2007年高考.江苏卷.数学试题及详细解答

绝密★启用前江苏省2007年普通高校单独招生统一考试试卷数学第I 卷（共48分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 已知全集{},,,,,U a b c d e = 集合{},,M b c = {},,U N c d =ð 则()U M N ð等于 （ ） A.{}e B. {},,b c d C. {},,a c e D. {},a e2. 已知函数()f x 的定义域为，则“()f x 为奇函数”是“(0)0f =”的 （ ）A. 充要条件B. 必要而不充分条件 C ．充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 已知4sin ,5α= 且tan 0,α< 则cot α= （ ）A ．43-B. 34-C. 43D. 344. 若函数2()2(1)2f x x a x =+++在(,2)-∞上是减函数，则a的取值范围是（ ）A ．(,3]-∞- B. [1,)+∞ C. [3,)-+∞ D. (,1]-∞5. 设2()log (1),f x x =+ 则1(2)f -= （ ）A ．2log 3 B. 3 C. 2 D. 3log 26. 若向量(4,3),a=- 则下列向量中与a 垂直的单位向量是 （ ）A ．(3,4)- B. (3,4) C. 34(,)55D. 34(,)55-7. 如果θ是锐角，1sin(),2πθ+=- 则cos()πθ-= （ ）A ．12-B. 12C. 2D. 2-8. 对于直线,,a b c 及平面α，具备以下哪一条件时，有a b （ ）A ．a α⊥且b α⊥ B. a c ⊥且b c ⊥C.a α 且b α D. ,a b 与α所成的角相等9. 已知某离散型随机变量1(5,),3X B 则(3)P X =等于 （ ）A ．40243 B. 20243 C. 5243 D. 124310. 直线7tan05x y π-=的倾斜角是 （ ） A ．25π-B.25π C.75π D.35π11. 抛物线22y x =的焦点坐标是 （ ）A.(1,0) B. 1(,0)2 C. 1(0,)4 D. 1(0,)812. 与圆C ：22(5)3xy ++=相切，且纵截距和横截距相等的直线共有 （ ）A ．2条 B. 3条 C. 4条 D. 6条第II 卷（共102分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上） 13.函数y =的定义域为 （用区间表示）.14. 复数2(12)i -的共轭复数是 .15. 已知函数()y f x =的周期是2，则1(3)2y f x =+的周期为 .16. 已知1sin cos ,2xx += 则sin 2x = .17. 五个人排成一排，甲不站在排头且乙不站在排尾的排法有 种（用数字作答）.18. 双曲线2216436x y -=上一点P 到左焦点的距离为20，则点P 到右准线的距离等于 .三、解答题（本大题共7题，共78分）19.（本题满分9分）解不等式2 1.1xx+≤-20.（本题满分9分）已知三角形ABC 的三边长分别为a b 、、c ，且它的面积222S = 求角C的大小.21.（本题满分14分）一个口袋中装有3个红球，2个白球. 甲、乙两人分别从中任取一个球（取后不放回）. 如果甲先取、乙后取，试问：（1）甲取到白球且乙取到红球的概率是多少？ （2）甲取到红球且乙取到红球的概率是多少？ （3）甲、乙两人谁取到红球的概率大？并说明理由.22．（本题满分14分）随着人们生活水平的不断提高，私家车也越来越普及.某人购买了一辆价值15万元的汽车，每年应交保险费、养路费及消耗汽油费合计12000元，汽车的维修费为：第一年3000元，第二年6000元，第三年9000元，依此逐年递增（成等差数列）. 若以汽车的年平均费用最低报废最为合算. （1）求汽车使用n 年时，年平均费用n y （万元）的表达式；（2）问这种汽车使用多少年报废最为合算？此时，年平均费用为多少？ 23.（本题满分12分）如图，在棱长为a的正方体1111ABCD A B C D -中，点E是AD 的中点.（1）求三棱锥1B AED -的体积；（2）求1BD 与平面1AD E所成的角（用反三角函数表示）；（3）求点A 到平面1BED 的距离.24.（本题满分14分）已知三点12(5,2),(6,0),(6,0).P F F -（1）求以1F 、2F 为焦点，且过点P的椭圆1C 的标准方程；（2）设P 、1F 和2F 关于直线y x =的对称点分别为P '、1F '和2F '，求以1F '、2F '为焦点，且过点P '的双曲线2C 的标准方程；（3）求椭圆1C 中斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.25.（本题满分6分）已知()sin(2).3f x x π=-（1）请写出函数()y f x =图象的一条对称轴的方程；（2）若函数()()g x A f x B =+有最小值3,- 请写出满足此条件的一组,A B 的值.绝密★启用前江苏省2007年普通高校单独招生统一考试《数学》试卷参考答案及评分标准一、选择题二、填空题 13.[4,1]- 14. 34i -+ 15. 4 16. 34-17. 78 18. 165或1445三、解答题19. 解：原不等式可化为210,1x x +-≤- 即120,1xx+≤- ………...………….……3分 由此得(12)(1)0,10.x x x +-≤⎧⎨-≠⎩ 解得12x ≤-或1,x > ………..……………5分所以，原不等式的解集为11.2x x x ⎧⎫≤->⎨⎬⎩⎭或 …………….………...1分20. 解：在三角形ABC 中，2222cos ,ab c ab C +-= …………….…………..….2分又由于2221sin 2S ab C == ……………………….……..3分所以，1sin 2cos ,2ab C ab C = 所以s i n c o s .C C =因为c o s 0,C ≠所以t a n ,C =由于0,C π<< 所以.6C π= …………………………...4分21. 解：（1）记事件A 表示“甲取到白球且乙取到红球”，则112311543().10C C P A C C ⋅==⋅ ……………………….…………..4分（2）记事件B表示“甲取到红球且乙取到红球”，则113211543().10C C P B C C ⋅==⋅ ………………………….…………4分（3）甲取到红球的概率为13153,5C C = ……………………………………..2分 乙取到红球的概率为333()(),10105P A P B +=+= ………….…...3分 所以，甲、乙两人取到红球的概率相同. …………………………………...1分 22. 解：（1）根据题意，可得1[15 1.2(0.30.60.3)]10.3(1)15[15 1.2]0.15 1.352n y n n n n n n n n n=+⨯++++⨯⨯+=++=++ （万元）…….….7分 （2）150.15 1.35 1.35 4.35,n y n n =++≥= 当且仅当150.15,n n=⨯ 即10n =时，等号成立。

