直线PB 与直线QB 的斜率之积为12-，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由． 21．（本小题满分12分） 已知函数321()(4)6,()1ln 3x f x x ex x g x a x x -⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 在(0,)+∞上的单调区间；（2）用max{,}m n 表示,m n 中的最大值，()f x '为()f x 的导函数．设函数()max{(),()}h x f x g x '=，若()0h x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）证明：11111ln 3()12313N n n n n n n*+++++>∈++-L ．21．解析：（1）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为312x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线2C的参数方程为cos x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数且3,22ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）． （1）求曲线1C 和2C 的普通方程；（2）若,A B 分别为曲线12,C C 上的动点，求AB 的最小值． 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知函数()36,R f x x x a a =-+-∈． （1）当1a =时，解不等式()3f x <；（2）若不等式()114f x x <-对任意34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦成立，求实数a 的取值范围．。

2020届广东省广州普通高中毕业班综合测试（一）数学（理）试题一、单选题1．设集合{}{|01}|2M x x x R N x x x R =<<∈=<∈，，，，则（ ） A ．M N M ⋂= B ．M N N ⋂=C ．M N M ⋃=D ．M N R ⋃=【答案】A【解析】由题意{}22,N x x x R =-<<∈，分别计算出M N ⋂、M N ⋃即可得解. 【详解】由题意{}{}2,22,N x x x R x x x R =<∈=-<<∈，{}01,M x x x R =<<∈， 所以{}01,M N x x x R M ⋂=<<∈=，{}22,M N x x x R N ⋃=-<<∈=. 故选：A. 【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题.2．若复数z 满足方程220z +=，则3z =（ ） A．± B．-C．-D．±【答案】D【解析】220z +=，即22z =-，解得z =．所以32()(2)z z z =⋅=⋅-=±，故选D3．若直线10kx y -+=与圆222410x y x y ++-+=有公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[)3-+∞，B ．(]3-∞-，C ．()0+∞，D ．()-∞+∞，【答案】D【解析】由题意得圆心到直线的距离2d =≤，解不等式即可得解.【详解】圆222410x y x y ++-+=的圆心为()1,2-，半径为2，由题意可知圆心到直线的距离2d =≤，化简得2183033k ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭， 故(),k ∈-∞+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了计算能力，属于基础题.4．已知1223p x q x +><<：，：，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由题意:12p x +>⇔1x >或3x <-，利用充分条件和必要条件的概念即可得解. 【详解】由题意:1212p x x +>⇔+>或121x x +<-⇔>或3x <-， 由“1x >或3x <-”不能推出“23x <<”； 由“23x <<”可推出“1x >或3x <-”； 故p 是q 的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判断，属于基础题. 5．设函数()12cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若对于任意的x R ∈都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【答案】C【解析】由题意结合三角函数的图象与性质可得12min22Tx x π-==，即可得解. 【详解】由题意知函数()f x 的最小正周期2412T ππ==，()1f x 、()2f x 分别为函数()f x 的最小值和最大值，所以12min22Tx x π-==. 故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，属于基础题.6．已知直三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，若P Q ，分别在11AA CC ，上，且111133AP AA CQ CC ==，，则四棱锥B APQC -的体积是（ ） A ．16V B ．29V C ．13V D ．79V【答案】B【解析】在棱1BB 上取一点H ，使113BH BB =，连接PH 、QH ，由B APQC ABC PHQ B PHQ V V V ---=-即可得解.【详解】在棱1BB 上取一点H ，使113BH BB =，连接PH 、QH ， 由题意PHQ ABC S S =△△，BH ⊥平面PHQ ， 所以111113339B PHQ PHQ ABC V S BH S BB V -=⋅=⋅=△△，11133ABC PHQ ABC ABC V S BH S BB V -=⋅=⋅=△△，所以112399B APQC ABC PHQ B PHQ V V V V V V ---=-=-=. 故选：B.【点睛】本题考查了直三棱柱的特征及几何体体积的求解，考查了空间思维能力，属于基础题. 7．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ） A ．514B ．914C ．37D ．47【答案】C【解析】由题意计算出总情况数和符合要求的情况数，利用古典概型概率公式即可得解. 【详解】将这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动共有510252C =种情况；每个宣传小组至少选派1人分为以下几种情况：①可回收物或餐厨垃圾宣传小组选派两人，其他组每组一人，共有121112223336C C C C C ⋅⋅⋅⋅=种情况；②有害垃圾或其他垃圾宣传小组选派两人，其他组每组一人，共有121112332272C C C C C ⋅⋅⋅⋅=种情况；故所求概率367232527p +==. 故选：C. 【点睛】本题考查了计数原理的应用与古典概型概率的求解，考查了分类讨论思想，属于中档题. 8．已知直线2l y x =-：与x 轴的交点为抛物线22C y px =：的焦点，直线l 与抛物线C 交于A B ，两点，则AB 中点到抛物线准线的距离为（ ）A ．8B ．6C ．5D ．4【答案】A【解析】由题意可知抛物线焦点为()2,0，进而可得抛物线2:8C y x =，联立方程可得1212x x +=，即可求得点A 、B 到准线的距离和，即可得解.【详解】Q 直线:2l y x =-与x 轴的交点为()2,0，∴22p=即4p =，∴抛物线2:8C y x =，准线方程为2x =-，设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程228y x y x=-⎧⎨=⎩，消去x 得21240x x -+=，>0∆，则1212x x +=，∴点A 、B 到准线的距离和为1216x x p ++=，∴AB 中点到抛物线准线的距离1682d ==. 故选：A. 【点睛】本题考查了抛物线性质的应用和直线与抛物线的位置关系，考查了计算能力，属于中档题.9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知125143a a a =+=，，若()*48n n S a n N ≥+∈，则n 的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【解析】由题意结合等差数列的通项公式计算出23d =，分别表示出n a 、n S 后，解一元二次不等式即可得解. 【详解】设数列{}n a 的公差为d ，Q 113a =，254a a +=， ∴114433d d +++=即23d =， ∴2133n a n =-，212133323n n n S n +-=⋅=， Q 48n n S a ≥+，∴22148333n n ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，解得2n ≤-或10n ≥，由*n N ∈可知n 的最小值为10. 故选：C. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n 项和公式的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.10．已知点()00P x y ，是曲线321C y x x =-+：上的点，曲线C 在点P 处的切线与811y x =-平行，则（ ）A ．02x =B ．043x =-C ．02x =或043x =-D ．02x =-或043x =【答案】B【解析】由导数的几何意义结合题意得200328x x -=，算出0x 分别代入验证即可得解.【详解】由题意曲线32:1C y x x =-+，求导得232y x x '=-，∴曲线C 在点P 处的切线斜率20032k x x =-，∴200328x x -=，解得043x =-或2，当043x =-时，320448513327y ⎛⎫⎛⎫=---+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点485,327P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，切线方程为8548273y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭即203827y x =+，符合题意； 当02x =时，3202215y =-+=，则点()2,5P ，切线方程为()582y x -=-即811y x =-，不符合题意，舍去.故选：B. 【点睛】本题考查了导数几何意义的应用和导数的运算，属于中档题.11．已知O 为坐标原点，设双曲线()2222100x y C a b a b -=>>：，的左右焦点分别为12F F ，，点P 是双曲线C 上位于第一象限上的点，过点2F 作12F PF ∠角平分线的垂线，垂足为A ，若122b F F OA =-，则双曲线的离心率为（ ） A ．54B ．43C ．53D ．2【答案】C【解析】延长2F A 交1F P 于点Q ，由题意结合平面几何知识可得2F A AQ =，2PF PQ =，进而可得11222OA FQ F P F P a ==-=，结合双曲线的性质即可得223850c ac a -+=，即可得解.【详解】延长2F A 交1F P 于点Q ，Q PA 平分12F PF ∠，2F A PA ⊥，∴2F A AQ =，2PF PQ =，又12FO OF =，∴11222OA FQ F P F P a ==-=， Q 122b F F OA =-，∴22b c a =-，又222+=a b c ，∴()22222a c a c +-=，化简得223850c ac a -+=，∴23850e e -+=，解得53e =或1e =（舍去）. 故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了转化化归思想和计算能力，属于中档题.12．已知函数()221010x x x f x x x x ⎧--+<=⎨-+≥⎩，，，若()()()20201F x f x sin x π=--在区间[]11-，上有m 个零点123m x x x x L ，，，，，则()()()()123m f x f x f x f x ++++=L （ ） A ．4042 B ．4041 C ．4040 D ．4039【答案】B【解析】由题意()()()22sin 20200sin 20200x x x x F x x x x x ππ⎧---<⎪=⎨--≥⎪⎩，，，设()[]220,1,10x x x g x x x x x ⎧--<=∈-⎨-≥⎩，，，()()[]sin 2020,1,1h x x x π=∈-，由函数的奇偶性可得()()()()1230m g x x x g g g x ++++=L ，由三角函数的性质可得4041m =，再由()()()()()()()()123123m m f x f x f x f x g x x x g m g g x ++++=+++++L L 即可得解. 【详解】由题意()()()()()22sin 20200sin 20201sin 20200x x x x F x f x x x x x x πππ⎧---<⎪=--=⎨--≥⎪⎩，，，设()[]22,1,10x x x g x x x x x ⎧--<=∈-⎨-≥⎩，，，()()[]sin 2020,1,1h x x x π=∈-， 则123m x x x x L ，，，，为方程()()g x h x =的根即为函数()g x 与()h x 交点的横坐标， 当0x <时，()()()()22g x x x x x g x --=+=-=--，且()00g =，所以函数()g x 为奇函数；()()()()sin 2020sin 2020h x x x h x ππ-=-=-=-，所以函数()h x 为奇函数；所以1230m x x x x =L ++++，所以()()()()1230m g x x x g g g x ++++=L ， 函数()g x 的图象，如图， 函数()h x 的最小正周期2120201010T ππ==，且()[]1,1h x ∈-，所以在10,1010⎛⎤ ⎥⎝⎦，12,10101010⎛⎤ ⎥⎝⎦，231009,,1101010101010⎛⎤⎛⎤⋅⋅⋅ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦上，()()g x h x =均有两个不等实根，所以在(]0,1上，()()g x h x =共有2020个不等实根， 所以在[)1,0-上，()()g x h x =共有2020个不等实根，又()()00g h =，所以()()g x h x =在[]1,1-上共有4041个不等实根即4041m =， 所以()()()()123m f x f x f x f x ++++L()()()()1234041m g g g x x x g x m ++=+++=L .