广义积分问题1. 计算⎰-23212xx dx .解 被积函数有奇点1=x ,因而问题属暇积分,但易知,该暇积分收敛()()32ln 221ln 12sin 12123121212312223212++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-+-=-⎰⎰⎰πx x x x arc x x dxxx dx xx dx2. 求()()⎰--=22x tdt e t x f 的最大、最小值. 解 因为()x f 为偶函数,故只需求函数在[)+∞,0上的最大、最小值. 令()()02222=-='-x e x x x f ,得2=x 为唯一驻点,且当20<<x 时,()0>'x f ,当2>x 时,()0<'x f .因此2=x 为极大值点,即最大值点,函数的最大值为()()22122--+=-=⎰e dt et ft,()()()122lim 0=+--=-=+∞-+∞-+∞-+∞→⎰tt t x e e t dt e t x f ,又()00=f ,因此最小值为0.3. 讨论⎰+∞2ln x x dxp 的收敛性(p 为常数)解 当1=p 时, ()+∞==∞++∞⎰22ln ln ln x xx dx p ,发散. 当1≠p 时,()+∞-∞+-=⎰22ln 11ln p p xpx x dx ,所以,当1>p 时,广义积分收敛;当1≤p 时,广义积分发散(极限不存在).4. 讨论广义积分⎰+∞-021xedx 的收敛性.解 因为0=x 为暇点,于是,广义积分是混合型,应分别进行讨论.⎰⎰+∞--=10122211,1xxedx I edx I由于211lim 111lim 2020=-=-++→→x x x x e x xe ,而⎰10x dx 收敛,故1I 收敛,由于01lim 111lim2222=-=-+∞→+∞→x x x x e x xe ,而⎰+∞12x dx 收敛,故2I 收敛,所以广义积分⎰+∞-021x e dx 收敛.5. 设p 为任意实数,讨论⎰+∞=0arctan dx x xI p 的收敛性.解 因为0=x 为暇点,该广义积分为混合型, ⎰⎰+∞+=110arctan arctan dx xxdx x x I p p . 对于第一个积分,当+→0x 时,p x x arctan 与11-p x为同阶无穷大量,因此,当2<p 时,收敛(注意:当0≤p 时,此积分为普通定积分)对于第二个积分,取比较对象⎰+∞11dx x q.考虑极限 x x xx x pq x p qx arctan lim arctan lim -+∞→+∞→=,该极限只有在q p ≥时才存在(等于零或2π),因此,当1>q ,即1>≥q p 时,第二个积分收敛,而1=p 时,第二个积分显然发散.综上分析,原广义积分在21<<p 时收敛,当1≤p 或2≥p 时发散.6. 计算广义积分⎰+∞-121x x dx .解 该广义积分为混合型积分,需分成两个积分进行计算21arcsin1arcsin 1112212221212π=+=-+-=-∞+∞+∞+⎰⎰⎰x x x x dxx x dx x x dx .7. 计算⎰+∞12arctan xxdx. 解()Cxx x x x x dx x x x xd dx x x +++-=++-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰⎰⎰2221ln arctan 1arctan 1arctan arctan ,所以,原积分2ln 2141ln arctan 12+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+∞πx xx x . 8.计算()21xx xe dx e -+∞-+⎰.解 因为()()()()20001111111ln 1ln 2ln 1ln 2ln 2ln 1111bxxb b b b xx x b x x b bb b b bxe x dx b e dx xd dx ee e e e e b b b e b b e e e e e---------⎛⎫==-=- ⎪+++++⎝⎭+=-++=---++=--++++⎰⎰⎰⎰所以原式()lim ln 2ln 1ln 21b b b b e e -→+∞⎛⎫=--+= ⎪+⎝⎭. 9. 求241x dx x +∞+⎰. 解 令21,dtx dx t t==-,所以2440011x dt dx x t +∞+∞=++⎰⎰,故222442000022111111112221112d x x x x xdx dx dx x x x x x x +∞+∞+∞+∞⎛⎫-+⎪+⎝⎭===++⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭==⎰⎰⎰⎰10. 求+∞⎰解 令tan x t =,则 原式()()()2222222220sin sec cos arctan sin 42sin cos 1sin 2tan1sec d t ttdt dt t t t tt tπππππ=====+++⎰⎰⎰. 11.求131x xdxe e+∞+-+⎰. 解()()12122322111141()1x x x x d e dx ee e e e π-+∞+∞---==++⎰⎰. 12. 求()22200a x x I edx a ⎛⎫-+ ⎪+∞ ⎪⎝⎭=>⎰.