中心极限定律

中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorems）什么是中心极限定理大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。

而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。

中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。

它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。

因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。

中心极限定理的表现形式中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：（一）辛钦中心极限定理设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时，将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。

（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理设μn是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n无限大时，频率设μn / n趋于服从参数为的正态分布。

即：该定理是辛钦中心极限定理的特例。

在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。

（三）李亚普洛夫中心极限定理设是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差：。

记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时，，则对任意的x有：该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。

（四）林德贝尔格定理设是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x，有。

中心极限定理是概率论中一个非常重要的定理，它告诉我们在一定条件下，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似于正态分布。

这个定理对于统计推断和假设检验有着重要的意义，因此被广泛应用于各个领域。

1. 中心极限定理的概念中心极限定理是指在一定条件下，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似于正态分布。

无论总体的分布是什么样子，只要样本容量足够大，样本均值的分布都会接近正态分布。

这个定理对于统计学来说非常重要，因为它告诉我们在很多情况下，我们可以使用正态分布来近似描述样本均值的分布。

2. 为什么中心极限定理成立中心极限定理之所以成立，是因为当样本容量足够大时，样本均值的分布受到多个随机因素的影响，而这些随机因素的总和近似呈现出正态分布的特征。

这也是为什么无论总体的分布是什么样子，只要样本容量足够大，样本均值的分布都会近似于正态分布的原因。

3. 中心极限定理的应用中心极限定理在统计学中有着广泛的应用。

在假设检验中，我们经常需要根据样本均值对总体均值做出推断。

而根据中心极限定理，我们可以知道当样本容量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布，这样我们就可以使用正态分布的性质来进行推断和计算。

4. n趋近无穷的意义在中心极限定理中，n代表样本容量，当n趋近无穷时，样本均值的分布就会趋近于正态分布。

这也说明了中心极限定理的一个重要特点，即样本容量越大，样本均值的分布越接近正态分布。

当我们需要进行统计推断时，可以通过增大样本容量来让样本均值的分布更接近于正态分布，从而使得推断结果更加可靠。

5. 标准正态分布的意义标准正态分布是统计学中一个非常重要的分布，它的概率密度函数是一个钟形曲线，均值为0，标准差为1。

在实际的统计推断和假设检验中，很多情况下都需要使用标准正态分布来进行计算和推断。

而根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布，因此我们可以使用标准正态分布的性质来进行推断和计算，这对于统计学的应用具有重要的意义。