模板专项施工方案第一节编制依据1、设计院提供的有效施工图；2、《建筑结构荷载规范》（GB50009-2001）中国建筑工业出版社；3、《混凝土结构设计规范》（GB50010-2002）中国建筑工业出版社；4、《建筑施工计算手册》江正荣著中国建筑工业出版社；5、《建筑施工手册》第四版中国建筑工业出版社；6、《钢结构设计规范》（GB50017-2003）中国建筑工业出版社；第二节工程概况三亚半岭温泉旅游度假安置。

总建筑面积：78079.29 ㎡.本工程3栋高层及208栋别墅，高层拟采用剪力墙-框架结构。

别墅采用独立基础，一层为3.8m，其他楼层均为3.2m,总工期：420天。

本工程参建单位：建设单位：三亚沈煤信诚公源地产开发有限公司设计单位：海南泓景建筑设计有限公司。

施工单位：湖南省六建监理单位：海南省中外建工程管理有限公司第三节方案选择本工程考虑到施工工期、质量和安全要求，故在选择方案时，应充分考虑以下几点：1、模板及其支架的结构设计，力求做到结构要安全可靠，造价经济合理。

2、在规定的条件下和规定的使用期限内，能够充分满足预期的安全性和耐久性。

3、选用材料时，力求做到常见通用、可周转利用，便于保养维修。

4、结构选型时，力求做到受力明确，构造措施到位，升降搭拆方便，便于检查验收；5、综合以上几点，模板及模板支架的搭设，还必须符合JCJ59-99检查标准要求，要符合省文明标化工地的有关标准。

6、结合以上模板及模板支架设计原则，同时结合本工程的实际情况，综合考虑了以往的施工经验，决定采用以下方案：梁、板模板(一层采用钢管支撑，一层以上木支撑)，墙模（钢管加固）、柱模（钢管加固）。

第四节材料选择按清水混凝土的要求进行模板设计，在模板满足强度、刚度和稳定性要求的前提下，尽可能提高表面光洁度，阴阳角模板统一整齐，模板采用1900*915*18规格的工程专用模板，木方采用80*80标准方条，采用mf1219型门架，Φ48 × 3.5标准钢管加固。

版式设计的概念：也称“编排设计”、“版面设计”。

是二维的平面设计，是指在有限的空间内将各类有效的视觉元素根据特定的内容需要进行主动、有机的编排组合。

版式设计的设计元素：图形（图片）、标题字、正文和色彩版式设计涉及范围：涉及包装、广告、报纸、书籍、产品手册、宣传单、公关赠品、网页设计、展板设计、多媒体界面等各类平面设计。

