上海交通大学 自主招生 数学试题

年上海交通大学自主招生试题解析福建省厦门市叶超杰1.已知解：因为，则2.已知，试解：易知当时则3.已知方程各个实根为，同侧，求的取值范围解：因为，则与两点，则易知4.已知复数满足，求负实数的值解：，因为，则情形一：当时，则解得情形二：当时，则，所以此时无解综上所述：5.若方程的三个根可以作为三角形的三边长，求的范围解：因为，则，令且，解得情形一：当，满足题意，则此时情形二：当即解得6.对于的最小值解：，所以时，又则所以时，即，此时7.已知数列，若，求的最小值解：因为所以的最小值为8.展开式中奇次幂的项的和为解：由题意可知则9.解：而所以，当且仅当时，等号成立10.，在线段上，在线段上，在线段上，且满足，若解：设，则而此时由三元均值不等式可知当且仅当时，等号成立11.对定义域内任意的，，则称为凸函数，下列函数是凸函数的是（）解：易知选12.已知复数所对应的点为，，且满足的面积解：设，因为，则情形一：当而情形二：当13.实数解：解得当且仅当时，等号成立14.15.数列是的末两位数，求解：易知数列的周期为，而所以16.，则（）解：因为则所以同理可得17.定义平面上两点，若平面上一点到，的折线距离之和最小，则点坐标为解：设点，则折线距离之和由绝对值的几何意义可知此时点坐标为18.已知的充要条件是（）解：由题意可知当抛物线与圆相切时整理可得而，解得故选。

2022年上海交通大学强基校测数学试题及参考答案1.等比数列{}n a ，31-=a ，8736=S S ，=∞→n n S lim （）A .不存在B.32 C.32-D.2-2.集合{}t A ,2,1=，{}A a aB ∈=2，B A C =，C 中元素和为6，则元素积为（）A .1 B.1- C.8D.8-3.z y x ,,为正整数，求xzyz xy z y x ++++2221010的最小值为.4.直线14=+y kx 垂直⎩⎨⎧+=-=ty tx 4132（t 为参数），k 值为（）A .3B.3- C.31 D.31-5.()()06cos >⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ωπωx x f ，()⎪⎭⎫⎝⎛≤4πf x f 对R x ∈∀恒成立，则ω的最小值为（）A .23B.1C.31 D.326.椭圆C ：144222=+b y x ，B A P ,,在椭圆C 上，AP k ，BP k 为相反数（k 与k -），则AB k 与（）A .k b ,有关，与P 点无关B.P 点，k b ,有关C.k P ，有关，与b 无关D.b P ,有关，与k 无关7.03cos 3cos 2=--θρθρ表示（）A .一个圆B.一个圆与一条直线C.两个圆D.两条线8.1===c a b ，21=⋅b a ，则()()c b b a-+2的最小值为（）A .33+ B.33- C.22+ D.22-9.()551051x a x a a x +++=- ，求()()53112a a a a a +++的值.10.正四面体装水到高度的21，问倒置后高度至何处.11.使()()()03cos 3sin 333=-+--+-x k x x x 有唯一解得k 有（）A .不存在B.1个C.2个D.无穷多个12.两个圆柱底面积21S S ，，体积21V V ，，侧面积相等，2321=V V ,求21S S的值.13.双曲线112422=-y x ，焦点为B A ,，点C 在双曲线上，53cos =∠ACB ，求ABC ∆周长.14.{}100,21 ，，=A ，{}A x x B ∈=3，{}A x x C ∈=2，求CB 中元素的个数.15.()()()0ln 22122>++-=a x x a ax x f 在⎪⎭⎫⎝⎛121，中有极大值，则a 的取值范围为（）A .()2,1 B.()∞+，1 C.()∞+，2 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e16.☉1O ,☉2O 与kx y =，x 轴正半轴均相切，221=r r ，交点()22，P ，则=k （）A .1B.34C.43 D.2117.偶函数()x f 满足()()()224f x f x f +=+，求()2022f .18.()22022sin x x =π实根个数为.19.求方程6cos sin π=+x x 的根为.20.21F F ，为双曲线两焦点（焦点在x 轴），直线AB 经过1F 且与双曲线左右两支交于点A ,B ,︒=∠=1202211AF F AB AF ，，求双曲线的离心率.21.()21--++=x x x x f ，()()01=+x f f 根的个数为（）A .1 B.2 C.3 D.022.ABC ∆，M 为平面上一点，AC AB AM 4132+=，=∆∆BCM ABM S S （）A .3 B.8C.38D.8323.已知集合(){}Z y Z x y x y x A ∈∈≤+=,,2,22，则A 中元素的个数为（）A .4 B.5 C.8 D.924.=︒+︒15sin 2215tan （）A .3 B.2C.2D.125.空间中到正方体1111D C B A ABCD -棱11D A ，AB ，1CC 距离相等的点有（）A .无数B.0C.2D.326.0>>b a ，则ba b a a -+++14的最小值为（）A .32 B.2103 C.23 D.427.多项式()()x g x f ，，问两命题“()x f 是()x g 因式”，“()()x f f 是()()x g g 因式”充分必要条件.28.等势集合指两个集合间一一对应，下列为等势集合的是（）A .[]1,0与{}10≤≤E E B.[]1,0与{}d c b a ,,,C.()1,0与[]1,0 D.{}3,21，与与{}d c b a ,,,29.()()121ln 2+-+-=x m mx x x f ，对0>∀x ，()0≤x f ，求整数m 的最小值.30.数列{}n a ，22621221=+-==++n n n a a a a a ，，，求∑=202211i ia .31.椭圆()319222>=+a y a x ，弦AB 中垂线过⎪⎭⎫⎝⎛-0,5a ，离心率e 的取值范围.32.