2000-2002 复旦大学、上海交大保送生招生测试数学试题(理科)

2003年复旦大学暨保送生考试数学试题一、填空题（本大题共80分，每题8分） 1、 函数()12y f t x x=-，当1x =时，252ty t =-+，则()fx =_________．2、 方程()2210x a x a +-++=的两根12,x x 在圆224x y +=上，则a =_________．3、 划船时有8人，有3人只能划右边，1人只能划左边，共有________种分配方法．4、(){}22|log 440A x x x =-->，{}|136B x x x =++-≥，则A B = __________．5、 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1k k a k p p =⋅-（1p ≠），则k S =__________．6、 若()()22111x y -+-=，则13y x --的范围是___________．7、 边长为4的正方形ABC D 沿BD 折成60︒二面角，则BC 中点与A 的距离是_________． 8、 已知1||2z =，2||3z =，12||4z z +=，则12z z =__________．9、 解方程3log 2a xx xa=，x =___________．10、 若0a >，lim2nnnn aa→∞+=__________．二、解答题（本大题共120分）11、 已知||1z =，求2|4|z z ++的最小值．12、 已知123,,,,n a a a a 是各不相同的自然数，2a ≥，求证：12311112aaaan a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 13、已知sin cos 2αβ+=cos sin αβ+=tan cot αβ⋅的值．14、 一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数21x y x=+（0x >）的图象上，求此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值．15、 一圆锥的底面半径为12，高为16，球1O 内切于圆锥，球2O 内切于圆锥侧面，与球1O 外切，……，以次类推，（I ）求所有这些球的半径n r 的通项公式；（II ）所有这些球的体积分别为12,,,,n V V V ．求()12lim n n V V V →∞+++ ．16、 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a =，求2003S ．17、 定义闭集合S ，若,a b S ∈，则a b S +∈，a b S -∈．（I ）请给出一个真包含于R 的无限闭集合；（II ）求证对任意两个闭集合12,S S ⊂R ，存在c ∈R ，但12c S S ∉ ．。

20０２年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科)及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第ＩI 卷(非选择题)两部分．第Ｉ卷1至２页．第ＩＩ卷3至9页．共１５0分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共6０分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共6０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.本试卷分第Ｉ卷(选择题)和第ＩI 卷(非选择题)两部分.第Ｉ卷1至2页.第ＩI 卷３至9页.共1５0分.考试时间120分钟.(1）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线y x =的距离是 (Ａ）21 (B ）23 （Ｃ)１ （D ）3 （2)复数3)2321(i +的值是 （A ）i - (Ｂ)i （C ）1- (D ）1(3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（A)}10|{<≤x x (B ）0|{<x x 且}1-≠x（C ）}11|{<<-x x (D ）1|{<x x 且}1-≠x（4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是(A ）)45,()2,4(ππππ （Ｂ)),4(ππ （Ｃ）)45,4(ππ (Ｄ）)23,45(),4(ππππ (5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==,则 （A)N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （Ｄ)∅=N M(6)点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈)上的点的最短距离为(Ａ)0 (B)1 (C ）2 (D)２(7）一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等,那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（A ）43 (B ）54 （C)53 (D)53- (8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为１,侧棱长为2,则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是(A)︒90 (B ）︒60 （C)︒45 (D)︒30(9)函数c bx x y ++=2(),0[+∞∈)是单调函数的充要条件是（A ）0≥b (B)0≤b （Ｃ)0>b （D)0<b(1０)函数111--=x y 的图象是(11）从正方体的6个面中选取３个面，其中有2个面不相邻的选法共有(A ）8种 （B)12种 (Ｃ)16种 (D ）2０种（12)据2０02年３月5日九届人大五次会议《政府工作报告》:“2００1年国内生产总值达到9５９33亿元,比上年增长７.3%”,如果“十•五”期间(2０01年-2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A)１150０0亿元 (Ｂ)１2００00亿元 (C ）127000亿元 (D)1３5000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题４分,共16分.把答案填在题中横线.（1３）函数x a y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为３，则a =(1４）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k(15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是。

