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(1)若a ＝0，求f (x )的单调区间；
(2)若当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值范围．
巩固作业
一、选择题
1．f (x )＝5x 2－2x 的单调增区间是( )
A ．(15
，＋∞) B ．(－∞，15) C ．(－15
，＋∞) D ．(－∞，－15) 2．函数f (x )＝x 3＋3x 2＋4x －a 的极值点的个数是( )
A ．2
B ．1
C ．0
D ．由a 确定 3．已知函数f (x )的导数为f ′(x )＝4x 3－4x ，且f (x )的图象过点(0，－5)，当函数f (x )取得
极大值－5时，x 的值应为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．±1 4．若函数g (x )＝x 3－ax 2＋1在区间[1,2]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )
A ．a ≥3
B ．a >3 C.32
<a <3 D.32≤a ≤3 5．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，f ′(x )为其导函数，如右图是函数y ＝x ·f ′(x )的图象的
一部分，则f (x )的极大值与极小值分别为( )
A ．f (1)与f (－1)
B ．f (－1)与f (1)
C ．f (2)与f (－2)
D ．f (－2)与f (2)
6．(2011·郑州第一次调研)设f (x )是定义在R 上的奇函数，g (x )是定义在R 上恒大于零的函数，且当
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导数的概念及运算【题集】1. 函数的平均变化率A. B. C. D.1.如图，函数在，两点间的平均变化率是（ ）．【答案】B 【解析】由图可知，，所以，所以函数在，两点间的平均变化率是．故选B ．【标注】【知识点】求平均变化率（1）（2）2.求下列函数在区间和上的平均变化率．．．【答案】（1）（2）在区间和上的平均变化率均为．在区间上的平均变化率，在区间上的平均变化率．【解析】（1）（2）在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为．在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为．【标注】【知识点】函数的平均变化率、瞬时速度与瞬时变化率【素养】数学运算A.B.C.D.3.在函数的图象上取一点及邻近一点，则等于（）．【答案】C【解析】，．【标注】【知识点】求平均变化率A. B. C. D.4.函数的图象如图，则函数在下列区间上平均变化率最大的是（）．【答案】C【解析】函数在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间上，，即函数在区间上的平均变化率小于；在区间、、上时，且相同，由图象可知函数在区间上的最大，所以函数在区间上的平均变化率最大．故选：．【标注】【知识点】求平均变化率2. 瞬时变化率与导数（1）（2）5.利用导数的定义求下列函数的导数．．．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）．从而，当时，，∴．∵∴，∴当时，，∴．【标注】【知识点】导数的定义A.B.C.D.6.若，则（ ）．【答案】D 【解析】．故选：．【标注】【知识点】导数的定义A. B. C. D.7.设是可导函数，且，则（）．【答案】C【解析】，故选 C．【标注】【知识点】导数的定义；导数的几何意义的实际应用；函数的极限A. B.C. D.8.若函数在区间内可导，且，则的值为（）．【答案】C【解析】因为在可导，所以，．【标注】【知识点】导数的定义；函数的平均变化率、瞬时速度与瞬时变化率3. 基本初等函数的导数A.B.C.D.9.下列求导数运算正确的是（）．【答案】C【解析】根据导数的四则运算以及基本初等函数运算法则，故有选项，故错误．选项，故错误．选项，故正确．选项，故错误．故选．【标注】【素养】数学运算【知识点】利用公式和四则运算法则求导A.B.C.D.10.下列导数运算错误的是（ ）．【答案】C 【解析】选项：．故选．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导11.如果函数，那么 ．【答案】【解析】由题意可知，∴，，∴．故答案为：．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导；计算任意角的三角函数值A. B.C.D.12.已知，则的值为（ ）．【答案】A 【解析】，【标注】【知识点】复合函数的求导法则4.导数的四则运算13.函数的导数是 ．【答案】【解析】，．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A.B.C.D.14.函数在处的导数等于（ ）．【答案】A 【解析】∵，∴．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导15.的导数 ．【答案】【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导（1）16.求下列函数的导数：．（2）（3）（4）（5）（6）（7）．．．．．．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）．．．．．．【解析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）．．．．先使用三角公式进行化简．∴．【标注】【素养】数学运算A. B. C. D.17.已知函数的导数为，且满足，则（）．【答案】C【解析】由函数，∴，∴当时，则有，解得．故选：．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A. B. C. D.18.已知，则（）．【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴，∴．故选．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A. B.C. D.19.已知函数的导函数为且满足，则（）．【答案】B【解析】，．故选．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A. B. C. D.20.已知函数的导函数为，且满足，则（）．【答案】B 【解析】，令，即，解得．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导5. 复合函数求导法则（1）（2）（3）（4）（5）（6）21.求下列函数的导数．．．．．．．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）．．．．．．【标注】【知识点】复合函数的求导法则；利用公式和四则运算法则求导（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）22.求下列函数的导数．．．．．．．．．（9）（10）．．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）．．．．．．．．．．【解析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）略．略．略．略．略．略．略．略．略．略．【标注】【知识点】复合函数的求导法则；利用公式和四则运算法则求导23.已知函数，且，则的值为．【答案】【解析】，．【标注】【知识点】复合函数的求导法则A.B.C. D.24.已知函数，是函数的导函数，则函数的部分图象是（ ）．【答案】D 【解析】因为，所以，可知为奇函数，故排除，；又因为，，排除选，故选．【标注】【知识点】函数图象的识别问题；根据奇偶性确定图象；利用公式和四则运算法则求导6. 导数的几何意义A. B.C.D.25.曲线在点处的切线的斜率为（ ）．【答案】B【解析】∵，∴，∴．故选．【标注】【知识点】导数的几何意义A.B.C.D.26.设曲线在点处的切线斜率为，则点的坐标为（ ）．【答案】B【标注】【知识点】导数的几何意义；导数的几何意义的实际应用（1）（2）（3）27.导数等于切线斜率．如图，直线是曲线在处的切线，则．如图，曲线在点处的切线方程是， ．设是偶函数．若曲线在点处的切线的斜率为，则该曲线在点处的切线的斜率为 ．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）（2）（3）直线的斜率为，所以．时，，∵的斜率为，故，∴．由偶函数的图象关于轴对称知，在对称点处的切线也关于轴对称，故所求切线的斜率为．也可由特殊函数得到此题答案．【标注】【知识点】导数的几何意义的实际应用；已知切线方程求参数；导数的几何意义；斜率计算28.若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是．【答案】【解析】函数的定义域为，函数的导数为，直线的斜率，∵曲线上点处的切线平行与直线，∴，即，解得，此时，故点的坐标是，故答案为：．【标注】【知识点】求在某点处的切线方程；导数的几何意义29.