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2013届中考数学考前热点冲刺《第16讲 二次函数的应用》课件 新人教版

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中考复习二次函数的应用PPT课件

中考复习二次函数的应用PPT课件
5
第13课时解┃ 二次函数的应用
(1)依题意得顶点 C 的坐标为(0，11)，点 B 的坐标为(8， 8)，设抛物线解析式为 y＝ax2＋c，
有811＝＝8c2×，a＋c，解得ca＝＝1－1，634，
(∴2)令抛－物线1解(t析－式19为)2＋y8＝＝－1163－4x52＋，1解1.得 128
t1＝35，t2＝3.
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量 x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请 说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范 围。
9
探究二 二次函数在营销问题方面的应用 第13例课时2┃[2二0次12函·黄数冈的] 应某用科技开发公司研制出一种新型产
图 13－3
8
皖考解读
考点聚焦
皖考探究
当堂检测
如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正 上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m ）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知 球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的 边界距O点的水平距离为18m。
（3000－2400）x，（0≤x≤10，且x为整数） (2)y＝（3100－10x－2400）x，（10＜x≤50，且x为整数）
200x，（x＞50，且x为整数）
600x，（0≤x≤10，且x为整数） 即 y＝－10x2＋700x，（10＜x≤50，且x为整数）
200x.（x>50，且x为整数）
11
过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获
的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公
司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元(其

数学中考一轮复习专题16二次函数的应用课件

数学中考一轮复习专题16二次函数的应用课件

知识点2 ：二次函数的实际应用
典型例题
【考点】二次函数的应用；分式方程的应用
【 分 析 】 （ 1 ） 设 猪 肉 粽 每 盒 进 价 a 元 ， 则 豆 沙 粽 每 盒 进 价 (a-10) 元 ， 根 据 商 家 用
8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可；
x 1
y
3Байду номын сангаас
（不合题意的值已舍去），
即点B的坐标为（-1，3），
从图象看，不等式x2+mx＞-x+b的解集为x＜-1或x＞2；
知识点1 ：二次函数与方程、不等式的关系
典型例题
（3）当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点， ∵MN的距离为3，而AB的距离为3，故此时只有一个交点，即-1≤xM＜2； 当点M在点B的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点； 当点M在点A的右侧时，当xM =3时，抛物线和MN交于 抛物线的顶点（1，-1），即xM =3时，线段MN与抛物线 只有一个公共点， 综上，-1≤xM＜2或xM =3．
知识点1 ：二次函数与方程、不等式的关系
典型例题
【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=4+2m，解得：m=-2， 将点A的坐标代入直线表达式得：0=-2+b，解得b =2； 故m=-2，b =2；
（2）由（1）得，直线和抛物线的表达式为：y=-x+2，y=x2-2x，
联立上述两个函数表达式并解得：
知识点1 ：二次函数与方程、不等式的关系
知识点梳理
知识点1 ：二次函数与方程、不等式的关系
知识点梳理
2. 二次函数与不等式的关系:
（1）ax2+bx+c>0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应的点的横坐标的 取值范围； （2）ax2+bx+c<0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应的点的横坐标的 取值范围．

中考数学总复习课件：二次函数的应用(共35张PPT)

中考数学总复习课件：二次函数的应用(共35张PPT)

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★知识点1 ★员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/72021/9/7Tuesday, September 07, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/72021/9/72021/9/79/7/2021 6:17:19 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/72021/9/72021/9/7Sep-217-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/72021/9/72021/9/7Tuesday, September 07, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/72021/9/72021/9/72021/9/79/7/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月7日星期二2021/9/72021/9/72021/9/7 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/72021/9/72021/9/79/7/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/72021/9/7September 7, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/72021/9/72021/9/72021/9/7

九年级上数学：二次函数的应用课件ppt(共30张PPT)

