广州市海珠区高二下学期期末联考数学(理)试题
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海珠区2013-2014学年下学期期末联考试题高二数学本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、考室号、座位号填写在答题卡上；填写考生编号，并用2B 铅笔把对应号码的标号涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回监考老师，试卷自己保管。
5．本次考试不允许使用计算器。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列求导运算正确的是( )A.()sin 'cos x x =-B.()cos 'sin x x =C.'211x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.()'122x x x -=⋅2.已知a 是实数，()()1a i i ++是纯实数，则a 等于（ ） A.2 B.1 C.1- D.2-3.已知向量(3,1,2),(,,4)x y =-=-a b ，且//a b ，则x y +=（ ） A.8 B.4 C.4- D.8-4.已知椭圆2221(0)9x y a a +=>与双曲线22143x y -=有相同的焦点，则a 的值为（ ）5.设集合{}{}13,(3)0M x x N x x x =-<<=-<，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.在高台跳水运动，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 6.510h t t t =-++，则瞬时速度为1m/s 的时刻是（ ） A.55s 98 B.65s 98 C.55s 49 D.65s 497.下列选项中，说法正确的是( )A.命题“若21x =,则1x =”的否命题．．．为:“若21x =,则1x ≠”. B.命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题．．．是真命题. C.命题“210x R x x ∀∈-+≥,”的否定．．是:“200010x R x x ∃∈-+≤,”. D.命题“若x y =,则cos cos x y =”的逆否命题．．．．为真命题. 8.抛物线22y x =的焦点为F ，其准线经过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点，点M 为这两条曲线的一个交点，且||2MF =，则双曲线的离心率为（ ）2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9.定积分320x dx ⎰= .10.在二项式61(2)x x-的展开式中,含2x 项的系数是 .11.从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法有 种.（用数字作答） 12.已知随机变量X 的分布列是Pt0.4t则DX = .13.右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽 4米，水位上升1米后，水面宽 米.14.若等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，公差为2d .类似地，若正项等比数列{}n b 的公差为q ，前n 项和为n T .则数列 {}nnT 为等比数列，公差为三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.（本小题满分12分）在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列， （Ⅰ）求B 的值；（Ⅱ）若a 、b 、c 成等比数列, 求证:ABC ∆为等边三角形.16.（本小题满分12分）已知函数32()(,)f x x ax bx a b R =++∈的图像过点(1,(1))P f ，且在点P 处的切线方 程为86y x =-.（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.第13题17.（本小题满分14分）已知A 盒中有2个红球和2个黑球.B 盒中有2个红球和3个黑球，现从A 盒与B 盒中各取一个球出来再放入对方盒中.（Ⅰ）求A 盒中有2个红球的概率；（Ⅱ）求A 盒中红球数ξ的分布列及数学期望18．（本小题满分14分）如图，在等腰直角三角形RBC 中，90RBC ∠=， 2RB BC ==.点A 、D 分别是PB ，RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置，使PA AB ⊥，连结PB ，PC . （Ⅰ）求证:BC PB ⊥；（Ⅱ）求二面角A CD P --的平面角的余弦值.第18题19．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，直线l 的方程为1y =-，过点()0,1A 且与直线l 相切的动圆的圆心为点M ，记点M 得轨迹为曲线E .（Ⅰ）求曲线E 的方程;（Ⅱ）若直线1y kx =+与曲线E 相交于B ，C 两点，过B 点作直线l 的垂线，垂足为D ，O 为坐标原点，判断D ，O ，C 三点是否共线？并证明你的结论.20．（本小题满分14分）已知函数()ln 1f x x x =+（Ⅰ）若0x >时，函数()y f x =的图像恒在直线y kx =上方，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）证明：当时n *∈N ，1111ln(1)2341n n +>+++++.海珠区2013-2014学年下学期期末联考参考答案及评分标准高二数学一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分）二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）9.9 10. 240 11. 60 12.0.6 13.三、解答题（共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. （本小题满分12分）证明：（Ⅰ）由A B C 、、成等差数列，有2=B A C +， ………2分 因为A B C 、、为ABC ∆的内角，所以A B C π++=， ………3分∴B =分（Ⅱ）由a b c 、、成等比数列，2b ac =， ………6分 由余弦定理可得，222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-， ………8分 代入得22a c ac ac +-=，即()2=0a c -，因此=a c ， ………10分从而=A C ， 由此可得，A B C ===分所以ABC ∆为等边三角形. ………12分16. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵点P 在切线上，∴2)1(=f .∴1=+b a . ………1分 又函数图象在点P 处的切线斜率为8，∴ 8)1('=f ， ………2分 又b ax x x f ++=23)('2， ………3分 ∴52=+b a . ………4分 解方程组，可得3,4-==b a ． ………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得383)('2-+=x x x f ，FRADBCP令'()0f x =解得133x x =-=或 …………8分 由0)('>x f ，可得313>-<x x 或； ………9分 由0)('<x f ，可得313<<-x . …………10分 ∴函数)(x f 的单调增区间为),31(),3,(+∞--∞，单调减区间为)31,3(-.