曲线在点处的切线方程为．【答案】【解析】因为，所以，所以该切线方程为，即．故答案为：．【标注】【知识点】导数的几何意义A.B. C. D.30.曲线在点处的切线方程是（）．【答案】A【解析】，故，所以曲线在处的切线斜率为，切线方程为，化简整理得，故选．【标注】【知识点】求在某点处的切线方程31.已知函数，求过点的切线方程．【答案】和．【解析】，因为点在曲线上．①若点为切点，则此时切线斜率为，则切线方程为，即；②若点不是切点，则设切点为，有，切线方程满足，（*）整理得，因为点满足方程（*），则是方程的一个根，即，即，所以或（舍，因为切点不为），即，，则此时切线的方程为，即，综上所述，过点的切线方程为和．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；求在某点处的切线方程；导数的几何意义A. B.C.或D.或32.过点的切线方程是( )．【答案】C【解析】设切点坐标为，，切线斜率，则，解得或，∴所求切线方程为或．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义（1）（2）33.已知曲线．求曲线在点处的切线方程．求曲线过点的切线方程．【答案】（1）（2）或【解析】方法一：方法二：（1）（2）∵，∴在点处的切线的斜率，∴曲线在点处的切线方程为，即．∵点在曲线上，且，∴在点处的切线的斜率为，∴曲线在点处的切线方程为，即．设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率为，∴切线方程为，即，∵点在切线上，∴，即，∴，即，∴，解得或，故所求的切线方程为或．【标注】【知识点】求在某点处的切线方程；导数的几何意义；求过某点的切线方程34.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【答案】【解析】方法一：方法二：设直线与曲线和曲线的切点分别为和．由导数的几何意义可得，即，由切点也在各自的曲线上，可得，解得，从而，则．由，得，由，得．设直线与曲线相切于点，则①，②，设直线与曲线相切于点，则③，④，由①得，代入②得，即⑤，由③得，代入④得，即⑥，⑤⑥得，，代入⑤得，故答案为．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义的实际应用；导数的几何意义35.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【答案】【解析】设与曲线的切线，曲线的切点分别为，，∵，曲线，∴，，∴，①切线方程分别为，即为，或，即为，解得，②由①②解得，，可得：，则有，．故答案为：．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义。
高中数学导数讲义完整版第一部分 导数的背景一、导入新课 1. 瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ (221gt s =,其中g 是重力加速度）.2. 切线的斜率问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.3. 边际成本问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2+=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ∆对成本的影响. 二、小结:瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy∆∆当x ∆趋近于0时的极限；边际成本是平均成本q C ∆∆当q ∆趋近于0时的极限.三、练习与作业：1. 某物体的运动方程为25)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度. 2. 判断曲线22x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522+=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本. 4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 5. 判断曲线221x y =在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742+=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本.第二部分 导数的概念一、新课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限(即xy∆∆无限趋近于某个常数)，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/。
要求层次重难点导数的应用与微积分 导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次） C 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）． 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）． 会利用导数解决某些实际问题．函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）C利用导数解决某些实际问题 B定积分与微积分基本定理定积分的概念 A 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 了解微积分基本定理的含义．微积分基本定理A板块四：导数与其它知识综合知识内容1．导数与函数的性质、基本初等函数的结合，这是导数的最主要的考查内容； 常常涉及到函数与方程的知识，有时需要结合函数图象求解； 2．导数与数列的结合，要注意数列作为函数的特殊性；3．导数与三角函数的结合；4．导数在不等式的证明中的运用，经常需要构造函数，利用导数去求单调性，证明不等式．典例分析： 导数与函数综合【题1】 若方程3320x ax -+=有三个不同实根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．0a >B ．1a >C ．13a <<D ．01a <<【考点】导数与函数综合 【难度】3星 【题型】选择【关键词】【解析】 令3()32f x x ax =-+，22()333()f x x a x a '=-=-，要方程有三个不同实根，必须0a >（否则()0f x '≥，()f x 单调增长，最多只有一根）． 例题精讲高考要求导数的综合与微积分此时()f x在(,-∞上单调增加，在(,上单调减少，在,)+∞上单调增加． 要()0f x =有三个零点，当且仅法(0f >，且0f <． 解得1a >．【答案】B【题2】 设函数()32()f x x bx cx x =++∈R ，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数．⑴求b 、c 的值．⑵求()g x 的单调区间与极值．⑶若()g x m =有三个不同的实根，求m 的取值范围．【考点】导数与函数综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2006，安徽，高考【解析】 ⑴∵()32f x x bx cx =++，∴()232f x x bx c '=++．从而322()()()(32)g x f x f x x bx cx x bx c '=-=++-++32(3)(2)x b x c b x c =+-+--是一个奇函数，故30300b b c c -==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩；⑵由⑴知3()6g x x x =-，从而2()36g x x '=-，由此可知，(-∞，和)+∞是函数()g x的单调递增区间；(是函数()g x 的单调递减区间；()g x在x =极大值为()g x在x =时取得极小值，极小值为- ⑶当x →-∞时，()g x →-∞；当x →+∞时，()g x →+∞，故当(m ∈-时，()g x m =有三个不同的实根． 【答案】⑴3,0b c ==；⑵(-∞-，和)+∞是函数()g x的单调递增区间；(是函数()g x 的单调递减区间；()g x在x =()g x在x =-⑶(m ∈-．【题3】 已知函数32()4f x ax bx x =++的极小值为8-，其导函数()y f x '=的图象经过点(20)-，，如图所示．⑴ 求()f x 的解析式；⑵ 若函数()y f x k =-在区间[32]-，上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．【难度】3星 【题型】解答【关键词】2009-2010，海淀，高三，第一学期，期中测试【解析】 ⑴ 2()324f x ax bx '=++，且()y f x '=的图象过点(20)-，，所以2-为23240ax bx ++=的根，代入得：310a b -+= ……① 由图象可知，()f x 在2x =-时取得极小值， 即(2)8f -=-，得2b a =……………………②由①②解得12a b =-=-，． ∴32()24f x x x x =--+．