2000年上海市普通高等学校招生考试保送生综合能力测试第一部分（7题，共80分）一．（12分）阅读下列内容，回答问题：一位中国老太太喜气洋洋：辛苦一辈子，花了几十年的积蓄，今天终于住进了新买的产权房；一位美国老太太笑容满面：靠贷款买房住了几十年，现在终于还清了贷款，住房产权正式属于自己。

1．两位老太太的消费行为体现了共同的消费原则。

这个原则是什么？2．两位老太太的消费行为有什么不同？3．我国政府在推行货币分房的同时，还积极扩大银行信贷规模，促进住房的商品化。

住房消费的增长，必将带动相关行业的发展。

请用消费功能的有关知识作简要说明。

二．（12分）某学校将举办“历史名城——上海”为主题的小报竞赛。

4．如果你参加这次活动，除教材外还可以通过哪些途径收集相关资料？5．列举1840年至1949年发生在上海的、对全国有重大影响的事件四例（只需写出事件名称）。

6．这一时期，上海群英荟萃，许多人在此为上海或为全国作出了杰出的贡献。

请用50字左右介绍其中一位（应包括其所处时代、主要贡献和你的评价）。

三．（11分）不同国家和地区由于自然环境和经济发展水平的差异，产生的问题不同，采取的对策也不同。

7．当前人口、资源和环境是世界普遍关注的三大问题。

请阅读表格中资料（1991年）回答问题。

发达国家发展中国家自然增长率（%）0.5 2.4少年儿童人口比重（%）21.0 39.0老年人口比重（%）12.0 4.0①发达国家的人口问题主要是可采取的对策是②发展中国家的人口问题主要是可采取的对策是8．地震是突发性很强的自然灾害，大地震可造成严重的人员伤亡和财产损失，防震减灾已引起国家和社会的高度重视。

1950年西藏察隅地区发生8.6级地震，造成3千多人死亡，数千元经济损失；1975年辽宁海城地区发生7.3级地震，造成2千多人死亡，达9亿多元经济损失；1976年河北唐山地区发生7.8级地震，造成24万多人死亡，近100亿元经济损失。

上海交通大学2002年保送生考试数学试题一、填空题（本题共64分，每小题4分）1．设方程x 3=1的一个虚数根为2,1n n ωωω++则(n 是正整数)=__________．2．设a ,b 是整数，直线y =ax +b 和3条抛物线：y =x 2+3,y =x 2+6x +7与y =x 2+4x +5的交点个数分别是2，1，0，则(a ,b )=___________．3．投掷3个骰子，其中点数之积为9的倍数的概率为___________．4．若x ,y ,z >0且x 2+y 2+z 2=1，则222111x y z ++的最小值为___________． 5．若2x -2-x =2，则8x =______________． 6．若a ,b ,c 为正实数，且3a =4b =6c ，则1112a b c +-=_____________． 7．222111(1)(1)(1)23n--- 的值为_____________． 8．函数22sec sec x tgx y x tgx-=+的值域为______________． 9．若圆内接四边形ABCD 的边长AB =4，BC =8，CD =9，DA =7，则cos A =__________．10．若a ,b 满足关系：1=，则a 2+b 2=____________．11．291(1)2x x+-的展开式中x 9的系数是_____________．12．当1a ≤<||x =的相异实根个数共有_____________个．13．若不等式2054x ax ≤++≤有唯一解，则a =_______________．14．设a ,b ,c 表示三角形三边的长，均为整数，且a b c ≤≤，若b =n （正整数），则可组成这样的三角形______个．15．有两个二位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数为_______．16．某市环形马路上顺次有第一小学至第五小学等5所小学，各小学分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交若干台，且要使移交的电脑的总台数最小，因此，从第一小学向第二小学移交了________台，从第二小学向第三小学移交了______台，从第五小学向第一小学移交了________台，移动总数是_________台．二、计算与证明题（本题共86分）17．（本题12分）（1）设n 为大于2的整数，试用数学归纳法证明下列不等式： (1)22211111223n n ++++<- ；(2)已知当2sin 01,116x x x x<≤-<<时， 试用此式与(1)的不等式求1111lim(sin12sin 3sin sin )23n n n n→∞++++18．（本题14分）若存在实数x ，使f (x )=x ，则称x 为f (x )的不动点，已知函数2()x a f x x b +=+有两个关于原点对称的不动点(1) 求a ,b 须满足的充要条件；(2) 试用y =f (x )和y =x 的图形表示上述两个不动点的位置（画草图）19．（本题14分）欲建面积为144m 2的长方形围栏，它的一边靠墙（如图），现有铁丝网50m ，问筑成这样的围栏最少要用铁丝网多少米？并求此时围栏的长度．20．（本题14分）设数列{a n }满足关系2121(1,2,)n n a a n +=-= ，若N 满足1(2,3,)N a N == ，试证明：(1) 1||1a ≤； (2) 12cos 2N k a π-= （k 为整数）21．（本题16分）设()|lg |,,f x x a b =为实数，且0,,()()2()2a b a b a b f a f b f +<<==若满足 试写出a 与b 的关系，并证明在这一关系中存在b 满足3<b <422．（本题16分）A 和B 两人掷骰子，掷出一点时，原掷骰子的人再继续掷，掷出不是一点时，由对方接着掷，第一次由A 开始掷，设第n 次由A 掷的概率是P n ．试求：(1) P n +1用P n 表示的式子；(2) 极限lim n n P →∞。