………12分17．（本小题满分14分）解:（Ⅰ）A 盒与B 盒中各取一个球出来再放入对方盒中后，A 盒中还有2个红球有下面两种情况：①互换的是红球，将该事件记为1A ，则：()11221114515C C P A C C ==； ………3分 ②互换的是黑球，将该事件记为2A ，则：()112321145310C C P A C C ==； ………6分 故A 盒中有2个红球的概率为()()121315102P P A P A =+=+=； ………8分 （Ⅱ） A 盒中红球数ξ的所有可能取值为1，2，3. ………9分而()112311453110C C P C C ξ===；()122P ξ==； ()11221145135C C P C C ξ===；………12分 因而ξ的分布列为：分∴31119123102510E ξ=⨯+⨯+⨯=. ………14分18.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵点A D 、分别是RB 、RC 的中点， ∴//,AD BC ………1分R∵AD PA ⊥，∴ BC PA ⊥, ------2分 ∵A AB PA AB BC =⊥ ,, ---------3分 ∴BC ⊥平面PAB . --------4分 ∵⊂PB 平面PAB ,∴PB BC ⊥. -------5分（Ⅱ）法1：取RD 的中点F ，连结AF 、PF ． -------6分∵1==AD RA , ∴RC AF ⊥. -------7分 ∵,APAB AP AD , ∴⊥AP 平面RBC . -------8分∵⊂RC 平面RBC , ∴AP RC ⊥. -------9分 ∵,A AP AF = ∴⊥RC 平面PAF . -------10分 ∵⊂PF 平面PAF , ∴PF RC ⊥. -------11分 ∴∠AFP 是二面角P CD A --的平面角. --------12分 在Rt △RAD 中, 22212122=+==AD RA RD AF ， 在Rt △PAF 中, 2622=+=AF PA PF ， ----------13分 ∴ 二面角P CD A --的平面角,332622cos ===∠PF AF AFP . -----14分 法2：由题意知,,APAB AP AD AB AD ，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -． ------6分则D （－1，0，0），C （－2，1，0），P （0，0，1）. ------7分 ∴DC =（－1，1，0），DP =（1，0，1）,-----8分设平面PCD 的法向量为,,nx y z ，则：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+-=⋅0z x DP n y x DC n， ---------9分 令1=x ，得1,1-==z y ， ----------10分 ∴n=（1，1，－1）. -----------11分显然，PA 是平面ACD 的一个法向量，PA =（,0,01-）． ----------12分∴cos<n，PA33131=⨯=PA ． ---------13分∴二面角P CD A --的平面角的余弦值是33. --------14分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解法1：由题意, 点M 到点A 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点A 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………2分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………4分 解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………2分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………4分 （Ⅱ）答：,,D O C 三点共线. ……………5分 证明: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ， ……………6分依题意得，2211224,4x y x y ==. ……………7分由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=， ……………9分解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………11分∴直线OC 的斜率22222244OCx y xk x x ===， ……………12分 直线OD 的斜率2114OD x k x -==， ……………13分 ∴OC OD k k =，故,,D O C 三点共线. … ………14分20. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）当()0,x ∈+∞时，函数)(x f y =的图像恒在直线kx y =上方， 等价于当()0,x ∈+∞时，ln 1x x kx +>恒成立， ………1分 即ln 11ln x x k x x x+<=+恒成立， ………2分 令()1ln g x x x =+，()0,x ∈+∞，则()22111'x g x x x x-=-= ………3分 当()+∞∈,1x 时，()'0g x >，故()1ln g x x x=+在()1,+∞上递增， 当()0,1x ∈时，()'0g x <，故()1ln g x x x=+在()0,1上递减，………4分 ∴()1g 为()1ln g x x x=+在区间()0,+∞上的极小值，仅有一个极值点故为最小值， ∴()0,x ∈+∞时，()()11g x g ≥= ………5分 所以实数k 的取值范围是(),1-∞ ………6分 （Ⅱ）证明1(构造函数法)：由（1）知当0x >，1x ≠时，x x x >+1ln ,即1ln 1x x………8分 令n n x 1+=，则111ln +->+n nn n ， ………10分即得11ln )1ln(+>-+n n n ………11分 ∴11ln )1ln(312ln 3ln ,211ln 2ln +>-+>->-n n n ，， ………12分 1ln 1ln 2ln )1ln(ln ln )1ln()1ln(+-++--+-+=+∴）（）（）（ n n n n n11112n n ……………13分 即11413121)1ln(+++++>+n n …………………14分证明2（数学归纳法）： ①当1n =时，由2ln 2ln 41，知1ln 22成立； ………7分②假设当n k =时命题成立，即1111ln(1)2341k k 那么，当1n k =+时，1111123412k k 1ln(1)2k k ………8分 下面利用分析法证明：1ln(1)ln(2)2k k k ………9分 要证上式成立，只需证：1ln(2)ln(1)2k k k 只需证：121ln 21k k k k ………10分 令21kx k ，只需证：11ln x x ，(1)x ………11分只需证：ln 1x x x ，(1)x由（1）知当1x >时，x x x >+1ln 恒成立. ………12分 所以，当1n k =+时，1111123412k k ln(2)k 也成立，……13分由①②可知，原不等式成立. ………14分。