⑵ 由题意，方程()f x k =在区间[32]-，上有两个不等实根， 即方程3224x x x k --+=在区间[32]-，上有两个不等实根．2()344f x x x '=--+，令()0f x '=，解得2x =-或23x =．可列表：由表可知，当8k =-或327k -<<时，方程3224x x x k --+=在区间[32]-，上有两个不等实根，即函数()y f x k =-在区间[32]-，上有两个不同的零点． 【答案】⑴32()24f x x x x =--+；⑵8k =-或40327k -<<．【题4】 已知函数()f x 3213x ax b =-+在2x =-处有极值．⑴ 求函数()f x 的单调区间；⑵ 若函数()f x 在区间[]3,3-上有且仅有一个零点，求b 的取值范围．【考点】导数与函数综合【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010，丰台，二模，题19【解析】 ⑴ ()22f x x ax '=-由题意知： (2)440f a '-=+=，得1a =-，∴()22f x x x '=+， 令()0f x '>，得2x <-或0x >；令()0f x '<，得20x -<<，∴()f x 的单调递增区间是(),2-∞-和()0,+∞，单调递减区间是()2,0-．⑵ 由⑴ 知，()3213f x x x b =++，()423f b -=+为函数()f x 极大值，()0f b =为极小值．∵函数()f x 在区间[]3,3-上有且仅有一个零点，∴()()3000f f ⎧-⎪⎨>⎪⎩≤或()()3020f f ⎧⎪⎨-<⎪⎩≥或()()3030f f ⎧->⎪⎨<⎪⎩或()()2030f f ⎧-=⎪⎨<⎪⎩或()()3000f f ⎧->⎪⎨=⎪⎩，即180403b b +⎧⎪⎨+<⎪⎩≥，∴4183b -<-≤，即b 的取值范围是418,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．【答案】⑴()f x 的单调递增区间是(),2-∞-和()0,+∞，单调递减区间是()2,0-．⑵418,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．【题5】 已知函数()()32f x x ax b a b =-++∈R ，．⑴若1a =，函数()f x 的图象能否总在直线y b =的下方？说明理由？ ⑵若函数()f x 在()02，上是增函数，求a 的取值范围．⑶设123x x x ，，为方程()0f x =的三个根，且()110x ∈-，，()201x ∈，，()()311x ∈-∞-+∞U ，，，求证：1a >．【考点】导数与函数综合 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2009，西城，一模，题20【解析】 ⑴当1a =时，()32f x x x b =-++，因为()12f b b -=+>，所以，函数()f x 的图象不能总在直线y b =的下方． ⑵由题意，得()232f x x ax '=-+，令()0f x '=，解得0x =或23x a =，当0a <时，由()0f x '>，解得203a x <<，所以()f x 只在203a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是增函数，与题意不符，舍去； 当0a =时，由()230f x x '=-≤，与题意不符，舍去；当0a >时，由()0f x '>，解得203x a <<，所以()f x 在203a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是增函数，又()f x 在()02，上是增函数，所以223a ≥，解得3a ≥，综上，a 的取值范围为[)3+∞，．⑶因为方程()320f x x ax b =-++=最多只有3个根， 由题意，得在区间()10-，内仅有一根， 所以()()()1010f f b a b -⋅=++<， ① 同理()()()0110f f b a b ⋅=-++<， ② 当0b >时，由①得10a b ++<，即1a b <--， 由②得10a b -++<，即1a b <-+，因为11b b --<-+，所以11a b <--<-，即1a <-； 当0b <时，由①得10a b ++>，即1a b >--， 由②得10a b -++>，即1a b >-+，因为11b b --<-+，所以11a b >-+>，即1a >．当0b =时，因为()00f =，所以()0f x =有一根0，这与题意不符． 综上，1a >．注：在第⑶问中，得到①、②后，可以在坐标平面aOb 内，用线性规划方法解．【答案】⑴略；⑵[)3a ∈+∞，；⑶略．【题6】 已知函数32()f x x x ax b =+++．⑴ 当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；⑵ 若函数()f x 的图象与直线y ax =只有一个公共点，求实数b 的取值范围．【考点】导数与函数综合【难度】3星【题型】解答【关键词】2009-2010，海淀，高三，第一学期，期中测试【解析】 ⑴ 2()321(31)(1)f x x x x x '=+-=-+令()0f x '>，解得13x >或1x <-；令()0f x '<，解得113x -<<．所以()f x 的单调递增区间为1(1)()3-∞-+∞，，，，()f x 的单调递减区间为1(1)3-，．⑵ 因为函数()f x 的图象与直线y ax =只有一个公共点，所以方程320x x ax b ax +++-=只有一个解，即320x x b ++=只有一个解． 令32()g x x x b =++，则其图象和x 轴只有一个交点，2()32g x x x '=+，令2()320g x x x '=+=，所以12203x x ==-，，所以，()g x 在10x =处取得极小值b ，在23x =-取得极大值27b +，要使32()g x x x b =++的其图象和x 轴只有一个交点，只要04027b b >⎧⎪⎨+>⎪⎩或04027b b <⎧⎪⎨+<⎪⎩，解得0b >或427b <-．【答案】⑴()f x 的单调递增区间为1(1)()3-∞-+∞，，，，单调递减区间为1(1)3-，．⑵0b >或427b <-．【题7】 32()3(1)3(2)1f x mx m x m x =-++++，其中m ∈R ．⑴若0m <，求()f x 的单调区间；⑵在⑴的条件下，当[]11x ∈-，时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围；⑶设32()(32)34ln 1g x mx m x mx x m =-+++++，问是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．【考点】导数与函数综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】【解析】 ⑴2()36(1)36f x mx m x m '=-+++23(1)1m x x m ⎡⎤⎛⎫=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当0m <时，有211m>+，当x 变化时，()f x 与()f x '的变化如下表：故有上表知，当0m <时，()f x 在1m ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭，单调递减，在11m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调递增，在(1)+∞，上单调递减．⑵由已知得()3f x m '>，即22(1)20mx m x -++>，又0m <，所以222(1)0x m x m m -++<（[]11x ∈-，） ① 设212()21h x x x m m⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，其函数开口向上，由题意知①式恒成立， ∴22(1)0120(1)010h m mh ⎧-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩， 解之得43m >-，又0m <，所以m 的取值范围为403⎛⎫- ⎪⎝⎭，；⑶令()()()x g x f x ϕ=-，则2()64ln x x x x m ϕ=-++因为0x >，要使函数()f x 与函数()g x 有且仅有2个不同的交点，则函数2()64ln x x x x m ϕ=-++的图象与x 轴的正半轴有且只有两个不同的交点∴242642(1)(2)()26(0)x x x x x x x x x xϕ-+--'=-+==>当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ是增函数； 当(1,2)x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ是减函数； 当(2,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ是增函数；∴()x ϕ有极大值(1)5m ϕ=-；()x ϕ有极小值(2)4ln 28m ϕ=+-． 