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第13章 全等三角形13.4 尺规作图基础过关全练知识点1 作一条线段等于已知线段1.(2023山东临清期中)如图,已知线段a,b.按如下步骤完成尺规作图,则AC的长是( )①作射线AM;②在射线AM上顺次截取AD,DB,使AD=DB=a;③在线段AB上截取BC=b.A.2a+bB.2a-bC.a+bD.b-a知识点2 作一个角等于已知角2.如图,尺规作∠HFG=∠ABC,作图痕迹中弧MN是( )A.以点F为圆心,以BE长为半径的弧B.以点F为圆心,以DE长为半径的弧C.以点G为圆心,以BE长为半径的弧D.以点G为圆心,以DE长为半径的弧3.(2023北京东城期末)已知∠AOB.下面是“作一个角等于已知角,即作∠A'O'B'=∠AOB”的尺规作图痕迹.该尺规作图的依据是( )A.S.A.S.B.S.S.S.C.A.A.S.D.A.S.A.4.【一题多解】【新独家原创】如图,D是△ABC的边BA延长线上一点,AB=BC,∠B=40°,结合作图痕迹,求证:AC平分∠BAE.知识点3 作已知角的平分线5.【尺规作图】【新考法】(2023吉林长春四十五中期末(线上))如图,已知AB=AC,BC=6,由尺规作图痕迹可得BD=( )A.2B.3C.4D.56.【易错题】(2023山东烟台期中)用尺规作图如图所示,首先以A为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB,AC于点E,F;再分别以E,F为圆心,以EF长为半径画弧,两弧交于D点,最后作射线AD.下列结论不一大于12定正确的是( )A.AF=DFB.∠BAD=∠CADC.∠AFD=∠AEDD.DE=DF7.(2022吉林长春吉大附中期中)如图,在△ABC中,∠A=50°,∠B=80°,观察图中尺规作图的痕迹,则∠DCE的度数为 .知识点4 经过一已知点作已知直线的垂线8.(2023辽宁大连甘井子期中)已知钝角△ABC,用直尺和圆规作边BC 上的高.(不写作法,保留作图痕迹)知识点5 作已知线段的垂直平分线9.根据图中尺规作图的痕迹,可判断AD一定为三角形ABC的( )A.角平分线B.中线C.高线D.都有可能10.(2022四川三台期中)如图,已知钝角△ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹.步骤1:以C为圆心,CA长为半径画弧①;步骤2:以B为圆心,BA长为半径画弧②,交弧①于点D;步骤3:连结AD,交BC的延长线于点H.下列叙述正确的是( )A.AB=ADB.BH⊥ADC.S△ABC=BC·AHD.AC平分∠BAD11.【教材变式·P90T2】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC<BC.(1)动手操作:要求尺规作图,不写作法,但保留作图痕迹.①作出线段AB的垂直平分线MN,MN与AB交于点D,与BC交于点E;②连结AE,过点B作BF垂直于AE,垂足为F;(2)推理证明:求证:AC=BF.能力提升全练12.(2021四川广元中考,6,★☆☆)观察下列作图痕迹,线段CD为△ABC的角平分线的是( )A BC D13.(2022海南中考,10,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,以点B为圆心,适当长为半径画弧,交BA于点M,交BC于点N,分别以点M、N为圆MN的长为半径画弧,两弧在∠ABC的内部相交于点P,画射心,大于12线BP,交AC于点D,若AD=BD,则∠A的度数是( )A.36°B.54°C.72°D.108°14.(2022山西平定期中,18,★☆☆)如图,已知等腰△ABC的顶角∠A=36°.(1)根据要求用尺规作图:作∠ABC的平分线交AC于点D;(不写作法,只保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下,求证:△BDC是等腰三角形.15.【新考法】(2022广西贵港中考,20,★★☆)尺规作图(保留作图痕迹,不要求写出作法).如图,已知线段m,n.求作△ABC,使∠A=90°,AB=m,BC=n.素养探究全练16.【推理能力】数学课上,探讨角平分线的作法时,李老师用直尺和圆规作角的平分线,作法如下(如图1):①在OA和OB上分别截取OD、OE,使OD=OE.DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交②分别以D、E为圆心,大于12于点C.③作射线OC,则OC就是∠AOB的平分线.