故选：B.【点睛】本题考查了函数周期性和奇偶性的应用及函数零点相关问题的解决，考查了转化化归思想和数形结合思想，属于中档题.二、双空题13．如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的体积为________，表面积为________．3π 3π 【解析】由题意可得该几何体为底面半径为1、母线长为23锥体积和表面积公式即可得解. 【详解】由题意可知，该几何体为底面半径为1、母线长为23的圆锥，所以该几何体体积213133V ππ=⨯=， 表面积21123S πππ=⨯+⨯⨯=， 3π，3π. 【点睛】本题考查了三视图的识别及圆锥体积、表面积的计算，属于基础题.三、填空题 14．在()5211ax x x+-的展开式中，3x 的系数为15，则实数a =_______． 【答案】5【解析】由题意结合二项式定理写出二项式()521x -的展开式的通项公式，分别令1022r -=、1024r -=即可得3x 的系数，即可得解.【详解】二项式()521x -的展开式的通项公式为：()()()2021155511rr rrr r r x T C C x-+-=⋅⋅-=⋅-⋅，令1022r -=即4r =，则()()4455115rrC C ⋅-=⋅-=， 令1024r -=即3r =，则()()33551110r r C C ⋅-=⋅-=-， 所以()5211ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为510a -，所以51015a -=即5a =. 故答案为：5. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了计算能力，属于基础题.15．已知单位向量1e u r 与2e u u r 的夹角为3π，若向量122e e +u r u u r 与122e ke +u r u u r 的夹角为56π，则实数k 的取值为_______． 【答案】-10【解析】建立直角坐标系，表示出122e e +u r u u r 、122e ke +u r u u r的坐标后，利用()()1212121212122cos 2,2222e ke e ke e ke e e e e e e ++++=⋅++⋅u u r u u r u u r u u ru u u r u r u r u r u r u r r u u r 列出方程即可得解.【详解】如图建立直角坐标系，由题意得()11,0e=u r，21,22e ⎛= ⎝⎭u ur ，则(122e e +=u u ru r ，121222e ke k ⎛+=+ ⎝⎭u u u r r ， 所以()()1212121212122cos 2,2222e ke e ke e ke e e e e e e ++++=⋅++⋅u u r u u r u u r u u ru u u r u r u r u r ur u r r u u r2223544522cos67241343222kk k k k k k π+++===⋅++⎛⎫⎛⎫+⋅++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即25402219100kk k ⎧+<⎪⎨⎪+-=⎩，解得10k =-.故答案为：10-.【点睛】本题考查了平面向量运算的坐标表示及利用平面向量数量积解决向量夹角相关问题，考查了计算能力，属于中档题.16．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*122n n a a n n cos sin n N n ππ++=-∈，且2019110090m S a m +=->，，则119a m+的最小值为_______． 【答案】16【解析】由三角函数的性质可得当()4n k k N =∈时，4414k k a a k ++=；当()42n k k N =+∈时，()424342k k a a k +++=-+；利用分组求和可得201911010S a =-，进而可得11m a +=，利用基本不等式即可得解.【详解】当()4n k k N =∈时，44144cos sin cos0sin 01422k k a a k k k ππ++=-=-=，即4414k k a a k ++=； 当()42n k k N =+∈时，()()42434242cossin cos sin 14222k k k k a a k ππππ+++++=-=-=-+， 即()424342k k a a k +++=-+；∴()()()201912345201820191242018S a a a a a a a a =+++++⋅⋅⋅++=-+-⋅⋅⋅-()()()1124682014201620181010a a =+-++-++⋅⋅⋅+-+-=-，∴2019110101009m S m a +=+-=-， ∴11m a +=，又10a m >，∴10a >，0m >，∴()1111191919101016a m a m a m a m a m ⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当119a m a m=时等号成立. 故答案为：16. 【点睛】本题考查了三角函数的性质和基本不等式的应用，考查了分组求和法求数列前n 项和的应用，属于中档题.四、解答题17．ABC n 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知c =absinCasinA bsinB csinC=+-（1）求角C 的大小； （2）求2b a +的最大值． 【答案】（1）3π；（2）． 【解析】（1）由正弦定理得222abc a b c =+-cos C =，即可得解；（2）由正弦定理得2sin a A =，2sin b B =，则转化条件得()2b a A ϕ+=+，确定2,23ππϕϕ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭后即可得解.【详解】（1）由题意及正弦定理可得：222abca b c=+- 由余弦定理得：2222cos a b c ab C +-=⋅，所以2221cos 262a b c C ab +-===，由()0,C π∈可得3C π=；（2）由正弦定理可得：2sin sin sin a b cA B C====， 所以2sin a A =，2sin b B =，又A B C π++=，所以22sin 2sin 2sin 33b B A A ππ⎛⎫⎛⎫==-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22sin 4sin sin 4sin 5sin 3b a A A A A A A A π⎛⎫+=++=+= ⎪⎝⎭()A ϕ=+,由tan 5ϕ=可得0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,3A πϕϕϕ⎛⎫+∈+⎪⎝⎭，2,23ππϕϕ⎛⎫∈+⎪⎝⎭， 所以()sin 1max A ϕ+=，所以2b a +≤. 故2b a +的最大值为【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，考查了三角恒等变换的应用，属于中档题. 18．随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是调査人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的夭数进行统计，得到以下统计表；（1）以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率； （2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y 的分布列及数学期望()E Y【答案】（1）27128；（2）分布列详见解析，数学期望()34E Y =． 【解析】（1）由题意可得()2520100P x ≥=，由二项分布的概率公式即可得解；（2）先利用分层抽样的概念算出各组抽取的人数，根据超几何分布的概率公式求出()0P Y =、()1P Y =、()2P Y =、()3P Y =后即可列出分布列，进而即可求得期望.【详解】（1）记“平均每月进行训练的天数不少于20天”为事件A ，由表可知()251201004P x ≥==，所以()22241127144128P A C ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅； （2）由题意得：抽取的20x <的人数为31294⨯=；20x ≥的人数为11234⨯=； 从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，Y 的可能取值为0，1，2，3，则()39312840220C P Y C ===；()21933121081220C C P Y C ===； ()1293312272220C C P Y C ===；()3331213220C P Y C ===；所以Y 的分布列为：所以Y 的数学期望()84108271301232202202202204E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了二项分布和超几何分布的应用，考查了离散型随机变量分布列和期望的求解，属于中档题.19．如图1，在边长为2的等边ABC V 中，D E ，分别为边AC AB ，的中点，将∆AED 沿ED 折起，使得AB AD ⊥ ， AC AE ⊥，得到如图2的四棱锥A -BCDE ，连结BD CE ，，且BD 与CE 交于点H ．（1）求证：AH ⊥平面BCDE ; （2）求二面角B AE D --的余弦值． 【答案】（1）详见解析；（2）3【解析】（1）由题意可得EHA EAC △△∽，DHA DAB △△∽，即可得AH BD ⊥，AH EC ⊥，利用线面垂直的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系后，表示出各点坐标，求出平面AED 、平面AEB 的一个法向量为1n u r 、2n u u r，利用121212cos n n n n n n ⋅=u r u u ru r u u r u r u u r ，即可得解. 【详解】（1）证明：由题意1AE AD ==，3CE BD ==因为D 、E 分别为AC 、BD 的中点，所以EHD CHB △△∽且相似比为2，所以33EH DH ==，33BH CH ==， 所以3AE EH CE AE ==3AD DHBD AD == 所以EHA EAC △△∽，DHA DAB △△∽，又因为AB AD ⊥，AC AE ⊥，所以AH BD ⊥，AH EC ⊥， 由BD CE H =I 可得AH ⊥平面BCDE ，得证.（2）如图，过D 作Dz ⊥平面BCDE ，DB 为x 轴，DC 为y 轴，Dz 为z 轴，建立空间直角坐标系；所以()000D ，，，)30B ，，，()010C ，，，由（1）知2263AH AD DH =-=，则360A ⎝⎭，， 由131,022DE CB ⎫==-⎪⎪⎝⎭u u u r u u u r 可知3102E ⎫-⎪⎪⎝⎭，， 所以3162AE =-⎝⎭u u u r ，，2360AB =-⎝⎭u u u r ，，360DA =⎝⎭u u u r ，， 设平面AED 的一个法向量为()1111n x y z =u r，，，所以110 0AE n DA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u v u u u v u v ，即111113160623 36033x y z x z --=⎪⎨⎪+=⎪⎩，取11z =-得)1261n =-u r ，，，同理可得平面AEB 的一个法向量(2132n =u u r，， 所以1212123cos n n n n n n ⋅==u r u u ru r u u r u r u u r ，， 由图可知，所求二面角为钝角，所以二面角B AE D --的余弦值为3- 【点睛】本题考查了线面垂直的证明和利用空间向量求二面角，考查了计算能力，属于中档题. 20．已知M e 过点)3A ，，且与(22316N x y ++=e ：内切，设M e 的圆心M的轨迹为C ，（1）求轨迹C 的方程；（2）设直线l 不经过点()20B ，且与曲线C 交于点P Q ，两点，若直线PB 与直线QB 的斜率之积为12-，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）l 过定点203，． 【解析】（1）由题意结合圆的性质可得4MA MN +=，利用椭圆的定义即可得解；（2）当直线l 斜率不存在时，求出各点坐标后即可得l 与x 轴的交点为203⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx b =+，联立方程可得122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -=+，进而可转化条件()242PB QB b k k k b k -⋅=+，得出23b k =-后即可得解.