又因为当x 充分接近0时，()0x ϕ<；当x 充分大时，()0x ϕ>所以要使()0x ϕ=有且仅有两个不同的正根，必须且只须(1)0ϕ=或(2)0ϕ=， 即50m -=或4ln280m +-=，∴5m =或84ln2m =-．∴当5m =或84ln2m =-时，函数()f x 与()g x 的图象有且只有两个不同交点．【答案】⑴()f x 在21m ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭，单调递减，在211m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调递增，在(1)+∞，上单调递减． ⑵403⎛⎫- ⎪⎝⎭，； ⑶存在，5m =或84ln2m =-．【题8】 已知函数2()8()6ln f x x x g x x m =-+=+，． ⑴求()f x 在区间[]1t t +，上的最大值()h t ； ⑵是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．【考点】导数与函数综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2006，福建，高考【解析】 ⑴22()8(4)16f x x x x =-+=--+．当14t +<，即3t <时，()f x 在[]1t t +，上单调递增， 22()(1)(1)8(1)67h t f t t t t t =+=-+++=-++；当41t t +≤≤，即34t ≤≤时，()(4)16h t f ==；当4t >时，()f x 在[]1t t +，上单调递减，2()()8h t f t t t ==-+． 综上，22673()163484t t t h t t t t t ⎧-++<⎪=⎨⎪-+>⎩ ≤≤ ； ⑵函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，即函数()()()x g x f x φ=- 的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点．∵2()86ln x x x x m φ=-++，∴262862(1)(3)()28(0)x x x x x x x x x xφ-+--'=-+==>，当(01)x ∈，时，()0x φ'>，()x φ是增函数；当(13)x ∈，时，()0x φ'<，()x φ是减函数； 当(3)x ∈+∞，时，()0x φ'>，()x φ是增函数；当1x =或3x =时，()0x φ'=．∴()(1)7()(3)6ln315x m x m φφφφ==-==+-极大值极小值，． ∵当x 充分接近0时，()0x φ<；当x 充分大时，()0x φ>． ∴要使()x φ的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须()70()6ln 3150x m x m φφ=->⎧⎪⎨=+-<⎪⎩最大值最小值，即7156ln3m <<-．所以存在实数m ，使得函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7156ln3)-，．【答案】⑴22673()163484t t t h t t t t t ⎧-++<⎪=⎨⎪-+>⎩ ≤≤ ；⑵存在，m 的取值范围为(7156ln3)-，．【题9】 已知二次函数()y g x =的图象经过原点(00)O ，、点1(0)P m ，和点2(11)P m m ++，（0m ≠，且1m ≠-）． ⑴求函数()y g x =的解析式；⑵设()()()f x x n g x =-（0m n >>），若()()0f a f b ''==，b a <，求证：b n a m <<<． ⑶在例题⑵的条件下，若m n +=()y f x =相切的两条直线能否互相垂直？若能，请给出证明；若不能，请说明理由．【考点】导数与函数综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】【解析】 ⑴设2()(0)g x px qx r p =++≠，依题意得2200(1)(1)1r pm qm r p m q m r m =⎧⎪++=⎨⎪++++=+⎩，解得10p q m r =⎧⎪=-⎨⎪=⎩．∴2()g x x mx =-．⑵()()()f x x x n x m =--32()x m n x mnx =-++，∴2()32()f x x m n x mn '=-++， 依题意得a b ，是方程()0f x '=的两个实数根，又(0)0f mn '=>，()()0f n n m n '=-<，()()0f m m m n '=->，故两根a b ，分布在区间(0)n ，、()n m ，内，又b a <，∴b n a m <<<成立； ⑶设()f x 的过原点的切线对应切点的横坐标为0x ，则切线方程为20000()[32()]()y f x x m n x mn x x -=-++-， 若此切线过原点，则有2000000()()[32()]()x x m x n x m n x mn x ---=-++-， 解得00x =或02m nx +=．故()f x 有两条过原点的切线，设对应的切点的横坐标分别为12x x ，，且12x x <，则1202m nx x +==，， 从而两切线的斜率分别为2121()4k mn k m n mn ==-++，，若两切线互相垂直，则121k k =-，∴1m n mn ⎧+=⎪⎨=⎪⎩11m n ⎧=⎪⎨⎪⎩，∴存在过原点且与曲线相切的两条互相垂直的直线．【答案】⑴2()g x x mx =-；⑵略；⑶能，证明略．导数与不等式综合【题10】 当0x ≠时，有不等式（ ）A ．e 1x x <+B ．当0x >时，e 1x x <+；当0x <时，e 1x x >+C ．e 1x x >+D ．当0x <时，e 1x x <+；当0x >时，e 1x x >+【考点】函数与不等式综合 【难度】2星 【题型】选择【关键词】【解析】 令()e 1x f x x =--，则(0)0f =，()e 1x f x '=-，在0x >时，()0f x '>，故()f x 在(0)+∞，上单调递增，从而()(0)0f x f >=，即e 1x x >+；在0x <时，()0f x '<，故()f x 在(0)-∞，上单调递减，从而()(0)0f x f >=，即e 1x x >+．本题也可用特殊值法得出答案．【答案】C【题11】 已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+． ⑴若函数()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，求a 的取值范围；⑵设,m n +∈R ，且m n ≠，求证：ln ln 2m n m nm n -+<-． 【考点】函数与不等式综合 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2010，东城，二模，题20【解析】 ⑴222221(1)(1)(1)2(22)1()(1)(1)(1)a x a x x ax x a x f x x x x x x x +--+-+-+'=-==+++．因为()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，所以()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立． 即2(22)10x a x +-+≥在(0,)+∞上恒成立，当(0,)x ∈+∞时，由2(22)10x a x +-+≥，得122a x x-+≤，设1(),(0,)g x x x x=+∈+∞，1()2g x x x =+=≥所以当且仅当1x x=即1x =时，()g x 有最小值2．故222a -≤，2a ≤． 所以a 的取值范围是(,2]-∞．⑵不妨设0m n >>，则1mn>．要证ln ln 2m n m n m n -+<-，只需证112ln m m n n m n-+<， 即证2(1)ln 1m m n m n n ->+，只需证2(1)ln 01m mn m n n -->+．设2(1)()ln 1x h x x x -=-+，由⑴知()h x 在(1,)+∞上是单调增函数，又1m n >，所以(1)0m h h n ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即2(1)ln 01m m n m n n -->+成立．所以ln ln 2m n m n m n -+<-． 【答案】⑴a 的取值范围是(,2]-∞．⑵略．【题12】 已知函数()(0)bf x ax c a x=++>的图象在点(1(1))f ，处的切线方程为1y x =-． ⑴用a 表示出b ，c ；⑵若()ln f x x >在[]1∞，上恒成立，求a 的取值范围； ⑶证明：11111ln(1)()232(1)n n n n n ++++>+++L ≥． 【考点】函数与不等式综合 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2010，湖北，高考21【解析】 ⑴2()bf x a x '=-，则有(1)0(1)1f a b c f a b =++=⎧⎨'=-=⎩，，解得112b a c a =-⎧⎨=-⎩； ⑵由⑴知，1()12a f x ax a x -=++-，令1()()ln 12ln a g x f x x ax a x x-=-=++--，[)1x ∈+∞，，则(1)0g =，22221(1)11(1)()a a x x a ax x a a g x a x x x x -⎛⎫-- ⎪----⎝⎭'=--==， ①当102a <<时，11aa ->．