九年级上数学：二次函数的应用课件ppt(共30张PPT)
知道顶点坐标或函数的最值时 知道顶点坐标或函数的最值时 顶点坐标
比较顶点式和一般式的优劣
一般式：通用， 一般式：通用，但计算量大 顶点式：简单， 顶点式：简单，但有条件限制
使用顶点式需要多少个条件？ 使用顶点式需要多少个条件？
顶点坐标再加上一个其它点的坐标； 顶点坐标再加上一个其它点的坐标； 再加上一个其它点的坐标 对称轴再加上两个其它点的坐标 再加上两个其它点的坐标； 对称轴再加上两个其它点的坐标； 其实，顶点式同样需要三个条件才能求。 三个条件才能求 其实，顶点式同样需要三个条件才能求。
二次函数的应用
专题三： 专题三： 二次函数的最值应用题
二次函数最值的理论
b 你能说明为什么当x = − 时，函数的最值是 2a 2 4ac − b y= 呢？此时是最大值还是最小值呢？ 4a
求函数y=(m+1)x 2(m+1)x- 的最值。 求函数y=(m+1)x2-2(m+1)x-m的最值。其 为常数且m≠ m≠－ 中m为常数且m≠－1。
A O D
B
C
最值应用题——面积最大 面积最大 最值应用题
•
用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做 用一块宽为 m 一个水槽，水槽的横断面为底角120 120º的等 一个水槽，水槽的横断面为底角120 的等 腰梯形。要使水槽的横断面积最大， 腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它的 侧面AB应该是多长？ AB应该是多长 侧面AB应该是多长？ D A
C
145km
A
D
最值应用题——销售问题 销售问题 最值应用题
某商场销售一批名牌衬衫， 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利 元，为了扩大销售，增加 件 每件盈利40元 为了扩大销售， 盈利，尽快减少库存， 盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的 降价措施。经调查发现， 降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降 价1元，商场平均每天可多售出 件。 元 商场平均每天可多售出2件 （1）若商场平均每天要盈利 ）若商场平均每天要盈利1200元，每件 元 衬衫应降价多少元？ 衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天 ）每件衬衫降价多少元时， 盈利最多？ 盈利最多？

第16课时 二次函数的实际应用 课件 2025年中考数学一轮总复习

第16课时 二次函数的实际应用 课件 2025年中考数学一轮总复习
考点四 抛物线的实际应用例4 （1）（2024·天津）从地面竖直向
上抛出一小球，小球的高度h（m）与
小球的运动时间t（s）之间的关系式是
h＝30t－5t2（0≤t≤6）.有下列结论：①小球从抛出到落地需要6s；②小球运动中的高度可以是30m；③小球运动2s时的高度小于运动5 s时的
高度.
其中，正确结论的个数是（ C ）
（2）y＝－2x2－16x＋3（－1≤x≤2）.
[答案] 解：（2）y＝－2x2－16x＋3＝
－2（x＋4）2＋35.当－1≤x≤2时，y随x的增大而减小，∴当x＝－1时，y取最大值17；当x＝2时，y取最小值－37.
考点二 利用二次函数模型解决几何面
积问题
例2 （1）如图，在等腰直角三角形
ABC中，∠A＝90°，BC＝8，点D，
（2）若小球离地面的最大高度为20m，
求小球被发射时的速度；
解：（2）根据题意，得当t＝ 时，h＝20，∴－5× ＋v0× ＝20，∴v0＝20m/s（负值舍去）.
（3）按（2）中的速度发射小球，小球
离地面的高度有两次与实验楼的高度相
同.小明说：“这两次间隔的时间为3s.”已
知实验楼高15 m，请判断他的说法是否
4. （2024·河南）从地面竖直向上发射的
物体离地面的高度h（m）满足关系式h
＝－5t2＋v0t，其中t（s）是物体运动的
时间，v0（m/s）是物体被发射时的速
度.社团活动时，科学小组在实验楼前从
地面竖直向上发射小球.
（1）小球被发射后 s时离地面的
高度最大（用含v0的式子表示）；
∴FO＝40m或FO＝60m，∵FO＜OD，∴FO的长为40m.
1. 用长12m的铝合金条制成矩形窗框

