《二次根式和它的性质(1)》导学案

二次根式导学案教案课程名称：二次根式导学案适用年级：高中数学（高一或高二）导学目的：1.理解二次根式的含义与性质；2.掌握二次根式的化简与运算规则；3.运用二次根式解决实际问题。

导学内容：1.二次根式的概念A.二次根式是形如√a（a≥0）的根式，其中a称为被开方数；B.当a为非负实数时，存在唯一的非负实数b，使得b²=a，即√a=b；C.若a为非负实数，而b为正实数，则√a记为±b，其中“±”表示正负号的取值。

2.二次根式的性质A.二次根式的值域为非负实数；B.二次根式满足乘方运算规律：(√a)²=a，√(a²)=，a，（，...，表示取绝对值）；C. 二次根式满足四则运算规律：（1）加减运算：√a±√b =√(a±2√ab+b)（2）乘法运算：√a*√b = √(ab)（3）除法运算：√a/√b = √(a/b)。

3.二次根式的化简A.将二次根式化简为最简形式的方法：①提取公因数；②合并同类项；③分解因式。

导学任务：1.计算以下二次根式的值，并判断其是否为整数或无理数：A.√9；B.√16；C.√7；D.√15；2.将下面的二次根式化简为最简形式：A.√12；B.√32；C.√75；D.√98；3.通过合并同类项的方法，将以下二次根式进行化简：A.2√3+3√3；B.√6-3√2+4√2；4.解决以下实际问题：A.一个正方形的面积为128平方单位，求其边长；B.一个长方形的面积为72平方单位，宽是√2个单位，请求其长度。

导学提示：1.在计算二次根式的过程中，应注意，即使在被开方数前有系数，系数的平方根仍需要提取出来；2.化简二次根式时，注意合并同类项的原则，相同根号下的数值项可以进行合并；3.解决实际问题时，可以将问题转化为方程求解，或者利用几何性质进行解答。

导学总结：通过本次导学，我们学习了二次根式的概念与性质，掌握了二次根式的化简与运算规则，并通过实际问题的解决，巩固了所学知识。

22.1 二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件。

3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。

三、学习过程（一）复习引入：（1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。

（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。

（二）提出问题1、式子a 表示什么意义?2、什么叫做二次根式？3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么？4、)0()(2≥=a a a 的意义是什么？5、如何确定一个二次根式有无意义？（三）自主学习自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题：1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34，5-，)0(3≥a a ，12+x 2、计算 ：(1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)31( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是 。

2)3(________)(2=a 43、当a为正数时指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。

所以，在二次根式中，字母a 必须满足 ,才有意义。

（三）合作探究 1、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ： x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ①43-x ②223x + ③ 2、（1）若33a a ---有意义，则a 的值为___________．（2）若 在实数范围内有意义，则x 为（ ）。

二次根式及其性质 （1）主备人: 备课时间： 第一周学习目标: 1.了解二次根式的概念，会计算二次根式的平方。

2．知道二次根式有意义的条件。

3.会把非负数写成一个数的平方的形式。

重点: 了解二次根式的概念，会计算二次根式的平方。

难点: 二次根式有意义的条件。

一、认定目标: (学生读出目标, 1分钟) 二、预习导航：（一） 1．如果一个数的平方等于a ，这个数叫做a 的__________.2．一个正数的平方根有_________，它们____________，其中正的平方根叫做这个数的_________，0的平方根是__________，0的算术平方根是___________，负数_________。

3．求一个数___________的运算，叫开平方。

4．16的平方根是__________，算术平方根是____________。

5．a-1(a≥1)的平方根是_____________，算术平方根是______________。

（二）、阅读课本第4—6页中间的内容，记住二次根式的定义，并会判断二次根式在什么情况下有意义。

并完成下列题目，时间为8分钟。

1． 计算：2= 2= 2=2． a 为什么实数时，下列各式有意义？a３.计算：（１）(2= （２）(2=（３）2⎛-= ⎝ （４）(2=４.下列非负数分别写成一个数的平方的形式： （1）5 （２）２.8 待解决的问题新发现的问题三、自主探究：合作交流：先小组交流，小组内解决不了的问题由组长提交班内交流，班内交流解决不了的由老师点拨精讲。