若11ax a-<<，则()0g x '<，()g x 是减函数，所以()(1)0g x g <=，即()ln f x x <，故ln ()x f x ≥在[)1+∞，上不恒成立．②当12a ≥时，11aa-≤，若1x >，则()0g x '>，()g x 是增函数，所以()(1)0g x g >=， 即()ln f x x >，故当1x ≥时，ln ()x f x ≥，综上所述，所求a 的取值范围为12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． ⑶解法一：取12a =，有()111122a f x ax a x x x -⎛⎫=++-=- ⎪⎝⎭，由⑵有当1x ≥时，()ln f x x ≥，即11ln 2x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥，也即12ln x x x->， 取11x k =+，则1111112ln11k k x x k k k k k+-=+-=+>++， 当1n =时，取1k =有112ln 22+>，也即11ln 24>+，命题成立；当2n ≥时，分别取1,2,,k n =L ，累加有()111122ln 121n n n ⎛⎫++++>+ ⎪+⎝⎭L整理即得1111ln(1)232(1)nn n n ++++>+++L综上，原命题成立． 解法二：当1n =时，左边1=，右边()()11ln 11ln 212114=++=+<+，命题成立；假设当n k =时，命题成立，则当1n k =+时，左边11111231k k =++++++L ()()1ln 1211k k k k >+++++()()2ln 121k k k +=+++ 右边()()1ln 222k k k +=+++现在只需要证明()()212ln21221k k k k k k +++->+++ 取12a =，21k x k +=+，由⑵有1212ln 2121k k k k k k +++⎛⎫-> ⎪+++⎝⎭，命题得证． 【答案】⑴112b a c a=-⎧⎨=-⎩；⑵a 的取值范围为12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．⑶略．【题13】 已知函数1()ln f x a x x=-，a ∈R ． ⑴若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值；⑵求函数()f x 的单调区间；⑶当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x --≤．【考点】函数与不等式综合【难度】3星【题型】解答【关键词】2010，东城，一模，题18【解析】 ⑴函数()f x 的定义域为{}|0x x >，21()a f x x x '=+． 又曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直， 所以(1)12f a '=+=，即1a =．⑵由于21()ax f x x+'=．当0a ≥时，对于(0,)x ∈+∞，有()0f x '>在定义域上恒成立， 即()f x 在(0,)+∞上是增函数．当0a <时，由()0f x '=，得1(0,)x a=-∈+∞．当1(0,)x a ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1(,)x a∈-+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减．⑶当1a =时，1(1)ln(1)1f x x x -=---，[)2,x ∈+∞．令1()ln(1)251g x x x x =---+-．2211(21)(2)()21(1)(1)x x g x x x x --'=+-=----． 当2x >时，()0g x '<，()g x 在(2,)+∞单调递减． 又(2)0g =，所以()g x 在(2,)+∞恒为负． 所以当[2,)x ∈+∞时，()0g x ≤．即1ln(1)2501x x x ---+-≤．故当1a =，且2x ≥时，(1)25f x x --≤成立．【答案】⑴1a =；⑵当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上是增函数；当0a <时，()f x 在10,a⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；⑶略．【题14】 设()321252f x x x x =--+，当[]12x ∈-，时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为 ．【考点】函数与不等式综合 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2008-2009，北京，12中，高二，第二学期，期中测试【解析】 要使得()f x m <恒成立，先要求()f x 在[1,2]-上的最大值．2()32(1)(32)f x x x x x '=--=-+，故()f x 在21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在(1,2)上单调递增．最大值可能在23-或2处取到．(2)7f =，22257327f ⎛⎫-=+< ⎪⎝⎭，故()f x 的最大值为7．故7m >． 【答案】(7,)+∞【题15】 已知函数32()f x x ax bx c =+++在1x =-与2x =处都取得极值．⑴求,a b 的值及函数()f x 的单调区间；⑵若对[2,3]x ∈-，不等式23()2f x c c +<恒成立，求c 的取值范围．【考点】函数与不等式综合 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2010，崇文，二模，题18【解析】 ⑴2()32f x x ax b '=++，由题意：(1)0(2)0f f '-=⎧⎨'=⎩，即3201240a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得326a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴323()62f x x x x c =--+，2()336f x x x '=--．令()0f x '<，解得12x -<<；令()0f x '>，解得1x <-或2x >，∴()f x 的单调减区间为(1,2)-；单调增区间为(,1),(2,)-∞-+∞． ⑵由⑴知，()f x 在(,1)-∞-上单调递增； 在(1,2)-上单调递减；在(2,)+∞上单调递增．∴[2,3]x ∈-时，()f x 的最大值即为(1)f -与(3)f 中的较大者．7(1)2f c -=+，9(3)2f c =-+，∴当1x =-时，()f x 取得最大值．要使23()2f x c c +<，只需23(1)2c f c >-+，即：2275c c >+解得：1c <-或72c >．∴c 的取值范围为7(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ．【答案】⑴326a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，()f x 的单调减区间为(1,2)-；单调增区间为(,1),(2,)-∞-+∞．⑵c 的取值范围为7(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ．【题16】 设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，．⑴求()f x 的最小值()h t ； ⑵若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围． 【考点】函数与不等式综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2007，福建，高考【解析】 ⑴法一：∵23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R ，，∴当x t =-时，()f x 取最小值3()1f t t t -=-+-，即3()1h t t t =-+-． 法二：2()222()f x tx t t x t '=+=+，于是()f x 在()t -∞-，上单调递减，在()t -+∞，上单调递增． 故()f x 在x t =-时取到最小值3()1()f t t t h t -=-+-=． ⑵令3()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--，由2()330g t t '=-+=得1t =，1t =-（不合题意，舍去）． 当t 变化时g '∴()g t 在(02)，内有最大值(1)1g m =-．()2h t t m <-+在(02)，内恒成立等价于()0g t <在(02)，内恒成立，即等价于10m -<，所以m 的取值范围为1m >．