初三数学中考复习：二次函数的应用 复习课 课件(共32张PPT)

初三数学中考复习：二次函数的应用 复习课 课件(共32张PPT)
二次函数的应用
知识总览 主要知识内容回顾 典型例题分析 小结
二次函数
一、 知识总览
二次函数
概念 图像性质 用函数观点看方程与不等式
应用
一1.从、二二次次函函数数角与度方看程二次、方不程等、式不等式
(形)
（数）
解法一：观察图像， 解法二：解方程，
(形)
（数）
解法一：观察图像，
一、二次函数与方程、不等式
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例2：
某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50 元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种 水产品的销售情况，销售单价定为多少元时，获得的利润最多？
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解决最值类的主要步骤：
第三步：确定自变量取值范围。（与自变量相关的量） 第四步：利用二次函数性质解决最值等问题。（顶点、图像） 第五步：回归实际题。
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例2：
分析：
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➢ 构造函数解方程，利用两个函数图象交点确定解。 ➢ 可对方程进行同解变形，再构造函数。

初三二次函数课件ppt课件

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02
二次函数的解析式
一般式
总结词
最通用的二次函数形式，包含三个系数a、b和c。
详细描述
一般式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为实数，且a≠0。它可以表示任意二次 函数，通过调整系数a、b和c的值，可以改变函数的形状、开口方向和大小。
顶点式
总结词
包含顶点坐标的二次函数形式。
详细描述
顶点式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。通过顶点式可以直接 读出顶点的坐标，并且可以快速判断抛物线的开口方向和对称轴。
伸缩变换
总结词
伸缩变换是指二次函数的图像在平面坐标系中沿x轴或y轴方向进行缩放。
详细描述
伸缩变换包括沿x轴方向的伸缩和沿y轴方向的伸缩。沿x轴方向的伸缩是指将图像在x轴方向上放大或 缩小，对应的函数变换是将x替换为kx(k>1表示放大，0<k<1表示缩小)。沿y轴方向的伸缩是指将图 像在y轴方向上放大或缩小，对应的函数变换是将y替换为ky(k>1表示放大，0<k<1表示缩小)。
利用二次函数求面积
详细描述
通过设定一个变量为常数，将 二次函数转化为一次函数，再 根据一次函数的性质求出面积 。
总结词
几何图形面积
详细描述
在几何图形中，如矩形、三角 形、圆等，可以利用二次函数
来求解面积。
生活中的二次函数问题
总结词
生活中的二次函数
总结词
实际应用案例
详细描述
在生活中，许多问题都可以用二次函数来 描述和解决，如速度、加速度、位移等物 理量之间的关系。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形 状由系数$a$决定。

初三二次函数课件ppt

初三二次函数课件ppt
已知抛物线$y = ax^2 + bx + c$ 经过点$(0,3)$和$(3,0)$，且顶点 在第四象限，求抛物线的方程。
综合习题
综合习题1
已知抛物线$y = x^2 - 2x - 3$与直线$y = 2x + k$相交于点$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，求证：$x_1 cdot x_2 < 0$。
位移变换会改变二次函数的开口方向、开口大小和顶 点位置，但不会改变顶点位置。
04
CATALOGUE
二次函数的实际应用
最大值与最小值问题
总结词
求二次函数的最值
详细描述
通过配方法或顶点式，找到二 次函数的对称轴，从而确定函 数的最大值或最小值。
总结词
求最值时的参数条件
详细描述
根据二次函数的开口方向和顶 点位置，确定参数的取值范围 ，确保函数取得最大值或最小
顶点式二次函数解析式
总结词
顶点式二次函数解析式是 $y=a(x-h)^2+k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式是二次函数的一种特殊形式，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点 。这个解析式可以很方便地表示函数的顶点和对称轴，并且可以很容易地转化为 一般二次函数解析式。
配方式二次函数解析式
总结词
配方式二次函数解析式是 $y=a(xh)^2+k$，其中 $h$ 和 $k$ 是常数，可 以通过配方将一般二次函数转化为这种 形式。VSFra bibliotek详细描述
配方式二次函数解析式可以通过配方将一 般二次函数转化为这种形式，其开口方向 和开口大小也可以通过调整 $a$ 和 $(h, k)$ 来改变。这种形式的二次函数在解决 实际问题中经常被使用。

