初三复习第22讲等腰三角形、直角三角形练习
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第22讲等腰三角形、直角三角形
1．等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两个相等；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和互相重合（三线合一）．
2．等腰三角形的判定：(1)两边相等的三角形是等腰三角形；(2)两个相等三角形是等腰三角形．
3．等边三角形的性质：(1)三边相等；(2)三个内角都相等，都为；(3)是轴对称图形有条对称轴．
4．等边三角形的判定：(1)三边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个内角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是度的等腰三角形是等边三角形．
5．直角三角形的性质：(1)两个锐角互余；(2)直角三角形斜边上的中线等于的一半；(3)在直角三角形中，
30角所对的直角边等于的一半．(4)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即（式子）．
6．直角三角形的判定：(1)有一个角是的三角形是直角三角形；(2)勾股定理逆定理.
例1文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图1），她们对各自所作的辅助线描述如下：
文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”;
彬彬：“作△ABC的角平分线AD”．
数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正
确的，而文文的作法需要订正．”
(1)请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；
(2)根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程.
例2如图2，在等边△ABC中，，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=CE，
∠+∠= .
则B C D C B E
例3（典题）如图3，点O 是等边△ABC 内一点，110,.AO B BO C α∠=∠= 将B O C ∆
绕点C 按顺时针方向旋转60 得△ADC，连结OD ． (1)求证：△COD 是等边三角形；
(2)当150α= 时，试判断△AOD 的形状，并说明理由； 拓展 (3)探究：当α为多少度时，△A OD 是等腰三角形？
例4若一个直角三角形的两边长分别为3、4，第三边长是多少？
一、基础训练
1．已知等腰三角形的一个内角为 50则这个等腰三角形的顶角为( )．
50.A
80.B .5080C
或 .4065D
或
2．如图4，△ABC 中，D 、E 两点分别在AC 、BC
上，AB=AC ，CD ＝DE.若A ∠=40, :A B D D B C
∠∠3:4,=则
BDE ∠=( )．
25.A 30.B 35.C
40.D
3．图5-1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图5-2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．
二、提高训练
4．如图6，P 是正△ABC 内的一点，若将P A B 绕点A 逆时针旋转到',P AC ∆则'PAP ∠的度数为 .
5．如图7，四边形ABCD 、EFGH 、NHMC 都是正方形，边长分别为a 、b 、c ；A 、B 、N 、E 、F 五点在同一直线上，则c=____（用含有a.b 的代数式表示）．
6．将直角边长为5cm 的等腰直角△ABC 绕点A 逆时针旋转15 后得到'',AB C ∆则图8中阴影部分的面积是 .2
cm
8．如图10,已知,30,Rt ABC Rt D EC E ∆≅∠=
D 为AB 的中点，AC=1，若△DEC 绕点D 顺时针旋转，使ED 、CD 分别与R t A B C ∆的直角边BC 相交于M 、N ，则当M 、N 为等边三角形时，AM 的值为（ ）．
A 332.
B C 1.D
9．如图11，在△ABC 中，点D 在边AC 上，DB —BC ，点E 是CD 的中点，点F 是AB 的中点. (1)求证：EF=
;21AB
(2)过点A 作AG∥EF，交BE 的延长线于点G ，求证：A B E ≅ .A G E ∆
10.已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在BC 上任一位置（如图12-1所示）时，易证得结论：
.
2
2
PA PC +22PD PB +=，请你探究：当点P 分别在图12-2、图12-3中的位置时，
2
2
2
PA PB PC 、、和2
PD 又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图12-2证明你的结论．
(1)答：对图12-2的探究结论为 . 对图12-3的探究结论为 .
(2)证明：如图12-2．。