【答案】⑴3()1h t t t =-+-；⑵(1,)+∞．【题17】 设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．⑴令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+∞，内的单调性并求极值；⑵求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．【考点】函数与不等式综合【难度】3星【题型】解答【关键词】2007，安徽，高考，题18【解析】 ⑴根据求导法则有2ln 2()10x af x x x x'=-+>，，故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，，于是22()10x F x x x x-'=-=>，， 列表如下：)故知()F x 在(02)，(2)+，∞2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．⑵证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>． 于是由上表知，对一切(0)x ∈+，∞，恒有()()0F x xf x '=>． 从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞内单调增加． 所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即21ln 2ln 0x x a x --+>． 故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．【答案】⑴()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．⑵略．【题18】 已知函数()2ln pf x px x x=--． ⑴若2p =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；⑵若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围；⑶设函数2()eg x x=，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求实数p 的取值范围．【考点】函数与不等式综合【难度】4星【题型】解答【关键词】2010，石景山，一模，题20【解析】 ⑴当2p =时，函数2()22ln f x x x x=--，(1)222ln10f =--=．222()2f x x x'=+-，曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线的斜率为(1)2222f '=+-=．从而曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为02(1)y x -=-，即22y x =-．⑵22222()p px x pf x p x x x -+'=+-=．令2()2h x px x p =-+，要使()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数， 只需()0h x ≥在(0,)+∞内恒成立．由题意0p >，2()2h x px x p =-+的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为1(0,)x p=∈+∞，∴min 1()h x p p =-，只需10p p-≥，即1p ≥时，()0,()0h x f x '≥≥ ∴()f x 在(0,)+∞内为增函数，正实数p 的取值范围是[1,)+∞．⑶∵2()eg x x=在[]1,e 上是减函数，∴x e =时，min ()2g x =；1x =时，max ()2g x e =，即[]()2,2g x e ∈， ①当0p <时，2()2h x px x p =-+，其图象为开口向下的抛物线，对称轴1x p=在y 轴的左侧，且(0)0h <，所以()f x 在x ∈[]1,e 内是减函数．当0p =时，()2h x x =-，因为x ∈[]1,e ，所以()0h x <，22()0xf x x '=-<， 此时，()f x 在x ∈[]1,e 内是减函数．故当0p ≤时，()f x 在[]1,e 上单调递减max ()(1)02f x f ⇒==<，不合题意；②当01p <<时，由[]11,0x e x x∈⇒-≥，所以11()2ln 2ln f x p x x x x x x ⎛⎫=---- ⎪⎝⎭≤．又由⑵知当1p =时，()f x 在[]1,e 上是增函数，∴1112ln 2ln 22x x e e e x e e----=--<≤，不合题意；③当1p ≥时，由⑵知()f x 在[]1,e 上是增函数，(1)02f =<， 又()g x 在[]1,e 上是减函数，故只需max min ()()f x g x >，[]1,x e ∈， 而max 1()()2ln f x f e p e e e⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，min ()2g x =，即12ln 2p e e e⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得241ep e >-， 所以实数p 的取值范围是24,1e e ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭． 【答案】⑴22y x =-；⑵p 的取值范围是[1,)+∞；⑶p 的取值范围是24,1e e ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭．导数与三角函数综合【题19】 设函数()32sin tan 3f x x θθ=+，其中5π012θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， 则导数()1f '的取值范围是（ ）A ．[]22-，B ．C ．2⎤⎦D ．2⎤⎦【考点】导数与三角函数综合 【难度】2星【题型】选择【关键词】2009，安徽，高考，题9【解析】 2()sin f x x x θθ'=+，π(1)sin 2sin 3f θθθ⎛⎫'==+ ⎪⎝⎭．5π012θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，ππ3π334θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，πsin 13θ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦．从而(1)2]f '∈． 【答案】D【题20】 设函数223()cos 4sin3()2x f x x t t t x =++-∈R ，其中||1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t ，则函数()g t 在下面哪个区间上单调递增（ ）A ．1(,)(1,)3-∞-+∞UB ．1[1,]3--C ．1(,)3+∞D ．1[,1]3【考点】导数与三角函数综合 【难度】3星 【题型】选择【关键词】【解析】 23231cos ()cos 43cos 2cos 2x f x x t t t x t x t t -=+⋅+-=-+-232(cos )x t t t t =-+--， ∵1t ≤，∴当cos x t =时，()f x 有最小值，故32()g t t t t =--，2()321(1)(31)g t t t t t '=--=-+， 令()0g t '>，解得函数()g t 的单调递增区间为1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭与(1,)+∞．但函数()g t 不在这两个区间的并集上单调递增，故选B ．【答案】B【题21】 已知函数2cos ()3sin a x f x x -=在π02⎛⎫⎪⎝⎭，内是增函数，求a 的取值范围．【考点】导数与三角函数综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】【解析】 22212sin (2cos )cos 2cos ()3sin 3sin x a x x a xf x x x--⋅-'=⋅=． 因为()f x 在区间π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，内是增函数，所以当π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，22cos ()03sin a xf x x-'=≥， 即2cos 0a x -≥恒成立．π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，0cos 1x <<，要使2cos 0a x -≥在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，只要2cos a x ≤在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立． 故只要2a ≤即可，故a 的取值范围为(2]-∞，．