小聪只带了直角三角板,他发现利用三角板也可以作角的平分线,作法如下(如图2):①利用三角板上的刻度,在OA和OB上分别截取OM、ON,使OM=ON.②分别过M、N作OM、ON的垂线,交于点P.③作射线OP,则OP为∠AOB的平分线.小颖的身边只有刻度尺,经过尝试,她发现利用刻度尺也可以作角的平分线.图1 图2根据以上情境,解决下列问题:(1)李老师用尺规作角的平分线时,用到的三角形全等的判定方法是 ;(2)小聪的作法正确吗?请说明理由;(3)请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法.(要求:作出图形,写出作图步骤,不予证明)答案全解全析基础过关全练1.B 如图,AC=AB-BC=AD+BD-BC=2a-b.故选B.2.D 3.B 由作图得DO=D'O'=CO=C'O',CD=C'D',在△DOC和△D'O'C'中,DO=D'O', CO=C'O', CD=C'D',∴△DOC≌△D'O'C'(S.S.S.),∴∠O'=∠O.故选B.4.证明 证法一:根据作图痕迹可知∠DAE=∠B.∵∠B=40°,∴∠DAE=40°.∵AB=BC,∴∠BAC=∠C,∴∠BAC=180°-∠B2=180°-40°2=70°,∴∠CAE=180°-∠BAC-∠DAE=180°-70°-40°=70°,∴∠BAC=∠CAE,∴AC平分∠BAE.证法二:根据作图痕迹可知∠DAE=∠B,∴AE∥BC,∴∠EAC=∠C,∵AB=BC,∴∠BAC=∠C,∴∠BAC=∠CAE,∴AC平分∠BAE.5.B 本题将尺规作图与等腰三角形的三线合一的性质结合起来考查.由尺规作图痕迹可知AD平分∠BAC,∵AB=AC,BC=6,∴BD=CD=3,故选B.6.A 解答此题时易因不理解基本的尺规作图步骤导致判断错误.由作图可得AF=AE,FD=DE,在△AFD 和△AED 中,AF =AE ,AD =AD ,FD =DE ,∴△AFD ≌△AED(S.S.S.),∴∠BAD=∠CAD,∠AFD=∠AED,故选项B,C,D 中的结论正确,不合题意;无法得出AF=DF,故选项A 中的结论不一定正确,符合题意.故选A.7.答案 65°解析 ∵∠A=50°,∠B=80°,且∠ACD 是△ABC 的外角,∴∠ACD=∠A+∠B=50°+80°=130°,观察题图中尺规作图的痕迹,可得CE 平分∠ACD,∴∠DCE=12∠ACD=12×130°=65°.8.解析 如图,AD 即为所作.9.B 由作图可知,D 是线段BC 的中点,故AD 是△ABC 的中线,故选B.10.B 由作图可知,直线BC 是线段AD 的垂直平分线,所以BH ⊥AD,故选B.11.解析 (1)①②如图所示:(2)证明:∵直线MN 是线段AB 的垂直平分线,∴AD=BD,∠ADE=∠BDE=90°,在△ADE 和△BDE 中,AD =BD ,∠ADE =∠BDE ,ED =ED ,∴△ADE ≌△BDE(S.A.S.),∴EA=EB,∵BF ⊥AE,∴∠BFE=90°=∠C,在△ACE 和△BFE 中,∠C =∠BFE ,∠AEC =∠BEF ,AE =BE ,∴△ACE ≌△BFE(A.A.S.),∴AC=BF.能力提升全练12.C A 、D 选项中的线段CD 为△ABC 的高,B 选项中的线段CD 为△ABC 的中线,C 选项中的线段CD 为△ABC 的角平分线.故选C.13.A 由题意可得射线BP 为∠ABC 的平分线,∴∠ABD=∠CBD,∵AD=BD,∴∠A=∠ABD,∴∠A=∠ABD=∠CBD,∴∠ABC=2∠A,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=2∠A,∴∠A+∠ABC+∠C=∠A+2∠A+2∠A=180°,解得∠A=36°.故选A.14.解析 (1)如图所示,BD即为所求.(2)证明:∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=(180°-36°)÷2=72°,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°,∴∠CDB=180°-36°-72°=72°,∴∠C=∠CDB,∴BD=BC,∴△BDC是等腰三角形.15.解析 如图所示,△ABC即为所求.注: (1)作直线l及l上一点A;(2)过点A作l的垂线AD;(3)在l上截取AB=m;(4)作BC=n交l的垂线于C.△ABC即为所作.素养探究全练16.解析 (1)S.S.S..(2)小聪的作法正确.理由如下:∵PM⊥OM,PN⊥ON,∴∠OMP=∠ONP=90°,在Rt△OMP和Rt△ONP中,OP=OP, OM=ON,∴Rt△OMP≌Rt△ONP,∴∠MOP=∠NOP,∴OP平分∠AOB.(3)步骤:①利用刻度尺在OA、OB上分别截取OG、OH,使OG=OH.②连结GH,利用刻度尺作出GH的中点Q.③作射线OQ,则OQ就是∠AOB的平分线.如图所示.。