2013年人教版《二次函数》中考总复习PPT课件(大全)

2013年人教版《二次函数》中考总复习PPT课件(大全)

b 2a
,
4ac 4a
b2
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
0
x
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向 增减性 最值
a>0,开口向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
（1）它是二次函数？ （1）若是二次函数，则 m2 2 2 且m2 m 2 0
∴当 m 2 时，是二次函数。
驶向胜利的彼 岸
点评：二次函数的几种表现形式及图像
①、 y ax2(a 0)
②、 y ax2 c(a 0)
③、 y a(x h)2(a 0) ④、 y a(x h)2 k(a 0)
当y=2.56时，有-x²+4=2.56
喷泉(1)
焰火
⑤、y ax2 bx c(a 0)
y
o
x
(顶点式) (一般式)
三、求抛物线解析式的三种方法
1、已知抛物线上的三个普通点，通常设解析 式为_y_=__a_x_2+_b_x_+__c(_a_≠_0_)_
2、已知抛物线顶点坐标（h, k）和一个普 通点，通常设抛物线解析式为 _y_=_a_(_x_-h_)_2_+_k_(_a_≠_0_)
y=2(x-3)2的图象。 ⑵二次函数y=2x2的图象先向左 平移1 个单位， 再向 上 平移 2 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的

人教版数学九年级上册第16讲 二次函数图象与性质的应用-课件

人教版数学九年级上册第16讲 二次函数图象与性质的应用-课件
•7、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021/11/12021/11/1November 1, 2021 •8、儿童集体里的舆论力量，完全是一种物质的实际可以感触到的教育力量。2021/11/12021/11/12021/11/12021/11/1
20
第16讲 二次函数图象与性质 的应用
A
解析：由图可知，对称轴为直线x＝2.∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(5，0)，∴抛 物线与x轴的另一个交点坐标为(－1，0)．又∵抛物线开口向下，∴不等式ax2＋bx＋c ＞0的解集是－1＜x＜5.故选A.
C
解析：根据表格得，当－4.4＜x＜－4.3时，－0.11＜y＜0.56，即－0.11＜x2＋2x－10＜0.56. ∵0距－0.11近一些，∴方程x2＋2x－10＝0的一个近似根是－4.3，故选C.
A 解析：由题意可知：Δ＝4－4(m－1)≥0，∴m≤2，故选A.
m＞9 解析：∵抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，∴Δ＝b2－4ac＜0，∴(－6)2－4×1·m＜0， 解得m＞9，∴m的取值范围是m＞9.故答案为：m＞9.
【思路点拨】利用根的判别式Δ＜0列不等式求解即可．
C
解析：观察表格得：方程x2＋3x－5＝0的一个近似根为1.2，故选C. 【思路点拨】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可．
x＜－1或x＞4解析：观察源自数图象可知：当x＜－1或x＞4时，直线y＝mx＋n在抛物线y＝ax2＋bx＋c的上方， ∴不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集为x＜－1或x＞4.故答案为：x＜－1或x＞4.
m≥－1
解析：当二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)的图象与直线y＝m有一个或两个公 共点时，ax2＋bx＋c＝m有实数根，所以m≥－1.故答案为m≥－1. 【思路点拨】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论；把方程ax2＋bx＋c＝m的解看作 抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝m的公共点的横坐标，则利用函数图象可得到当m≥－1时，二次函 数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)的图象与直线y＝m有公共点．

