(完整word版)导数讲义(学生新版)

人教版高中数学选修1-1教学讲义年级：上课次数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题《导数及其应用》全章复习与巩固课型□预习课□同步课■复习课□习题课授课日期及时段教学内容《导数及其应用》全章复习与巩固【知识网络】【要点梳理】变化率；瞬时电动势是磁通量()t Φ对时间t 的变化率．最常用的是瞬时速度与瞬时加速度． 要点二：导数的计算 1.基本初等函数的导数基本初等函数 导数 特别地常数函数()y c c =为常数 '0y ='0π=，'=0e幂函数()ny xn =为有理数1n y n x -=⋅211'x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1'2x x =指数函数xy a = 'ln x y a a =⋅()'xxe e=对数函数log a y x = 1'ln y x a =⋅()1ln 'x x=正弦函数sin y x = 'cos y x =()2sin 1tan '='=cos cos x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()2cos 1cot '='=sin sin x x x x⎛⎫⎪⎝⎭ 余弦函数cos y x ='sin y x =-要点诠释：基本初等函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 2.和、差、积、商的导数要点诠释：（1）一个推广：1212()''''n n u u u u u u ±±±=±±±．（2）两个特例：()''cu cu =（c 为常数）；2211'()1'()'()'(()0)()()()g x g x g x g x g x g x g x ⎡⎤⋅-⋅==-≠⎢⎥⎣⎦．3.复合函数的导数设函数()u x ϕ=在点x 处可导，''()x u x ϕ=，函数()y f u =在点x 的对应点u 处也可导''()u y f u =，则复合函数[()]y f x ϕ=在点x 处可导，并且'''x u x y y u =⋅，或写作'[()]'()'()x f x f u x ϕϕ=⋅．1xe ； ()25x x+；(1)求a ，b ；(2)求函数()f x 在()[0] 0t t >，内的最大值和最小值．【变式2】设函数()2=++ln f x x ax b x ，曲线()y f x ＝过()10P ，，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值； (2)证明：()22f x x ≤－.例4. 设函数3()1f x ax bx =++在1x =处取得极值1-.(Ⅰ)求a b 、的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间.举一反三：【变式1】如果函数()=y f x 的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数()=y f x 在区间132⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内单调递增；②函数()=y f x 在区间132⎛⎫- ⎪⎝⎭，内单调递减；③函数()=y f x 在区间(4,5)内单调递增；【变式2】已知()32(f x ax bx x a b ∈R ＝＋＋，、且0)ab ≠的图象如图所示，若12x x >，则有( ) A ．a>0，b>0B ．a<0，b<0C ．a<0，b>0D ．a>0，b<0类型六：导数的实际应用例8. 某商场预计2010年从1月份起前x 个月，顾客对某种商品的需求总量p (x )件与月份x 的近似关系是p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)． 该商品的进价q (x )元与月份x 的近似关系是q (x )＝150＋2x (x ∈N *，且x ≤12)，(1)写出今年第x 月的需求量f (x )件与月份x 的函数关系式；(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？举一反三：【变式】一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km /h 时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100km /h ，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？32x x 在0p 处的切线平行于直线41x ，则0p B 1,4)-- D x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )A ．2R 和32R B ．55R 和455R C ．45R 和75R D ．以上都不对 5. 已知二次函数f (x )的图像如图所示，则其导函数f ′(x )的图像大致形状是( )6. 设R a ∈，若函数x e y ax 3+=，（R x ∈）有大于零的极值点，则（ ）A. 3a <-B. 3a >-C. 13a <-D. 13a >-7．已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( )A ．有最大值152B ．有最大值－152C ．有最小值152 D ．有最小值－152 二、填空题8．函数()ln x f x x=的单调递减区间是_ _____． 9．．求由曲线1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积为___________．10. 函数32()3f x x a x a =-+（0a >）的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围 。

目录目录 (1)考点一导数的概念 (2)题型1 变化的快慢和变化率 (2)题型2 导数的概念 (4)考点二导数的几何意义 (4)题型3 有关斜率的判断与计算 (4)课后综合巩固练习 (5)考点一 导数的概念1.平均变化率：已知函数()y f x =在点0x x =及其附近有定义，令0x x x ∆=-，0000()()()()y y y f x f x f x x f x ∆=-=-=+∆-，则当0x ∆≠时，比值00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆叫做函数()y f x =在0x 到0x x +∆之间的平均变化率．2.瞬时变化率：如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x x+∆-∆趋近于一个常数l ，则数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．可用符号记为：当0x ∆→时，00()()f x x f x l x+∆-→∆．还可以说：当0x ∆→时，函数平均变化率的极限等于函数在0x 的瞬时变化率l ，记作：000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆．3.导数：函数在0x 的瞬时变化率，通常就定义为()f x 在0x x =处的导数．并记作()0f x '0|x x y ='可以写为：0000()()lim()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．4.导函数：如果()f x 在开区间()a b ，内每一点x 导数都存在，则称()f x 在区间()a b ，可导，这样，对于开区间()a b ，内的每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '，于是在区间()a b ，内构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数，记为()f x '．导函数通常简称为导数，今后，如不特别指明求某一点的导数，求导数指的就是求导函数．题型1 变化的快慢和变化率1．（2018春•菏泽期中）已知函数()y f x =，其导函数()y f x '=的图象如图，则对于函数()y f x =的描述正确的是( )A ．在(,0)-∞上为减函数B ．在0x =处取得最大值C ．在(4,)+∞上为减函数D ．在2x =处取得最小值2．（2019春•韩城市期末）设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x ='的图象可能为( )A ．B ．C ．D ．3．（2018春•思明区校级月考）已知函数()f x 的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是( )A ．2f '（2）f <（4）f -（2）2f <'（4）B ．2f '（4）2f <'（2）f <（4）f -（2）C ．2f '（2）2f <'（4）f <（4）f -（2）D ．f （4）f -（2）2f <'（4）2f <'（2）4．（2017春•东坡区校级月考）函数()f x 的图象如图所示，则下列关系正确的是( )A ．0f '<（2）f '<（3）f <（3）f -（2）B ．0f '<（2）f <（3）f -（2）f '<（3）C ．0f '<（3）f <（3）f -（2）f '<（2）D ．0f <（3）f -（2）f '<（2）f '-（3） 5．函数1y x=在区间0[x ，0x +△0](0x x ≠，0x +△0)x ≠内的平均变化率为 ．题型2 导数的概念6．（2017春•邢台月考）设函数()1sin 2f x x =+，则等于0()(0)lim (x f x f x→- ) A ．2-B ．0C ．3D ．27．（2019•濮阳一模）已知21()(0)2f x alnx x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(0，1]B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．[1，)+∞8．（2018春•商丘期中）已知函数3()(2)x f x x x e =-，则0(1)(1)lim x f x f x→+-的值为( )A ．e -B ．1C ．eD ．09．（2016春•邯郸期中）已知f '（2）2=，则0(22)(2)lim 4x f x f x→--= ．考点二 导数的几何意义导数的几何意义：曲线()y f x =在点()00()x f x ，的切线的斜率等于()0f x '．题型3 有关斜率的判断与计算10．（2018•海南三模）已知函数42()2(1)f x x ax a x =-++-为偶函数，则()f x 的导函数()f x '的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．11．（2016春•海淀区期中）若小球自由落体的运动方程为21()(2s t gt g =为常数），该小球在1t =到3t =的平均速度为v ，在2t =的瞬时速度为2v ，则v 和2v 关系为( )A ．2v v >B ．2v v <C ．2v v =D ．不能确定12．（2018秋•中山市期末）已知曲线y lnx =的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．eB ．e -C ．1eD ．1e-13．（2016秋•福州期末）一质点做直线运动，由始点经过t 秒后的距离为322s t t t =-+，则2t =秒时的瞬时速度为( )A ．8/m sB ．10/m sC ．16/m sD ．18/m s14．（2018•邯郸二模）若过点(1,)P m -可以作三条直线与曲线:x C y xe =相切，则m 的取值范围是( ) A ．23(e -，)+∞ B ．1(,0)e-C ．(0,)+∞D ．231(,)e e-- 15．（2018秋•龙岩期末）已知P 为函数y lnx =图象上任意一点，点Q 为圆222(1)1x y e +--=上任意一点，则线段PQ 长度的最小值为 ．16．（2019春•襄阳期末）正弦曲线sin y x =上一点P ，正弦曲线的以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是 ．17．（2017秋•海陵区校级期中）已知点P 在曲线sin y x =上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 ．课后综合巩固练习1．（2017•红桥区模拟）已知函数321()3f x x x =--，则曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线斜率为 ．2．（2017春•昌平区校级月考）曲线3123y x =-在点7(1,)3--处的切线的倾斜角为 ．3．（2015秋•徐州期末）若函数()x f x e ax =-在(1,)+∞上单调增，则实数a 的最大值为 ． 4．（2018春•江岸区校级月考）已知一个物体的运动方程为21s t t =-+，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3s 时的瞬时速度为( )A ．5 /m sB ．6 /m sC ．7 /m sD ．8 /m s5．（2018•咸阳三模）已知三次函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则(0)(1)f f '=' ．6．（2018春•昌吉市期末）如图函数()f x 的图象在点P 处的切线为：25y x =-+，则f （2）f +'（2）= ．7．（2019春•让胡路区校级月考）已知函数()()y f x x R =∈上任一点0(x ，0())f x 处的切线斜率200(3)(1)k x x =-+，则该函数的单调递增区间为 ．8．（2017春•昌平区校级月考）曲线3123y x =-在点7(1,)3--处的切线的倾斜角为 ．9．（2016春•鹤壁期末）已知点P 在曲线41x y e =+上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是 ．10．（2016春•安徽校级月考）现有一倒放圆锥形容器，该容器深24m ，底面直径为6m ，水以35/m s π的速度流入，则当水流入时间为1s 时，水面上升的速度为 ．。