【答案】(2]-∞，【题22】 已知：在函数3()f x mx x =-的图象上，以(1,)N n 为切点的切线的倾斜角为π4． ⑴求m ，n 的值；⑵是否存在最小的正整数k ，使得不等式()1994f x k -≤对于[1,3]x ∈-恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k ；如果不存在，请说明理由．⑶求证：1|(sin )(cos )|22f x f x f t t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≤（x ∈R ，0t >）．【考点】导数与三角函数综合 【难度】4星 【题型】解答【关键词】【解析】 ⑴2()31f x mx '=-，依题意，得π(1)tan4f '=，即311m -=，解得23m =． ∵(1)f n =，∴13n =-．⑵32()3f x x x =-，令2()210f x x '=-=，得x =．当12x -<<时，2()210f x x '=->；当22x <<时，2()210f x x '=-<；当3x <<时，2()210f x x '=->．从而()f x 在x =处取到极大值．又1(1)3f -=，f ⎛= ⎝⎭，(3)15f =． 因此，当[1,3]x ∈-时，()f x 的最大值为15．要使得不等式()1994f x k -≤对于[1,3]x ∈-恒成立，则1519942009k +=≥．所以，存在最小的正整数2008k =，使得不等式()1993f x k -≤对于[1,3]x ∈-恒成立． ⑶|(sin )(cos )|f x f x +3322sin sin cos cos 33x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭332(sin cos )(sin cos )3x x x x =+-+222(sin cos )(sin sin cos cos )13x x x x x x ⎡⎤=+⋅-+-⎢⎥⎣⎦21|sin cos |sin cos 33x x x x =+⋅+31|sin cos |3x x =+3π4x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．又∵0t >，∴12t t+，()f x 在)+∞上单调递增，f =．∴1222f t f t ⎛⎫+=⎪⎝⎭≥ 综上可得，1|(sin )(cos )|22f x f x f t t ⎛⎫++⎪⎝⎭≤（x ∈R ，0t >）． 【答案】⑴23m =，13n =-；⑵存在，2008k =；⑶略．【题23】 设函数()sin ()f x x x x =∈R ．⑴证明(2π)()2πsin f x k f x k x +-=，其中为k 为整数；⑵设0x 为()f x 的一个极值点，证明420020[()]1x f x x =+；⑶设()f x 在(0)+∞，内的全部极值点按从小到大的顺序排列12n a a a L L ，，，，， 证明：1ππ (12)2n n a a n +<-<=L ，， 【考点】导数与三角函数综合 【难度】5星 【题型】解答【关键词】2005，天津，高考【解析】 ⑴由函数()f x 的定义，对任意整数k ，有(2π)()(2π)sin(2π)sin (2π)sin sin 2πsin f x k f x x k x k x x x k x x x k x +-=++-=+-=．⑵函数()f x 在定义域R 上可导，()sin cos f x x x x '=+ ①令()0f x '=，得sin cos 0x x x +=．显然，对于满足上述方程的x 有cos 0x ≠，上述方程化简为tan x x =-，结合图象知此方程一定有解（tan y x =-与y x =的图象略）．()f x 的极值点0x 一定满足00tan x x =-．由222222sin tan sin sin cos 1tan x x x x x x==++，得220020tan sin 1tan x x x =+． 因此，4222000020[()]sin 1x f x x x x ==+．⑶设00x >是()0f x '=的任意正实数根，即00tan x x =-，则存在一个非负整数k ，使0ππππ2x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，，即0x 在第二或第四象限内． 由①式，()cos (tan )f x x x x '=+在第二或第四象限中的符号可列表如下：()0f x =0x 都为()f x 的极值点．由题设条件，1a ，2a ，…，n a ，…为方程tan x x =-的全部正实数根且满足12n a a a <<<<L L ， 那么对于12n =L ，，，1111(tan tan )(1tan tan )tan()n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=--=-+⋅-． ② 由于π(1)ππ(1)π2n n a n +-<<+-，1ππππ2n n a n ++<<+，则1π3π22n n a a +<-<， 由于1tan tan 0n n a a +⋅>，由②式知1tan()0n n a a +-<．由此可知1n n a a +-必在第二象限， 即1πn n a a +-<． 综上，1ππ2n n a a +<-<． 【答案】略．导数与数列综合【题24】 已知函数()sin f x x x =-，数列{}n a 满足：101a <<，1()n n a f a +=，123n =L ，，，．证明：⑴101n n a a +<<<； ⑵3116n n a a +<．【考点】导数与数列综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2006，湖南，高考【解析】 ⑴先用数学归纳法证明01n a <<，123n =L ，，，①当1n =时，由已知显然结论成立． ②假设当n k =时结论成立，即01k a <<．∵01x <<时，()1cos 0f x x '=->，∴()f x 在(01)，上是增函数． (0)()(1)k f f a f <<（()f x 在[01]，上连续），即101sin11k a +<<-<． 故1n k =+时，结论成立．由①、②可知，01n a <<对一切正整数都成立．又因为01n a <<时，1sin sin 0n n n n n n a a a a a a +-=--=-<， 所以1n n a a +<，综上所述101n n a a +<<<．⑵设函数31()sin 6g x x x x =-+，01x <<．由⑴知，当01x <<时，sin x x <，从而22222()cos 12sin 2022222x x x x x g x x ⎛⎫'=-+=-+>-+= ⎪⎝⎭，所以()g x 在(01)，上是增函数． 又(0)0g =（()g x 在[01]，上连续），所以当01x <<时，()0g x >成立． 于是()0n g a >，即31sin 06n n n a a a -+>．故3116n na a +<． 【答案】略【题25】 已知数列{}n a 满足：3123n n n a a a +=-+，n +∈N ，且1(01)a ∈，，求证：01n a <<． 【考点】导数与数列综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】【解析】 构造辅助函数313()22f x x x =-+，则3()(1)(1)2f x x x '=--+．当(01)x ∈，时，()0f x '>，所以()f x 在(01)，上是增函数．①因为1(01)a ∈，，即101a <<，故1n =时原不等式成立． ②设n k =时原不等式成立，即01k a <<，因为()f x 在(01)，上是增函数，所以(0)()(1)k f f a f <<．又(0)0(1)1f f ==，，所以0()1k f a <<，即101k a +<<． 即1n k =+时，原不等式成立， 由①②知，n +∈N 时，01n a <<．【答案】略【题26】 已知a 是给定的实常数，设函数2()()()x f x x a x b e =-+，b ∈R ，x a =是()f x 的一个极大值点．⑴求b 的取值范围；⑵设1x ，2x ，3x 是()f x 的3个极值点，问是否存在实数b ，可找到4x ∈R ，使得1x ，2x ，3x ，4x 的某种排列1i x ，2i x ，3i x ，4i x （其中1234{}{1234}i i i i =，，，，，，）依次成等差数列？若存在，求所有的b 及相应的4x ；若不存在，说明理由．【考点】导数与函数综合 【难度】5星 【题型】解答【关键词】2010，浙江，高考22⑴2()()[(3)2]x f x e x a x a b x b ab a '=-+-++--， 令2()(3)2g x x a b x b ab a =+-++--，则22(3)4(2)(1)80.a b b ab a a b =-+---=+-+>△于是可设1x ，2x 是()0g x =的两实根，且1x <2x ，①当1x 或2x a =时，则x a =不是()f x 的极值点，此时不合题意；②当1x a ≠且2x a ≠时，由于x a =是()f x 的极大值点，故12x a x <<，即()0g a <． 