13.4尺规作图1～3作线段、角、角平分线(第1课时)一、基本目标使学生了解尺规作图的含义，学会用尺规作图作一条线段等于已知线段、一个角等于已知角、已知角的平分线．二、重难点目标【教学重点】用尺规作图作一条线段等于已知线线、一个角等于已知角、已知角的平分线．【教学难点】用尺规作图作已知角的平分线．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P85～P87的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．尺规作图是指(C)A．用量角器和刻度尺作图B．用圆规和有刻度的直尺作图C．用圆规和无刻度的直尺作图D．用量角器和无刻度的直尺作图2．下列作图语句正确的是(B)A．作射线AB，使AB＝aB．作∠AOB＝∠αC．延长直线AB到点C，使AC＝BCD．以点O为圆心作弧环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生对学)1．作一条线段等于已知线段讨论1：已知MN为已知线段，你能用直尺和圆规准确地作一条与MN相等的线段吗？作图步骤：(1)画一条射线AC；(2)以点A为端点，在射线上用圆规截取AC＝MN.线段AC即为所求．2．作一个角等于已知角讨论2：这是我们在七年级已经学习过的作一个角等于已知角的方法，你能用所学的知识说明为什么∠A′O′B′＝∠AOB吗？【教师点拨】因为OC＝OC′，OD＝OD′，CD＝C′D′，所以△ODC≌△O′D′C′(S.S.S.)，所以∠A′O′B′＝∠AOB.3．作已知角的平分线讨论3：如图，∠AOB为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出∠AOB的平分线．作图步骤：第一步：在射线OA 、OB 上，分别截取OD 、OE ，使OD ＝OE ；第二步：分别以点D 和点E 为圆心、适当长(大于线段DE 长的一半)为半径作圆弧，在∠AOB 内，两弧交于点C ；第三步：作射线OC .射线OC 就是所求作的∠AOB 的平分线．【教师点拨】OC 就是所求作的∠AOB 的平分线的证明过程见教材P87. 讨论4：想想看，如何将∠AOB 四等分？【教师点拨】在讨论3的基础上，再按上述作角平分线的方法分别作出∠COB 、∠AOC 的平分线OG 、OH ，即可将∠AOB 四等分．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB ＝60°，按以下步骤作图： ①以点A 为圆心，小于AC 长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点E 、F ； ②分别以点E 、F 为圆心，大于12EF 长为半径画弧，两弧相交于点G ；③作射线AG ，交BC 边于点D . 则∠ADC 的度数为( C )A ．30°B ．50°C ．60°D ．70°2．如图，以∠AOB 的顶点为圆心，取适当长为半径画弧，交OA 于点C ，交OB 于点D ，再分别以点C 、D 为圆心，大于12CD 长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点E ，过点E 作射线OE ，连结CD .下列说法错误的是( B )A ．射线OE 是∠AOB 的平分线 B ．O 、E 两点关于CD 所在直线对称C ．△COD 是等腰三角形D ．C 、D 两点关于OE 所在直线对称 3．完成教材P86“练习”第1～2题． 略4. 完成教材P88“练习”第1～2题．略环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！4～5作直线的垂线、线段的垂直平分线(第2课时)一、基本目标进一步了解尺规作图的含义，学会用尺规作图经过一已知点作已知直线的垂线、作已知线段的垂直平分线．二、重难点目标【教学重点】用尺规作图作直线的垂线、线段的垂直平分线．【教学难点】用尺规作图作线段的垂直平分线．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P88～P90的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．下列作图语言规范的是( D ) A ．过点P 作线段AB 的中垂线 B ．