1.4.2 微积分基本定理学习目标核心素养1．理解并掌握微积分基本定理．(重点、易混点)2．能用微积分基本定理求定积分．(难点) 3．能用定积分解决有关的问题．1．通过微积分基本定理的学习，培养学生的数学抽象、逻辑推理素养.2．借助定理求定积分和利用定积分求参数，提升学生的数学运算素养.微积分基本定理1．F′(x)从a到b的积分等于F(x)在两端点的取值之差．2．如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则⎠⎛ab f(x)d x＝F(b)－F(a)．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．由于[F(x)＋c]′＝f(x)，F(x)＋c也是f(x)的原函数，其中c为常数．一般地，原函数在[a，b]上的改变量F(b)－F(a)简记作F(x)|b a.因此，微积分基本定理可以写成形式：⎠⎛ab f(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( )[答案](1)√(2)√(3)√2．若a ＝⎠⎛01(x －2)d x ，则被积函数的原函数为( )A ．f (x )＝x －2B ．f (x )＝x －2＋C C ．f (x )＝12x 2－2x ＋C D ．f (x )＝x 2－2x[解析] 由微积分基本定理知，f ′(x )＝x －2，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＋C ′＝x －2， ∴选C. [答案] C利用微积分基本定理求定积分【例1】 (1)定积分⎠1(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1 (2)求下列定积分． ①⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ；②⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x . [解析] (1)⎠⎛01(2x ＋e x)d x ＝(x 2＋e x )| 10＝(12＋e)－(02＋e 0)＝1＋e －1＝e.[答案] C(2)①⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛123d x＝x 33| 21＋x 2| 21＋3x | 21＝253.②sin 2x 2＝1－cos x 2， 而⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ＝sin 2x 2，∴⎠⎜⎛π2sin 2x2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x | π20＝π4－12＝π－24.求简单的定积分关键注意两点1．掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．2．精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．1．(1)若⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝2，则k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)⎠⎛12x －1x 2d x ＝________. [解析] (1)⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x | 10＝12k ＋1＝2，∴k ＝2. (2)⎠⎛12x －1x 2d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x | 21＝⎝⎛⎭⎪⎫ln 2＋12－(ln 1＋1)＝ln 2－12.[答案] (1)B (2)ln 2－12求分段函数的定积分【例2】 计算下列定积分．(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )d x ；(2)⎠⎛02|x 2－1|d x .[思路探究] (1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．[解] (1)⎠⎛04f (x )d x ＝⎠⎜⎛π2sin x d x ＋⎠⎜⎛π221d x ＋⎠⎛24(x －1)d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪π20＋x ⎪⎪⎪⎪2π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x ⎪⎪⎪42＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.(2)⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝2.1．本例(2)中被积函数f (x )含有绝对值号，可先求函数f (x )的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．2．计算定积分：⎠⎛-33 (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .[解] 设f (x )＝|2x ＋3|＋|3－2x |，x ∈[－3,3]，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，－3≤x <－32，6，－32≤x ≤32，4x ，32<x ≤3.利用定积分求参数[探究问题]1．满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )唯一吗？提示：不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值． 2．如何求对称区间上的定积分？提示：在求对称区间上的定积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便．【例3】 已知f (x )是一次函数，其图象过点(1,4)，且⎠⎛01f (x )d x ＝1，求f (x )的解析式．[思路探究] 设出函数解析式，由题中条件建立两方程，联立求解． [解] 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，因为函数的图象过点(1,4)，所以k ＋b ＝4.①又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2＋bx ⎪⎪⎪10＝k 2＋b ，所以k2＋b ＝1．②由①②得k ＝6，b ＝－2，所以f (x )＝6x －2.1．含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．2．计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．上例中，若把“已知f (x )是一次函数”改为“已知f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)”，其余条件不变，求f (x )的解析式．[解] ∵函数的图象过点(1,4)，∴a ＋b ＝4，①又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋b 2x 2| 10＝a 3＋b2，∴a 3＋b 2＝1，②由①②得a ＝6，b ＝－2， 所以f (x )＝6x 2－2x . 1．下列值等于1的是( ) A.⎠⎛01x d x B.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d x D.⎠⎛0112d x [解析] 选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 22| 10＝12；选项B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x | 10＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x | 10＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12， 所以⎠⎛0112d x ＝12x | 10＝12.[答案] C2．⎠⎜⎜⎛-π2π2(sin x ＋cos x )d x 的值是( ) A ．0 B.π4 C ．2 D ．4[解析]⎠⎜⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )d x ＝⎠⎜⎜⎛-π2π2sin x d x ＋[答案] C3．计算⎠⎛01x 2d x ＝________.[解析] 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，所以⎠⎛01x 2d x ＝13x 3| 10＝13. [答案]13 4.⎠⎛49x (1＋x )d x 等于________．[解析]⎠⎛49x (1＋x )d x ＝⎠⎛49(x ＋x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋12x 2⎪⎪⎪94＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×932＋12×92－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×432＋12×42＝4516. [答案] 45165．已知f (x )＝ax ＋b ，且⎠⎛-11f 2(x )d x ＝1，求f (a )的取值X 围．[解] 由f (x )＝ax ＋b ，⎠⎛-11f 2(x )d x ＝1，得2a 2＋6b 2＝3,2a 2＝3－6b 2≥0，所以－22≤b ≤22，所以f (a )＝a 2＋b ＝－3b 2＋b ＋32＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b －162＋1912，所以－22≤f (a )≤1912.。

为函数
_____ _ 的图象的顶点在第四象限，则其导
o
y
x
-33
)
(x
f
y'
=
()y f x ='()f x 为(　)
（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数()y f x =的图像如下右)
(x f y '=
（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某
一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）
象大致形状是（ ）
2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数
()x 在区间[,]a b 上的图象可能是
y
y
y
14.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),
y=g(x)的图象可能是（ ）
15.(2008珠海一模文、理)设是函数的导函数，将和的图)('x f )(x f )(x f y =)('x f y =像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．16.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数
)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，则（
）
函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
y。

全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选教案设计高中数学人教A版选修1-13、2、2基本初等函数的导数公式及导数的四则运算一、教案背景：面向学生：周村区实验中学学科：数学课时：1课时二、教学目标：熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．三、教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则四、教学难点：基本初等函数导数公式和导数的四则运算法则的应用五、教材分析：教科书直接给出基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，不要求根据导数定义推导这些公式和法则，只要求能够利用他们能求简单函数的导数即可。

在教学中，适量的联系对于熟悉公式和法则的运用是必要的，但应避免过量的形式化的运算联系。

六、教学方法及教学思路：运用“721”信息化课堂教学模式----“自主、展示、合作、交流、引领”，本课的设计内容分为以下几个部分：1、回顾公式、寻找技巧2、自主探究、合作学习3、成果展示，汇报交流4、归纳总结，提升拓展5、反馈训练，巩固落实6、总结本节复习要点及课后作业的布置七、教学过程1、回顾公式、寻找技巧基本初等函数的导数公式：导数的四则运算法则：函数的和、差、积、商的求导法则：简单复合函数的求导： 函数 其中和 都可导，则： 2、自主探究、合作学习针对性训练：求下列函数的导数3、成果展示，汇报交流 学生分学习小组到黑板上板书本组解决的任务，并且进行讲解，同时指出本题目所运用的数学思想和数学方法。

4、归纳总结，提升拓展总结反思：1、先观察函数是由哪些子函数组成。

2、再观察有哪些运算法则。

3、拿到题目不要急于动手计算，先要分析清楚函数的组合成员xx y sin 34+=）（3229+=x e y ）（5)35(7+=x y ）（（4）y=xsinx )5)(23(62-+=x x y ）（)12(log 103+=x y ）（)32sin(8π+=x y ）（)(x g u =xu x u f y '''⋅=)(u f y =))((x g f y =26331x x x y -+=）（x e y x cos 2-=）（（5）y=tanx再进行拆分。

高中数学导数讲义完整版第一部分 导数的背景一、导入新课 1. 瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ (221gt s =,其中g 是重力加速度）.2. 切线的斜率问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.3. 边际成本问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2+=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ∆对成本的影响. 二、小结:瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy∆∆当x ∆趋近于0时的极限；边际成本是平均成本q C ∆∆当q ∆趋近于0时的极限.三、练习与作业：1. 某物体的运动方程为25)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度. 2. 判断曲线22x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522+=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本. 4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 5. 判断曲线221x y =在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742+=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本.第二部分 导数的概念一、新课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限(即xy∆∆无限趋近于某个常数)，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/。

导数与导函数的概念【基础知识点】 1．函数从到的平均变化率为①____________，若21x x x =-△，21()()y f x f x =-△，则平均变化率可表示为．2．一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ∆无限趋近于0时，xx f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)(' 3．几何意义：)(x f 在0x x =处的导数就是)(x f 在0x x =处的切线斜率。

4．导函数的概念：)(x f 的对于区间（a ,b ）上任意点处都可导，则)(x f 在各点的导数也随x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数被称为)(x f 的导函数，记作)('x f 。