上海交通大学外国留学生本科入学考试（样题）科目：数学（理科） 建议用时：90分钟一、 选择题 (每小题4分, 共48分)1. 设2{|1},{|4},P x x Q x x =<=<则P Q = ( ) (A) {|12}x x -<< (B){|31}x x -<<- (C) {|14}x x <<-(D){|21}x x -<<2．复数=+4)11(i( )(A) i 4 (B) i 4- (C) 4 (D) 4-3. 不等式21≥-x x 的解集为( )(A) ),1[∞+- (B) )0,1[- (C)]1,(--∞ (D)),0(]1,(∞+--∞4. 计算：(1)(2)lim(21)(21)n n n n n →∞++=-+( )(A) 1(B)21(C)41(D) 45. 下列函数中，偶函数的是 （ ）)(A ()02>=x x y)(B ()0<=x x y )(C ()R x xy ∈=32)(D ()R x xy ∈=316．过点()0,1且与直线022=--y x 平行的直线方程是 ( ) (A) 012=+-y x (B) 012=--y x (C)022=-+y x (D) 012=-+y x7. 若直线043=++k y x 与圆05622=+-+x y x 相切,则=k ( )(A) 1或19- (B) 10或1- (C) 1-或19- (D) 1-或198．若2cos sin 2cos sin =-+αααα，则=αtan（ ）(A)43(B)- 1 (C)1(D)34-9．圆02222=+-+my x y x 的圆心在直线0=+y x 上，则实数m 的值为 ( )(A) 1 (B)－1 (C)2 (D)－210. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 ( )(A)201 (B) 103 (C) 203(D) 5111．函数234x x y --+=的定义域为 （ ）(A)[4,1]- (B)[4,0)- (C)(0,1] (D) [4,0)(0,1]-12. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是 ( ) (A)43 (B)6 (C)3 (D) 12二. 填空题: （每题5分，共40分）13. 方程1)3lg(lg =++x x 的解=x 14. 已知等差数列{}n a 中，12543=++a a a ，则=++++7621a a a a15．已知()a b x →=→=()121，，，，且a b →+→2与2a b →-→平行，则x =16. 函数)21(log 221++=x x y 的值域是17. 已知圆07622=--+x y x 与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则抛物线的方程是18. 与双曲线12422=-y x 有相同的焦点，且经过点)1,2(P 的椭圆方程是19. 设a 为常数且0≠a ，已知9)(a x +和8)1(+ax 这两个展开式中4x 的系数相等，则a =20. 过点(2,-2),且与双曲线2222=-y x 有相同渐近线的双曲线方程为_____________三. 解答题 (每小题6分, 共12分)21. 已知函数,cos cos sin 3)(2m x x x x f ++=其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx ，R m ∈ 若)(x f 的最小值为2，求)(x f 的最大值22．已知F 是抛物线x y 42=的焦点，B A ,是抛物线上的两个点，线段AB 的中点为)2,2(M ，求ABF ∆的面积参考答案（理科）一. 选择题: （每题4分，共48分）1 2 3 4 5 6 D D B C C B 7 8 9 10 11 12 ACACDA二. 填空题: （每题5分，共40分）13. 2 17. x y 42=14. 28 18. 12822=+y x 15. 12 19. 9516. -∞(，]2 20. 14222=-x y三. 解答题: （每题6分，共12分）21. 解：.21)62sin(22cos 12sin 23)(m x m x x x f +++=+++=π．.27)(,6,262,25)62sin()(.2.)6()(,36max min ===+∴++=∴==-=≤≤-x f x x x x f m m f x f x 时即当由已知时当πππππππ22. 2。