【详解】（1）由题意M e过点)A，且与(2216N x y +=e ：内切，易知点()N ，N e 半径为4， 设两圆切点为D ，所以4MD MN ND +==，在M e 中，MD MA =，所以4MA MN MA +=>，所以M的轨迹为椭圆，由椭圆定义可知24a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2221b a c =-=，所以轨迹C 的方程为2214x y +=；（2）①当l 的斜率不存在的时，设()00P x y ，，所以()00Q x y -，， 所以000022001222 14PB QB y y k k x x x y -⎧⋅=⋅=-⎪--⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得0023 3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或002 0x y =⎧⎨=⎩（舍）， 所以l 与x 轴的交点为203⎛⎫⎪⎝⎭，； ②当l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx b =+，联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消元可得()222148440k x kbx b +++-=， ()()()222228414446416160kb k b k b ∆=-+-=-+>，所以2241k b >-， 由韦达定理122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -=+，则()()()()()222121212112121212()222224PB QBkx b k x x kb x x b y y kx b k k x x x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅=-----++ ()()()()2222222222222244822414144484242241414b k b k b b k b k b k k k b kb k b k b k k ⋅⋅--+-+-++===--++-+++， 又因为20k b +≠，所以()21422b k b k -=-+，即23b k =-，所以22221143b k k ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，所以23b k =-成立，所以2233y kx k k x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当23x =时，0y =，所以l 过203⎛⎫⎪⎝⎭，， 综上所述，l 过定点203⎛⎫⎪⎝⎭，. 【点睛】本题考查了椭圆定义的应用和直线与椭圆的综合问题，考查了计算能力，属于中档题. 21．已知函数()()()3214613x f x x ex x g x a x lnx -⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭，．（1）求函数()f x 在()0+∞，上的单调区间； （2）用{}max m n ，表示m n ，中的最大值，()f x '为()f x 的导函数，设函数()()(){}h x max f x g x '=，，若()0h x ≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：()*11111ln 312313n N n n n n n+++++>∈++-L ． 【答案】（1）()f x 单调递增区间为()3+∞，;() f x 单调递减区间为()03，；（2）43a ≥；（3）详见解析．【解析】（1）求导后求出()0f x '>、()0f x '<的解集后即可得解；（2）转化条件得()0g x ≥在()03，上恒成立，即11ln 3xa x+-≥在()03，上恒成立，令()()1ln 03xF x x x+=<<，求导后求得()F x 的最大值即可得解； （3）利用导数证明1x e x >+，进而可证111111111131233n n n n n n n n e e e e e ++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅>L ，即可得证. 【详解】（1）因为()()3246x f x x e x x -=-+-，所以()()()()3332632x x f x x ex x e --=-+-='-+，令()0f x '=得3x =，当3x >时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当03x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；所以函数()f x 在()0+∞，上的单调递增区间为()3+∞，，单调递减区间为()03，； （2）由（1）知()()()332x f x x e-'=-+，当3x ≥时，()0f x '≥恒成立，故()0h x ≥恒成立；当3x <时，()0f x '<，又因为()()(){}0h x max f x g x '=≥，恒成立，所以()0g x ≥在()03，上恒成立， 所以11ln 03a x x ⎛⎫---≥ ⎪⎝⎭，即11ln 3xa x+-≥在()03，上恒成立， 令()()1ln 03x F x x x +=<<，则()13max a F x -≥， 由()()221ln 1ln x xF x x x-+-'==， 令()0F x '=得1x =，易得()F x 在()01，上单调递增，在[)13，上单调递减，所以()()11max F x F ==，所以113a -≥，即43a ≥，综上可得43a ≥.（3）证明：设()()10xm x e x x =-->，则()10xm x e '=->，所以()m x 在()0+∞，上单调递增，所以()()00m x m >=，即1x e x >+， 所以1111111111312312333112313n n n nn n n nn n n n n ee eeen n n n n++++++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-L 123331231n n n nn n n n +++>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++-， 所以11111ln 312313n n n n n +++++>++-L . 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了计算能力和推理能力，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为312x ty t =+⎧⎨=+⎩，(t 为参数)，曲线2C的参数方程为x y θ⎧=⎪⎨⎪=⎩，(θ为参数，且322ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，)． （1）求1C 与2C 的普通方程，（2）若A B ，分别为1C 与2C 上的动点，求AB 的最小值．【答案】（1）1C 的普通方程为2250x y C --=；的普通方程为22133x y -=，x ≤（2【解析】（1）消参即可求出1C 的普通方程；对2C 的参数方程同时平方得()222222223cos sin 3cos cos 3sin cos x y θθθθθθ⎧+⎪==⎪⎨⎪=⎪⎩，再结合322ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可得2C 的普通方程； （2）设1C 的平行直线为20x y c -+=，当直线20x y c -+=与2C 相切时，两直线的距离即为AB 的最值，即可得解. 【详解】（1）消参可得1C 的普通方程为250x y --=；又因为2C的参数方程为cos x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，可得()222222223cos sin 3cos cos 3sin cos x y θθθθθθ⎧+⎪==⎪⎨⎪=⎪⎩， 又322ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，所以x ≤ 所以2C的普通方程为(22133x y x -=≤，（2）由题意，设1C 的平行直线为20x y c -+=，联立2220133x y c x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩消元可得：223430x cx c +++=，令()()2212340c c ∆=+=-，解得3c =±，又因为x ≤3c =时直线与2C 相切， 所以5min AB ==. 【点睛】本题考查了参数方程和直角坐标方程的转化，考查了圆锥曲线上的点到直线上的点的距离的最值的求解，属于中档题.23．已知函数()36f x x x a =-++， （1）当1a =时，解不等式()3f x <;（2）若不等式()114f x x <-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）()85-，． 【解析】（1）由题意()47125,12?472x x f x x x x x -+<⎧⎪=-+≤<⎨⎪-≥⎩，，，分类讨论即可得解；（2）转化条件得5a <且25a x >-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立，根据恒成立问题的求解方法即可得解. 【详解】（1）当1a =时，()47136125,12?472x x f x x x x x x x -+<⎧⎪=-+-=-+≤<⎨⎪-≥⎩，，，当1x <时，()3f x <即473x -+<，解得1x >（舍）；当12x ≤<时，()3f x <即253x -+<，解得1x >，所以12x <<； 当2x ≥时，()3f x <即473x -<，解得52x <，所以522x ≤<； 综上，()3f x <的解集为51,2⎛⎫⎪⎝⎭；（2）由()36114f x x x a x =-++<-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立， 则5 50x a xx ⎧-<-⎨->⎩对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立， 所以5 5x x a x a x-<-⎧⎨-<-⎩即5a <且25a x >-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立， 即85a -<<，故a 的取值范围为()85-，. 【点睛】本题查了绝对值不等式的求解和含绝对值恒成立问题的求解，考查了计算能力和分类讨论思想，属于中档题.。

2020年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学参考答案1．答案：A解析：{|01,},{|2,}{|22,},M x x x N x x x x x x M N ⊂≠=<<∈=<∈=-<<∈∴R R R ，M N M ∴=I ．2．答案：D解析：223320,2,(z z z z +=∴=-===±．3．答案：D解析：圆的标准方程为22(1)(2)4x y ++-=，圆心为(1,2)C -，半径2r =，直线10kx y -+=过定点(0,1)P，因为CP r =<，所以直线与圆恒有公共点，所以实数k 的取值范围是(,)-∞+∞．4．答案：B解析：由12x +>，得12x +<-或12x +>，解得3x <-或1x >， 因为{|23}{|3x x x x ⊂≠<<<-或1}x >，所以p 是q 的必要不充分条件． 5．答案：C解析：由题可知1x 是函数()f x 的最小值点，2x 是函数()f x 的最大值点．所以12x x -的最小值为函数()f x 半个周期，14,22T T ππ==．6．答案：B解析：设底面正三角形的边长为a ，直三棱柱的高为h ，则2V h =，所以2112332189B APQC V ah a a h V -⎛⎫=⨯⨯== ⎪⎝⎭． 7．答案：C解析：从10位同学中选取5人，共有510252C =种不同的选法，若每个宣传小组至少选派1人，则共有 2111112122332233223672108C C C C C C C C +=+=种不同的选法，则所求概率为10832527=． 8．答案：A 解析：依题可知抛物线的焦点坐标为(2,0)F ，所以4p =，将2y x =-代入28y x =，得21240x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)M x y ，则1212x x +=，12062x x x +==， 则点M 到准线2x =-的距离为6(2)8--=．9．答案：C 解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则251225543a a a d d +=+=+=，解得23d =． 所以112(1)21(1)333n n n a a n d --=+-=+=，21()123n n n a a S n +==，由48n n S a +≥，化简得： ABCC 1B 1A 1P Q28200n n--≥，(2)(10)0n n+-≥，10n≥，即n的最小值为10．10．答案：B 解析：令2y'=24当2x=时，5y=，此时11．答案：C解析：延长2F A交1PF于点PA是12F PF∠的平分线且可得2PB PF=，且AB所以OA是12F BF△所以(11122OA BF PF==又由122b F F OA=-所以223850c ac a-+=，12．答案：B解析：()1f x x x x=-+所以1miix==∑，显然(1)(0)(1)0F F F-===，当01x≤≤时，由2()sin(2020)0F x x x xπ=--=，得2sin(2020)x x xπ-=，在同一坐标系中作出2(01)y x x x=-<≤和sin(2020)(01)y x xπ=<≤的图象，sin(2020)y xπ=的最小正周期11010T=，在每个区间112100910100,,,,,10101010101010101010⎛⎤⎛⎤⎛⎤⎥⎥⎥⎝⎦⎝⎦⎝⎦L L内各有2个零点，所以两函数在区间(0,1]内共有2020个交点，即()F x在(0,1]内共有2020个零点，由对称性，()F x在[1,0)-内也有2020个零点，又(0)0F=，所以4041m=，所以40411231()()()()(1)4041mif x f x f x f x x x x=++++=-+=∑L．