【典例解析】【典例1】函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，（1）=-+xf x f 2)1()1(（2）=-+xf x f )1()21( 变式:设f(x)在x=x 0处可导， （3）x x f x x f ∆-∆+)()4(00无限趋近于1，则)(0x f '=___________（4）xx f x x f ∆-∆-)()4(00无限趋近于1，则)(0x f '=__________（5）当△x 无限趋近于0，xx x f x x f ∆∆--∆+)2()2(00所对应的常数与)(0x f '的关系。

总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。

【基础知识点】1．基本初等函数的求导公式：⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数) ⑶ ()1x '= ⑷ 2()2x x '= ⑸ 32()3x x '= ⑹ 211()x x '=- ⑺ ()2x x'=⑻ 1()x xααα-'= （α为常数）⑼ ()ln (01)xxa a a a a '=>≠，⑽ a a 11(log x)log e (01)x xlnaa a '==>≠，且 ⑾ xx e )(e =' ⑿ x1)(lnx ='⒀ cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －='2．曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程是y －f （x 0）＝)('o x f （x －x 0）；3． 求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． 4．函数的差、积、商的求导法则：（1） []()()''()'()f x g x f x g x ±=± （2） []()'()'cf x cf x =（3） []()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+（4） '2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭【典例解析】【典例1】求下列函数的导数 （1）35y x =（2）41y x =（3）4log y x = （4）sin()2y x π=-（5）3cos()2y x π=+ （6）x x x y = 题型一：点在曲线上【典例2】已知曲线331x y =上一点)38,2(P ,则过P 点的切线方程为 .解析：过点P 的切线的斜率为()'24k f ==，那么切线方程为()8423y x -=- ，即123160x y --= ．变式：（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+在点(1,f (1))处的切线方程为________. 题型二：点不在曲线上【典例3】过点)0,1(-作抛物线12++=x x y 的切线，则其中一条切线为 解析：设切点为()00,x y ，切线的斜率为()'0021fx x =+，则切线方程为：()()'000y y f x x x -=- ，因为点)0,1(-在切线上，故()()'0001y f x x -=-- ，解得00x = ，或02x =- ，切点为()0,1 或()2,3- ，故切线方程为20x y -+= 或330x y ++=变式：1．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）过点()1,0-.与函数()xf x e =(e 是自然对数的底数)图像相切的直线方程是__________.2．（2011年高考（江苏卷））在平面直角坐标系xOy 中,已知点P 是函数)0()(>=x e x f x的图象上的动点,该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ,过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ,设线段MN 的中点的纵坐标为t ,则t 的最大值是__ 题型三：已知切线斜率求切线方程【典例4】求垂直于直线0162=+-y x 且与曲线5323-+=x x y 相切的直线方程。

第一部分函数极限连续函数、极限、连续函数极限连续函数概念函数的四种反函数与复初等函数数列极限函数极限连续概念间断点分类初等函数的连闭区间上连续特征合函数续性函数的性质函数的有界数列极限的函数极限的第一类间断有界性与最大性定义定义点值最小值定理函数的单调收敛数列的函数极限的可去间断点零点定理性性质性质函数的奇偶极限的唯一函数极限的跳跃间断点性性唯一性函数的周期收敛数列的函数极限的第二类间断性有界性局部有界性点收敛数列的函数极限的保号性局部保号性数列极限四函数极限与数则运算法则列极限的关系极限存在准函数极限四则则运算法则夹逼准则两个重要极限单调有界准无穷小的比则较高阶无穷小低阶无穷小同阶无穷小等价无穷小历年试题分类统计及考点分布考点复合函数极限四则两个重要单调有界无穷小的合计运算法则极限准则阶年份19871988 5 3 8 19891990 3 3 6 1991 5 3 8 1992 3 3 1993 5 3 8 1994 3 3 1995 3 3 1996 3 6 3 12 1997 3 3 199819992000 5 5 200120022003 4 4 8 2004 4 4 20052006 12 3 15 2007 4 4 2008 4 4 2009 4 4 2010 4 4 2011 10 10 20 合计8 18 37 32 27本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。

2.求数列极限和函数极限。

3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。

4.确定方程在给定区间上有无实根。

一、 求分段函数的复合函数 例 1 (1988, 5 分) 设 f (x)e x2, f [ (x)]1 x 且 ( x) 0 求 (x) 及其定义,域。

解: 由 f (x) e x 2知 f [ ( x)] e2( x)1x ,又 (x) 0 ,则 ( x)ln(1 x), x 0 .例 2 (1990, 3 分) 设函数 f ( x)1, x1则 f [ f ( x)]10, x 1, .1, x1,练习题 : (1)设f (x)0, x1, g ( x)e x , 求f [ g( x)] 和 g[ f (x)] , 并作出这1, x 1,两个函数的图形。

3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数学习目标核心素养1．理解函数的单调性与导数的关系．(重点) 2．能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间．(重点)3．能根据函数的单调性求参数．(难点)1．通过学习函数单调性与导数的关系，培养学生数学抽象与直观想象的素养．2．借助导数求函数的单调性，培养逻辑推理和数学运算的素养.(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常函数(2)在区间(a，b)函数的单调性导数单调递增f′(x)≥0单调递减f′(x)≤0常函数f′(x)＝0思考：在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件？[提示]必要不充分条件．2．函数的变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．1．函数y＝x3＋x的单调递增区间为()A．(0，＋∞) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)D[y′＝3x2＋1>0，故选D．]2．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上()A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增A[∵f(x)＝2x－sin x，∴f′(x)＝2－cos x>0，∴f(x)在R上是增函数．]3．若函数f(x)的导数f′(x)＝x(x－2)，则f(x)在区间________上单调递减．[0,2][∵f′(x)＝x(x－2)，由f′(x)≤0得，0≤x≤2，∴f(x)在[0,2]上单调递减．]导数与函数图象的关系y＝f(x)的图象可能是()(2)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的()(1)D(2)C[(1)由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势．由已知可得x的取值范围和f′(x)的正、负，f(x)的增减变化情况如下表所示：x (－∞，0)(0,2)(2，＋∞)f′(x)＋－＋f(x)↗↘↗由表可知f(x)在(－∞，0)内递增，在(0,2)内递减，在(2，＋∞)内递增，满足条件的只有D，故选D．(2)由函数y＝f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：x (－1，b)(b，a)(a,1)f(x)↘↗↘f ′(x )－ ＋ －由表可知函数y ＝f ′(x )的图象，当x ∈(－1，b )时，函数图象在x 轴下方；当x ∈(b ，a )时，函数图象在x 轴上方；当x ∈(a,1)时，函数图象在x 轴下方．故选C ．]对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零.在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图象.[跟进训练]1．函数y ＝f (x )在定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )<0的解集为__________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1∪(2,3)[根据导数和图象单调性的关系知当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1∪(2,3)时f ′(x )<0.]利用导数求函数的单调区间(1)f (x )＝3x 2－ln x ；(2)f (x )＝－13ax 3＋x 2＋1(a ≤0)． [思路点拨]求定义域―→求导数―→ 解不等式f ′(x )<0或f ′(x )>0―→写单调区间 [解](1)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝6x －1x ＝6x 2－1x ，令f ′(x )>0，则6x 2－1x >0.又x >0，则6x 2－1>0，解得x >66.所以函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫66，＋∞.令f ′(x )<0，则6x 2－1x <0，解得0<x <66， 所以函数的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，66.(2)因为f ′(x )＝－ax 2＋2x (a ≤0)，当a ＝0时，f ′(x )＝2x ，函数在(－∞，0)上是递减的，在(0，＋∞)上是递增的， 当a <0时，令f ′(x )>0，则－ax 2＋2x >0，解得x >0或x <2a ，所以函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a ，(0，＋∞)．令f ′(x )<0，则－ax 2＋2x <0，解得2a <x <0， 所以函数的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0.综上，当a ＝0时，函数在(－∞，0)上是递减的，在(0，＋∞)上是递增的； 当a <0时，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上是递增的，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0上是递减的．利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.提醒：如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开.[跟进训练]2．求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝ln x x；(2)f(x)＝xx2＋4；(3)f(x)＝e x－x.[解](1)函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ln xx2.令f′(x)>0，即1－ln x>0，解得0<x<e；令f′(x)<0，即1－ln x<0，解得x>e.所以函数的单调递增区间是(0，e)，递减区间是(e，＋∞)．(2)函数定义域为R，f′(x)＝(x)′·(x2＋4)－x·(x2＋4)′(x2＋4)2＝4－x2(x2＋4)2.令f′(x)>0，即4－x2>0，解得－2<x<2；令f′(x)<0，即4－x2<0，解得x<－2或x>2；所以函数的单调递增区间是(－2,2)，递减区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)．(3)函数定义域为R，f′(x)＝e x－1.令f′(x)>0，即e x－1>0，解得x>0；令f′(x)<0，即e x－1<0，解得x<0；所以函数的单调递增区间是(0，＋∞)，递减区间是(－∞，0)．已知函数的单调性求参数的取值范围1．在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)＞0是y＝f(x)在某个区间上递增的充分条件．2．一般地，在区间(a ，b )内函数的单调性与导数有什么关系？ 提示：【例3】 (1)若f (x )在区间(1，＋∞)内为增函数，求a 的取值范围； (2)若f (x )的递减区间为(－1,1)，求a 的取值范围； (3)若f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．[解](1)因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x 2－a ≥0在(1，＋∞)上恒成立， 所以a ≤3x 2在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤3. (2)f ′(x )＝3x 2－a .①当a ≤0时，f ′(x )≥0，无减区间，不满足条件． ②当a >0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3； 当－3a 3<x <3a3时，f ′(x )<0.因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数． 所以3a3＝1，即a ＝3， 综上a 的取值范围为{a |a ＝3}． (3)f ′(x )＝3x 2－a ，当a ≤0时，－a ≥0，f ′(x )≥0恒成立，满足在区间(－1,1)上是递增的，不符合题意，舍去；当a>0时，由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a>0)．因为f(x)在区间(－1,1)上不单调，所以0<3a3<1，即0<a<3.综上a的取值范围为(0,3)．1．利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．2．恒成立问题的重要思路(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max.(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.[跟进训练]3．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增加的，求t的取值范围．[解]由题意得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，∴f′(x)＝－3x2＋2x＋t.若f(x)在(－1,1)上是增加的，则在(－1,1)上f′(x)≥0恒成立．即t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立．考虑函数g (x )＝3x 2－2x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132－13，x ∈(－1,1)显然g (x )<g (－1)，故t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5.而当t ≥5时，f ′(x )在(－1,1)上满足f ′(x )>0，即f (x )在(－1,1)上是增加的．故t 的取值范围是[5，＋∞).1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．在利用导数讨论函数的单调性时，首先要确定函数的定义域，在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调性．3．如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪”连接，可用“，”隔开或用“和”连接．特别提醒：(1)在对函数划分单调区间时，除了注意使导数等于零的点，还要注意在定义域内不连续的点和不可导的点．(2)当不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0不易求解时，可通过列表的方法求函数f (x )的单调区间．(3)区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响． 1．判断正误(1)“在区间I 上，f ′(x )<0”是“f (x )在I 上单调递减”的充分不必要条件． ( )(2)若函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则f (x )在(a ，b )上各点处的切线的倾斜角都是锐角．( )(3)单调递增函数的导函数也是单调递增函数．( ) (4)如果函数f (x )在(a ，b )上变化得越快，其导数就越大． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( ) A ．增函数 B ．减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数 A [∵f (x )＝x ＋ln x 的定义域为(0，＋∞)， 又f ′(x )＝1＋1x >0，∴f (x )在(0,6)上是增函数．]3．在R 上可导的函数f (x )的图象如图所示，则关于x 的不等式x ·f ′(x )<0的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－2，－1)∪(1,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) A [当x >0时，f ′(x )<0，此时0<x <1， 当x <0时，f ′(x )>0，此时x <－1，因此xf ′(x )<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．]4．若函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在(－∞，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．[解]因为f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1， 由题意可知f (x )在R 上是增加的， 所以f ′(x )≥0对x ∈R 恒成立， 即3ax 2－2x ＋1≥0在R 上恒成立． 所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－12a ≤0，解得a ≥13.当a ＝13时，f ′(x )＝x 2－2x ＋1＝0，有且只有f ′(1)＝0. 所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞.。