2000年上海交通大学联读班数学试题1. 直线y ax b =+关于y x =-的对称直线为_______________。

2. 已知,,a b c 是ABC 的三边，1a ≠，b c <，且满足log log 2log log b c c b b c c b a a a a +-+-+=，则ABC 是_______________的三角形。

3. 已知()887871031x a x a x a x a +=++++ ，则86420a a a a a ++++=_______________。

4. 已知()f x 满足：()()()111f x f x f x -+=+，则()f x 的最小正周期是_______________。

5. 已知()f x 是偶函数， ()2f x -是奇函数，且()01998f =，则()2000f =_______________。

6. ,,a b c 是ABC 的三边，且()()()::4:5:6b c a c a b +++=，则sin :sin :sin A B C =_______________。

7. n 是十进制的数，()f n 是n 的各个数字之和，则使()20f n =成立的最小的n 是_______________。

8. 7sin sin 12127cos cos 1212ππππ+=+_______________。

9. 函数()f x =()x R ∈的反函数是_______________。

10. 已知数列n nn a k =（k 是不等于1的常数），则123n a a a a ++++= _______________。

11. 从自然数1至100中任取2个相乘，其结果是3的倍数的情况有种_______________。

（取出的数不分先后）12. 己知()f x 在0x 处可导，则()()22003lim h f x h f x h h→∞+--=_______________。

复旦大学2000年保送生招生测试数学试题（理科）一、填空题（每小题10分，共60分）1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第n 组含n 个数，即1；2，3；4，5，6；……．令a n 为第n 组数之和，则a n ＝________________． 2．222sin sin ()sin ()33ππααα+++-＝______________．3．222lim[(2)log (2)2(1)log (1)log ]n n n n n n n →∞++-+++＝_________________． 4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成60度角，则两对角面面积之比为__________________．5．正实数x ,y 满足关系式x 2-xy +4＝0，又若x ≤1，则y 的最小值为_____________．6．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了______________米．二、解答题（每小题15分，共90分）1．数列{a n }适合递推式a n +1＝3a n +4，又a 1＝1，求数列前n 项和S n ．2．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明．3．正六棱锥的高等于h ，相邻侧面的两面角等于12arcsin2，求该棱锥的体积．(1cos124π=)4．设z 1,z 2,z 3,z 4是复平面上单位圆上的四点，若z 1+z 2+z 3+z 4=0．求证：这四个点组成一个矩形．5．设(1n n n x y +=+x n ,y n 为整数，求n →∞时，n n x y 的极限．6．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请证明你的结论．。

2000年普通高等学校招收保送生综合能力测试(上海卷)佚名
【期刊名称】《化学教学》
【年(卷),期】2001(000)001
【摘要】@@ 一、(本题12分)阅读下列内容,回答问题rn一位中国老太太喜气洋洋:辛苦一辈子,花了几十年的积蓄,今天终于住进了新买的产权房;一位美国老太太笑容满面:靠贷款买房住了几十年,现在终于还清了贷款,住房产权正式属于自己.
【总页数】5页(P26-30)
【正文语种】中文
【中图分类】G632.479
【相关文献】
1.简评2000年普通高等学校招收保送生综合能力测试(上海卷) [J], 胡一毅
2.关注人文价值--2000年普通高等学校招收保送生《综合能力测试》评析及启示[J], 张勇
3.1999年普通高等学校招收保送生综合能力测试（上海卷） [J],
4.2000年普通高等学校招收保送生综合能力测试(上海卷) [J], 胡一毅
5.对2000年普通高等学校招收保送生综合能力测试卷数学题的探讨 [J], 童晓平因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。