解222222222120a a a x x x x x x I edx dx edx I I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪+∞+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==+=+⎰⎰定义,令ax t=,则22212a t t a I e dt t ⎛⎫-+ ⎪+∞ ⎪⎝⎭=,所以2221a x a x a I e dx x ⎛⎫---+∞ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令at x x=-,则22202at a I ee dt +∞---==⎰.13. 判别下列反常积分的收敛性: (1)31xx e dx +∞-⎰; (2)()2ln ln xe dxx +∞⎰; (3)3sin x xdx x +∞-⎰; (4) ()22sin 12sin p pxdx p x x x +∞⎛⎫> ⎪+⎝⎭⎰; (5)221cos dx x +∞⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰;(6)21+∞⎰; (7)21ln1px dx x +∞+--⎰. 解 (1) 根据()33525!15!x x x x e x x<=≥,即可知,反常积分收敛;(2) 注意当x 适当大时有()ln 2ln xx x >,所以,反常积分收敛;(3) 注意到3sin 1lim 3!x x x x +→-=,可知,被积函数在0x =可延拓成为连续函数.而 ()332sin 2202x x x x x x x-<<=≥,所以,反常积分收敛; (4) 只需注意到()()2sin 1sin 1ppppx xxx xx<+-,可知反常积分收敛;(5) 因为()222121cos 2sin ~x x x x-=→+∞,故反常积分收敛; (6)因为limx =故,反常积分发散;(7)=以及()1221lnln 1~111x O x x x x x +⎛⎫⎛⎫=+=→+∞ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭,所以()1211ln 1pp x O x x x +⎛⎫+ ⎪=→+∞ ⎪-⎝⎭,因而,当0p >时,反常积分收敛,而当0p ≤时,反常积分发散;14. 判别下列积分的收敛性:(1) 1sin tan x dx x +∞⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰; (2) 11ln cos p x dx x +∞⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰; (3) 1sin p x xdx +∞⎰.解 (1) 由于()()3tan 0u u O u u =+→,所以()3sin sin 1tan x x O x x x x ⎛⎫⎛⎫=+→∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 注意到上式中的第二项对应的反常积分是绝对收敛的,第一项在[]1,+∞是收敛的,故收敛;(2) 因为被积函数是负值,所以,只需看反常积分11ln cos p x dx x+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰的收敛性,而 ()22222211111ln 1ln cos 21122p pp p p x xx x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭⎣⎦⎝⎭-=-=-=+→+∞ ⎪⎝⎭从而()21ln cos 1~2p p x x x x+⎛⎫ ⎪⎝⎭-→+∞,即当1p >-时,反常积分收敛,1p ≤-时发散. (3) 取2,242nnx n x n ππππ'''=+=+,则()24sin sin sinn n nnp x x pppnx x x xdx x xdx nxdx ππ'''''''≥≥=⎰⎰⎰,由Cauchy 收敛准则知,反常积分发散.15. 计算下列反常积分:(1)()21xx xe dx e -+∞-+⎰; (2)241x dx x +∞+⎰. (3). 0+∞⎰(4)131x x dxe e+∞+-+⎰; (5) ()22200a x x I e dx a ⎛⎫-+ ⎪+∞ ⎪⎝⎭=>⎰.解 (1)因为()()()()20001111111ln 1ln 2ln 1ln 2ln 2ln 1111bxxb b b b xx x b x x b b bb b bxe x dx b e dx xd dx ee e e e e b b b e b b e e e e e ---------⎛⎫==-=- ⎪+++++⎝⎭+=-++=---++=--++++⎰⎰⎰⎰所以原式()lim ln 2ln 1ln 21b b b b e e -→+∞⎛⎫=--+= ⎪+⎝⎭. (2) 令21,dtx dx t t==-,所以2440011x dt dx x t +∞+∞=++⎰⎰,故222442000022111111112221112d x x x x xdx dx dx x x x x x x +∞+∞+∞+∞⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭===++⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭==⎰⎰⎰⎰(3)令tan x t =,则 原式()()()2222222220sin sec cos arctan sin 42sin cos 1sin 2tan1sec d t ttdt dt t t t tt tπππππ=====+++⎰⎰⎰. (4)()()12122322111141()1x x x x d e dx e e e e e π-+∞+∞---==++⎰⎰.