§1.1.2导数的概念教学目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2.理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3.会求函数在某点的导数。

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．（一）、情景引入，激发兴趣【教师引入】：“生活中有一些现象值得我们去研究，比如，子弹离开枪管那一瞬间的速度，奥运会上百米赛跑运动员冲向终点那一时刻的速度。

科学上对瞬时速度的研究也是非常有必要的，比如在天宫一号与神州八号的成功对接，最关键的就是它们每个瞬间的速度都相等。

(二)、探究新知，揭示概念求平均速度 ht求时间增量t求位移增量h求瞬时速度v = limh t →0t求割线的斜率 yx增量x增量y函数在点x 处的变化率limyx→0x= lim f (x+x) -f (x),并对x→0 x猜想的合理性进行分析后，引出定义 1：（函数在一点处可导及其导数）③剖析概念加深理解【探讨 1】怎样判断函数在一点是否可导？判断函数y =f (x) 在点x0处是否可导转化判断极限lim f (x+x) -f (x)是否存在x→0 x【探讨 2】导数是什么？y limx→0 x学生动手解答，老师强调符号语言的规范使用，对诸如(x)2忘写括号的现象加以纠正.练习：1．已知y=x3－2x+1，求y′，y′|x=2.2.设函数f(x)在x0处可导，则limx→0f (x0 +x) -f (x-x)等于xA. f′(x0)B.0C.2 f′(x0)D.－2 f′(x0)3.已知一个物体运动的位移 S（m）与时间 t（s）满足关系S（t）＝-2t2+5t（1）求物体第 5 秒和第 6 秒的瞬时速度；（2）求物体在 t 时刻的瞬时速度；（3）求物体 t 时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？。

<<高等数学〉>教案课型：讲授章节第二章导数与微分第一节导数及其运算 1·导数的概念及导数的几何意义教学目的：1、理解导数定义,能够运用定义求解简单函数的导数2、了解导数的几何意义,会求曲线在某点的切线和法线方程3、掌握可导与连续的关系,判别函数在某点的可导性与连续性教学重点：1、导数定义,包括函数在某点与在某区间的定义,单侧导数的定义2、导数的几何意义,求切线方程与法线方程教学难点:1、导数定义,包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学过程:1、简介微积分的组成，微分与积分的区别2、引入导数概念3、给出导数定义（1）函数在某点导数的定义（2）函数在某区间导数的定义（3）单侧导数的定义4、求导数举例5、导数的几何意义6、求切线和法线方程举例7、可导与连续的关系8、举例判别函数在某点处的连续性和可导性9、课堂小结10、布置作业§1 导数及其运算一、 导数的概念1、导数的引入设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数： s f (t ），求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值000)()(t t t f t f t t s s --=--，这个比值可认为是动点在时间间隔t t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短， 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t 0的速度。

但这样做是不精确的， 更确地应当这样: 令t t 0®0, 取比值00)()(t t t f t f --的极限， 如果这个极限存在， 设为v ， 即 00)()(limt t t f t f v t t --=→,这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2、导数的定义从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限： 00)()(lim 0x x x f x f x x --→.令x x x 0， 则y f （x 0x ）f (x 0) f (x )f (x 0)， x ®x 0相当于x ®0, 于是00)()(limx x x f x f x x --→成为 x yx ∆∆→∆0lim或xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000。

§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一．创设情景四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用二．新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表)（2）推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三．典例分析例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+ （2）y ＝xx --+1111； （3）y ＝x · sin x · ln x ；（4）y ＝xx 4； （5）y ＝xxln 1ln 1+-．（6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x（7） y ＝xx x xx x sin cos cos sin +-【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．''''252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ⨯--⨯-==-- 20(100)5284(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =-（1）因为'25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）因为'25284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．四．课堂练习 1．课本P 92练习2．已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；（y ＝－12 x ＋8）五．回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则六．布置作业§1.1.2 导数的概念学习目标1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 一、预习与反馈（预习教材P 4~ P 6，找出疑惑之处）探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 新知：1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的 导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x fx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或 即000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)。

导数的概念及运算知识点一：函数的平均变化率（1）概念:+△x)函数中,如果自变量在处有增量,那么函数值y也相应的有增量△y=f(x—f(x），其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。

若，，则平均变化率可表示为,称为函数从到的平均变化率。

注意：①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。

如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值;②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。

③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。

函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化,应取更小考虑。

（2）平均变化率的几何意义函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。

如图所示，函数的平均变化率的几何意义是:直线AB的斜率。

事实上，.作用:根据平均变化率的几何意义,可求解有关曲线割线的斜率。

知识点二：导数的概念： 1．导数的定义： 对函数,在点处给自变量x 以增量,函数y 相应有增量。

若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。

即:(或）注意: ①增量可以是正数，也可以是负数;②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。

2．导函数： 如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数.注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念,是常数,是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。

3．导数几何意义： （1)曲线的切线曲线上一点P(x 0，y 0)及其附近一点Q （x 0+△x ，y 0+△y),经过点P 、Q 作曲线的割线PQ ，其倾斜角为当点Q(x 0+△x,y 0+△y)沿曲线无限接近于点P(x 0,y 0），即△x →0时，割线PQ 的极限位置直线PT 叫做曲线在点P 处的切线。

若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。

导数一、基本概念 1. 导数的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数。

()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x xx ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(000002导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P 处的切线的斜率是，切线方程为3．基本常见函数的导数:①0;C '=（C 为常数） ②()1;nn x nx-'=③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();xxe e '=⑥()ln xxa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 二、导数的运算 1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：).())((''x Cf x Cf =(C 为常数) 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦。

完整版)导数讲义(学生新版)导数一、导数的概念函数y=f(x)，如果自变量x在x处有增量Δx，那么函数y 相应地有增量Δy=f(x+Δx)−f(x)，比值化率，即Δy/Δx叫做函数y=f(x)在x到x+Δx之间的平均变化率。

如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数，记作f’(x)或y’|x=x。

例如，若lim(Δy/Δx)=k，则lim(Δy/f(x+2Δx)−f(x)/Δx)=lim(2k)等于（）=k，因此f’(x)=lim(Δy/Δx)。

变式训练：设函数f(x)在点x处可导，试求下列各极限的值：1.lim(f(x−Δx)−f(x))/Δx；2.lim(f(x+h)−f(x−h))/2h；3.若f’(x)=2，则lim(f(x−k)−f(x))/k=？二、导数的几何意义函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率是f’(x)。

切线方程为y−f(x)=(f’(x))(x−x)。

三、导数的运算1.基本函数的导数公式：①C’=0；（C为常数）②x^n’=nx^(n−1)；③(sin x)’=cos x；④(cos x)’=−sin x；⑤(e^x)’=e^x；⑥(ax)’=axln a；⑦(ln x)’=1/x；⑧(log_a x)’=log_a e/x。