13，3π（第1个空2分，第二个空3分）解析：该几何体是一个圆锥，其底面半径1r=，高h=2l=，体积213V r hπ==，表面积23S r rlπππ=+=．14．答案：5 解析：25252511(1)(1)(1)ax x ax x x x x⎛⎫+-=⋅-+⋅- ⎪⎝⎭， 而25(1)x -的展开式中含2x 的项为42425(1)5C x x -=，含4x 的项为322345()(1)10C x x -=-，所以251(1)ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是51015a -=，解得5a =． 15．答案：10-解析：不妨取121(1,0),2e e ⎛== ⎝⎭u r u u r，设122a e e =+=ur u u r r，12222k b e ke ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭r u r u u r ，则34cos ,k ka b a b a b++⋅===⋅r rr r r r ，两边平方，并整理得2219100k k +-=， (10)(21)0k k +-=，解得10k =-或12k =，又因为5402k +<，所以10k =-． 16．答案：16 解析：当2n =时，得23231,22a a a a +=-∴+=-；当4n =时，得45451,44a a a a +=+=，23452a a a a ∴+++=，同理可得67891011121320142015201720192a a a a a a a a a a a a +++=+++==+++=L ， 又20182019201820191,20182018a a a a +=-∴+=-，所以201912345678920182019()()()S a a a a a a a a a a a =+++++++++++L11504220181010a a =+⨯-=-，由20191009m S +=-，得11a m +=，所以1111191919()101016a m a m a m a m a m ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭≥． 17．解：（1）根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得222abca b c =+-因为c =222ab a b c =+-【或223ab a b =+-】．由余弦定理，得2221cos 22a b c C ab +-==【或2231cos 22a b C ab +-==】，因为0C <<π，所以3C π=．（2）由已知与（1）知c =3C π=．由正弦定理2sin sin sin sin 3a b c A B C ====，得2sin a A =，22sin 2sin 3b B A π⎛⎫==-⎪⎝⎭．所以222sin 4sin 5sin )3b a A A A A A ϕπ⎛⎫+=-+=+=+⎪⎝⎭，（其中tan 5ϕ=，02ϕπ<<）．因为203A π<<，06ϕπ<<，所以506A ϕπ<+<． 所以2A ϕπ+=时，2)b a A ϕ+=+取得最大值．所以2b a +的最大值为． 18．解：（1）设从该市参与马拉松运动训练的人中随机抽取一个人，抽到的人刚好是“平均每月进行训练的天数不少于20天”记为事件为A ，则251()1004P A ==． 设抽到的人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数为ξ，则144B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，． 所以恰好抽到2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率为()222431272C 44128P ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）用分层抽样的方法从100个马拉松训练者中抽取12个，则其中“平均每月进行训练的天数不少于20天”有3个．现从这12人中抽取3个，则“平均每月进行训练的天数不少于20天”的数量Y 服从超几何分布，Y 的所有可能的取值为0，1，2，3．则0339312C C 21(0)C 55P Y ===，1239312C C 27(1)C 55P Y ===， 2139312C C 27(2)C 220P Y ===，3039312C C 1(3)C 220P Y ===． 所以Y 的分布列如下：所以()0123=22555522022400E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．（1）证明1：在图1中，因为ABC △为等边三角形，且D 为边AC 的中点，所以BD AC ⊥． 在BCD △中，BD CD ⊥，2BC =，1CD =，所以BD =． 因为,D E 分别为边,AC AB 的中点，所以//ED BC ．在图2中，有12DH ED HB BC ==，所以133DH BD ==． 因为AB AD ⊥，所以ABD △为直角三角形．因为1AD =，BD =cos 3AD ADB BD ∠==． 在ADH △中，由余弦定理得222122cos 1213333AH AD DH AD DH ADB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯=，所以3AH =．在ADH △中，因为22221133AH DH AD +=+==，所以AH BD ⊥． 同理可证AH CE ⊥． 因为CE BD H =I ，CE ⊂平面BCDE ，BD ⊂平面BCDE ，所以AH ⊥平面BCDE ． 证明2：在图1中，因为ABC △为等边三角形，且D 为边AC 的中点，所以BD AC ⊥． 在BCD △中，BD CD ⊥，2BC =，1CD =，所以BD =． 因为,D E 分别为边,AC AB 的中点，所以//ED BC ．在图2中，有12DH ED HB BC ==，所以133DH BD ==． 在Rt BAD △中，BD =1AD =， 在BAD △和AHD △中，因为DB DADA DH==BDA ADH ∠=∠，所以BAD AHD △∽△． 所以90AHD BAD ∠=∠=︒．所以AH BD ⊥． 同理可证AH CE ⊥．因为CE BD H =I ，CE ⊂平面BCDE ，BD ⊂平面BCDE ，所以AH ⊥平面BCDE ．（2）解法1：以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴，平行于AH 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，则(1,0,0),B C A ⎛ ⎝⎭，110,,,(1,0,0),3322EA EB ED BC ⎛⎛====- ⎝⎭⎝u u u r u u u r u u u r u u u r 设平面ABE 的法向量为111(,,)m x y z =u r，则11100m EA y z mEB x ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩u r u u u r u r u u u r ，取(0,1)m =-u r ．设平面ADE 的法向量为222(,,)n x y z =r ，则222201022n EA y z n ED x y ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩u u u r r u u u r r ，取1)n =-r ．所以cos,m nm nm n⋅===⋅u r ru r ru r r．由图可知，二面角B AE D--的平面角是钝角，故二面角B AE D--的余弦值为3-解法2：在四棱锥A BCDE-中，分别取AE，AB的中点M，N，连接DM，MN，ND．因为ADE△为等边三角形，所以DM AE⊥，因为BE EC⊥，BE AH⊥，CE AH H=I，且,CE AH⊂平面AEC，所以BE⊥平面AEC．因为AE⊂平面AEC，所以BE AE⊥．因为点M，N分别为边AE，AB的中点，所以//NM BE．所以NM AE⊥．所以DMN∠为所求二面角的平面角．在等边三角形ADE中，因为1AD=，所以DM=．在ABE△中，1122MN EB==．在Rt ABD△中，1AD=，BD=，所以AB=．所以DN===．在DMN△中，由余弦定理得22212cos3DMN⎛⎫+-⎪⎝⎭∠==-．所以二面角B AE D--的余弦值为3-．20．（1）解：设Me的半径为R，因为Me过点A，且与Ne相切，所以4R MAMN R⎧=⎪⎨=-⎪⎩，即4MN MA+=．因为4NA<，所以点M的轨迹是以N，A为焦点的椭圆．设椭圆的方程为22221(0)x ya ba b+=>>，则24a=，且c=所以2a=，1b=．所以曲线C的方程为2214xy+=．（2）解法1：依题意，直线,BP BQ的斜率均存在且不为0，设直线BP的斜率为(0)k k≠，则直线BP的方程为(2)y k x =-．由22(2)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(14)161640k x k x k +-+-=，解之得12x =，2228214k x k -=+．因此点P 的坐标为222824,1414k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭． 因为直线BQ 的斜率为12k -，所以可得点Q 的坐标为222222,11k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．当2k ≠±时，直线l 的斜率为23=2(12)PQ kk k -． 所以直线l 的方程为222232(12)22211k k k y x k k k -⎛⎫--=- ⎪++⎝⎭，整理得2232(1)221k y x kk k -=--．即232(12)23k k y x ⎛--⎫= ⎪⎝⎭． 此时直线l 过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．当k =l 的方程为23x =，显然过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭． 综上所述，直线l 过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．解法2：当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为：1x x =．设点11(,)P x y ，则点11(,)Q x y -，依题意12x ≠，因为211121*********BP BQy y y k k x x x x -⋅=⨯=-=----+，所以22111442x x y -+=． 因为221114x y +=，且12x ≠，解得123x =． 此时直线l 的方程为23x =． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y kx m =+．由22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(41)84(1)0k x kmx m +++-=． 需要满足222(8)16(41)(1)0km k m ∆=-+->，即2241m k <+．设点1122(,),(,)P x y Q x y ，则有122841kmx x k +=-+，21224(1)41m x x k -=+． 因为11y kx m =+，22y kx m =+，所以22121224()()41m k y y kx m kx m k -=++=+．因为12121212121222()42BP BQ y y y y k k x x x x x x =⨯==----++，所以()121212242x x x x y y -++=-． 即2222224(1)162(4)4414141m km m k k k k --++=-+++，即223840m km k ++=．所以23m k =-或2m k =-．当23m k =-时，满足2241m k <+，直线l 的方程为23y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，恒过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭．当2m k =-时，满足2241m k <+，直线l 的方程为(2)y k x =-，恒过定点(2,0)，不合题意． 显然直线23x =也过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭， 综上所述，直线l 过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭． 21．（1）解：因为32()(4)e6x f x x x x -=-+-，所以33()(3)e 26(3)(e 2)x x f x x x x --'=-+-=-+．当03x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当3x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以函数()f x 的单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3,)+∞．（2）解：由（1）可知，当[3,)x ∈+∞时，()0f x '≥． 所以要使()0h x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，只需()0g x ≥在区间(0,3)上恒成立即可．因为1()01ln 03g x a x x ⎛⎫⇔--- ⎪⎝⎭≥≥． 以下给出四种求解思路：思路1：因为0x >，所以11ln 03a x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭≥在区间()0,3上恒成立，转化为1ln 13x a x ++≥在区间()0,3上恒成立． 令1ln 1()3x m x x +=+，则2ln ()xm x x'=-．因为当(0,1)x ∈时，()0m x '>，当(1,3)x ∈时，()0m x '<． 所以()m x 在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．