第一章平面设计历史发展第一个时期20世纪初立体主义特点：主张不模仿客观对象，重视艺术的自我表现．对具体对象分析\重构和综合处理的特征。

表现为对版面构成的分析组合和对理性规律的探索。

作用：对现代主义影响很大。

未来主义特点：主张对工业化极端膜拜和高度的无政府主义，反对任何传统艺术形式。

提出反对严谨正规的排版方式，提倡自由组合。

作用：被国际主义风格主流设计界否定，90年代在西方平面设计界得到重新重视与应用。

达达主义特点：强调自我、反理性。

表现出强烈的虚无主义。

随机性和偶然性、荒诞与杂乱。

在于用照片和各种印刷品进行拼贴组合再设计，以及版面编排上的无规律化、自由化、相互矛盾化。

作用：对设计家们革命性的大胆尝试与突破产生了巨大的影响。

超现实主义特点：认为社会的表象是虚伪的，认为无计划的、无设计的下意识或潜在的思想动机更真实．用写实的手法来描绘、拼合荒诞的梦境或虚无的幻觉。

作用：对人类意识形态和精神领域方面的探索和观念表现上有创造性的启迪作用。

装饰主义第二个时期 (现代主义设计时期)20世纪二三十年代特点：理性主义。

提出“功能决定形式”。

主张“少则多”。

反对装饰的繁琐，提倡简洁的几何形式。

贡献：1．创造了无装饰线脚的新字体体系。

2．对简洁的几何抽象图形进行了探索设计。

3．将摄影作为平面设计插图的形式进行了研究。

4．将数学和几何学应用于平面的设计分割．为骨骼法的创造奠定了基础。

俄国构成主义特点：版面编排常以抽象的、几何的形式构成，同时也带有未来主义、达达主义自由拼合，无序的特点。

但在整体上更讲究理性的规律。

高考卷,07,普通高等学校招生全国统一考试,数学（江苏卷）2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1、本试卷共4页，包含选择题（第1题～第10题，共10题）、填空题（第11题～第16题，共6题）、解答题（第17题～第21题，共5题）三部分。

本次考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2、答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。

3、请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。

4、作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

5、如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

参考公式：次独立重复试验恰有次发生的概率为：一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。

1．下列函数中，周期为的是 A． B． C． D． 2．已知全集，，则为A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为 A． B． C． D． 4．已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：①②③④其中正确命题的序号是 A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 5．函数的单调递增区间是 A． B． C． D． 6．设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，则有 A． B． C． D． 7．若对于任意实数，有，则的值为A． B． C． D． 8．设是奇函数，则使的的取值范围是 A． B． C． D． 9．已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为 A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系，已知平面区域且，则平面区域的面积为 A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数 学参考公式：n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率为：()(1)k kn k n n P k C p p -=-一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，恰有一项．．．．是符合题目要求的。

1．下列函数中，周期为2π的是 A ．x y =sin2B ．y=sin2xC ．cos4x y = D ．y=cos4x2．已知全集U=Z ，A=｛-1，0，1，2｝，B=｛x ︱x 2=x ｝，则A ∩C U B 为A ．｛-1，2｝B ．｛-1，0｝C ．｛0，1｝D ．｛1，2｝3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为x －2y=0，则它的离心率为A2．24．已知两条直线,m n ，两个平面α，β，给出下面四个命题：①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ 其中正确命题的序号是A ．①、③B ．②、④C ．①、④D ．②、③ 5．函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ-- C ．[,0]3π- D ．[,0]6π-6．设函数f （x ）定义在实数集上，它的图像关于直线x=1对称，且当x ≥1时，f （x ）=3x－1，则有A ．132()()()323f f f <<B ．231()()()323f f f <<C ．213()()()332f f f <<D ．321()()()233f f f <<7．若对于任意实数x ，有x 3=a 0+a 1（x －2）+a 2（x －2）2+a 3（x －2）3，则a 2的值为A ．3B ．6C ．9D ．128．设2()lg()1f x a x=+-是奇函数，则使f （x ）<0的x 的取值范围是 A ．（-1，0） B ．（0，1） C ．（-∞，0） D ．（-∞，0）∪（1，+∞） 9．已知二次函数f （x ）=ax 2+bx+c 的导数为f ′（x ），f ′（0）>0，对于任意实数x 都有f （x ）≥0，则(1)'(0)f f 的最小值为A ． 3B ．52C ．2D ．3210．在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域A=｛（x ，y ）︱x+y ≤1且x ≥0，y ≥0｝，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为 A ．2 B ．1 C ．12D ．14二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含选择题（第1题～第10题，共10题）、填空题（第11题～第16题，共6题）、解答题（第17题～第21题，共5题）三部分。

本次考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。

3．请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。

4．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

作答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

5．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

参考公式：n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率为：()(1)k k n k n nP k C p p -=-一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，恰．有一项．．．是符合题目要求的。