(5) 222222222120a a a x x x x x x I edx dx edx I I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪+∞+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==+=+⎰⎰定义,令ax t =,则22212a t t a I e dt t⎛⎫-+ ⎪+∞ ⎪⎝⎭=,所以2221a x a x a I e dx x ⎛⎫---+∞ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令at x x=-,则22202a t a I e e dt +∞---==⎰.16. 判别下列反常积分的收敛性: (1)31xx e dx +∞-⎰; (2)()2ln ln xe dxx +∞⎰; (3)3sin x xdx x +∞-⎰; (4) ()22sin 12sin p pxdx p x x x +∞⎛⎫> ⎪+⎝⎭⎰; (5)221cos dx x +∞⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰;(6)21+∞⎰; (7)21ln1px dx x +∞+--⎰. 解 (1) 根据()33525!15!x x x x e x x<=≥,即可知,反常积分收敛;(2) 注意当x 适当大时有()ln 2ln xx x >,所以,反常积分收敛;(3) 注意到3sin 1lim 3!x x x x +→-=,可知,被积函数在0x =可延拓成为连续函数.而 ()332sin 2202x x x x x x x-<<=≥, 所以,反常积分收敛;(4) 只需注意到()()2sin 1sin 1ppppx xxx xx<+-,可知反常积分收敛;(5)因为()222121cos 2sin ~x x x x-=→+∞,故反常积分收敛; (6)因为limx =故,反常积分发散;(7)=以及()1221lnln 1~111x O x x x x x +⎛⎫⎛⎫=+=→+∞ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭,所以()1211ln 1pp x O x x x +⎛⎫+ ⎪=→+∞ ⎪-⎝⎭,因而,当0p >时,反常积分收敛,而当0p ≤时,反常积分发散;17. 判别下列积分的收敛性:(1) 1sin tan x dx x +∞⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰; (2) 11ln cos p x dx x +∞⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰; (3) 1sin p x xdx +∞⎰.解 (1) 由于()()3tan 0u u O u u =+→,所以()3sin sin 1tan x x O x x x x ⎛⎫⎛⎫=+→∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 注意到上式中的第二项对应的反常积分是绝对收敛的,第一项在[]1,+∞是收敛的,故收敛;(2) 因为被积函数是负值,所以,只需看反常积分11ln cos p x dx x+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰的收敛性,而 ()22222211111ln 1ln cos 21122p pp p p x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭⎣⎦⎝⎭-=-=-=+→+∞ ⎪⎝⎭从而()21ln cos 1~2p p x x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭-→+∞,即当1p >-时,反常积分收敛,1p ≤-时发散.(3) 取2,242nnx n x n ππππ'''=+=+,则()24sin sin sin n n nnp x x pppnx x x xdx x xdx nxdx ππ'''''''≥≥=⎰⎰⎰,由Cauchy 收敛准则知,反常积分发散.18. 试判别下列积分的绝对收敛性:(1)()1cos 1p x I dx p x +∞=>⎰;(2) 1I x +∞=⎰; (3) 31sin I x dx +∞=⎰; (4) 21cos 1I dx x +∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰解 (1) 注意到不等式cos 1p px x x ≤,根据比较判别法知,I 绝对收敛. (2)321x≤=,根据比较判别法知,I 绝对收敛.