题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）1）f(x)=π；（2）f(x)=x^4；（3）f(x)=x；（4）f(x)=sin x；（5）f(x)=−cos x；（6）f(x)=3x；（7）f(x)=e^x；（8）f(x)=log_2 x；（9）f(x)=ln x；（10）f(x)=1/(1+x)；（11）y=x^4+cos x；（12）y=x/(4+x^2)；（13）y=log x−e^x；（14）y=x^3 cos x。

导数一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。

如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y ’|0x x =。

f ’(x 0)=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。

例、 若k x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim000，则xx f x x f x ∆-∆⋅+→∆)()2(lim000等于（ ） A ．k 2 B ．k C ．k 21D ．以上都不是变式训练： 设函数)(x f 在点0x 处可导，试求下列各极限的值．1．xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000；2．.2)()(lim 000hh x f h x f h --+→3．若2)(0='x f ，则k x f k x f k 2)()(lim 000--→=？二、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。

切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。

三、导数的运算1．基本函数的导数公式: ①0;C '=（C 为常数）②()1;n n x nx -'=③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;⑦()1ln x x '=;⑧()1l g log a a o x e x'=.习题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）（1）()f x π= （2）4()f x x = （3）()f x （4）()sin f x x = （5）()cos f x x =- （6）()3x f x = （7）()x f x e = （8）2()log f x x = （9）()ln f x x = （10）1()f x x = （11）31cos 44y x =+ （12）1xy x=+ （13）lg x y x e =- （14）3cos y x x = 2、导数的四则运算法则：)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+)()()()()()()()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'='练习：求下列函数的导数：（1）x x y 22+=； （2）x x y ln -=；（3）x x y sin =； （4）x x y ln =。