1．下列函数中，周期为2π的是 A ．xy =sin 2B ．y=sin2xC ．cos 4xy =D ．y=cos4x2．已知全集U=Z ，A=｛-1，0，1，2｝，B=｛x ︱x 2=x ｝，则A ∩C U B 为A ．｛-1，2｝B ．｛-1，0｝C ．｛0，1｝D ．｛1，2｝3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为x －2y=0，则它的离心率为AB ．2CD ．24．已知两条直线,m n ，两个平面α，β，给出下面四个命题：①//,m n m n αα⊥⇒⊥②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒③//,////m n m n αα⇒④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是A ．①、③B ．②、④C ．①、④D ．②、③5．函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ-- C ．[,0]3π-D ．[,0]6π- 6．设函数f （x ）定义在实数集上，它的图像关于直线x=1对称，且当x ≥1时，f （x ）=3x－1，则有A ．132()()()323f f f << B ．231()()()323f f f << C ．213()()()332f f f << D ．321()()()233f f f << 7．若对于任意实数x ，有x 3=a 0+a 1（x －2）+a 2（x －2）2+a 3（x －2）3，则a 2的值为A ．3B ．6C ．9D ．128．设2()lg()1f x a x =+-是奇函数，则使f （x ）<0的x 的取值范围是A ．（-1，0）B ．（0，1）C ．（-∞，0）D ．（-∞，0）∪（1，+∞）9．已知二次函数f （x ）=ax 2+bx+c 的导数为f ′（x ），f ′（0）>0，对于任意实数x 都有f （x ）≥0，则(1)'(0)f f 的最小值为A ． 3B ．52C ．2D ．3210．在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域A=｛（x ，y ）︱x+y ≤1且x ≥0，y ≥0｝，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为A ．2B ．1C ．12D ．14二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2007年普通高等学校招生全国统一考试数 学（江苏卷）参考公式：n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率为：()(1)k kn k n n P k C p p -=-一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，共 分。