四、题组训练:(学生独立完成,用时10分钟)1a 满足的条件是------------2．(22________=-=____=3．((22____=-=--=--4．计算22____⎛⎛+-= ⎝⎝ 5．x 满足什么条件时，下列式子有意义？31xx +___________（26．若x-2 ___ 五、精讲点拨；(1) (a ≥0) 是一个______数。

第十六章二次根式16.1二次根式第1课时二次根式的概念一、新课导入1.导入课题同学们，你能写出下列问题的结果吗？(1)面积为5的正方形的边长是多少？(2)面积为S的正方形的边长是多少？(3)圆柱的体积为V，高为5，则它的底面半径r是多少？(学生回答结果，老师在黑板上写出)的这些结果有什么共同特点呢？2.学习目标（1）掌握二次根式的基本特征.（2）理解二次根式有意义的条件.3.学习重、难点重点：准确判断一个式子是不是二次根式.难点：求被开方数中所含的字母的取值范围的依据.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P2例1上面的部分.（2）自学时间：3分钟.（3）自学方法：完成思考中的问题，从形式和被开方数分别满足的条件两个方面理解二次根式的意义.（4）自学参考提纲：①教材思考中三个问题的答案依次为②上述四个式子有什么共同特征呢？共同特征：它们表示一些正数的算术平方根.③什么样的式子叫做二次根式？形如a(a≥0)的式子叫做二次根式.④想一想：如果a＜0，则a是否是二次根式？不是2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否掌握上述问题结果的式子的特点.②差异指导：引导学生从“形式”和“被开方数取值”两个方面进行分析.（2）生助生：学生相互研讨疑难之处..4.强化（1）下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16，34，5-，12+x .答案：3,16,12+x 是二次根式；34,5-不是二次根式，34因为不是开平方，5-的被开方数为负数.（2）解答教材P3第1题.令长方形的长、宽分别为3xcm ，2xcm ，则3x·2x=18，得x 2=3，∴x=，3x=3，2x=2.∴长方形的长、宽分别为3cm 和2cm.（3）形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.注意：被开方数a ≥0.1.自学指导（1）自学内容：教材2P 例1及后面的思考部分.（2）自学时间：3分钟.（3）自学方法：完成自学参考提纲.（4）自学参考提纲：①确定式子2-x 中字母x 的取值范围的依据是什么？解题步骤是什么？答案：依据是二次根式的概念，x ≥2.②a 取何值时，下列各二次根式有意义？1-a ；32+a ；a -；a -5.答案：a ≥1;a ≥23-;a ≤0;a ≤5.③若a a -+-11有意义，则a 的值为1.2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：明了学生对例题不等式的得出的理由是否清楚.②差异指导：指导学生分析使2x 与3x 在实数范围内有意义的条件.（2）生助生：同桌之间相互研讨.4.强化（1）确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围的一般步骤是：①根据a 中a ≥0的条件列不等式；②解不等式；③确定字母的取值范围.（2）归纳总结本节所学知识点和数学思想方法.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：学生代表交流自己的学习收获和困惑.2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：对学生在学习中的态度、方法和收获进行点评.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时开始时创设情境，给出实例，使学生独立思考并作答，并适当提出疑问，引出这节课的内容，充分发掘了学生的主体性.二次根式是本书学习的第一个知识点，也是本章的第一个知识点，为之后学习二次根式的加减乘除、勾股定理等知识打下基础.教学时，不仅强化了学生独立思考、探究的能力，还提高了学生的合作交流能力.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（60分）1.(10分)已知一个正方形的面积是3，那么它的边长是3.2.(10分)使3+x 有意义的x 的取值范围是x ≥-3.3.(10分)下列各式中一定是二次根式的是(B )A.1+x B.2)1(+x C.12-a D.x14.