第2讲导数的应用考纲展示命题探究1函数的单调性与导数的关系2用充分必要条件来诠释导数与函数单调性的关系(1)f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件；(2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f′(x)＝0不恒成立)．注意点应用导数解决函数单调性问题的原则方法(1)求函数f(x)的单调区间，也是求不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)的解集，但单调区间不能脱离函数定义域而单独存在，求单调区间要坚持“定义域优先”的原则．(2)由函数f(x)在区间[a，b]内单调递增(或递减)，可得f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f′(x)>0(或f′(x)<0)恒成立，“＝”不能少．必要时还需对“＝”进行检验.1．思维辨析(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．()(3)f(x)在(a，b)上单调递增与(a，b)是f(x)的单调递增区间是相同的说法．()答案(1)×(2)√(3)×2．函数y＝(3－x2)e x的单调递增区间是()A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1)答案 D解析y′＝－2x e x＋(3－x2)e x＝e x(－x2－2x＋3)，由y′>0⇒x2＋2x－3<0⇒－3<x<1，∴函数y＝(3－x2)e x的单调递增区间是(－3,1)．故选D.3．函数f (x )＝e x －2x 的单调递增区间是________．答案 (ln 2，＋∞)解析 f ′(x )＝e x －2，令f ′(x )＝0得x ＝ln 2.当x ∈(ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )＝e x －2x 的单调递增区间为(ln 2，＋∞)．[考法综述] 单调性是导数几种应用中最基本也是最重要的内容，因为求极值和最值都离不开单调性．利用导数讨论函数单调性或求函数的单调区间是导数的重要应用，也是高考的热点，经常在解答题的分支问题中出现，难度一般．命题法 判断函数的单调性典例 已知函数f (x )＝ln x －mx ＋m ，m ∈R .(1)已知函数f (x )在点(1，f (1))处与x 轴相切，求实数m 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)在(1)的结论下，对于任意的0<a <b ，证明：f (b )－f (a )b －a<1a －1. [解] 由f (x )＝ln x －mx ＋m ，得f ′(x )＝1x －m (x >0)．(1)依题意得f ′(1)＝1－m ＝0，即m ＝1.(2)当m ≤0时，f ′(x )＝1x －m >0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当m >0时，f ′(x )＝－m ⎝⎛⎭⎪⎫x －1m x ，由f ′(x )>0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1m ，由f ′(x )<0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，＋∞， 即函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1m 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，＋∞上单调递减． (3)证明：由(1)知m ＝1，得f (x )＝ln x －x ＋1，对于任意的0<a <b ，f (b )－f (a )b －a<1a －1可化为(ln b －b )－(ln a －a )b －a<1a －1，因为0<a <b ，所以有b －a >0，故不等式可化为(ln b －b )－(ln a －a )<⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1(b －a )，即ln b a <b a －1，令t ＝b a ，得ln t －t ＋1<0(t >1)，令f (t )＝ln t －t ＋1.由(2)知，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，且f (1)＝0，即f (t )<f (1)，于是上式成立，故对于任意的0<a <b ，f (b )－f (a )b －a <1a－1成立． 【解题法】 单调区间的求法及由单调性求参数取值范围的方法(1)利用导数求函数的单调区间的两个方法①方法一：a.确定函数y ＝f (x )的定义域；b ．求导数y ′＝f ′(x )；c ．解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；d ．解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． ②方法二：a.确定函数y ＝f (x )的定义域；b ．求导数y ′＝f ′(x )，令f ′(x )＝0，解此方程，求出在定义域内的一切实根；c ．把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义域分成若干个小区间；d ．确定f ′(x )在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．(2)由函数的单调性求参数的取值范围的方法①可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)(f ′(x )在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围．②可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题．③若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．1．设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1 答案 D解析 由题意可知存在唯一的整数x 0，使得e x 0(2x 0－1)<ax 0－a ，设g (x )＝e x (2x －1)，h (x )＝ax －a ，由g ′(x )＝e x (2x ＋1)可知g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增，作出g (x )与h (x )的大致图象如图所示，故⎩⎪⎨⎪⎧ h (0)>g (0)h (－1)≤g (－1)，即⎩⎨⎧ a <1－2a ≤－3e ，所以32e≤a <1，故选D.2.设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)答案 A解析 令F (x )＝f (x )x ，因为f (x )为奇函数，所以F (x )为偶函数，由于F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，所以F (x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F (x )＝f (x )x 在(－∞，0)上单调递增，又f (－1)＝0，f (1)＝0，数形结合可知，使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．故选A.3．若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k <1k B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k >1k －1 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1<1k －1 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>k k －1答案 C解析 构造函数g (x )＝f (x )－kx ＋1，则g ′(x )＝f ′(x )－k >0，∴g (x )在R 上为增函数．∵k >1，∴1k －1>0，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>g (0)． 而g (0)＝f (0)＋1＝0，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－k k －1＋1>0， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>k k －1－1＝1k －1， 所以选项C 错误，故选C.4．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)答案 C解析 (1)当a ＝0时，显然f (x )有两个零点，不符合题意．(2)当a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a .当a >0时，2a >0，所以函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1在(－∞，0)与⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞上为增函数，在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 上为减函数，因为f (x )存在唯一零点x 0，且x 0>0，则f (0)<0，即1<0，不成立．当a <0时，2a <0，所以函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上为减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0上为增函数，因为f (x )存在唯一零点x 0，且x 0>0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a >0，即a ·8a 3－3·4a 2＋1>0，解得a >2或a <－2，又因为a <0，故a 的取值范围为(－∞，－2)．选C.5．已知函数f (x )＝－2(x ＋a )ln x ＋x 2－2ax －2a 2＋a ，其中a >0.(1)设g (x )是f (x )的导函数，讨论g (x )的单调性；(2)证明：存在a ∈(0,1)，使得f (x )≥0在区间(1，＋∞)内恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．解 (1)由已知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，g (x )＝f ′(x )＝2(x－a )－2ln x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a x ， 所以g ′(x )＝2－2x ＋2a x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14x 2当0<a <14时，g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2，＋∞上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2，1＋1－4a 2上单调递减； 当a ≥14时，g (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．(2)证明：由f ′(x )＝2(x －a )－2ln x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a x ＝0，解得a ＝x －1－ln x 1＋x －1. 令φ(x )＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x －1－ln x 1＋x －1ln x ＋x 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－ln x 1＋x －1x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－ln x 1＋x －12＋x －1－ln x 1＋x －1. 则φ(1)＝1>0，φ(e)＝－e (e －2)1＋e －1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫e －21＋e －12<0. 故存在x 0∈(1，e)，使得φ(x 0)＝0.令a 0＝x 0－1－ln x 01＋x －10，u (x )＝x －1－ln x (x ≥1)． 由u ′(x )＝1－1x ≥0知，函数u (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．所以0＝u (1)1＋1<u (x 0)1＋x －10＝a 0<u (e )1＋e －1＝e －21＋e －1<1. 即a 0∈(0,1)．当a ＝a 0时，有f ′(x 0)＝0，f (x 0)＝φ(x 0)＝0.由(1)知，f ′(x )在区间(1，＋∞)上单调递增，故当x ∈(1，x 0)时，f ′(x )<0，从而f (x )>f (x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，从而f (x )>f (x 0)＝0.所以，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )≥0.综上所述，存在a ∈(0,1)，使得f (x )≥0在区间(1，＋∞)内恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．6.设函数f (x )＝3x 2＋ax e x (a ∈R )．(1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝(6x ＋a )e x －(3x 2＋ax )e x(e x )2＝－3x 2＋(6－a )x ＋a e x，因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x，故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e ， 从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e (x －1)，化简得3x－e y ＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a e x， 令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0解得x 1＝6－a －a 2＋366， x 2＝6－a ＋a 2＋366. 当x <x 1时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数；当x 1<x <x 2时，g (x )>0，即f ′(x )>0，故f (x )为增函数；当x >x 2时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数．由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92， 故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞. 7．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在区间(1,2)是增函数，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，f ′(x )＝0的判别式Δ＝36(1－a )． ①若a ≥1，则f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0当且仅当a ＝1，x ＝－1. 故此时f (x )在R 上是增函数．②由于a ≠0，故当a <1时，f ′(x )＝0有两个根：x 1＝－1＋1－a a ，x 2＝－1－1－a a. 若0<a <1，则当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时f ′(x )>0， 故f (x )分别在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)是增函数；当x ∈(x 2，x 1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(x 2，x 1)是减函数；若a <0，则当x ∈(－∞，x 1)或(x 2，＋∞)时f ′(x )<0，故f (x )分别在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)是减函数；当x ∈(x 1，x 2)时f ′(x )>0，故f (x )在(x 1，x 2)是增函数．(2)当a >0，x >0时，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3>0，故当a >0时，f (x )在区间(1,2)是增函数．当a <0时，f (x )在区间(1,2)是增函数当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得－54≤a ＜0.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，0∪(0，＋∞)． 1 判断函数极值的方法一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值；(2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值．2 求可导函数f (x )的极值的步骤(1)求导函数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检验f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根的左右两侧的函数值的符号，如果左正右负，那么函数y ＝f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数y ＝f (x )在这个根处取得极小值，可列表完成．3 函数的最值在闭区间[a ，b ]上的连续函数y ＝f (x )，在[a ，b ]上必有最大值与最小值．在区间(a ，b )上的连续函数y ＝f (x )，若有唯一的极值点，则这个极值点就是最值点．注意点 极值点的含义及极值与最值的关系(1)“极值点”不是点，若函数f (x )在x 1处取得极大值，则x 1即为极大值点，极大值为f (x 1)；在x 2处取得极小值，则x 2为极小值点，极小值为f (x 2)．(2)极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.1．思维辨析(1)导数为零的点不一定是极值点．( )(2)三次函数在R 上必有极大值和极小值．( )(3)函数的极大值不一定比极小值大．( )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的充要条件．( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( )(6)函数f (x )＝x sin x 有无数个极值点．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)√2．函数y ＝x 4－4x ＋3在区间[－2,3]上的最小值为( )A ．72B ．36C ．12D ．0 答案 D解析 因为y ′＝4x 3－4，令y ′＝0即4x 3－4＝0，解得x ＝1.当x <1时，y ′<0，当x >1时，y ′>0，所以函数的极小值为y |x ＝1＝0，而在端点处的函数值y |x ＝－2＝27，y |x ＝3＝72，所以y min ＝0.3．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( )A ．1，－3B ．1,3C ．－1,3D ．－1，－3 答案 A解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，∴f ′(1)＝3a ＋b ＝0.①又当x ＝1时有极值－2，∴a ＋b ＝－2.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3. [考法综述] 函数的极值与最值是高考热点内容，对极值的考查主要有2个命题角度：①判断极值的情况，②已知函数求极值．