(3) 应用变量替换2x t =以及分部积分法,可得31112111cos 224t I dt t +∞+∞+∞==-⎰⎰, 注意到312cos t dt t+∞⎰是绝对收敛的(用比较判别法易知),故I 绝对收敛.(4) 因为()211cos1~2x x x--→+∞,所以I 绝对收敛. 19. 试判别下列积分的收敛性: (1) ()1sin 0px I dx p x +∞=>⎰. (2) ()()sin 1sin 20xp x I edx p x +∞=>⎰. (3) ()320sin 2I x x dx +∞=+⎰. (4) ()1sin 0sin xI dx x xαα+∞=>-⎰.(5) 321cos sin 1x I x dx x +∞⎛⎫=⎪+⎝⎭⎰.解 (1)应用Dirichlet 判别法,因为()sin f x x =的原函数有界,而()1pg x x =在[)1,+∞上单调递减趋于零,故I 收敛.(2) 因为sin sin 2xex 的原函数是()sin 2sin 1x e x -为有界函数,而()1p g x x=在[)1,+∞上单调递减趋于零,故I 收敛.(3)令1x =,则22x x t +=,我们有3012I +∞=⎰,而在[)0,+∞上单调递减趋于零,且由()()323001sin 1cos cos 1cos 1cos 3x xtdt t d t x x =--=---⎰⎰, 故3sin x 的原函数是有界的,从而I 收敛. (4) 用Taylor 公式把被积函数写成()222222sin sin 1sin sin 1sin sin 11sin sin 1sin 1cos 21,22x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ααααααααααααα⎛⎫⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ⎪- ⎪⎝⎭⎛⎫=+-+→+∞ ⎪⎝⎭根据Dirichlet 判别法,积分1sin xdx x α+∞⎰,()21cos 202x dx xαα+∞>⎰都收敛,而积分221112dx x x αα+∞⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰在21α>即12α>时是收敛的;在12α≤是发散的.综上所述,反常积分I 在12α>时收敛,在12α≤时发散. (5) 对3cos sin 1x x ⎛⎫⎪+⎝⎭用Taylor 公式,得()()35333232332233cos cos 1cos 1cos 1cos 1sin 113!113!1x x x x x x x x x O O x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=-+=-+→+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 注意到()()3110,011x x x →→→+∞++,而且23cos x x 及233cos x x 的原函数是有界的,因此积分()23233300cos cos ,11x x x x dx dx x x +∞+∞++⎰⎰都收敛,而()31O x x ⎛⎫→+∞ ⎪⎝⎭是绝对收敛的,故反常积分I 收敛.数项级数问题1. 设R a ∈,判断级数∑∞=2!n n n nn a 的收敛性.解 (1) 当0≠a 时,记0!>=nn n nn a u ,且 ()()e a n a n a n n n a u u n n n nn n n nn n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅++=∞→++∞→+∞→11lim !1!1lim lim 111, 因此,当e a <时,原级数绝对收敛,当e a >时,原级数发散.当e a =时,因为序列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11为单调递增趋于e ,所以1111>⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+nn n n a u u ,于是0lim ≠∞→n n u ,所以,原级数必然发散.当0=a 时,原级数显然绝对收敛.综上分析,当e a <时,原级数绝对收敛,当e a ≥时,原级数发散.2. 设参数R ∈θ,讨论级数∑∞=1cos 1n n nθ的收敛性. 解 因为θθθcos cos 1cos lim1=⋅++∞→n n n nn ,所以,当1cos <θ,即k k (πθ≠为整数)时,级数∑∞=1cos 1n n n θ绝对收敛;当1cos =θ,即πθk 2=时,级数∑∞=1cos 1n nn θ∑∞==11n n 发散;当1cos -=θ,即()πθ12+=k 时,级数∑∞=1cos 1n nn θ()∑∞=-=11n nn 条件收敛. 3. 设{}n n a a ,0>单调递减,且()∑∞=-11n n na 发散,试问∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+111n nn a 是否收敛?解 因为数列{}n a 非负单调递减,所以极限n n a ∞→lim 存在,记A a n n =∞→lim ,由极限的保序性,则0≥A .由于交错级数()∑∞=-11n n na 发散,根据莱布尼茨判敛法知0≠A ,故0>A .