数学人教版九年级上册二次函数的应用课件

数学人教版九年级上册二次函数的应用课件

y=a(x-h)2+k
a﹤0有最大 a﹤0 x> 值k X y
-
b 2a
各种形式的二次函数的关系(可互相平移得到) 左 右 平 移
y = a( x – h )2 + k
y = ax2 + k
上 下 平 移 y = a( x – h )2
上下平移 y = ax2 左右平移
结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k 与y = ax2 ,y = ax2+k 形状相同,位置 不同。
1
2
1,
2
二次函数 ： y=ax2+bx+c(a≠0)
b 2 4ac b a( x ) 2a 4a
2
b 对称轴为：直线x ， 2a 2 b 4ac b 顶点坐标是： , 2a 4a

形状：开口向上（或向下）的抛物线
抛物线
顶点坐标
对称轴
X=b 2a
基础性质应用：
1、抛物线y=-2x² +4x-1的开口方向是 向下 ， 它的对称轴是 X=1 在y轴的 右 侧，与y轴交于点（0，-1） 。 （ 1， 3 ） 2、二次函数y=2(x－1)2+3的顶点坐标是 ， 对称轴 X=1 ，当x= 1 时它有最 小值是 3 。 3、函数y=5(x－3)2－2的图象可由函数y=5x2的图象 沿x轴向 右 平移 3 个单位，再沿y轴向 下 平移 2 个 单位得到。
5 a 4
即所求的函数解析式为
5 2 5 15 y x x 4 2 4
解法三 ∵ 点(-1，0）和（3，0）是关于直线x =1对称，
显然（1，-5）是抛物线的顶点坐标，故可设二次函数解

中考数学总复习 第三单元 函数 第16课时 二次函数的应用课件数学课件

中考数学总复习 第三单元 函数 第16课时 二次函数的应用课件数学课件
1
(1)当 a=- 时,①求 h 的值;②通过计算判断此球能否过网.
24
(2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到与点 O 的水平距离为 7 m,
12
离地面的高度为
5
m 的 Q 处时,乙扣球成功,求 a 的值.
图16-3
1
1
5
24
24
3
解:(1)①把(0,1),a=- 代入 y=a(x-4)2+h,得 1=- ×16+h,解得 h= .
∵y=-x2+18x=-(x-9)2+81,
图 16-1
∴当 x=9 时,苗圃的面积最大,最大面积是
81 m2.
第四页，共二十七页。
课前双基巩固
3.[九下 P31 练习第 3 题改编] 小妍想将一根 72 cm 长的彩带剪成两段,分别围成两个正方形,则她将彩带剪成长度分别为
36
cm 和
36
cm 的两段,所围成的正方形的面积之和最小,最小面积是 162
2
s.
课前双基巩固
2.[九下 P32 习题 1.5 第 2 题改编] 如图 16-1,用长为 18 m 的篱笆(虚线
部分)围成两面靠墙的矩形苗圃,当矩形苗圃的一边长为
面积最大,最大面积是
m 时,
m2.
[答案] 9
81
[解析] 设苗圃的一边长为 x m,则苗圃的
与其相邻的一边长为(18-x)m,
则其面积 y=x(18-x)=-x2+18x.
cm2.
4.[九下 P32 习题 1.5A 组第 3 题改编] 某工艺厂设计一款成本为 10 元/件的产品,并投放市场进行试销,经过调查,发现每天
的销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间存在一次函数关系 y=-10x+700,则销售单价定为

《二次函数的应用》数学教学PPT课件(5篇)

《二次函数的应用》数学教学PPT课件(5篇)