所以4()(1)3m x m =≤．所以43a ≥．所以实数a 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 思路2：因为1()1ln 3g x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，则11(31)3()(03)33a x g x a x x x--⎛⎫'=--=<< ⎪⎝⎭．①若13a ≤，则()0g x '<在(0,3)上恒成立，所以()g x 在(0,3)上单调递减， 所以1()(3)31ln 33g x g a ⎛⎫>=-⨯-- ⎪⎝⎭，由(3)0g ≥，解得2ln 33a +≥． 此时实数a 不合题意． ②若1233a <≤，则()0g x '≤在(0,3)上恒成立，所以()g x 在(0,3)上单调递减， 所以1()(3)31ln 33g x g a ⎛⎫>=-⨯-- ⎪⎝⎭，由(3)0g ≥，解得2ln 33a +≥． 此时实数a 不合题意． ③若23a >，则当3031x a <<-时，()0g x '<，当3331x a <<-时，()0g x '>． 所以函数()g x 在30,31a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递减，在3,331a ⎛⎫⎪-⎝⎭上单调递增．所以33()ln 3131g x g a a ⎛⎫=-⎪--⎝⎭≥，由3ln 031a --≥，解得43a ≥． 此时实数a 满足43a ≥． 综上所述，实数a 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．思路3：因为1()1ln 3g x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，则11()3g x a x⎛⎫'=--⎪⎝⎭．因为1()1ln 03g x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭≥在(0,3)上恒成立，则1(1)103g a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭≥，即43a ≥． 因为11()3g x a x⎛⎫'=--⎪⎝⎭在(0,3)上单调递增，因为1103g a ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭，【或0x →时，()g x '→-∞】2(3)03g a '=->． 所以存在0(0,3)x ∈，使得0011()03g x a x ⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭． 当0(0,)x x ∈时，0()0g x '<，当0(,3)x x ∈时，0()0g x '>． 所以函数()g x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,3)x 上单调递增．所以00011()()1ln ln 33g x g x a x x a ⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥．要使1()1ln 03g x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭≥在(0,3)上恒成立，只要1ln 03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥，解得43a ≥． 所以实数a 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．思路4：因为0x >，所以11ln 03a x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭≥在区间(0,3)上恒成立，转化为11ln 3a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≥在区间(0,3)上恒成立． 令()1ln s x x =+，则1()0s x x'=>，(0,3)x ∈． 所以()s x 在(0,3)上单调递增．而13y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是经过原点的直线，设过原点的直线与()1ln s x x =+相切于点00(,)x y ，则切线方程为0001()y y x x x -=-，因为0001()y y x x x -=-过原点，所以01y =． 因为001ln y x =+，所以01x =．即切点为(1,1)．所以经过原点且与()1ln s x x =+相切的直线方程为y x =．所以满足11ln 3a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≥的条件是113a -≥，解得43a ≥． 所以实数a 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． （3）证明1：由（2）可知，当43a =时，有ln 1x x -≤．即ln(1)x x +≤． 则111ln 1ln n n n n +⎛⎫>+= ⎪⎝⎭， 同理12ln 11n n n +>++，13ln 22n n n +>++，…，131ln 33n n n +>． 所以11111311ln ln 3ln 312313n n n n n n n n +⎛⎫+++++>=+> ⎪++-⎝⎭L ．所以11111ln 312313n n n n n+++++>++-L ． 证明2：要证11111ln 312313n n n n n+++++>++-L ，即证1111112313e3n n n n n+++++++->L ，即证1111112313e eeee3n n n n n++-⋅⋅⋅⋅⋅>L ．先证明e 1(0)xx x >+>，事实上，设()=e 1xp x x --，则()=e 1xp x '-，当0x >时，()=e 10xp x '->，所以()p x 在(0,)+∞上单调递增． 所以()(0)0p x p >=，所以e 1(0)xx x >+>． 所以11111123131111e eeee1+1+1+1+1313nn n n nn n n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅>⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L123313131313n n n n n n n n n n ++++=⨯⨯⨯⨯=>+-L ． 所以11111ln 312313n n n n n +++++>++-L ．22．解：（1）因为曲线1C 的参数方程为312x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数t ，得250x y --=．所以曲线1C 的方程为250x y --=．因为曲线2C的参数方程为,cos x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数），则由x =，得cos θ=，代入y θ=得sin y x θ=， 消去参数θ，得223x y -=．因为,22θπ3π⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以0x <．所以曲线2C 的方程为223(0)x y x -=<． （2）因为点A ，B 分别为曲线1C ，2C 上的动点，设直线20x y b -+=与曲线2C 相切，由22203x y b x y -+=⎧⎨-=⎩，消去y 得223430x bx b +++=． 所以22(4)43(3)0b b ∆=-⨯⨯+=，解得3b =±． 因为0x <，所以3b =． 因为直线250x y --=与230x y -+=间的距离为：5d ==．所以AB的最小值5．23．（1）解：因为1a =，所以()321f x x x =-+-．当1x ≤时，由()743f x x =-<，解得1x >，此时x ∈∅． 当12x <<时，()523f x x =-<，解得1x >，此时12x <<． 当2x ≥时，()473f x x =-<，解得52x <，此时522x <≤． 综上可知，512x <<．所以不等式的解集为51,2⎛⎫⎪⎝⎭． （2）解法1：由()114f x x <-，得32114x x a x -+-<-，因为34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以5x a x -<-．问题转化为5x a x -<-对任意的34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦恒成立， 所以55x x a x -<-<-【或22()(5)x a x -<-】． 所以255x a -<<． 因为当34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，max (25)8x -=-．所以实数a 的取值范围为(8,5)-．解法2：由()114f x x <-，得32114x x a x -+-<-，因为34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以||5x a x -<-．问题转化为5x a x -<-对任意的34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦恒成立， 分别作出函数5y x =-与函数y x a =-的图像，如图所示，要使5x a x -<-对任意的34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦恒成立，则当34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，函数5y x =-的图像在函数y x a =-的图像的上方． 所以当34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，需要满足5a x x -<-且5x a x -<-．因为当34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，()max 258x -=-．所以实数a 的取值范围为()8,5-．。

秘密 ★ 启用前 试卷类型： A2020年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学2020．3本试卷共5页，23小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足()21i 4iz -=，则复数z 的共轭复数z = A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i2．设集合301x A x x ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}3B x x =-≤，则集合{}1x x =≥ A ．A B IB ．A B UC ．()()A B RRU 痧D ．()()A B RRI 痧3．若A ，B ，C ，D ，E 五位同学站成一排照相，则A ，B 两位 同学不相邻的概率为A ．45B ．35C ．25D ．154．执行如图所示的程序框图，则输出的S =A ．920B ．49C ．29D ．9405．已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4x π⎛⎫+=⎪⎝⎭ A ．45B ．35C ．45-D ．35-6．已知二项式212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含1x 项的系数是 A ．84-B ．14-C ．14D ．847．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为A．4+B．14+C．10+D．48．若x，y满足约束条件20,210,10,x yyx-+⎧⎪-⎨⎪-⎩≥≥≤则222z x x y=++的最小值为A．12B．14C．12-D．34-9．已知函数()sin6f x xωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>在区间43π2π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω的取值范围为A．80,3⎛⎤⎥⎝⎦B．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知函数()322f x x ax bx a=+++在1x=处的极值为10，则数对(),a b为A．()3,3-B．()11,4-C．()4,11-D．()3,3-或()4,11-11．如图，在梯形ABCD中，已知2AB CD=，25AE AC=uu u r uuu r，双曲线过C，D，E三点，且以A，B为焦点，则双曲线的离心率为AB．C．3D12．设函数()f x在R上存在导函数()f x'，对于任意的实数x，都有()()22f x f x x+-=，当0x<时，()12f x x'+<，若()()121f a f a a+-++≤，则实数a的最小值为A．12-B．1-C．32-D．2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．DCA BE13．已知向量(),2m =a ，()1,1=b ，若+=+a b a b，则实数m = ．14．已知三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰三角形，AB AC ⊥，PA ⊥底面ABC ，1==AB PA ，则这个三棱锥内切球的半径为 ．15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()2c o s 2c o s 0a B b A c θθ-+++=，则cos θ的值为 ．16．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为n S ，如11S =，22S =，32S =，44S =，……，则126S =．