由极限的性质,存在正整数N ,使当N n ≥时,有02>>Aa n ,故当N n ≥时,有()nnn A a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+<211110,由于几何级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1211n n A 收敛,由比较判别法知,级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+111n nn a 收敛. 4. 讨论级数()∑∞=-+1212n n n的收敛性. 解 记级数的一般项0>n a 且()∞→→n a n 0,极限()()()2112lim 21212lim 11=-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∞→∞→nnn nn nn 故原级数收敛.(注:比值判别法因极限不存在,故失效)5. 讨论级数∑∞=-1232n nn 的收敛性. 解 因为121322212lim lim 11<=-⋅-=+∞→+∞→n n a a n n n nn n ,因此,该级数收敛.6. 讨论级数∑∞=12!n n n 的收敛性. 解 因为()+∞=+=⋅+=∞→+∞→+∞→21lim !22!1lim lim 11n n n a a n n n n nn n ,因此,该级数发散.7. 讨论级数∑∞=1!n n n n 的收敛性. 解 因为()()11111lim !1!1lim lim11<=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⋅++=∞→+∞→+∞→en n n n n a a nn nn n nn n ,因此,该级数收敛. 8. 设参数R p ∈,且11lim 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n pn a e n ,就参数p 的取值情况讨论∑∞=1n n a 的收敛性.解 因为⇒==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞→∞→1lim 1lim 11np n n n pn a n a e n ⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=----p p p p n n n n n a 1111111 ,因此,只有当011<⇒<-p p 时,∑∞=1n na收敛.9. 设 ,2,1,cos sin 40==⎰n xdx x I nn π,求∑∞=1n n I .解 因为()1401402111sin 11cos sin ++⎪⎭⎫⎝⎛+=+==⎰n n nn n x n xdx x I ππ所以∑∞=1n n I ∑∞=+⎪⎭⎫⎝⎛+=112111n n n ,令()∑∞=++=1111n n x n x f ,则()1,111<-=='∑∞=x x x x f n n ,所以()()⇒--=-='=⎰⎰x dt t dt t f x f xx1ln 1100⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛=-∞=∑21121ln 21f I n n . 10. 设两条抛物线n nx y 12+=和()1112+++=n x n y ,记它们的交点横坐标的绝对值为n a ,求(1) 这两条抛物线所围成的平面图形的面积; (2) 级数∑∞=1n nna S 的和. 解 (1) 交点坐标的绝对值为()11+=n n a n ,因图形关于y 轴对称,于是()()[]23020221134)1(1211112+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=⎰⎰n n dx x n n dx n x n n nx S n n a a n . (2) ()134+=n n a S n n ,3411134lim lim 11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==⇒∞→=∞→∞=∑∑n a S a S n nk k k n n n n .函数项级数问题1. 求下列级数()1n n f x ∞=∑的收敛域.(1)11n n n x I x ∞==-∑; (2) 211n n n x I x ∞==+∑; (3) 121313n nn nn x I x x∞=+⎛⎫=≠- ⎪+⎝⎭∑;解 (1)设()()1,2,1nn nx f x n x ==-,它们的公共定义区域为1x≠.(ⅰ)对于()01,1x ∀∈-,因为()()100001001limlim 11nn n n n n f x x x x f x x ++→∞→∞-==<-,由比式判别法知,级数0101n nn x x ∞=-∑绝对收敛. (ⅱ)对于满足01x >的任意一点0x ,因为()00lim lim 101n n nn n x f x x →∞→∞==≠-,所以,级数0101n nn x x ∞=-∑发散. 综上所述,I 的收敛区域是()1,1-.(2) (ⅰ)当1x <时,因为()n n f x x <,所以,级数绝对收敛; (ⅱ)因为()1n n f f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭,所以,令1t x =,可知,当1t <,即1x >时,级数也绝对收敛,而当1x =时,有()12n f x =,因而级数发散. 