概率论与数理统计第四章正态分布§13 中心极限定理暨南大学电气信息学院苏保河主讲第四章正态分布§13 中心极限定理主要内容一、林德伯格—莱维中心极限定理二、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理三、李雅普诺夫中心极限定理暨南大学电气信息学院苏保河主讲例1炮火轰击敌方防御工事100 次, 每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学期望为2, 均方差为1.5. 若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.一、林德伯格—莱维中心极限定理解设X k 表示第k 次轰击命中的炮弹数,2()2,() 1.5,1,,100,k k E X D X k ==="相互独立,12100,,,X X X "苏保河主讲设X 表示100 次轰击命中的炮弹数, 由独立同分布的中心极限定理, 例1 解(续1)2()2,() 1.5,k k E X D X ==苏保河主讲1001,k k X X ==∑则2()200,()15,E X D X ==~(200,225).X N 近似地有{180}P X ≥1((180200)/15)Φ≈−−(1.33)Φ=(1)至少命中180发炮弹的概率;1( 1.33)Φ=−−0.9082.=1{180}P X =−<设X 表示100 次轰击命中的炮弹数, 由独立同分布的中心极限定理,例1 解(续2)2()2,() 1.5,k k E X D X ==苏保河主讲1001,k k X X ==∑则()200,()225,E X D X ==2~(200,15).X N 近似地有(2)命中的炮弹数不到200发的概率.{0200}P X ≤<((200200)/15)((0200)/15)ΦΦ≈−−−(0)(13.33)ΦΦ=−−0.5000.=例2检验员逐个检查某产品, 每查一个需用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次,再用去10 秒钟. 若产品需重复检查的概率为0.5, 求检验员在8 小时内检查的产品多于1900 个的概率.解在8 小时内检查的产品多于1900 个,即检查1900 个产品所用时间小于8 小时.设X为检查1900 个产品所用的时间(秒),设Xk 为检查第k个产品所用的时间(单位为秒), k= 1, 2, …, 1900.苏保河主讲例3某车间有200 台车床独立地工作,开工率为0.6, 开工时每台耗电为r 千瓦.问供电所至少要供给这个车间多少电力,才能以99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？解设至少要供给该车间a千瓦的电力, X为开工的车床台数, 则X~ B(200, 0.6),由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理,X~ N(120, 48) (近似),欲求a, 使{0}99.9%.P rX a≤≤=苏保河主讲李雅普诺夫中心极限定理的意义如果随机变量X 可以看成许多相的总和,互独立的起微小作用的因素Xk则X 服从或近似服从正态分布.苏保河主讲苏保河主讲1. 离散型随机变量的数学期望第三章内容小结定义1设X 是离散型随机变量, 其分布律是P {X = x k } = p k (k = 1, 2, …),如果收敛, 定义X 的数学期望1||k k k x p ∞=∑1()k k k E X x p ∞==∑一、数学期望2. 连续型随机变量的数学期望定义2设X 是连续型随机变量,()()d E X x f x x∞−∞=∫收敛, 定义X 的数学期望||()d x f x x ∞−∞∫其密度函数为f (x ), 如果苏保河主讲4. 数学期望的性质1.设C 是常数, 则E (C ) = C .4.设X , Y 独立, 则E (XY ) = E (X )E (Y ).2.若k 是常数, 则E (kX ) = kE (X ).3.E (X 1 + X 2) =E (X 1) + E (X 2).条件: X 1,X 2, …, X n 相互独立.11()().n n i i i i i i E C X C E X ===∑∑推广:11()().n n i i i i E X E X ===∏∏推广:苏保河主讲3. 方差的性质1)设a 是常数, 则D (a ) = 0.2)若a 是常数, 则D (aX ) = a 2D (X ).4)若X 1 与X 2相互独立, 则D (X 1±X 2) = D (X 1) + D (X 2).推广：若X 1, X 2, …, X n 相互独立, 则11[](),n ni i i i D X D X ===∑∑211[]().n n i i i i i i D C X C D X ===∑∑3)若a , b 是常数, 则D (aX + b ) = a 2D (X ).苏保河主讲4. 协方差的定义定义对于二维随机变量(X, Y),称E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 为X与Y 的协方差, 记为Cov(X, Y), 即Cov(X, Y) = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}.5. 协方差的计算公式Cov(X,Y)=E(XY)–E(X)E(Y)推论: 若X 与Y 独立, 则Cov(X,Y) = 0.苏保河主讲6. 协方差的性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y), a,b是常数(3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)苏保河主讲若X 1, X 2, …, X n 两两独立, 则D (X +Y ) = D (X )+D (Y )+2Cov(X , Y )7. 随机变量和的方差与协方差的关系11()().n ni i i i D X D X ===∑∑11()()2Cov(,)n ni i i j i i i j D X D X X X ==<=+∑∑∑苏保河主讲9. 相关系数的性质2)|| 1.XY ρ≤0,XY ρ=1) X 和Y 独立时但其逆不真.定义对于随机变量X , 如果E (X k )( k = 1, 2, …) 存在, 则称它为X 的k 阶原点矩或k 阶矩.10. 矩和中心矩如果E {[X -E (X )]k } ( k = 1, 2, …) 存在, 则称它为X 的k 阶中心矩.苏保河主讲三、切比雪夫不等式与大数定理1. 马尔科夫不等式2. 切比雪夫不等式3. 切比雪夫大数定理4. 独立同分布下的大数定理5. 伯努利大数定理苏保河主讲用X 表示n 重伯努利试验中事件A 出现(成功)的次数, 其分布律称r.v. X 服从参数为n 和p 的二项分布, 注当n = 1 时, 称X 服从参数为p 的伯努利分布，或0-1 分布.1. 二项分布{}(1),k k n k n P X k C p p −==−0,1,,k n ="记作X ~ B (n , p ).苏保河主讲四、几个重要的随机变量苏保河主讲(),()(1).E X np D X np p ==−如果X ~ B (n , p ),结论：{}(1),k k n k n P X k C p p −==−0,1,,,k n ="2. 超几何分布定义将N个元素分为2 类, M个属于第一类, N－M个属于第二类, 从中按不放回抽样随机取n个元素. 令X表示这n 个元素中第一类元素的个数, 则称X服从超几何分布, 记为X h n N M~(,,)苏保河主讲。

中心极限定理几个
中心极限定理是概率论中非常重要的一个定理，它可以帮助我们
理解随机现象背后的规律性。

该定理表明，随机变量的和或均值在一
定条件下，随着随机变量个数的增多，其分布趋近于正态分布，从而
更容易进行概率推断。

其中，最为著名的包括以下几个中心极限定理：
1. 切比雪夫定理：当一个随机变量的期望和方差都存在时，任何
一个k倍于标准差的差异的概率都不会超过1/k^2。

这个定理可以帮助我们衡量随机变量的离散程度，从而更好地理解样本总体的性质。

2. 中心极限定理：对于任意独立随机变量的序列，它们的和在一
定条件下服从正态分布。

这个定理是概率论中最著名的定理之一，它
告诉我们，大多数随机现象都可以用正态分布来近似，这对于实际问
题的解决有着重要意义。

3. 林德伯格-列维定理：对于一组独立同分布的随机变量，均值
的标准化值（即均值与总体均值的差除以标准误差）在一定条件下会
趋向于标准正态分布。

这个定理可以帮助我们通过样本均值来推断总
体的性质，进而做出概率性的决策。

总之，中心极限定理是概率论中最为重要的一个定理之一，从中
我们可以看到随机现象的规律性，这对科学研究和决策的制定都有着
非常重要的意义。