最新高一数学暑假预科讲义 第2讲 一元二次不等式解法 基础教师版

第二讲 一元二次不等式（一）知识整合1.形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或其中的不等式称为关于x 的一元二次不等式．2．一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或与二次函数2(0)y ax bx c a =++≠及一元二次方程20ax bx c ++=的关系(简称：三个二次)．一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：(1) 将二次项系数先化为正数； (2) 观测相应的二次函数图象．①如果图象与x 轴有两个交点12(,0),(,0)x x ，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根12,x x (也可由根的判别式0∆>来判断) ．那么(图1)： 2120 (0) ax bx c a x x x x ++>>⇔<>或2120 (0) ax bx c a x x x ++<>⇔<<②如果图象与x 轴只有一个交点(,0)2ba-，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根22x bx x a==-(也可由根的判别式0∆=来判断) ． 那么(图2)： 20 (0) 2b ax bx c a x a++>>⇔≠-20 (0) ax bx c a ++<>⇔无解③如果图象与x 轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式0∆<来判断) ． 那么(图3)： 20 (0) ax bx c a x ++>>⇔取一切实数20 (0) ax bx c a ++<>⇔无解0>∆0=∆0<∆3.含有字母系数的一元一次不等式 一元一次不等式最终可以化为 ax b >的形式：（1）当0a >时，不等式的解为：bx a >； （2）当0a <时，不等式的解为：bx a<；（3）当0a =时，不等式化为：0x b ⋅>； ① 若0b <，则不等式的解是全体实数； ② 若0b ≥，则不等式无解． 4.恒成立结论(1)2(0)0ax bx c a >≠＋＋恒成立的条件是：2040a b ac ><且－． (2)2(0)0ax bx c a <≠＋＋恒成立的条件是：2040a b ac <<且－．5.区间的概念设 a ，b 是实数，且 a ＜b ，满足 a ≤x ≤b 的实数 x 的全体，叫做闭区间，记作 [a ，b ]，即，[,]{|}a b x a x b =≤≤。

目录第二讲一元二次不等式解法 (2)考点1：一元二次不等式及其解集 (2)题型一：解一元二次不等式 (3)题型二：含字母系数的一元二次不等式的解法 (4)题型三：一元二次不等式的逆向运用 (7)题型四：一元二次不等式恒成立问题 (8)第二讲 一元二次不等式解法考点1：一元二次不等式及其解集1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：250x x -<.一元二次不等式的一般形式：20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <，则不等式20ax bx c ++>的解集为{}21x x x x x ><或，不等式20ax bx c ++<的解集为{}21x x xx <<2.对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.24b ac ∆=-0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象20(0)ax bx c a ++=>的根有两相异实根 )(,2121x x x x <有两相等实根abx x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅ ∅3.解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式∆：①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0∆=时，求根abx x 221-==； ③0∆<时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集.题型一：解一元二次不等式例1. 解下列一元二次不等式（1）250x x -<； （2）2440x x -+>； （3）2450x x -+-> 【解析】（1）方法一：因为2(5)410250∆=--⨯⨯=>所以方程250x x -=的两个实数根为：10x =，25x =函数25y x x =-的简图为：因而不等式250x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二：250(5)0x x x x -<⇔-<050x x >⎧⇔⎨-<⎩ 或050x x <⎧⎨->⎩解得05x x >⎧⎨<⎩ 或05x x <⎧⎨>⎩，即05x <<或x ∈∅.因而不等式250x x -<的解集是{|05}x x <<. （2）方法一：因为0∆=，方程2440x x -+=的解为122x x ==.函数244y x x =-+的简图为：所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠方法二：2244(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2(2)0x -=） 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠（3）方法一：原不等式整理得2450x x -+<.因为0∆<，方程2450x x -+=无实数解，函数245y x x =-+的简图为：所以不等式2450x x -+<的解集是∅. 所以原不等式的解集是∅.方法二：∵2245(2)110x x x -+-=---≤-<∴原不等式的解集是∅. 例2.解下列一元二次不等式（1）2420x x -->；（2）2613280x x --<；（3）2(11)3(21)+++x x x x ≥； （4）2450x x ++>；（5）220x x -+->；（6）22320x x -->；（7）240x x ->；（8）210x x -+≤；（9）2233312x x x -+>-．6)(7)+∞，(2)⎫+∞⎪⎭，（7）题型二：含字母系数的一元二次不等式的解法例3.解下列关于x 的不等式 （1）2221x ax a -≤-+； （2）210x ax -+>；（3）()210x a x a -++<.【解析】(1) 22210[()1][()1]011x ax a x a x a a x a -+-≤⇒---+≤⇒-≤≤+ ∴原不等式的解集为{|11}x a x a -≤≤+. (2) Δ=a 2-4当Δ<0，即-2<a<2时，原不等式的解集为R. （3）(x-1)(x-a)<0当a>1时，原不等式的解集为{x|1<x<a} 当a<1时，原不等式的解集为{x|a<x<1} 当a=1时，原不等式的解集为Φ. 例4.解关于x 的不等式（1）)0(01)1(2≠<++-a x a x ；①a=1或a=-1时，解集为∅；（2）223()0x a a x a -++>（a R ∈）；【答案】2232()0()()0x a a x a x a x a -++>⇒--> 当a ＜0或a ＞1时，解集为2{|}x x a x a <>或； 当a=0时，解集为{|0}x x ≠；当0＜a ＜1时，解集为2{|}x x a x a <>或； 当a=1时，解集为{|1}x x ≠； （3）()2110ax a x ++－＜；【解析】若a=0，原不等式⇔－x+1＜0⇔x ＞1；（1）当a=1时，原不等式⇔x ∈∅；综上所述：当a=0时，解集为{x|x ＞1}；当a=1时，解集为∅；（4）()()120ax x --≥； 【答案】当a=0时，x∈(-∞,2].①当a>0时，（5）2210ax x -<＋；当a≠0时，Δ=4+4a=4(a+1)，②a<0时，若a<0，△<0， 即a<-1时，x∈R； 若a<0，△=0， 即a=-1时，x∈R且x≠1；（6）()2212x ax a a ∈R －＞当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；题型三：一元二次不等式的逆向运用例5.（1）不等式20x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式210nx mx +->的解集.【解析】由题意可知方程20x mx n +-=的两根为4x =和5x = 由韦达定理有45m +=-，45n ⨯=- ∴9m =-，20n =-∴210nx mx +->化为220910x x --->，即220910x x ++<（2）设关于x 的不等式()()110()ax x a R -+<∈的解集为{}1|1x x -<<,则a 的值是（ ）A.-2B.-1C.0D.1【答案】∵关于x 的不等式(ax -1)(x +1)<0(a ∈R)的解集为{x |-1<x <1}，即a 的值是1，故选D 。