综上所述,I 的收敛区域是(){},\1,1-∞+∞-. (3) (ⅰ)因为当0x =时,()02nn f =,所以,此时I 发散;(ⅱ)当0x ≠时,有()2123311313nn n n n n nn n x x f x x x⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++,故当22133x x <⇒>时,I 收敛. 综上所述,I 的收敛域为22,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2. 求函数项级数()10nn n x I a n a ∞==≥+∑的敛散性区域: 解 (ⅰ)当01a ≤<时,因为n x =,所以I 在()1,1-内收敛;当1x >时,limnnn xn a →∞→+∞+,所以I 发散;当1x =时,11n n a n<+,由比较判别法可知,级数I 发散;当1x =-时,用Abel 判别法可知,级数()11n nn n a∞=-+∑收敛,故I 的收敛域为[)1,1-.(ⅱ)当1a >时,1111nn n nn n x x I n a a na∞∞-==⎛⎫== ⎪++⎝⎭∑∑,所以,当x a <时, 11nnn x x a na a -⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭,由比较判别法知,I 绝对收敛;当x a >时,1lim 1nn n x a na -→∞⎛⎫=+∞ ⎪+⎝⎭,所以,级数I 发散;当1x =±时,由lim1nnn a n a →∞=+知, 级数I 发散.故级数I 的收敛域为(),a a -. 3. 试判别下列函数列(){}n f x 在指定区间上的一致收敛性: (1)()[]1,0,1n n n f x x x +=-; (2)()()2,,1n xf x nx=-∞+∞+;(3)()[],0,1nx n f x n xe α-=. 解 (1)()()[]()lim 0,0,1n n f x f x n x →∞==→∞∈,而[]()()[]10,10,1sup sup n n n x x f x f x x x +∈∈-=-,因为()1111n n n d n x x nx x dx n +-+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,令()10n n d x x dx +-=,得1n x n =+是函数1n n x x +-在[]0,1上的最大值点,所以[]()()()0,111sup 101nn x f x f x n n n -∈⎛⎫-=-→→∞ ⎪+⎝⎭,从而(){}n f x 在[]0,1上一致收敛于零.(2) ()()()()lim 0,,n n f x f x n x →∞==→∞∈-∞+∞,而()()()()2,,supsup1n x x x xf x f x nx ∈-∞+∞∈∈-∞+∞-=+, 因为()2222111d x nx dx nx nx -⎛⎫= ⎪+⎝⎭+,令201d x dx nx ⎛⎫= ⎪+⎝⎭,得x =是函数21x nx +在(),-∞+∞上的最大值点,所以[]()()()0,1sup 0n x f x f x n ∈-=→→∞ ,从而(){}n f x 在[]0,1上一致收敛于零.(3)令()()10nxn f x n e nx α-'=-=,可知()n f x 在1x n =处达到最大值:()111n f n e n n α--+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,所以,当1α<时,()n f x 在[]0,1上一致收敛于零.4. 试判定下列函数列(){}n f x 在指定区间上的一致收敛性:(1)()()1sin ,,2n nx f x n +⎛⎫=-∞+∞⎪⎝⎭; (2)()[)1sin ,1,n f x n nx ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭;(3)()()[)2ln ,1,n nx f x nx =+∞; (4)()()ln 1,0,10n n x f x x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (5)()()()0,,n f x x α=>∈-∞+∞; (6)()[]11,1,n n f x n x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭; (7)()()1,,nn x f x a b n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;(8)()(),n f x =-∞+∞. (9)()12,01,,11,11,2.x n n x x n f x e x x n ⎧+≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪-≤⎪⎩(注:为了证明()()()(),sup0n x f x f x n ∈-∞+∞-→→∞,我们可适当放大()()(),sup n x f x f x ∈-∞+∞-成为n A ,并保证有0()n A n →→∞即可,本题就是这类题目)解 (1)()()()()sin,,2n xf x