(10分)二次根式a1中，字母a 的取值范围是(D )A.a ＜0B.a ≤0C.a ≥0D.a ＞05.(20分)当a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)2+a ；(2)a -3；(3)25a ；(4)12-a .解：(1)a ≥-2;(2)a ≤3;(3)a 为任意实数；(4)a ≥21.二、综合运用(20分)6.当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)12+x ；(2)2)1(-x ；(3)21--x ；(4)11-+x x .解：(1)x 为任意实数；(2)x 为任意实数；(3)x<2;(4)x ≥-1且x ≠1.三、拓展延伸(共20分)7.求使xx --21在实数范围内有意义的x 的取值范围.解：由题意得⎩⎨⎧≥-,0-2,01＞x x ∴1≤x<2.16.1二次根式第2课时二次根式的性质一、新课导入1.导入课题我们知道二次根式a 中a ≥0，那么二次根式a 还有哪些性质呢？今天我们学习“二次根式的性质”(板书课题).2.学习目标（1）知道a ≥0(a ≥0)，会用非负数的性质解题.（2）会用公式()2a =a (a ≥0)进行计算.（3）知道形如2a 的化简方法及结果.3.学习重、难点重点：a ≥0(a ≥0)，()2a =a (a ≥0).难点：运用公式()2a =a (a ≥0)和2a =a (a ≥0)进行计算化简.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：探究：a (a ≥0)及a (a ≥0)中a 的值的特点.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：围绕探究提纲进行演算归纳.（4）探究提纲：①当a >0时，a 是什么数？当a =0时，a 是什么数？当a 有意义时，a 是什么数？②从①中我们可以探究得出：当a ≥0时，a 是非负数，即a≥0.③从a (a ≥0)所表示的数值特点，你知道还有哪些式子的值具有这种特性？④已知()0112=++-y x ,求x ，y 的值.(x=1,y=-1)2.自学：学生参照探究提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生在探究中存在的认识偏差和困惑.②差异指导：引导学生分析a 表示的数值特点，归纳已学过的非负数及其和为0时所满足的条件.（2）生助生：学生相互交流、帮助.4.强化（1）当a ≥0时，a ≥0，即a 的值为非负数.（2）回顾所学过的三类非负数：①一个数的偶次幂；②一个数的绝对值；③a (a ≥0).（3）非负数的性质：若x +2y +|z|=0，则x=y=z=0.（4）练习：已知01=+++y x x ,求x ，y 的值.答案：x=-1,y=1.1.自学指导（1）自学内容：探究()2a (a ≥0)的结果.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：通过回顾算术平方根的意义，归纳()2a (a ≥0)的结果.（4）探究提纲：①∵3的算术平方根是3，∴()23=3.②∵32的算术平方根是32，∴232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32.③∵非负数a 的算术平方根是a ，∴()2a (a ≥0)=a .④∵()222ba ab =，∴(()2223=⨯=18.⑤计算：答案：3；18；25；21.⑥由①—⑤的探讨，归纳得出：一般地，()2a =a (a ≥0).2.自学：学生可结合探究提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生对()2a (a ≥0)的值的理解.②差异指导：指导学生应用()2a (a ≥0)的结果进行计算.（2）生助生：相互交流帮助，矫正错误，归纳正确结论.4.强化（1）强调()2a =a (a ≥0)及其应用.（2）强调公式()2ab =22b a 和2⎪⎭⎫ ⎝⎛b a =22ba在二次根式计算中的运用.（3）展示本节所学知识点和数学思想方法.1.自学指导（1）自学内容：探究：当a ≥0时，2a 等于什么？若a 的值无限定，2a 又等于什么？（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：结合探究提纲动手尝试2a (a ≥0)和2a 的化简，结果有何不同？（4）探究提纲：①==4222；==⎪⎭⎫ ⎝⎛4121221；==36.06.020.6；由此可以看出：当a ≥0时，2a =a 。