在每小题给出的四个选项中，恰有一项．．．．是符合题目要求的。

．下列函数中，周期为2π的是（ ） ．sin2x y = ．sin 2y x = ．cos 4xy = ．cos 4y x = ．已知全集U Z =，2{1,0,1,2},{|}A B x x x =-==，则U AC B 为（ ）A ．{1,2}-B ．{1,0}-C ．{0,1}D ．{1,2} 3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为（A ）A B C D ．2 4．已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：（C ）①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ 其中正确命题的序号是A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③5．函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是（D ） A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ--C ．[,0]3π-D ．[,0]6π- 6．设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31xf x =-，则有（B ）A ．132()()()323f f f <<B ．231()()()323f f f <<C ．213()()()332f f f <<D ．321()()()233f f f <<7．若对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（B ）A ．3B ．6C ．9D ．12 8．设2()lg()1f x a x=+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（A ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞9．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（C ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．3210．在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为（B ） A ．2 B ．1 C ．12 D ．14二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2007年普通高等学校招生全国统一考试数 学（江苏卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项．．．．是符合题目要求的． 1．下列函数中，周期为π2的是（ ） Ａ．sin2x y =Ｂ．sin 2y x =Ｃ．cos4x y =Ｄ．cos4y x =2．已知全集U =Z ，{}1012A =-，，，，{}2B x x x ==，则U A B ð为（ ） Ａ．{}12-， Ｂ．{}10-， Ｃ．{}01，Ｄ．{}12，3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y 轴上，一条渐近线的方程为20x y -=，则它的离心率为（ ）Ｄ．24．已知两条直线m n ，，两个平面αβ，．给出下面四个命题： ①m n ∥，m n αα⇒⊥⊥；②αβ∥，m α⊂，n m n β⊂⇒∥； ③m n ∥，m n αα⇒∥∥；④αβ∥，m n ∥，m n αβ⇒⊥⊥． 其中正确命题的序号是（ ） Ａ．①、③ Ｂ．②、④Ｃ．①、④ Ｄ．②、③5．函数[]()sin (π0)f x x x x =∈-，的单调递增区间是（ ） Ａ．5ππ6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， Ｂ．5ππ66⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， Ｃ．π03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，Ｄ．π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，6．设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31xf x =-，则有（ ）Ａ．132323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Ｂ．231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Ｃ．213332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Ｄ．321233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭7．若对于任意的实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（ ）Ａ．3Ｂ．6Ｃ．9Ｄ．128．设2()lg 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） Ａ．(10)-，Ｂ．(01)，Ｃ．(0)-∞， Ｄ．(0)(1)-∞+∞ ，，9．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为（ ） Ａ．3Ｂ．52Ｃ．2Ｄ．3210．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域{}()100A x y x y x y =+，≤，且≥，≥，则平面区域{}()()B x y x y x y A =+-∈，，的面积为（ ） Ａ．2Ｂ．1Ｃ．12Ｄ．14二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共计30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 11．若1cos()5αβ+=，3cos()5αβ-=，则tan tan αβ= _____． 12．某校开设9门课程供学生选修，其中A B C ，，三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有_____种不同的选修方案．