f x n x →=→∞∈-∞+∞,又因为 ()()()112111sinsin 2cos sin 2sin 0224442n nx x nx f x f x n n n n n n++-=-=⋅≤≤→→∞, 所以,()()()(),1sup02n x f x f x n n ∈-∞+∞-≤→→∞,故(){}n f x 在(),-∞+∞上一致收敛于sin 2x. (2) ()()[)()1,1,n f x f x n x x→=→∞∈+∞,又因为 ()()()()221111111sinsin 0222n n f x f x n n n nx x nx nx n nx nx -=-=-≤=≤→→∞, 所以, [)()()()1,1sup 02n x f x f x n n ∈+∞-≤→→∞,故(){}n f x 在[)1,+∞上一致收敛于1x. (3) ()()[)()0,1,n f x f x n x →=→∞∈+∞,又因为()()()2ln ln ln ln 10n n x n x f x f x n n x n nx +-=≤+⋅→→∞,所以,()()()[)(),1,ln ln 1supsup 0n x x n x f x f x n nx n ∈-∞+∞∈+∞⎛⎫-≤+→→∞ ⎪⎝⎭,故(){}n f x 在[)1,+∞上一致收敛于sin2x. (4) ()()[)()1,1,n f x f x n x →=→∞∈+∞,又因为函数11tt ⎛⎫+ ⎪⎝⎭严格单调递增有上界e ,故有不等式()()()10101ln 11ln 11ln 0n n xn x f x f x e n n n ⎛⎫⎛⎫-=-+≤-+→-=→∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以, [)()()()101,10sup 1ln 10nn x f x f x n n ∈+∞⎛⎫⎛⎫⎪-≤-+→→∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故(){}n f x 在[)1,+∞上一致收敛于()1f x =.(5)()()()),,n f x f x n x →=→∞∈-∞+∞,()()()()()()1211421/1/1/0,1/1/n n f x f x n n n n n ααααα-==≤=→→∞,所以,()()()(),sup0n x f x f x n ∈-∞+∞-→→∞,故(){}n f x 在(),-∞+∞上一致收敛于()f x =.(6)()()[]()ln ,1,n f x f x x n x b →=→∞∈,()()()1ln 2222ln ln 1ln 1ln 11ln 2ln ln ln 0,0,22n n n x n n n n x xf x f x n x x n e x n e xn n x b b e e n n n nξξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=+--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=≤→→∞<<所以,[]()()()1,sup 0n x b f x f x n ∈-→→∞,故(){}n f x 在[]1,b 上一致收敛于()ln f x x =.(7)()()()(),,xn f x f x en x a b →=→∞∈,()()(){}()22222222121110,max ,,n nnx x x x x xnnn M M bn n x f x f x e ee e e n e en M a b ξξ---⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎢⎥<-→→∞=⎢⎥⎣⎦故(){}n f x 在(),a b 上一致收敛于()x f x e =.(8)()()()1,,1,,1,n x f x f x n x x ⎧≤⎪→=→∞⎨>⎪⎩,由于()n f x 是偶函数,故只讨论0x >时的情况.当1x >时,有()()()()()2221212121112nnn n n n n n n n f x xf x f x nf x x f x x -----⎡⎤⎣⎦-==≤++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦, 所以,[)()()[]()()()()()()0,01,1,1sup sup sup 102n n n x x x f x f x f x f x f x f x n n∈+∞∈∈+∞-≤-+-≤+→→∞, 故(){}n f x 在(),-∞+∞上一致收敛.(9)()()()2,01,,1,1,n x x f x f x n x ≤<⎧→=→∞⎨≤⎩从而有()()1,01,1,12,1,2,x n n x n f x f x e x x n ⎧≤<⎪⎪⎪-=-≤<⎨⎪⎪≤⎪⎩,而()21112x n n e e x -<-≤<且211x ne n n->>, 所以,()()()()2,sup10nn x f x f x e n ∈-∞+∞-=-→→∞,故(){}n f x 在[)0,+∞上一致收敛.5. 