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题， 每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()121215452nn n a a a n b b b ⎛⎫+++=-+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．图②图①18．（本小题满分12分） 某地1~10岁男童年龄ix （岁）与身高的中位数i y ()cm ()1,2,,10i =L 如下表：（1）求y 关于x 的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；（2）某同学认为，2y px qx r =++更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程是20.3010.1768.07y x x =-++．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm ．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程y a bx =+$$$中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，a y bx =-$$．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，△ABD 为正三角形，︒=∠120BCD ，2CB CD CS ===，︒=∠90BSD ．（1）求证：AC ⊥平面SBD ；（2）若BD SC ⊥，求二面角C SB A --的余弦值．()()()121n x x y y i i i b n x x i i =--∑=-∑=$DCBS20．（本小题满分12分）已知圆(2216x y +=的圆心为M ，点P 是圆M 上的动点，点)N，点G 在线段MP 上，且满足()()GN GP GN GP+⊥-uuu r uu u r uuu r uu u r ．（1）求点G 的轨迹C 的方程； （2）过点()4,0T 作斜率不为0的直线l 与（1）中的轨迹C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ，连接BD 交x 轴于点Q ，求△ABQ 面积的最大值．21．（本小题满分12分） 已知函数()ln 1f x ax x =++．（1）讨论函数()x f 零点的个数； （2）对任意的0>x ，()2e xf x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知过点(),0P m 的直线l的参数方程是,1,2x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且2PA PB ⋅=，求实数m 的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()f x =23x a x b++-．（1）当1a =，0b =时，求不等式()31f x x +≥的解集；（2）若0a >，0b >，且函数()f x 的最小值为2，求3a b +的值．参考答案1-5：ADBDD6-10：ACDBC11-12：AA13、214、15、－1216、6417、18、（2）。

2020届广东省广州市普通高中高三综合测试（一）理科数学试卷★祝考试顺利★本试卷共6页,23题,满分150分,考试时间120分钟注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上,用2B铅笔在答题卡的相应位置涂上考生号,并将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置,2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域的相应位置；如需改动,先划掉原来答案,然后再写新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择題：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合題目要求的.1.设集合,,则（）A. B. C. D.2.若复数满足,则A. B. C. D.3.若直线与圆有公共点,则实数的取值范围是A. B. C. D.4.已知,,则是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.设函数,若对于任意的都有成立,则的最小值为A. B. C. D.6.已知直三棱柱的体积为,若分别在上,且,则四棱锥的体积是A. B. C. D.7.为了让居民了解垃圾分类,养成垃圾分类的习惯,让绿色环保理念深入人心.某市将垃圾分为四类：可回收物,餐厨垃圾,有害垃圾和其他垃圾。

某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组,其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学,有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学。

现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动,则每个宣传小组至少选派1人的概率为A. B. C. D.8.已知直线与轴的交点为抛物线的焦点,直线与抛物线交于两点,则中点到抛物线准线的距离为A.8B.6C.5D.49.等差数列的前项和为,已知,,若,则的最小值为A.8B.9C.10D.1110.已知点是曲线上的点,曲线在点处的切线与平行,则A. B. C.或 D.或。

2020年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|01,},{|2,}R R M x x x N x x x =<<∈=<∈，则（ ）A ．M N M =IB ．M N N =IC ．M N M =UD ．R M N =U1．答案：A解析：{|01,},{|2,}{|22,},M x x x N x x x x x x M N ⊂≠=<<∈=<∈=-<<∈∴R R R ，M N M ∴=I ．2．若复数z 满足方程220z +=，则3z =（ ）A ．±B ．-C ．-D ．±2．答案：D解析：223320,2,(z z z z +=∴=-===±．3．若直线10kx y -+=与圆222410x y x y ++-+=有公共点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[3,)-+∞ B ．(,3]-∞- C ．(0,)+∞ D ．(,)-∞+∞3．答案：D解析：圆的标准方程为22(1)(2)4x y ++-=，圆心为(1,2)C -，半径2r =，直线10kx y -+=过定点(0,1)P ，因为CP r =<，所以直线与圆恒有公共点，所以实数k 的取值范围是(,)-∞+∞．4．已知:12p x +>，:23q x <<，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件4．答案：B解析：由12x +>，得12x +<-或12x +>，解得3x <-或1x >， 因为{|23}{|3x x x x ⊂≠<<<-或1}x >，所以p 是q 的必要不充分条件． 5．设函数1()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对任意R x ∈都有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π5．答案：C解析：由题可知1x 是函数()f x 的最小值点，2x 是函数()f x 的最大值点．所以12x x -的最小值为函数()f x 半个周期，14,22T T ππ==．6．已知直三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，若,P Q 分别在11,AA CC 上，且1111,33AP AA CQ CC ==，则四棱锥B APQC -的体积为（ ） A ．16V B ．29VC ．13VD ．79V6．答案：B解析：设底面正三角形的边长为a ，直三棱柱的高为h，则24V a h =，所以2112332189B APQC V ah a a h V -⎛⎫=⨯⨯== ⎪⎝⎭． ABCC 1B 1A 1P Q7．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ） A ．514B ．914C ．37D ．477．答案：C解析：从10位同学中选取5人，共有510252C =种不同的选法，若每个宣传小组至少选派1人，则共有 2111112122332233223672108C C C C C C C C +=+=种不同的选法，则所求概率为10832527=． 8．已知直线:2l y x =-与x 轴的交点为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，则AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为（ ） A ．8 B ．6 C ．5 D ．48．答案：A解析：依题可知抛物线的焦点坐标为(2,0)F ，所以4p =，将2y x =-代入28y x =，得21240x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)M x y ，则1212x x +=，12062x x x +==， 则点M 到准线2x =-的距离为6(2)8--=． 9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1251,43a a a =+=，若48()N n n S a n *+∈≥，则n 的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．119．答案：C解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则251225543a a a d d +=+=+=，解得23d =． 所以112(1)21(1)333n n n a a n d --=+-=+=，21()123n n n a a S n +==，由48n n S a +≥，化简得：28200n n --≥，(2)(10)0n n +-≥，10n ≥，即n 的最小值为10．10．已知点00(,)P x y 是曲线32:1C y x x =-+上的点，曲线C 在点P 处的切线方程与直线811y x =-平行，则（ ） A ．02x = B ．043x =-C ．02x =或043x =- D ．02x =-或043x =10．答案：B解析：令2328y x x '=-=，得23280x x --=，(34)(2)0x x +-=，解得43x =-或2x =， 当2x =时，5y =，此时(2,5)M 在直线811y x =-上，故舍去，所以43x =-． 11．已知O 为坐标原点，设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线C 上位于第一象限上的点，过点2F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为A ，若122b F F OA =-，则双曲线C 的离心率为（A ．54B 11．答案：C解析：延长2F A 交1PF 于点PA 是12F PF ∠的平分线且可得2PB PF =，且AB 所以OA 是12F BF △所以(11122OA BF PF ==又由122b F F OA =-，可得22b c a =-，所以22(22)b c a =-，2222448c a c a ac ∴-=+-，所以223850c ac a -+=，23850e e -+=，(35)(1)0e e --=，53e =． 12．已知函数221,0()1,0x x x f x x x x ⎧--+<⎪=⎨-+⎪⎩≥，若()()sin(2020)1F x f x x π=--在区间[1,1]-上有m 个零点123,,,,m x x x x L ，则123()()()()m f x f x f x f x ++++=L （ ） A ．4042B ．4041C ．4040D ．403912．答案：B解析：()1f x x x x =-+，所以()()sin(2020)1sin(2020)F x f x x x x x x ππ=--=--为奇函数，所以10mii x==∑，显然(1)(0)(1)0F F F -===，当01x ≤≤时，由2()sin(2020)0F x x x x π=--=，得2sin(2020)x x x π-=，在同一坐标系中作出2(01)y x x x =-<≤和sin(2020)(01)y x x π=<≤的图象，sin(2020)y x π=的最小正周期11010T =， 在每个区间112100910100,,,,,10101010101010101010⎛⎤⎛⎤⎛⎤⎥⎥⎥⎝⎦⎝⎦⎝⎦L L 内各有2个零点， 所以两函数在区间(0,1]内共有2020个交点，即()F x 在(0,1]内共有2020个零点，由对称性，()F x 在[1,0)-内也有2020个零点，又(0)0F =，所以4041m =，所以40411231()()()()(1)4041m i f x f x f x f x x x x =++++=-+=∑L ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的体积为 ，表面积为 ．13．答案：3，3π（第1个空2分，第二个空3分）解析：该几何体是一个圆锥，其底面半径1r =，高h =2l =，体积2133V r h π==，表面积23S r rl πππ=+=． 14．在251(1)ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是15，则实数a = ． 14．答案：5 解析：25252511(1)(1)(1)ax x ax x x x x⎛⎫+-=⋅-+⋅- ⎪⎝⎭， 而25(1)x -的展开式中含2x 的项为42425(1)5C x x -=，含4x 的项为322345()(1)10C x x -=-，所以251(1)ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是51015a -=，解得5a =． 