A(1.5，3.05)，篮球在最大高度时的位置为点B(0，
3.5)．以点C表示运动员投篮球的出手处．
设以y轴（直线x=0）为对称轴的抛物线为y=a(x-0)2+k，
即y=ax2+k，而点A，B在这条抛物线上，所以有
解得
2.25a k 3.05， k 3.5.
a 0.2， k 3.5.
(1) 请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园.
解：设AM的长为x(m),则BM的长为（2-x)m,以AM和MB为边的两块正方形面积之
和为y.依题意得y与x之间的函数解析式为
D
2m
C
y=x2+(2-x)2
=2x2-4x+4
=2(x2-2x)+4
=2(x2-2x+1-1)+4 =2(x-1)2+2
A Xm M
B
∵a=2＞0∴当x=1时，y有最小值，最小值为2.
因为两条直线相交于点（2,3),
｛X=2
所以原方程组的解是
交流思考
如何运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值?
➢ 首先应当求出函数解析式和自变量的取值范围， ➢然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最 小值。
注意：由此求得的最大值或最小值对应的
。 自变量的值必须在自变量的取值范围内
例2：如图，ABCD是一块边长为2 m的正方形铁板，在边AB上选取 一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料。当 AM的长为何值时，截取的板料面积最小？
何时窗户通过的光线最多
用长为6m的铝合金型材做一个形状如图26.2.5所示的 矩形窗框．窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积 最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计）

(新)初三数学中考复习二次函数的应用复习课PPT幻灯片(32页)

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一、二次函数与方程、不等式
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(形)
（数）
解法一：观察图像，
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一、二次函数与方程、不等式
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三、典型例题分析
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➢ 认识从函数角度看二次方程、不等式的联系 ➢ 抛物线与直线交点是关键点。
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人教版-数学-九年级上册-新版九年级数学上册 二次函数的应用 推荐课件