试判定下列函数列(){}n f x 的一致收敛性:(1)()(),n f x n =-∞+∞; (2)()()3cos ,0n xn f x x x =>;解 (1) 因为()()()22sin222sin21,,,4n n n nxf x n xπππππ⎡⎤⎛⎫⎫⎢⎥=+-=⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎭⎣⎦=→=→∞∈-∞+∞(ⅰ) 在区间[]()0,0a a>上,由3sin3!xx x≥-可知,[]()()()26330,1sup1043!8nxa n af x f x nnππ∈⎛⎫⎪-≤+→→∞⎝,故(){}nf x在()0,1内不一致收敛.(ⅱ)而在区间(),-∞+∞上,由sin x x≤,可得()()214nxf x f xπ⎛⎫⎪-≥⎝, 从而(){}nf x在(),-∞+∞上不一致收敛.??(2)()()()()31lim,0,nnf x f x n xx→∞==→∞∈+∞,(ⅰ) 在区间()0,1上,因为()()223321cos ln sin212sin222nx x x xxn n n nf x f xxnx x n xn⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎢⎥-===⎪⎛⎫⎢⎥⎝⎭⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以,取31nxn=,则()()2441sin2122n nn nf x nn⎡⎤⎢⎥=→+∞→∞⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,故(){}nf x在区间()0,1上不一致收敛.(ⅱ) 在区间()1,+∞上,因为232211sin222xn nx n x≤≤,即知(){}nf x在区间()1,+∞上一致收敛.6. 判别下列级数在指定区间上的一致收敛性:(1)()10,1nxInx∞==+∞+∑; (2)()2321sin,0,nxIx n x∞==+∞+∑;(3)()()()()22421,0,11arctan 1n n xI n n x x ∞==+∞+++∑; (4)[)221arctan ,0,n x I n x ∞=⎛⎫=+∞ ⎪+⎝⎭∑; (5)()22541sin ,,11n n x x I n n x ∞==-∞+∞++∑; (6)()()521sin ,0,n x n I e nx ∞-==⋅+∞∑; 解 (1) 因为()232111n x f x n nx n ≤=≤≤+, 所以I 在()0,+∞上一致收敛.(2) 因为 ()2323311n x x f x x n xnn x≤=≤++,所以I 在()0,+∞上一致收敛. (3)令()421n x g x n x =+,则()()()1424arctan111n n x f x g x n xπ-≤⋅⋅=+,令()0n g x '=可得21n x n =是()n g x 的最大值点,而且()212n n g x n =,所以,得()()2402n f x x nπ≤<<+∞,即I 在()0,+∞上一致收敛.另解 因()()()()()()()2224222422211arctan 112114n n xn xu x nn x x n n n x ππ=≤≤++++++,而级数()221nπ+∑收敛,故由M-判别法知,级数()()()2242111arctan 1n n xI nn x x ∞==+++∑在()0,+∞上一致收敛.又解 因为211n +∑在区间()0,+∞上渔场一致收敛的,而对任意的()0,x ∈+∞,()()()()()()22424211arctan 111arctan 1n xn xn x x n x x +≥+++++,即()()2421arctan 1n x n x x ⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭是单调减少的,又()()()2242422121arctan 121arctan124n x n x n x x n x ππ≤≤=+++⋅,即()()2421arctan 1n x n x x ⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭在()0,+∞上一致有界,由阿贝尔判别法,知级数一致收敛.(4)令()22n x g x n x =+,令()0n g x '=,可得n x n =是()ng x 的最大值点,且有()12n n g x n =,因此,我们有()2222211arctan arctan 24n x f x n n x n ⎛⎫⎛⎫=≤≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,即I 在[)0,+∞上一致收敛. (5) 令()2441n x g x n x =+,令()0n g x '=,可得541n x n =±是()n g x 的最大值点,且有()5412n n g x n=,因此,我们有()()()534212n n n n n f x ng x ng x nn≤≤=≤,即I 在(),-∞+∞上一致收敛.(6) 令()52nxn g x xe -=,令()0ng x '=,可得521n x n=是()n g x 的最大值点,且有()521n n g x n<,因此,我们有()()()321n n n n f x ng x ng x n≤<≤,即I 在()0,+∞上一致收敛.7. 判别级数()()331,0,1nn x I x ∞==+∞+∑在指定区间上的一致收敛性。