15．已知单位向量1e u r 与2e u u r 的夹角为3π，若向量122e e +u r u u r 与122e ke +u r u u r 的夹角为56π，则实数k 的值为．15．答案：10-解析：不妨取121(1,0),,22e e ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u r u u r，设122a e e =+=ur u u r r，1222,22k b e ke ⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭r u r u u r ，则34cos ,2k ka b a b a b++⋅===-⋅r rr r r r ，两边平方，并整理得2219100k k +-=， (10)(21)0k k +-=，解得10k =-或12k =，又因为5402k +<，所以10k =-． 16．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1cos sin ()22n n a a n n n n ππ*++=-∈N ，且20191009m S +=-，10a m >，则119a m+的最小值为 ． 16．答案：16 解析：当2n =时，得23231,22a a a a +=-∴+=-；当4n =时，得45451,44a aa a +=+=， 23452a a a a ∴+++=，同理可得67891011121320142015201720192a a a a a a a a a a a a +++=+++==+++=L ， 又20182019201820191,20182018a a a a +=-∴+=-，所以201912345678920182019()()()S a a a a a a a a a a a =+++++++++++L11504220181010a a =+⨯-=-，由20191009m S +=-，得11a m +=，所以1111191919()101016a m a m a m a m a m ⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭≥． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c．已知c =sin sin sin sin ab Ca Ab Bc C=+-（1）求角C 的大小； （2）求2b a +的最大值． 17．解：（1）根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得222abca b c=+-因为c =222ab a b c =+-【或223ab a b =+-】．由余弦定理，得2221cos 22a b c C ab +-==【或2231cos 22a b C ab +-==】，因为0C <<π，所以3C π=．（2）由已知与（1）知c =3C π=．由正弦定理2sin sin sin sin 3a b c A B C ====， 得2sin a A =，22sin 2sin 3b B A π⎛⎫==-⎪⎝⎭．所以222sin 4sin 5sin )3b a A A A A A ϕπ⎛⎫+=-+==+⎪⎝⎭，（其中tan 5ϕ=，02ϕπ<<）．因为203A π<<，06ϕπ<<，所以506A ϕπ<+<． 所以2A ϕπ+=时，2)b a A ϕ+=+取得最大值．所以2b a +的最大值为． 18．（本小题满分12分）随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参（1）以这训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y 的分布列及数学期望()E Y ． 18．解：（1）设从该市参与马拉松运动训练的人中随机抽取一个人，抽到的人刚好是“平均每月进行训练的天数不少于20天”记为事件为A ，则251()1004P A ==． 设抽到的人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数为ξ，则144B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，．所以恰好抽到2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率为()222431272C 44128P ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）用分层抽样的方法从100个马拉松训练者中抽取12个，则其中“平均每月进行训练的天数不少于20天”有3个．现从这12人中抽取3个，则“平均每月进行训练的天数不少于20天”的数量Y 服从超几何分布，Y 的所有可能的取值为0，1，2，3．则0339312C C 21(0)C 55P Y ===，1239312C C 27(1)C 55P Y ===， 2139312C C 27(2)C 220P Y ===，3039312C C 1(3)C 220P Y ===． 所以Y 的分布列如下：所以()0123=22555522022400E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．（本小题满分12分）如图1，在边长为2的等边ABC △中，,D E 分别为边,AC AB 的中点．将AED △沿DE 折起，使得AB AD ⊥，AC AE ⊥，得到如图2的四棱锥A BCDE -，连结BD ，CE ，且BD 与CE 交于点H ． （1）求证：AH ⊥平面BCDE ； （2）求二面角B AE D --的余弦值．E CHBDA图1图219．（1）证明1：在图1中，因为ABC △为等边三角形，且D 为边AC 的中点，所以BD AC ⊥．在BCD △中，BD CD ⊥，2BC =，1CD =，所以BD = 因为,D E 分别为边,AC AB 的中点，所以//ED BC ．在图2中，有12DH ED HB BC ==，所以13DH BD ==． 因为AB AD ⊥，所以ABD △为直角三角形．因为1AD =，BD =cos AD ADB BD ∠==． 在ADH △中，由余弦定理得222122cos 1213333AH AD DH AD DH ADB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯=，所以3AH =．在ADH △中，因为22221133AH DH AD +=+==，所以AH BD ⊥． 同理可证AH CE ⊥． 因为CE BD H =I ，CE ⊂平面BCDE ，BD ⊂平面BCDE ，所以AH ⊥平面BCDE ． 证明2：在图1中，因为ABC △为等边三角形，且D 为边AC 的中点，所以BD AC ⊥． 在BCD △中，BD CD ⊥，2BC =，1CD =，所以BD = 因为,D E 分别为边,AC AB 的中点，所以//ED BC ．在图2中，有12DH ED HB BC ==，所以13DH BD ==． 在Rt BAD △中，BD =1AD =， 在BAD △和AHD △中，因为DB DADA DH==BDA ADH ∠=∠，所以BAD AHD △∽△． 所以90AHD BAD ∠=∠=︒．所以AH BD ⊥． 同理可证AH CE ⊥．因为CE BD H =I ，CE ⊂平面BCDE ，BD ⊂平面BCDE ，所以AH ⊥平面BCDE ．（2）解法1：以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴，平行于AH 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，则(1,0,0),0,33B C A ⎛ ⎝⎭，11,(1,0,0),22EA EB ED BC ⎛⎛====- ⎝⎭⎝u u u r u u ur u u u r u u u r 设平面ABE 的法向量为111(,,)m x y z =u r，则11100m EA y z m EB x ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩u r u u u r u r u u u r ，取(0,1)m =-u r ．设平面ADE 的法向量为222(,,)n x y z =r，则2222033102n EA y z n ED x y ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩u u u r r u u u r r，取1)n =-r ．所以cos ,m n m n m n ⋅===⋅u r ru r r u r r ． 由图可知，二面角B AE D --的平面角是钝角，故二面角B AE D --的余弦值为3-解法2：在四棱锥A BCDE -中，分别取AE ，AB 的中点M ，N ，连接DM ，MN ，ND ． 因为ADE △为等边三角形，所以DM AE ⊥， 因为BE EC ⊥，BE AH ⊥，CE AH H =I ， 且,CE AH ⊂平面AEC ，所以BE ⊥平面AEC ． 因为AE ⊂平面AEC ，所以BE AE ⊥． 因为点M ，N 分别为边AE ，AB 的中点， 所以//NM BE ．所以NM AE ⊥． 所以DMN ∠为所求二面角的平面角．在等边三角形ADE 中，因为1AD =，所以DM =在ABE △中，1122MN EB ==． 在Rt ABD △中，1AD =，BD =所以AB =所以DN ===． 在DMN △中，由余弦定理得22212cos 3DMN ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∠==-．所以二面角B AE D --的余弦值为- 20．（本小题满分12分）已知M e过点A，且与22:(16N x y +=e 内切，设M e 的圆心M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设直线l 不经过点(2,0)B 且与曲线C 相交于,P Q 两点．若直线PB 与直线QB 的斜率之积为12-，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由．20．（1）解：设M e 的半径为R ，因为M e过点A ，且与N e 相切，所以4R MAMN R ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，即4MN MA +=．因为4NA <，所以点M 的轨迹是以N ，A 为焦点的椭圆．设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>， 则24a =，且c =所以2a =，1b =．所以曲线C 的方程为2214x y +=． （2）解法1：依题意，直线,BP BQ 的斜率均存在且不为0，设直线BP 的斜率为(0)k k ≠，则直线BP的方程为(2)y k x =-．由22(2)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(14)161640k x k x k +-+-=，解之得12x =，2228214k x k -=+．因此点P 的坐标为222824,1414k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭． 因为直线BQ 的斜率为12k -，所以可得点Q 的坐标为222222,11k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．当2k ≠±时，直线l 的斜率为23=2(12)PQ kk k -． 所以直线l 的方程为222232(12)22211k k k y x k k k -⎛⎫--=- ⎪++⎝⎭， 整理得2232(1)221k y x kk k -=--．即232(12)23k k y x ⎛--⎫= ⎪⎝⎭． 此时直线l 过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．当2k =±时，直线l 的方程为23x =，显然过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭． 综上所述，直线l 过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．解法2：当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为：1x x =．设点11(,)P x y ，则点11(,)Q x y -，依题意12x ≠，因为211121*********BP BQy y y k k x x x x -⋅=⨯=-=----+，所以22111442x x y -+=． 因为221114x y +=，且12x ≠，解得123x =． 此时直线l 的方程为23x =．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y kx m =+．由22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(41)84(1)0k x kmx m +++-=．需要满足222(8)16(41)(1)0km k m ∆=-+->，即2241m k <+．设点1122(,),(,)P x y Q x y ，则有122841kmx x k +=-+，21224(1)41m x x k -=+． 因为11y kx m =+，22y kx m =+，所以22121224()()41m k y y kx m kx m k -=++=+．因为12121212121222()42BP BQ y y y y k k x x x x x x =⨯==----++，所以()121212242x x x x y y -++=-． 即2222224(1)162(4)4414141m km m k k k k --++=-+++，即223840m km k ++=．所以23m k =-或2m k =-．当23m k =-时，满足2241m k <+，直线l 的方程为23y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，恒过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭．当2m k =-时，满足2241m k <+，直线l 的方程为(2)y k x =-，恒过定点(2,0)，不合题意． 显然直线23x =也过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭， 综上所述，直线l 过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭． 21．（本小题满分12分） 已知函数321()(4)6,()1ln 3x f x x ex x g x a x x -⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 在(0,)+∞上的单调区间；（2）用max{,}m n 表示,m n 中的最大值，()f x '为()f x 的导函数．设函数()max{(),()}h x f x g x '=，若()0h x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）证明：11111ln 3()12313N n n n n n n*+++++>∈++-L ． 21．（1）解：因为32()(4)e6x f x x x x -=-+-，所以33()(3)e 26(3)(e 2)x x f x x x x --'=-+-=-+．当03x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当3x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以函数()f x 的单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3,)+∞．（2）解：由（1）可知，当[3,)x ∈+∞时，()0f x '≥． 所以要使()0h x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，只需()0g x ≥在区间(0,3)上恒成立即可．因为1()01ln 03g x a x x ⎛⎫⇔--- ⎪⎝⎭≥≥． 以下给出四种求解思路：思路1：因为0x >，所以11ln 03a x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭≥在区间()0,3上恒成立，转化为1ln 13x a x ++≥在区间()0,3上恒成立． 令1ln 1()3x m x x +=+，则2ln ()xm x x'=-．因为当(0,1)x ∈时，()0m x '>，当(1,3)x ∈时，()0m x '<． 所以()m x 在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．所以4()(1)3m x m =≤．所以43a ≥．所以实数a 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 思路2：因为1()1ln 3g x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，则11(31)3()(03)33a x g x a x x x--⎛⎫'=--=<< ⎪⎝⎭．①若13a ≤，则()0g x '<在(0,3)上恒成立，所以()g x 在(0,3)上单调递减， 所以1()(3)31ln 33g x g a ⎛⎫>=-⨯-- ⎪⎝⎭，由(3)0g ≥，解得2ln 33a +≥． 此时实数a 不合题意． ②若1233a <≤，则()0g x '≤在(0,3)上恒成立，所以()g x 在(0,3)上单调递减， 所以1()(3)31ln 33g x g a ⎛⎫>=-⨯-- ⎪⎝⎭，由(3)0g ≥，解得2ln 33a +≥． 此时实数a 不合题意． ③若23a >，则当3031x a <<-时，()0g x '<，当3331x a <<-时，()0g x '>． 所以函数()g x 在30,31a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递减，在3,331a ⎛⎫⎪-⎝⎭上单调递增．所以33()ln 3131g x g a a ⎛⎫=-⎪--⎝⎭≥，由3ln 031a --≥，解得43a ≥．此时实数a 满足43a ≥． 综上所述，实数a 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．思路3：因为1()1ln 3g x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，则11()3g x a x⎛⎫'=--⎪⎝⎭．因为1()1ln 03g x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭≥在(0,3)上恒成立，则1(1)103g a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭≥，即43a ≥． 因为11()3g x a x⎛⎫'=--⎪⎝⎭在(0,3)上单调递增，因为1103g a ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭，【或0x →时，()g x '→-∞】2(3)03g a '=->． 所以存在0(0,3)x ∈，使得0011()03g x a x ⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭． 当0(0,)x x ∈时，0()0g x '<，当0(,3)x x ∈时，0()0g x '>． 所以函数()g x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,3)x 上单调递增． 所以00011()()1ln ln 33g x g x a x x a ⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥．要使1()1ln 03g x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭≥在(0,3)上恒成立，只要1ln 03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥，解得43a ≥． 所以实数a 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．思路4：因为0x >，所以11ln 03a x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭≥在区间(0,3)上恒成立，转化为11ln 3a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≥在区间(0,3)上恒成立． 令()1ln s x x =+，则1()0s x x'=>，(0,3)x ∈． 所以()s x 在(0,3)上单调递增．而13y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是经过原点的直线，设过原点的直线与()1ln s x x =+相切于点00(,)x y ，则切线方程为0001()y y x x x -=-，因为0001()y y x x x -=-过原点，所以01y =． 因为001ln y x =+，所以01x =．即切点为(1,1)．所以经过原点且与()1ln s x x =+相切的直线方程为y x =．所以满足11ln 3a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≥的条件是113a -≥，解得43a ≥． 所以实数a 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． （3）证明1：由（2）可知，当43a =时，有ln 1x x -≤．即ln(1)x x +≤． 则111ln 1ln n n n n +⎛⎫>+= ⎪⎝⎭， 同理12ln 11n n n +>++，13ln 22n n n +>++，…，131ln33n n n +>． 所以11111311ln ln 3ln 312313n n n n n n n n +⎛⎫+++++>=+> ⎪++-⎝⎭L ． 所以11111ln 312313n n n n n+++++>++-L ． 证明2：要证11111ln 312313n n n n n+++++>++-L ，即证1111112313e3n n n n n+++++++->L ，即证1111112313e eeee3n n n n n++-⋅⋅⋅⋅⋅>L ．先证明e 1(0)xx x >+>，事实上，设()=e 1x p x x --，则()=e 1x p x '-，当0x >时，()=e 10xp x '->，所以()p x 在(0,)+∞上单调递增． 所以()(0)0p x p >=，所以e 1(0)xx x >+>． 所以11111123131111e eeee1+1+1+1+1313nn n n nn n n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅>⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L123313131313n n n n n n n n n n ++++=⨯⨯⨯⨯=>+-L ． 所以11111ln 312313n n n n n +++++>++-L ． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为312x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为cos x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数且3,22ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）． （1）求曲线1C 和2C 的普通方程；（2）若,A B 分别为曲线12,C C 上的动点，求AB 的最小值．22．解：（1）因为曲线1C 的参数方程为312x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数t ，得250x y --=．所以曲线1C 的方程为250x y --=．因为曲线2C的参数方程为x y θ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数），则由cos x θ=，得cos x θ=，代入y θ=得sin y x θ=， 消去参数θ，得223x y -=．因为,22θπ3π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0x <．所以曲线2C 的方程为223(0)x y x -=<．（2）因为点A ，B 分别为曲线1C ，2C 上的动点，设直线20x y b -+=与曲线2C 相切，由22203x y b x y -+=⎧⎨-=⎩，消去y 得223430x bx b +++=． 所以22(4)43(3)0b b ∆=-⨯⨯+=，解得3b =±． 因为0x <，所以3b =． 因为直线250x y --=与230x y -+=间的距离为：5d ==．所以AB．23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知函数()36,R f x x x a a =-+-∈． （1）当1a =时，解不等式()3f x <；（2）若不等式()114f x x <-对任意34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦成立，求实数a 的取值范围． 23．（1）解：因为1a =，所以()321f x x x =-+-． 当1x ≤时，由()743f x x =-<，解得1x >，此时x ∈∅．当12x <<时，()523f x x =-<，解得1x >，此时12x <<．当2x ≥时，()473f x x =-<，解得52x <，此时522x <≤． 综上可知，512x <<．所以不等式的解集为51,2⎛⎫⎪⎝⎭． （2）解法1：由()114f x x <-，得32114x x a x -+-<-，因为34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以5x a x -<-．问题转化为5x a x -<-对任意的34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦恒成立， 所以55x x a x -<-<-【或22()(5)x a x -<-】． 所以255x a -<<． 因为当34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，max (25)8x -=-．所以实数a 的取值范围为(8,5)-．解法2：由()114f x x <-，得32114x x a x -+-<-，因为34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以||5x a x -<-．问题转化为5x a x -<-对任意的34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦恒成立， 分别作出函数5y x =-与函数y x a =-的图像，如图所示，要使5x a x -<-对任意的34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦恒成立，则当34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，函数5y x =-的图像在函数y x a =-的图像的上方． 所以当34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，需要满足5a x x -<-且5x a x -<-．因为当34,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，()max 258x -=-．所以实数a 的取值范围为()8,5-．。