人教版-数学-九年级上册-新版九年级数学上册 二次函数的应用 推荐课件

(1) y = x2+x-2 (2) y = x2 - 6x +9
y=x2-x+1
y=x2-6x+9
(3) y = x2 – x+ 1
y=x2+x-2
O
x
人教版九年级下册第26章《二次函数》
第六课时 二次函数的应用
解:
(1)抛物线y x2 x 2与x轴有两个公共点,它的横坐标 2, 1 , 当x取公共点的横坐标时,函数的值是0.由此得出方程x2 x 2 0 根是 x1 2, x2 1. (2)抛物线y x2 6x 9与x轴有一个公共点,这点的横坐标是3.当 x 3时,函数的值是0.由此得出方程x2 6x 9 0有两个相等的 实数根 x1 x2 3. (3)抛物线y x2 x 1与x轴没有公共点,由此可知,方程 x2 x 1 0没有实数根.
➢检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必 须在自变量的取值范围内 。
人教版九年级下册第26章《二次函数》
第六课时 二次函数的应用
1、某旅行社组团去外地旅游,30人起组团, 每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠, 即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你 能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行 社可以获得最大营业额？
人教版九年级下册第26章《二次函数》
第六课时 二次函数的应用
【思考３】猜一猜：所围成矩形面积的最大值大概是多少？
【思考４】你能求出篱笆所围成的矩形的最大面积吗？
分析：先写出S与x的函数关系，再求出使S最大
x
的x的值．
30-x
解:设一边长为x m , 则另一边为（30－x)m． 依题意，得
S x(30 x) x2 30 x (x 15)2 225 （0< x<30）
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第16讲┃ 回归教材
回归教材
如何定价利润最大
教材母题
人教版九下 P23 探究 1
某商品现在的售价为每件 60 元， 每星期可卖出 300 件． 市 场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．已知商品的进价为 每件 40 元，如何定价才能使利润最大？
第16讲┃ 归类示例
[2012· 无锡] 如图16－3，在边长为24 cm的正方形 纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三 角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装 盒(A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点)．已知 E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两 个端点，设AE＝BF＝x cm. (1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒 的体积V；
图16－1
第16讲┃ 归类示例
[解析] (1)利用h＝2.6，将(0，2)代入解析式求出即可； 1 (2)利用当x＝9时，y＝－ (x－6)2＋2.6＝2.45，当y＝0时， 60 1 － (x－6)2＋2.6＝0，分别得出即可； 60 (3)根据当球正好过点(18，0)时，y＝a(x－6)2＋h的图象还过 (0，2)点，以及当球刚能过网，此时函数的图象过点(9，2.43)， y＝a(x－6)2＋h的图象还过点(0，2)分别得出h的取值范围，即可 得出答案．
第16讲┃ 归类示例
利用二次函数解决抛物线形问题， 一般是先根据实际 问题的特点建立直角坐标系， 设出合适的二次函数的解析 式，把实际问题中已知条件转化为点的坐标，代入解析式 求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．
第16讲┃ 归类示例 ► 类型之二 二次函数在营销问题方面的应用
命题角度： 二次函数在销售问题方面的应用．
第16讲┃ 归类示例
二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问 题，这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关系 式，然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的 取值解决利润最大问题．
第16讲┃ 归类示例 ► 类型之三 二次函数在几何图形中的应用
命题角度： 1. 二次函数与三角形、圆等几何知识结合往往是涉 及最大面积，最小距离等； 2. 在写函数关系式时，要注意自变量的取值范围．
第16讲┃ 回归教材
解：(1)设每件涨价 x 元，每星期售出商品的利润 y 随 x 变化 的关系式为 y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)， 自变量 x 的取 值范围是 0≤x≤30. ∴y＝－10x2＋100x＋6000 ＝－10(x－5)2＋6250， 因此当 x＝5 时，y 取得最大值为 6250 元． (2)设每件降价 x 元， 每星期售出商品的利润 y 随 x 变化的关 系式为 y＝(60－x－40)(300＋20x)，自变量 x 的取值范围是 0≤x≤20，∴y＝－20x2＋100x＋6000＝－20(x－2.5)2＋6125， 因此当 x＝2.5 时，y 取得最大值为 6125 元． (3)每件售价 60 元(即不涨不降)时，每星期可卖出 300 件， 其利润 y＝(60－40)×300＝6000(元)． 综上所述，当商品售价定为 65 元时，一周能获得最大利润 6250 元．
第16讲┃ 归类示例
解：(1)根据题意，知这个正方体的底面边长a＝ 2 x cm， EF＝ 2 a＝2x (cm)， ∴x＋2x＋x＝24 ，x＝6，a＝6 2 cm，V ＝a3＝(6 2 )3＝ 432 2(cm3)． (2)设包装盒的底面边长为y cm，高为h cm，则y＝ 2x， 24－2x h＝ ＝ 2(12－x)， 2 ∴S＝4yh＋y2 ＝4 2x· 2(12－x)＋( 2x)2＝－6x2＋96x＝ －6(x－8)2＋384， ∵0<x<12，∴当x＝8时，S取得最大值384 cm2.
第16讲┃ 归类示例
二次函数在几何图形中的应用，实际上是数形结合思 想的运用，融代数与几何为一体，把代数问题与几何问题 进行互相转化，充分运用三角函数解直角三角形，相似、 全等、圆等来解决问题，充分运用几何知识求关系式是关 键．二次函数与三角形、圆等几何知识结合时，往往涉及 最大面积，最小距离等问题，解决的过程中需要建立函数 关系，运用函数的性质求解．
建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相 转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆 等知识解决问题，求二次函数的关系式是解题关键．