（用数值作答）13．已知函数3()128f x x x =-+在区间[]33-，上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m -=_____．14．正三棱锥P ABC -的高为2，侧棱与底面ABC 成45角，则点A 到侧面PBC 的距离为_____．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC △的顶点(40)A -，和(40)C ，，顶点B 在椭圆221259x y +=上，则sin sin sin A CB+=_____． 16．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合．将A B ，两点间的距离(cm)d 表示成(s)t 的函数，则d =_____，其中[]060t ∈，． 三、解答题：本大题共5小题，共计70分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后第2位）： （1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分） （2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．（4分） 18．（本题满分12分）如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体，点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==． （1）求证：1E B F D ，，，四点共面；（4分）（2）若点G 在BC 上，23BG =，点M 在1BB 上，GM BF ⊥，垂足为H ，求证：EM ⊥平面11BCC B ；（4分）（3）用θ表示截面1EBFD 和侧面11BCC B 所成的锐二面角的大小，求tan θ．（4分） 19．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0)C c ，任作一直线，与抛物线2y x =相交于A B ，两点．一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于点P Q ，．（1）若2OA OB =，求c 的值；（5分） （2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．（4分）20．（本题满分16分）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，11a b =，221a b a =≠，记n S 为数列{}n b 的前n 项和．（1）若k m b a =（m k ，是大于2的正整数），求证：11(1)k S m a -=-；（4分） （2）若3i b a =（i 是某个正整数），求证：q 是整数，且数列{}n b 中的每一项都是数列{}n a 中的项；（8分）C BAG HMDEF1B1A1D1C（3）是否存在这样的正数q ，使等比数列{}n b 中有三项成等差数列？若存在，写出一个q 的值，并加以说明；若不存在，请说明理由．（4分） 21．（本题满分16分）已知a b c d ，，，是不全为零的实数，函数2()f x bx cx d =++，32()g x ax bx cx d =+++．方程()0f x =有实数根，且()0f x =的实数根都是(())0g f x =的根；反之，(())0g f x =的实数根都是()0f x =的根．（1）求d 的值；（3分）（2）若0a =，求c 的取值范围；（6分）（3）若1a =，(1)0f =，求c 的取值范围．（7分）2007年普通高等学校招生全国统一考试数 学（江苏卷）参考答案一、选择题：本题考查基本概念和基本运算．每小题5分，共计50分．1．Ｄ 2．Ａ 3．Ａ 4．Ｃ 5．Ｄ 6．Ｂ 7．Ｂ 8．Ａ 9．Ｃ 10．Ｂ二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，共计30分．11．12 12．75 13．32 14 15．54 16．π10sin 60t三、解答题17．本小题主要考查概率的基本概念、互斥事件有一个发生及相互独立事件同时发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． 解：（1）5次预报中恰有2次准确的概率为22522355(2)0.8(10.8)100.80.20.05P C -=⨯⨯-=⨯⨯≈．（2）5次预报中至少有2次准确的概率为551(0)(1)P P --005011515510.8(10.8)0.8(10.8)C C --=-⨯⨯--⨯⨯-10.000320.00640.99=--≈．（3）“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为1412340.80.8(10.8)40.80.20.02C -⨯⨯⨯-=⨯⨯≈．18．本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力．满分12分． 解法一：（1）如图，在1DD 上取点N ，使1DN =，连结EN ，CN ，则1AE DN ==，12CF ND ==．因为AE DN ∥，1ND CF ∥，所以四边形ADNE ，1CFD N 都为平行四边形．从而EN AD ∥，1FD CN ∥． 又因为AD BC ∥，所以EN BC ∥，故四边形BCNE 是平行四边形，由此推知CN BE ∥，从而1FD BE ∥．因此，1E B F D ，，，四点共面．（2）如图，GM BF ⊥，又BM BC ⊥，所以BGM CFB =∠∠，tan tan BM BG BGM BG CFB == ∠∠23132BC BG CF ==⨯=． 因为AE BM ∥，所以ABME 为平行四边形，从而AB EM ∥． 又AB ⊥平面11BCC B ，所以EM ⊥平面11BCC B ．（3）如图，连结EH ．因为MH BF ⊥，EM BF ⊥，所以BF ⊥平面EMH ，得EH BF ⊥． 于是EHM ∠是所求的二面角的平面角，即EHM θ=∠． 因为MBH CFB =∠∠，所以sin sin MH BM MBH BM CFB == ∠∠1BM ===tan EMMHθ== 解法二：（1）建立如图所示的坐标系，则(301)BE = ，，，(032)BF =，，，1(333)BD = ，，， C BAG HMDE F 1B1A1D1CN所以1BD BE BF =+ ，故1BD ，BE ，BF共面．又它们有公共点B ，所以1E B F D ，，，四点共面．