过点P 作∠AOB 的平分线C ．在直线AB 的延长线上取一点C ，使AB ＝ACD ．过点P 作直线AB 的垂线 2．阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线． 已知：直线AB 和AB 上一点C . 求作：AB 的垂线，使它经过点C .小艾的作法如下：如图，(1)在直线AB 上取一点D ，使点D 与点C 不重合，以点C 为圆心，CD 长为半径作弧，交AB 于D ，E 两点；(2)分别以点D 和点E 为圆心，大于12DE 长为半径作弧，两弧相交于点F ；(3)作直线CF .直线CF 就是所求作的垂线．老师表扬了小艾的作法是对的．请回答：小艾这样作图的依据是等腰三角形的“三线合一”．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)1．经过一已知点作已知直线的垂线已知点与已知直线可以有两种不同的位置关系：点在直线上，点在直线外，因此要分别作这两种情况下已知直线的垂线．(1)经过已知直线上一点作已知直线的垂线．讨论1：已知直线AB和AB上一点C，试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线．作图步骤：如图，由于点C在直线AB上，因此所作的垂线正好是平角ACB的平分线．第一步：作平角ACB的平分线；第二步：反向延长射线CD.直线CD就是要求作的垂线．(2)经过已知直线外一点作已知直线的垂线．讨论2：已知直线AB和AB外一点C，试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线．作图步骤：如图，若以点C为圆心，作能与直线AB相交于D、E两点的弧，则△CDE 为等腰三角形．由“等腰三角形顶角的平分线就是底边上的高”可知，只需作出∠DCE的平分线，则该平分线所在的直线就是要求作的垂线．讨论3：你能说说讨论2中为什么“只需作出∠DCE的平分线，则该平分线所在的直线就是要求作的垂线”吗？【教师点拨】等腰三角形“三线合一”的性质．2．作已知线段的垂直平分线讨论4：如图，已知直线l是线段AB的垂直平分线，则直线l是线段AB的对称轴，对l上的任意两点C、D，通过对折可以发现，总有CA＝CB，DA＝DB.由此，你能发现作垂直平分线的方法吗？【教师点拨】见教材P90“试一试”．活动2巩固练习(学生独学)1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，依下列步骤尺规作图，并保留痕迹．步骤1：以B为圆心，BA长为半径画弧；步骤2：以C为圆心，CA为半径画弧，交前弧交于点D；步骤3：连结AD，交BC于点E.下列叙述不正确的是(B)A．BC垂直平分AD B．AD平分∠BACC．∠B＝∠CAE D．∠C＝∠BAE2．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是(B)3. 如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于点C.(1)尺规作图：过点B作AC的垂线，交AC于点O，交AE于点D：(保留作图痕迹，不写作法)(2)求证：AD＝BC.(1)解：如图，OB即为所求．(2)证明：∵AE∥BF，∴∠EAC＝∠BCA.∵AC平分∠BAE，∴∠EAC＝∠BAC，∴∠BCA＝∠BAC，∴BA＝BC.∵BD⊥AO，AO平分∠BAD，∴AB＝AD，∴AD＝BC.活动3拓展延伸(学生对学)【例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点(不与A、C重合)．(1)用直尺和圆规作DE⊥BC于点E，延长ED交BA的延长线于点F；(保留作图痕迹，不写画法)(2)判断△ADF的形状并加以证明．【互动探索】根据经过已知直线外一点作已知直线垂线的方法作图，再判断△ADF的形状．【解答】(1)如图所示，点E、F即为所求．(2)△ADF为等腰三角形．理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵FE⊥BC，∴∠FEC＝∠FEB＝90°，∴∠BFE＋∠B＝90°，∠EDC＋∠ACB＝90°.∵∠ADF＝∠EDC，∠ABC＝∠ACB，∴∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD，∴△ADF为等腰三角形．【互动总结】(学生总结，老师点评)解本题的关键是熟练掌握基本作图，灵活运用所学知识解决问题．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！。