第16讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 利用二次函数解决抛物线形问题
命题角度： 1. 利用二次函数解决导弹、铅球、喷水池、抛球、跳 水等抛物线形问题； 2. 利用二次函数解决拱桥、护栏等问题．
第16讲┃ 归类示例
[解析] (1)相等关系：甲、乙两种商品的进货单价之和 是5元；按零售价买甲商品3件和乙商品2件，共付了19元． (2)利润＝(售价－进价)×件数．
解：(1)设甲商品的进货单价是x元，乙商品的进货单价 是y元．
x＋y＝5， 根据题意，得 3（x＋1）＋2（2y－1）＝19， x＝2， 解得 y＝3
第16讲┃ 归类示例
(2)某广告商要求包装盒的表面积(不含下底面)S最大，试 问x应取何值？
图16－3
第16讲┃ 归类示例
[解析] (1)根据已知得出这个正方体的底面边长a＝ 2x cm，EF＝ 2 a＝2x(cm)，再利用AB＝24 cm，求出x进而 可得出这个包装盒的体积V； (2)利用已知表示出包装盒的表面面积，进而利用函数 最值求出即可．
第16讲┃ 回归教材
解：(1)(1400－50x) (2)y＝x(－50x＋1400)－4800＝－50x2＋1400x－4800 ＝－50(x－14)2＋5000. 当x＝14时，在0≤x≤20范围内，y有最大值5000. ∴当每日租出14辆时，租赁公司日收益最大，最大值 为5000元． (3)要使租赁公司日收益不盈也不亏，即y＝0. 即－50(x－14)2＋5000＝0，解得x1＝24，x2＝4. ∵x＝24不合题意，舍去． ∴当每日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏.
第16讲┃ 回归教材
[点析] 本题是一道较复杂的市场营销问题，需要分情 况讨论，建立函数关系式，在每种不同情况下，必须注意 自变量的取值范围，以便在这个取值范围内，利用函数最 值解决问题．
第16讲┃ 回归教材
中考变式
[2012· 嘉兴] 某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计， 当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日 租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的 各项支出共4800元．设公司每日租出x辆时，日收益为y 元．(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出) (1)公司每日租出x辆时，每辆车的日租金为________元 (用含x的代数式表示)； (2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大 是多少元？ (3)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益不盈也不 亏？
第16讲┃ 归类示例
[2012· 安徽] 如图16－1，排球运动员站在点O处练习发 球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高 度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球 网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的 水平距离为18 m. (1)当h＝2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值 范围)； (2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理 由； (3)若球一定能越过球网，又不归类示例
(3)当球正好过点(18，0)时，y＝a(x－6)2＋h还过点(0，2)点， 1 2＝36a＋h， a＝－54， 代入解析式得： 解得： 0＝144a＋h， h＝8， 3 1 2 8 此时二次函数解析式为：y＝－ (x－6) ＋ ， 54 3 8 此时球若不出边界则h≥ . 3
[2011· 盐城] 利民商店经销甲、乙两种商品．现有 如下信息：
图16－2
第16讲┃ 归类示例
请根据以上信息，解答下列问题： (1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元？ (2)该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经 调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种 商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润， 商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元．在不考 虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销 售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多 少？
第16讲┃ 归类示例
解：(1)∵h＝2.6，球从O点正上方2 m的A处发出， ∴y＝a(x－6)2＋h过点(0，2)， 1 2 ∴2＝a(0－6) ＋2.6，解得：a＝－ ， 60 1 故y与x的关系式为：y＝－ (x－6)2＋2.6. 60 1 (2)当x＝9时，y＝－ (9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43， 60 所以球能过球网； 1 当y＝0时，－ (x－6)2＋2.6＝0， 60 解得x1＝6＋2 39＞18，x2＝6－2 39(舍去)． 故球会出界．
第16讲┃二次函数的应用
第16讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 二次函数的应用
二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这 就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题， 应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方 案等问题．
第16讲┃ 考点聚焦
考点2
建立平面直角坐标系，用二次函数的图象解决实际问题
答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元.
第16讲┃ 归类示例
(2)设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s元，则 m m s＝(1－m)500＋100× ＋(5－3－m)300＋100× 0.1 0.1 即 s＝－2000m2＋2200m＋1100 ＝－2000(m－0.55)2＋1705. ∴当m＝0.55时，s有最大值，最大值为1705. 答：当m定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商 品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元．