（2）如图，设(00)M z ，，，则203GM z ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，， 而(032)BF = ，，，由题设得23203GM BF z =-+=得1z =．因为(001)M ，，，(301)E ，，，有(300)ME =，，， 又1(003)BB = ，，，(030)BC =，，，所以10ME BB = ，0ME BC = ，从而1ME BB ⊥，ME BC ⊥．故ME ⊥平面11BCC B ．（3）设向量(3)BP x y = ，，⊥截面1EBFD ，于是BP BE ⊥，BP BF⊥． 而(301)BE = ，，，(032)BF = ，，，得330BP BE x =+= ，360BP BF y =+=，解得1x =-，2y =-，所以(123)BP =--，，． 又(300)BA = ，，⊥平面11BCC B ，所以BP 和BA的夹角等于θ或πθ-（θ为锐角）． 于是cos BP BA BP BAθ==故tan θ=19．本小题主要考查抛物线的基本性质、直线与抛物线的位置关系、向量的数量积、导数的应用、简易逻辑等基础知识和基本运算，考查分析问题、探索问题的能力．满分14分． 解：（1）设直线AB 的方程为y kx c =+， 将该方程代入2y x =得20x kx c --=． 令2()A a a ，，2()B b b ，，则ab c =-．因为2222OA OB ab a b c c =+=-+=，解得2c =， 或1c =-（舍去）．故2c =．（2）由题意知2a b Q c +⎛⎫- ⎪⎝⎭，，直线AQ 的斜率为22222AQ a c a ab k a a b a b a +-===+--．又2y x =的导数为2y x '=，所以点A 处切线的斜率为2a ， 因此，AQ 为该抛物线的切线． （3）（2）的逆命题成立，证明如下： 设0()Q x c -，．若AQ 为该抛物线的切线，则2AQ k a =， 又直线AQ 的斜率为2200AQa c a ab k a x a x +-==--，所以202a aba a x -=-， 得202ax a ab =+，因0a ≠，有02a bx +=． 故点P 的横坐标为2a b+，即P 点是线段AB 的中点． 20．本小题主要考查等差、等比数列的有关知识，考查运用方程、分类讨论等思想方法进行分析、探索及论证问题的能力．满分16分．解：（1）设等差数列的公差为d ，则由题设得11a d a q +=，1(1)d a q =-，且1q ≠． 由k m b a =得111(1)k b qa m d -=+-，所以11(1)(1)kb q m d --=-，11111(1)(1)(1)(1)(1)111k k b q m a q m d S m a q q q ------====----．故等式成立．（2）（ⅰ）证明q 为整数：由3i b a =得211(1)b q a i d =+-，即2111(1)(1)a q a i a q =+--， 移项得11(1)(1)(1)(1)a q q a i q +-=--．因110a b =≠，1q ≠，得2q i =-，故q 为整数． （ⅱ）证明数列{}n b 中的每一项都是数列{}n a 中的项： 设n b 是数列{}n b 中的任一项，只要讨论3n >的情形． 令111(1)n b qa k d -=+-，即1111(1)(1)n a q a k a q --=--，得1221121n n q k q q q q ---=+=++++- ． 因2q i =-，当1i =时，1q =-，22n q q q-+++ 为1-或0，则k 为1或2；而2i ≠，否则0q =，矛盾．当3i ≥时，q 为正整数，所以k 为正整数，从而n k b a =． 故数列{}n b 中的每一项都是数列{}n a 中的项．（3）取12q =，21b b q =，341b b q =． 33141112(1)11)2b b b q b b b ⎡⎤⎢⎥+=+=+==⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 所以1b ，2b ，4b 成等差数列．21．本小题主要考查函数、方程、不等式的基本知识，考查综合运用分类讨论、等价转化等思想方法分析问题及推理论证的能力．满分16分．解：（1）设r 为方程的一个根，即()0f r =，则由题设得(())0g f r =．于是，(0)(())0g g f r ==，即(0)0g d ==．所以，0d =．（2）由题意及（1）知2()f x bx cx =+，32()g x ax bx cx =++． 由0a =得b c ，是不全为零的实数，且2()()g x bx cx x bx c =+=+， 则[]22(())()()()()g f x x bx c bx bx c c x bx c b x bcx c =+++=+++．方程()0f x =就是()0x bx c +=．①方程(())0g f x =就是22()()0x bx c b x bcx c +++=．②（ⅰ）当0c =时，0b ≠，方程①、②的根都为0x =，符合题意． （ⅱ）当0c ≠，0b =时，方程①、②的根都为0x =，符合题意． （ⅲ）当0c ≠，0b ≠时，方程①的根为10x =，2cx b=-，它们也都是方程②的根，但它们不是方程220b x bcx c ++=的实数根．由题意，方程220b x bcx c ++=无实数根，此方程根的判别式22()40bc b c ∆=-<，得04c <<．综上所述，所求c 的取值范围为[)04，． （3）由1a =，(1)0f =得b c =-，2()(1)f x bx cx cx x =+=-+，2(())()()()g f x f x f x cf x c ⎡⎤=-+⎣⎦．③由()0f x =可以推得(())0g f x =，知方程()0f x =的根一定是方程(())0g f x =的根． 当0c =时，符合题意．当0c ≠时，0b ≠，方程()0f x =的根不是方程2()()0f x cf x c -+= ④ 的根，因此，根据题意，方程④应无实数根．那么当2()40c c --<，即04c <<时，2()()0f x cf x c -+>，符合题意．当2()40c c --≥，即0c <或4c ≥时，由方程④得2()f x cx cx =-+=，即202c cx cx ±-+=，⑤则方程⑤应无实数根，所以有2()402c c c--<且2()402c c c ---<．当0c <时，只需220c --<，解得1603c <<，矛盾，舍去．当4c ≥时，只需220c -+，解得1603c <<．因此，1643c <≤．综上所述，所求c 的取值范围为1603⎡⎫⎪⎢⎣⎭，．。