即2(3)20a a b a b ab a +-++--<，所以b a <-，所以b 的取值范围是()a -∞-，； ⑵由⑴可知，假设存在b 及b x 满足题意，则： ①当21x a a x -=-时，则422x x a =-或412x x a =-， 于是1223a x x a b =+=--，即3b a =--．此时4223x x a a b a a =-=--=+或4123x x a a b a a =-=--=- ②当21x a a x -≠-时，则212()x a a x -=-或122()a x x a -=-，ⅰ）若212()x a a x -=-，则24a x x +=，于是1232a x x =+=3(3)a b -++于是1a b +-=，此时242(3)3(3)324a x a a b a b x b a ++---++===--=+． ⅱ）若122()a x x a -=-，则14a x x +=，于是2132a x x =+=3(3)a b =++．于是1a b +-此时142(3)3(3)324a x a a b a b x b a ++---++===--=． 综上所述，存在b 满足题意： 当3b a =--时，4x a =±；当b a =-时，4x a =b a =-时，4x a =． 【答案】⑴b 的取值范围是()a -∞-，；⑵存在b ，当3b a =--时，4x a =±；当b a =-时，4x a =b a =-时，4x a =．导数与其它知识综合【题27】 设函数321()(2)232af x x x b x =-+--有两个极值点，其中一个在区间(0,1)内，另一个在区间(1,2)内，则54b a --的取值范围是 ． 【考点】导数与其它知识综合 【难度】3星 【题型】填空【关键词】【解析】 2()(2)f x x ax b '=-+-，由题意知()0f x '=的两根分别在区间(0,1)与(1,2)上，又()f x '的图象是开口向上的抛物线，故有(0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩，即2030620b a b a b ->⎧⎪--<⎨⎪-->⎩，从而有2326b a b a b <⎧⎪+>⎨⎪+<⎩，它们表示的平面区域为下图的阴影部分所示（不包括边界）：4a -(,)ab 与点(4,5)的连线的斜率，如图所求，当(,)a b 为(3,0)时，斜率取到最大值5，这个最大值取不到；当(,)a b 为(1,2)时，斜率取到最小值1，这个最小值也取不到，但中间的值都能取到，从而54b a --的取值范围为(1,5)．【答案】(1,5)【题28】 已知a ≥0，函数2()f x x ax =+．设1,2a x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，记曲线()y f x =在点()11,()M x f x 处的切线为l ，l 与x 轴的交点是()2,0N x ，O 为坐标原点．⑴ 证明：21212x x x a=+；⑵ 若对于任意的1,2a x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，都有916a OM ON ⋅>u u u u r u u u r 成立，求a 的取值范围．【考点】导数与其它知识综合 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010，西城，二模，题18【解析】 ⑴ 对()f x 求导数，得()2f x x a '=+，故切线l 的斜率为12x a +，由此得切线l 的方程为21111()(2)()y x ax x a x x -+=+-．令0y =，得22111211122x ax x x x x a x a+=-+=++．⑵ 由()2111,M x x ax +，211,02x N x a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，得3112x OM ON x a ⋅=+u u u u r u u u r ． 所以0a =符合题意，当0a >时，记3111()2x g x x a =+，1,2a x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭．对1()g x 求导数，得()()()211121432x x a g x x a +'=+， 令1()0g x '=，得13,42a a x ⎛⎫=-∈-∞- ⎪⎝⎭． 当1,2a x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，1()g x '的变化情况如下表：所以，函数1()g x 在3,4a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，在3,42aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增， 从而函数1()g x 的最小值为2327432a g a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．依题意22793216a a >，解得23a >，即a 的取值范围是2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 综上，a 的取值范围是2{0},3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U ．【答案】⑴略；⑵a 的取值范围是2{0},3⎛⎫+∞⎪⎝⎭U ．【题29】 已知函数322()(1)52f x x k k x x =--++-，22()1g x k x kx =++，其中k ∈R ．⑴设函数()()()p x f x g x =+．若()p x 在区间(03)，上不单调．．．，求k 的取值范围； ⑵设函数(),0()(),0g x x q x f x x ⎧=⎨<⎩≥，是否存在k ，对任意给定的非零实数1x ，存在惟一的非零实数221()x x x ≠，使得21()()q x q x ''=成立？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．【考点】导数与其它知识综合 【难度】5星 【题型】解答【关键词】2009，浙江，高考，题22【解析】 ⑴32()()()(1)(5)1p x f x g x x k x k x =+=+-++-，()232(1)(5)p x x k x k '=+-++．因为()p x 在区间(03)，上不单调，所以()0p x '=在(03)，上有实数解，且无重根． 由()0p x '=，得2(21)(325)k x x x +=--+，即()2(325)391021214213x x k x x x -+⎡⎤=-=-++-⎢⎥++⎣⎦， 令21t x =+，有()17t ∈，，记9()h t t t=+，则()h t 在(]13，上单调递减，在[)37，上单调递增．所以，()[)610h t ∈，． 于是()[)92161021x x ++∈+，，得(]52k ∈--，． 而当2k =-时，有()0p x '=在()03，上有两个相等的实根1x =，故舍去． 所以()52k ∈--，； ⑵由题意，得当0x <时，()()2232(1)5q x f x x k k x ''==--++； 当0x >时，()()22q x g x k x k ''==+． 因为当0k =时不合题意，所以0k ≠， 下面讨论0k ≠的情形．记{}()|0A g x x '=>，{}()|0B f x x '=<， 则()A k =+∞，，(5)B =+∞，．（ⅰ）当10x >时，()q x '在(0)+∞，上单调递增， 所以要使21()()q x q x ''=成立，只能20x <，且A B ⊆， 因此5k ≥；（ⅱ）当10x <时，()q x '在(0)-∞，上单调递减，所以要使21()()q x q x ''=成立，只能20x >，且B A ⊆，因此5k ≤． 综合（ⅰ）（ⅱ），得5k =． 当5k =时，有A B =． 则10x ∀<，()q x B A '∈=，即20x ∃>，使得21()()q x q x ''=成立． 因为()q x '在(0)+∞，上单调递增， 所以2x 是惟一的．同理．10x ∀>，存在惟一的非零实数221()x x x ≠，使得22()()q x q x ''=成立． 所以5k =满足题意．【答案】⑴()52k ∈--，；⑵存在，5k =．板块五：微积分与定积分的应用知识内容1．函数定积分：设函数()y f x =定义在区间[,]a b 上．用分点0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ，把区间[,]a b 分为n 个小区间，其长度依次为10121i i i x x x i n +∆=-=-L ，，，，，．记λ为这些小区间长度的最大值，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0．在每个小区间内任取一点i ξ，作和式10()n n i i i I f x ξ-==∆∑．n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作()b af x dx ⎰，即10()lim ()n bi i ai f x dx f x λξ-→==∆∑⎰．其中()f x 叫做被积函数，a 叫积分下限，b 叫积分上限．()f x dx 叫做被积式．此时称函数()f x 在。