考查函数最值时必定涉及函数的单调性，还会涉及方程和不等式．题型有大题也有小题且有一定难度．另外已知函数的极值(最值)情况求参数的取值范围也是热点考查内容，涉及函数的单调性时，往往需要进行分类讨论，这类题综合性强，难度较大．命题法 求函数的极值与最值典例 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2(x <1)，a ln x (x ≥1). (1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；(2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．[解] (1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x(－∞，0) 0 f ′(x )－ 0 ＋ 0 －f (x )极小值 极大值 点为x ＝23.(2)①当－1≤x <1时，由(1)知，函数f (x )在[－1,0]和⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23上单调递增． 因为f (－1)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝427，f (0)＝0，所以f (x )在[－1,1)上的最大值为2.②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ，当a ≤0时，f (x )≤0；当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增，则f (x )在[1，e]上的最大值为f (e)＝a .故当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ；当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2.【解题法】 求函数极值和最值的方法(1)求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程f ′(x )＝0，再判断f ′(x )＝0的根是否是极值点，可通过列表结合导函数与0的大小(或函数的单调性)进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．(2)函数的最大值①若函数在区间[a ，b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值．②若函数在闭区间[a ，b ]内有极值，要先求出[a ，b ]上的极值，与f (a )，f (b )比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．③函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．1．对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )A ．－1是f (x )的零点B ．1是f (x )的极值点C ．3是f (x )的极值D ．点(2,8)在曲线y ＝f (x )上答案 A解析 由A 知a －b ＋c ＝0；由B 知f ′(x )＝2ax ＋b,2a ＋b ＝0；由C 知f ′(x )＝2ax ＋b ，令f ′(x )＝0可得x ＝－b 2a ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝3，则4ac －b 24a ＝3；由D 知4a ＋2b ＋c ＝8.假设A 选项错误，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ≠0，2a ＋b ＝0，4ac －b 24a ＝3，4a ＋2b ＋c ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－10，c ＝8，满足题意，故A 结论错误．同理易知当B 或C 或D 选项错误时不符合题意，故选A.2．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d (b ，c ，d 为常数)，当x ∈(0,1)时，f (x )取得极大值，当x ∈(1,2)时，f (x )取得极小值，则⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122＋(c －3)2的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫372，5 B ．(5，5) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫374，25 D ．(5,25)答案 D解析 因为f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，f ′(x )的两个根分别在(0,1)和(1,2)内，所以f ′(0)>0，f ′(1)<0，f ′(2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ c >0，3＋2b ＋c <0，12＋4b ＋c >0，作出可行域如图中阴影部分所示(不包括b 轴)，⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122＋(c －3)2表示可行域内一点到点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3的距离的平方，由图象可知，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3到直线3＋2b ＋c ＝0的距离最小，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122＋(c －3)2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫|3－1＋3|52＝5，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3到点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，6的距离最大，此时⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122＋(c －3)2＝25，因为可行域的临界线为虚线，所以所求范围为(5,25)，故选D.3．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a,6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－5，1)B ．[－5，1)C ．[－2,1)D ．(－2,1)答案 C 解析 令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，且x ＝－1为函数f (x )的极大值点，x ＝1为函数f (x )的极小值点．函数f (x )在区间(a,6－a 2)上有最小值，则函数f (x )的极小值点必在区间(a,6－a 2)内，且左端点的函数值不小于f (1)，即实数a 满足a <1<6－a 2且f (a )＝a 3－3a ≥f (1)＝－2，解得－5<a <1，且a ≥－2.故实数a 的取值范围是[－2，1)．4．设函数f (x )＝e x (sin x －cos x )(0≤x ≤2015π)，则函数f (x )的各极小值之和为( )A ．－e 2π(1－e 2015π)1－e 2πB ．－e 2π(1－e 2015π)1－e πC ．－1－e 2016π1－e 2πD ．－e 2π(1－e 2014π)1－e 2π答案 D解析 因为f ′(x )＝2e x sin x ，所以x ∈(2k π＋π，2k π＋2π)(k ∈Z )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，x ∈(2k π＋2π，2k π＋3π)(k ∈Z )时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，故当x ＝2k π＋2π(k ∈Z )时，f (x )取极小值，其极小值为f (2k π＋2π)＝－e 2k π＋2π(k ∈Z )，又0≤x ≤2015π，所以f (x )的各极小值之和S ＝－e 2π－e 4π－…－e 2014π＝－e 2π(1－e 2014π)1－e 2π，故选D. 5．已知点M 在曲线y ＝3ln x －x 2上，点N 在直线x －y ＋2＝0上，则|MN |的最小值为________．答案 2 2解析 当点M 处的曲线的切线与直线x －y ＋2＝0平行时|MN |取得最小值．令y ′＝－2x ＋3x ＝1，解得x ＝1，所以点M 的坐标为(1，－1)，所以点M 到直线x －y ＋2＝0的距离为|1＋2＋1|2＝22，即|MN |的最小值为2 2.6．函数f (x )＝x 3－3x 2＋6在x ＝________时取得极小值． 答案 2解析 依题意得f ′(x )＝3x (x －2)．当x <0或x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0.因此，函数f (x )在x ＝2时取得极小值．7．设函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，g (x )＝x 2e x .已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0平行．(1)求a 的值；(2)是否存在自然数k ，使得方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；(3)设函数m (x )＝min{f (x )，g (x )}(min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)，求m (x )的最大值．解 (1)由题意知，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)＝2，又f ′(x )＝ln x ＋a x ＋1，所以a ＝1.(2)k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(1,2)内存在唯一的根．设h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)ln x －x 2e x ，当x ∈(0,1]时，h (x )<0，又h (2)＝3ln 2－4e 2＝ln 8－4e 2>1－1＝0，所以存在x 0∈(1,2)，使得h (x 0)＝0.因为h ′(x )＝ln x ＋1x ＋1＋x (x －2)e x ，所以当x ∈(1,2)时，h ′(x )>1－1e >0，当x ∈[2，＋∞)时，h ′(x )>0，所以当x ∈(1，＋∞)时，h (x )单调递增．所以k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根．(3)由(2)知方程f (x )＝g (x )在(1,2)内存在唯一的根x 0，且x ∈(0，x 0)时，f (x )<g (x )，x ∈(x 0，＋∞)时，f (x )>g (x )，所以m (x )＝⎩⎨⎧ (x ＋1)ln x ，x ∈(0，x 0]，x 2e x ，x ∈(x 0，＋∞).当x ∈(0，x 0]时，若x ∈(0,1]，m (x )≤0；若x ∈(1，x 0]，由m ′(x )＝ln x ＋1x ＋1>0.可知0<m (x )≤m (x 0)．故m (x )≤m (x 0)．当x ∈(x 0，＋∞)时，由m ′(x )＝x (2－x )e x ，可得x ∈(x 0,2)时，m ′(x )>0，m (x )单调递增；x ∈(2，＋∞)时，m ′(x )<0，m (x )单调递减．可知m (x )≤m (2)＝4e 2，且m (x 0)<m (2)．综上可得，函数m (x )的最大值为4e 2.8.设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0.(1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3， x 2＝－1＋4＋3a 3，x 1<x 2， 所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)内单调递减，在(x 1，x 2)内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0.①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增．所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减．所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a 3处取得最大值． 又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0处和x ＝1处同时取得最小值；当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值． 9.设函数f (x )＝e x x 2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x (k …是自然对数的底数)． (1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝e x ·x 2－2x e x x 4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1x ＝(x －2)(e x －kx )x 3(x >0)， 由k ≤0，知e x －kx >0，令f ′(x )＝0，则x ＝2，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．综上，f (x )的减区间为(0,2)，增区间为(2，＋∞)．(2)由题意知f ′(x )＝0，即e x －kx ＝0在(0,2)内存在两个不等实根． 令g (x )＝e x －kx ，g ′(x )＝e x －k ，令g ′(x )＝0，x ＝ln k ，则0<ln k <2，即1<k <e 2.当0<x <ln k 时，g ′(x )<0，g (x )为减函数．当ln k <x <2时，g (x )为增函数．∵g (0)＝1>0，只需⎩⎪⎨⎪⎧g (2)>0，g (ln k )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧e 2－2k >0，e ln k －k ·ln k <0，得e<k <e 22. 综上可知，k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，e 22 10．已知函数f (x )＝ln x －a (x 2－x )(a ∈R )．(1)当a ＝1时，求f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求f (x )在[1,2]上的最大值．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x 2＋x ，f ′(x )＝1x －2x ＋1. ∴f (1)＝0，f ′(1)＝0，即所求切线方程为：y ＝0.(2)∵f ′(x )＝1x －2ax ＋a ＝－2ax 2＋ax ＋1x，x >0. ∴当a ＝0时，f ′(x )>0，f (x )在[1,2]上单调递增．∴f (x )max ＝f (2)＝ln 2.当a ≠0时，可令g (x )＝－2ax 2＋ax ＋1，x ∈[1,2]，g (x )的对称轴x ＝14且过点(0,1)．∴当a <0时，f ′(x )>0在[1,2]上恒成立，f (x )在[1,2]上单调递增， ∴f (x )max ＝f (2)＝ln 2－2a .当a >0时，若g (1)≤0，即a ≥1时，f ′(x )<0在[1,2]上恒成立． f (x )在[1,2]上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝0.若g (1)>0，g (2)<0，即16<a <1时，f ′(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，a ＋a 2＋8a 4a 上大于零， 在⎝ ⎛⎦⎥⎤a ＋a 2＋8a 4a ，2上小于零， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，a ＋a 2＋8a 4a 上单调递增， 在⎝ ⎛⎦⎥⎤a ＋a 2＋8a 4a ，2上单调递减．∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2＋8a 4a ＝ln a ＋a 2＋8a 4a ＋a 2＋8a ＋a －48. 若g (1)>0，g (2)≥0，即0<a ≤16时，f ′(x )>0在[1,2]上恒成立，f (x )在[1,2]上单调递增，∴f (x )max ＝f (2)＝ln 2－2a .综上：f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln 2－2a ，a ≤16ln a ＋a 2＋8a 4a ＋a 2＋8a ＋a －48，16<a <10，a ≥1.11．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4(a ∈R )，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)当a ＝2时，对于任意的m ∈[－1,1]，n ∈[－1,1]，求f (m )＋f ′(n )的最小值；(2)若存在x 0∈(0，＋∞)，使f (x 0)>0，求a 的取值范围．解 (1)由题意得f (x )＝－x 3＋2x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋4x .令f ′(x )＝0，得x ＝0或43.当x 在[－1,1]上变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：∵f ′(x )＝－3x 2＋4x 的对称轴为直线x ＝23，且抛物线开口向下，∴对于n ∈[－1,1]，f ′(n )的最小值为f ′(－1)＝－7.∴f (m )＋f ′(n )的最小值为－11.(2)∵f ′(x )＝－3x ⎝⎛⎭⎪⎫x －2a 3.①若a ≤0，当x >0时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减．又f (0)＝－4，则当x >0时，f (x )<－4.∴当a ≤0时，不存在x 0>0，使f (x 0)>0.②若a >0，则当0<x <2a 3时，f ′(x )>0；当x >2a 3时，f ′(x )<0.从而f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2a 3上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a 3，＋∞上单调递减， ∴当x ∈(0，＋∞)时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3＝－8a 327＋4a 39－4＝427a 3－4. 根据题意，得4a 327－4>0，即a 3>27，解得a >3.综上，a 的取值范围是(3，＋∞)．1 利用导数证明不等式的常用技巧(1)利用给定函数的某些性质，如函数的单调性、最值、极值等，服务于所要证明的不等式．(2)当给出的不等式无法直接证明时，先对不等式进行等价转化后再进行求证．(3)根据不等式的结构特征构造函数，利用函数的最值进行求证，构造函数的方法较为灵活，要结合具体问题，平时要多积累．其一般步骤为：构造可导函数→研究其单调性求最值→得出不等关系→整理得出所证明的结论．2 导数在研究函数零点中的作用(1)研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等．(2)用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．3 利用导数求解实际问题中的优化问题生活中求利润最大、用料最省、效率最高等问题称之为优化问题．导数是解决生活中优化问题的有力工具，用导数解决优化问题的基本思路是：优化问题→用函数表示的数学问题→用导数解决数学问题→优化问题的答案．利用导数解决实际应用问题一般有如下几类：(1)给出了具体的函数关系式，只需研究这个函数的性质即可；(2)函数关系式中含有比例系数，根据已知数据求出比例系数得到函数关系式，再研究函数的性质；(3)没有给出函数关系，需要先建立函数关系，再研究函数的性质．