22007年普通高等学校招生全国统一考试数 学（江苏卷）参考答案一、选择题：本题考查基本概念和基本运算．每小题5分，共计50分．1．Ｄ 2．Ａ 3．Ａ 4．Ｃ 5．Ｄ 6．Ｂ 7．Ｂ 8．Ａ 9．Ｃ 10．Ｂ二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，共计30分． 11．1212．75 13．32 14．65515．5416．π10sin60t三、解答题17．本小题主要考查概率的基本概念、互斥事件有一个发生及相互独立事件同时发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． 解：（1）5次预报中恰有2次准确的概率为22522355(2)0.8(10.8)100.80.20.05P C -=⨯⨯-=⨯⨯≈．（2）5次预报中至少有2次准确的概率为551(0)(1)P P --005011515510.8(10.8)0.8(10.8)C C --=-⨯⨯--⨯⨯-10.000320.00640.99=--≈．（3）“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为1412340.80.8(10.8)40.80.20.02C -⨯⨯⨯-=⨯⨯≈．18．本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力．满分12分． 解法一：（1）如图，在1D D 上取点N ，使1D N =，连结E N ，C N ，则1A E D N ==，12C F N D ==．因为A E D N ∥，1N D C F ∥，所以四边形A D N E ，1C F D N 都为平行四边形．从而E N A D ∥，1F D C N ∥．又因为A D B C ∥，所以E N B C ∥，故四边形B C N E 是平行四边形，由此推知C N B E ∥，从而1F D B E ∥．CBAG HMDEF 1B1A1D1CN因此，1E B F D ，，，四点共面．（2）如图，G M B F ⊥，又B M B C ⊥，所以B G M C F B =∠∠，tan tan B M B G B G M B G C F B == ∠∠23132B C B G C F ==⨯= ． 因为A E B M ∥，所以A B M E 为平行四边形，从而A B E M ∥． 又A B ⊥平面11B C C B ，所以E M ⊥平面11B C C B ．（3）如图，连结E H ．因为M H B F ⊥，E M B F ⊥，所以B F ⊥平面E M H ，得E H B F ⊥． 于是E H M ∠是所求的二面角的平面角，即E H M θ=∠．因为M B H C F B =∠∠，所以sin sin M H B M M B H B M C F B == ∠∠22223311332B CB M B CC F==⨯=++，tan 13E M M Hθ==．解法二：（1）建立如图所示的坐标系，则(301)B E = ，，，(032)B F =，，，1(333)B D = ，，， 所以1B D B E B F =+ ，故1B D ，B E ，B F共面．又它们有公共点B ，所以1E B F D ，，，四点共面．（2）如图，设(00)M z ，，，则203G M z ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，， 而(032)B F = ，，，由题设得23203G M B F z =-+= ， 得1z =．因为(001)M ，，，(301)E ，，，有(300)M E =，，， 又1(003)B B = ，，，(030)B C =，，，所以10M E B B = ，0M E B C = ，从而1M E B B ⊥，M E B C ⊥．故M E ⊥平面11B C C B ．（3）设向量(3)B P x y =，，⊥截面1E B F D ，于是B P B E ⊥，B P B F ⊥． 而(301)B E = ，，，(032)B F = ，，，得330B P B E x =+= ，360B P B F y =+=，解得1x =-，2y =-，所以(123)B P =--，，．CBAG HMD EF1B1A 1D1C zyx又(300)B A =，，⊥平面11B C C B ，所以B P 和B A 的夹角等于θ或πθ-（θ为锐角）． 于是1co s 14B P B AB P B Aθ==．故tan 13θ=．19．本小题主要考查抛物线的基本性质、直线与抛物线的位置关系、向量的数量积、导数的应用、简易逻辑等基础知识和基本运算，考查分析问题、探索问题的能力．满分14分． 解：（1）设直线A B 的方程为y kx c =+， 将该方程代入2y x =得20x kx c --=． 令2()A a a ，，2()B b b ，，则ab c =-．因为2222O A O B ab a b c c =+=-+=，解得2c =，或1c =-（舍去）．故2c =．（2）由题意知2a b Q c +⎛⎫-⎪⎝⎭，，直线A Q 的斜率为22222A Q a c a a b k a a b a b a +-===+--． 又2y x =的导数为2y x '=，所以点A 处切线的斜率为2a ， 因此，A Q 为该抛物线的切线． （3）（2）的逆命题成立，证明如下：设0()Q x c -，． 若A Q 为该抛物线的切线，则2A Q k a =， 又直线A Q 的斜率为22A Q a c a a b k a x a x +-==--，所以22a a b a a x -=-，得202a x a a b =+，因0a ≠，有02a b x +=．故点P 的横坐标为2a b +，即P 点是线段A B 的中点．20．本小题主要考查等差、等比数列的有关知识，考查运用方程、分类讨论等思想方法进行分析、探索及论证问题的能力．满分16分．解：（1）设等差数列的公差为d ，则由题设得11a d a q +=，1(1)d a q =-，且1q ≠． 由k m b a =得111(1)k b qa m d -=+-，所以11(1)(1)k b qm d --=-，A BC PQOxyl11111(1)(1)(1)(1)(1)111k k b qm a q m d S m a q q q ------====----．故等式成立． （2）（ⅰ）证明q 为整数：由3i b a =得211(1)b q a i d =+-，即2111(1)(1)a q a i a q =+--， 移项得11(1)(1)(1)(1)a q q a i q +-=--．因110a b =≠，1q ≠，得2q i =-，故q 为整数． （ⅱ）证明数列{}n b 中的每一项都是数列{}n a 中的项： 设n b 是数列{}n b 中的任一项，只要讨论3n >的情形． 令111(1)n b qa k d -=+-，即1111(1)(1)n a qa k a q --=--，得1221121n n qk q q qq ---=+=++++- ．因2q i =-，当1i =时，1q =-，22n q q q -+++ 为1-或0，则k 为1或2；而2i ≠，否则0q =，矛盾．当3i ≥时，q 为正整数，所以k 为正整数，从而n k b a =． 故数列{}n b 中的每一项都是数列{}n a 中的项．（3）取512q -=，21b b q =，341b b q =．3314111251(1)1(51)22b b b q b b b ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥+=+=+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 所以1b ，2b ，4b 成等差数列．21．本小题主要考查函数、方程、不等式的基本知识，考查综合运用分类讨论、等价转化等思想方法分析问题及推理论证的能力．满分16分．解：（1）设r 为方程的一个根，即()0f r =，则由题设得(())0g f r =．于是，(0)(())0g g f r ==，即(0)0g d ==．所以，0d =．（2）由题意及（1）知2()f x bx cx =+，32()g x ax bx cx =++．由0a =得b c ，是不全为零的实数，且2()()g x bx cx x bx c =+=+， 则[]22(())()()()()g f x x bx c bx bx c c x bx c b x bcx c =+++=+++．方程()0f x =就是()0x bx c +=．①方程(())0g f x =就是22()()0x bx c b x bcx c +++=．②（ⅰ）当0c =时，0b ≠，方程①、②的根都为0x =，符合题意． （ⅱ）当0c ≠，0b =时，方程①、②的根都为0x =，符合题意． （ⅲ）当0c ≠，0b ≠时，方程①的根为10x =，2c x b=-，它们也都是方程②的根，但它们不是方程220b x bcx c ++=的实数根．由题意，方程220b x bcx c ++=无实数根，此方程根的判别式22()40bc b c ∆=-<，得04c <<．综上所述，所求c 的取值范围为[)04，． （3）由1a =，(1)0f =得b c =-，2()(1)f x bx cx cx x =+=-+，2(())()()()g f x f x f x cf x c ⎡⎤=-+⎣⎦．③由()0f x =可以推得(())0g f x =，知方程()0f x =的根一定是方程(())0g f x =的根． 当0c =时，符合题意．当0c ≠时，0b ≠，方程()0f x =的根不是方程2()()0f x cf x c -+= ④ 的根，因此，根据题意，方程④应无实数根．那么当2()40c c --<，即04c <<时，2()()0f x cf x c -+>，符合题意．当2()40c c --≥，即0c <或4c ≥时，由方程④得224()2c c c f x cx cx ±-=-+=，即22402c c c cx cx ±--+=，⑤则方程⑤应无实数根，所以有224()402c c c c c+---<且224()402c c c c c ----<．当0c <时，只需22240c c c c ---<，解得1603c <<，矛盾，舍去． 当4c ≥时，只需22240c c c c -+-<，解得1603c <<．因此，1643c<≤．综上所述，所求c的取值范围为163⎡⎫⎪⎢⎣⎭，．。