注意点 函数定义域的重要性在函数的综合应用中，不论是研究函数的性质，还是构造函数，还是建立新的函数关系时，都要正确求出函数的定义域，再利用导数求解.1．思维辨析(1)2ax ＋e x≥x ＋1恒成立，可转化为a ≥x ＋1－e x2x 恒成立．( ) (2)对任意x ∈R ，f (x )≥g (x )恒成立，则f (x )min ≥g (x )max .( )(3)若函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有2个交点，则f (x )－g (x )有2个零点．( )答案 (1)× (2)× (3)√2．在区间(0，π)上，sin x 与x 的大小关系是________．答案 sin x <x解析 构造函数f (x )＝sin x －x ，则f ′(x )＝cos x －1≤0且不恒等于0，故函数f (x )在(0，π)上单调递减，所以f (x )<f (0)＝0，故sin x <x .3．已知函数f (x )＝x ＋1e x .(1)讨论函数f (x )的单调性，并求其最值；(2)若对任意的x ∈(0，＋∞)，有f (x )<ax 2＋1恒成立，求实数a的取值范围．解 (1)f (x )＝x ＋1e x ，f ′(x )＝1－1e x ＝0，则x ＝0.当x ∈(－∞，0)时f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (x )的最小值为f (0)＝1，无最大值．(2)由(1)知，若a ＝0，则当x >0时f (x )>1＝ax 2＋1，原不等式不成立．若a <0，则当x >0时，ax 2＋1<1，原不等式不成立．若a >0，f (x )<ax 2＋1等价于(ax 2－x ＋1)e x >1.设φ(x )＝(ax 2－x ＋1)e x ，那么φ′(x )＝[ax 2＋(2a －1)x ]e x .若a ≥12，则φ(x )＝(ax 2－x ＋1)e x 在(0，＋∞)上单调递增，φ(x )的最小值大于φ(0)＝1，因而(ax 2－x ＋1)e x >1恒成立．若0<a <12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a －2时φ(x )单调递减，φ(x )<φ(0)＝1，原不等式不成立．综上所述，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. [考法综述] 函数与导数的压轴试题，在每年的高考中属于必考内容，其命题方向主要有两个：一是围绕函数的性质考查函数的奇偶性、单调性、周期性、极值、最值，曲线的切线等问题展开，二是围绕函数与方程、不等式命制探索方程根的个数、不等式的证明、不等式恒成立等问题展开．此类压轴试题难度较大，逻辑推理能力较强，在今后的备考中不可小视．命题法1 利用导数证明不等式问题典例1 已知函数f (x )＝e xx e x ＋1. (1)证明：0<f (x )≤1；(2)当x >0时，f (x )>1ax 2＋1，求a 的取值范围． [解] (1)证明：设g (x )＝x e x ＋1，则g ′(x )＝(x ＋1)e x .当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(－1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以g (x )≥g (－1)＝1－e －1>0.又e x >0，故f (x )>0.f ′(x )＝e x (1－e x )(x e x ＋1)2. 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以f (x )≤f (0)＝1.综上，有0<f (x )≤1.(2)①若a ＝0，则x >0时，f (x )<1＝1ax 2＋1，不等式不成立． ②若a <0，则当0<x <1－a时，1ax 2＋1>1，不等式不成立． ③若a >0，则f (x )>1ax 2＋1等价于(ax 2－x ＋1)e x －1>0.(*) 设h (x )＝(ax 2－x ＋1)e x －1，则h ′(x )＝x (ax ＋2a －1)e x .若a ≥12，则当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，h (x )>h (0)＝0.若0<a <12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2a a 时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，h (x )<h (0)＝0.不等式不恒成立．于是，若a >0，不等式(*)成立当且仅当a ≥12.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 【解题法】 利用导数证明不等式的方法(1)证明f (x )≥g (x )或f (x )≤g (x )，可通过构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，将上述不等式转化为求证h (x )≥0或h (x )≤0，从而利用求h (x )的最小值或最大值来证明不等式．(2)关于恒成立问题可以转化为求函数的最值．一般地，f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a 即可；f (x )≤a 恒成立，只需f (x )max ≤a 即可．命题法2 利用导数研究函数的零点问题典例2 已知函数f (x )＝4x －x 4，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间；(2)设曲线y ＝f (x )与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y ＝g (x )，求证：对于任意的实数x ，都有f (x )≤g (x )；(3)若方程f (x )＝a (a 为实数)有两个实数根x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：x 2－x 1≤－a 3＋4 13 .[解] (1)由f (x )＝4x －x 4，可得f ′(x )＝4－4x 3.当f ′(x )>0，即x <1时，函数f (x )单调递增；当f ′(x )<0，即x >1时，函数f (x )单调递减．所以，f (x )的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)证明：设点P 的坐标为(x 0,0)，则x 0＝4 13 ，f ′(x 0)＝－12.曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)，即g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)．令函数F (x )＝f (x )－g (x )，即F (x )＝f (x )－f ′(x 0)·(x －x 0)，则F ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)．由于f ′(x )＝－4x 3＋4在(－∞，＋∞)上单调递减，故F ′(x )在(－∞，＋∞)上单调递减．又因为F ′(x 0)＝0，所以当x ∈(－∞，x 0)时，F ′(x )>0，当x ∈(x 0，＋∞)时，F ′(x )<0，所以F (x )在(－∞，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减，所以对于任意的实数x ，F (x )≤F (x 0)＝0，即对于任意的实数x，都有f(x)≤g(x)．(3)证明：由(2)知g(x)＝－12(x－413)．设方程g(x)＝a的根为x2′，可得x2′＝－a12＋413.因为g(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，又由(2)知g(x2)≥f(x2)＝a＝g(x2′)，因此x2≤x2′.类似地，设曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝h(x)，可得h(x)＝4x.对于任意的x∈(－∞，＋∞)，有f(x)－h(x)＝－x4≤0，即f(x)≤h(x)．设方程h(x)＝a的根为x1′，可得x1′＝a4.因为h(x)＝4x在(－∞，＋∞)上单调递增，且h(x1′)＝a＝f(x1)≤h(x1)，因此x1′≤x1.由此可得x2－x1≤x2′－x1′＝－a3＋413.【解题法】利用导数研究零点问题的方法利用导数研究方程根、函数的零点、图象交点问题的常用方法为：通过导数研究函数的单调性、最值、变化趋势等，根据题目的要求得出图象的走势规律，通过数形结合的思想分析问题，使问题的求解清晰、直观的整体展现．命题法3利用导数求解实际生活中的优化问题典例3某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元，设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.[解] (1)设容器的容积为V ，由题意知V ＝πr 2l ＋43πr 3， 又V ＝80π3，故l ＝V －43πr 3πr 2＝803r 2－43r ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r . 由于l ≥2r ，因此43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r ≥2r ， 整理得40r 2≥5r ，故0<r ≤2.所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c ＝2πr ×43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r ×3＋4πr 2c . 因此y ＝4π(c －2)r 2＋160πr ，0<r ≤2.(2)由(1)得y ′＝8π(c －2)r －160πr 2＝8π(c －2)r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫r 3－20c －2，0<r ≤2. 由于c >3，所以c －2>0，当r 3－20c －2＝0时，r ＝320c －2. 令 320c －2＝m ，则m >0， 所以y ′＝8π(c －2)r 2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2)．①当0<m <2，即c >92时，当r ＝m 时，y ′＝0；当r ∈(0，m )时，y ′<0；当r ∈(m,2)时，y ′>0.所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点．②当m ≥2，即3<c ≤92时，当r ∈(0,2]时，y ′<0，函数单调递减，所以r ＝2是函数y 的最小值点．综合所述，当3<c ≤92时，建造费用最小时r ＝2；当c >92时，建造费用最小时r ＝320c －2. 【解题法】 利用导数解决实际生活中的优化问题的方法(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式y ＝f (x )．(2)求导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0.(3)判断使f ′(x )＝0的点是极大值点还是极小值点．(4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答．一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．1.设f (x )是定义在R 上的可导函数，当x ≠0时，f ′(x )＋f (x )x >0，则关于x 的函数g (x )＝f (x )＋1x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．0D ．0或2答案 C 解析 由f ′(x )＋f (x )x >0，得xf ′(x )＋f (x )x>0，当x >0时，xf ′(x )＋f (x )>0，即[xf (x )]′>0，函数xf (x )单调递增；当x <0时，xf ′(x )＋f (x )<0，即[xf (x )]′<0，函数xf (x )单调递减．∴xf (x )>0f (0)＝0，又g (x )＝f (x )＋x －1＝xf (x )＋1x ，函数g (x )＝xf (x )＋1x 的零点个数等价于函数y ＝xf (x )＋1的零点个数．当x >0时，y ＝xf (x )＋1>1，当x <0时，y ＝xf (x )＋1>1，所以函数y ＝xf (x )＋1无零点，所以函数g (x )＝f (x )＋x －1的零点个数为0.故选C.2．设函数f (x )是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且有2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x ＋2014)2f (x ＋2014)－4f (－2)>0的解集为________．答案 (－∞，－2016)解析 由2f (x )＋xf ′(x )>x 2，x <0得2xf (x )＋x 2f ′(x )<x 3，∴[x 2f (x )]′<x 3<0.令F (x )＝x 2f (x )(x <0)，则F ′(x )<0(x <0)，即F (x )在(－∞，0)上是减函数，因为F (x ＋2014)＝(x ＋2014)2f (x ＋2014)，F (－2)＝4f (－2)，所以不等式(x ＋2014)2f (x ＋2014)－4f (－2)>0即为F (x ＋2014)－F (－2)>0，即F (x ＋2014)>F (－2)，又因为F (x )在(－∞，0)上是减函数，所以x ＋2014<－2，∴x <－2016.3．已知f (x )＝ax －cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，∀x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，x 1≠x 2，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则实数a 的取值范围为________． 答案 a ≤－32解析 f ′(x )＝a ＋sin x .依题意可知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3上为减函数，所以f ′(x )≤0对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3恒成立，可得a ≤－sin x 对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3恒成立．设g (x )＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.易知g (x )为减函数，故g (x )min ＝－32，所以a ≤－32.4．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)单调递增．若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0. 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a 取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0.因此，a 的取值范围是(0,1)．5．设a >1，函数f (x )＝(1＋x 2)e x －a .(1)求f (x )的单调区间；(2)证明：f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点；(3)若曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M (m ，n )处的切线与直线OP 平行(O 是坐标原点)，证明：m ≤ 3a －2e －1.解 (1)f ′(x )＝2x e x ＋(1＋x 2)e x ＝(x 2＋2x ＋1)e x ＝(x ＋1)2e x ≥0，故f (x )是R 上的单调递增函数，其单调增区间是(－∞，＋∞)，无单调减区间．(2)证明：因为f (0)＝(1＋02)e 0－a ＝1－a <0，且f (ln a )＝(1＋ln 2 a )e ln a －a ＝(1＋ln 2 a )a －a ＝a ln 2 a >0，由零点存在性定理知，f (x )在(－∞，＋∞)上至少有一个零点． 又由(1)知，函数f (x )是(－∞，＋∞)上的单调递增函数， 故函数f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．(3)证明：设点P (x 0，y 0)，由曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴平行知，f ′(x 0)＝0，即f ′(x 0)＝(x 0＋1)2e x 0＝0，(x 0＋1)2＝0，x 0＝－1，即P (－1,2e －1－a )．由点M (m ，n )处的切线与直线OP 平行知，f ′(m )＝k OP ，即(1＋m )2e m ＝2e －1－a －0－1－0＝a －2e . 由e m ≥1＋m 知，(1＋m )3≤(1＋m )2e m＝a －2e ， 即1＋m ≤ 3a －2e ，即m ≤ 3a －2e －1.6．已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x >1时，f (x )<x －1；(3)确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0>1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )>k (x －1)．解 (1)f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )>0得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－x 2＋x ＋1>0.解得0<x <1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)．则F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )<0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x >1时，F (x )<F (1)＝0，即当x >1时，f (x )<x －1.(3)由(2)知，当k ＝1时，不存在x 0>1满足题意．当k >1时，对于x >1，有f (x )<x －1<k (x －1)，则f (x )<k (x －1)，从而不存在x 0>1满足题意．当k <1时，令G (x )＝f (x )－k (x －1)，x ∈(0，＋∞)，则G ′(x )＝1x －x ＋1－k ＝－x 2＋(1－k )x ＋1x . 由G ′(x )＝0得，－x 2＋(1－k )x ＋1＝0.解得x 1＝1－k －(1－k )2＋42<0，x 2＝1－k ＋(1－k )2＋42>1. 当x ∈(1，x 2)时，G ′(x )>0，故G (x )在[1，x 2)内单调递增． 从而当x ∈(1，x 2)时，G (x )>G (1)＝0，即f (x )>k (x －1)， 综上，k 的取值范围是(－∞，1)． 7．设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0. (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点． 解 (1)由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)，得 f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx . 由f ′(x )＝0，解得x ＝k .f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的情况如下：∞)；f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2. (2)证明：由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k (1－ln k )2. 因为f (x )存在零点，所以k (1－ln k )2≤0，从而k ≥e. 当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e]上单调递减，且f (e)＝0， 所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点．。