椭圆1422=+y x 的焦点21F F ，，点P 在03432=-+y x 上，当21PF F ∠最大时，则=21PF PF （）A .315 B.53 C.35 D.51533.ABC ∆中，C B A 93==，=++A C C B B A cos cos cos cos cos cos （）A .41 B.41-C.31 D.31-34.8个点将半圆分成9段弧，以10个点（包括2个端点）为顶点的三角形中钝角三角形有（）个.A .55 B.112 C.156D.12035.410=a ，n n n a a a +=+21,求⎦⎤⎢⎣⎡+∑=2022011i i a 的值.36.()xx x x f 312+++=的反函数为()x g ，()()122=xg 的根有（）个.A .1B.2C.3D.437.()2235lim2=---→x x f x ，()33=f ，()x f 在()()33f ，处切线方程为（）A .092=++y x B.092=-+y x C.092=++-y x D.092=-+-y x参考答案1.D 解析：∵等比数列{}n a ，31-=a ，8736=S S ，∴871136=--q q ，解得21-=q ，∴()⎪⎭⎫⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2112113n n S ，∴2lim -=∞→nn S .2.D解析：∵{}t A ,2,1=，{}A a aB ∈=2，∴B ∈1，B ∈4，B t ∈2，∴C ∈1，C ∈4，C t ∈2，若12=t ，则1=t （舍去）或1-=t ，此时{}1421-=，，，C ，符合题意，∴C 中的元素的积为()81421-=-⨯⨯⨯，若22=t ，则2=t 或2-=t ，此时{}24,2,1，=C 或{}24,2,1-=，C ，与已知C 中的元素和为6不符，若t t =2，则0=t 或1=t （舍去），此时{}0421，，，=C ，也与已知C 中的元素和为6不符，若t t ,2,12≠,则{}2421t t C ，，，，=，则64212=++++tt ，即012=++t t ,方程无解，综上，C 中元素积为8-.3.解：引入参数k 值，使之满足()()21021010102222222222z y k z z k ky kx z y x +-++-++=++()()xz yz k kxy +⋅-+≥1022，依据取等号的条件，有()t k k =-=1022,整理得4=t ，故xzyz xy z y x ++++2221010的最小值为4.4.B解析：⎩⎨⎧+=-=ty tx 4132（t 为参数），消去参数t 可得，01134=-+y x ，∵直线14=+y kx 垂直⎩⎨⎧+=-=ty t x 4132，∴1344-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-k ，解得3-=k .5.D解析：由题意可得()x f 的最大值为⎪⎭⎫⎝⎛4πf ，且为1，则Z k k ∈=-，ππωπ264，解得Z k k ∈+=，328ω，由0>ω，可得0=k 时，ω的最小值为32.6.D解析：设()n m P ,，则直线P A 的方程为()m x k n y -=-，()⎪⎩⎪⎨⎧+-==+n m x k y by x 144222，消去y 得()()0422222222222=-+-+-++b n mkn m k x mk nk x k b，∴22222k b mk nk x m A +--=+，∴m k b mk nk x A -+--=22222，n m k b mk nk k y A +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=222222，同理可得：m k b mk nk x B -++=22222，n m k b mk nk k y B +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=222222，nmb x x y y k B A B A AB22=--=.7.B解析：∵03cos 3cos 2=--θρθρ，∴()()01cos 3=+-θρρ，解得3=ρ或1cos -=θρ，∵θρρcos 222=+=x y x ，，∴1922-==+x y x ，或，∴03cos 3cos 2=--θρθρ表示一个圆或一条直线.8.B 解析：∵1===c a b ，21=⋅b a ，可设()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==23,210,1a b ，，()[)πααα2,0sin ,cos ∈=，c，∴()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=-+3sin 33sin 23cos 2332παααc b b a ，∴当13sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα时，()()c b b a -+2的最小值为33-.9.解：当0=x 时，10=a ；当1=x 时，0543210=+++++a a a a a a ；当1-=x 时，32543210=-+-+-a a a a a a ，以上两式相减得，32222531-=++a a a ，则16531-=++a a a ，又根据二项展开式可得，5151-=-=C a ，10252==C a ，则521=+a a ，则()()8053112-=+++a a a a a .10.解：设正四面体的底面积为S ，高为h ，体积为Sh V 31=，正四面体装水到高度的21，则上面无水部分也为正四面体，底面积为S 41，高为h 21，体积为V h S 81214131=⋅⋅，倒置后，下面正四面体的体积是V 87，即有水部分的体积与原正四面体的体积比为8787=V V，∴倒置后高度至原正四面体的273.11.B 解析：令t x =-3，则0cos sin 3=++t k t t t，设()t k t t t f tcos sin 3++=()R t ∈，则()()()=-+--=--t k t t t f tcos sin 3()t f t k t t t=++cos sin 3，∴()t f 为偶函数，则函数()t f 的图象关于y 轴对称，由偶函数的对称性，若()0=t f 的零点不为0=t ，则有()01=t f ，必有()01=-t f ，不满足()0=t f 的唯一性，∴只能是()00=f ，即00cos 03=++k ，解得1-=k ，故k 只有唯一一个.12.解：设两圆柱的底面半径为21,r r ，高为21,h h ，由题意可得：221122h r h r ππ=，即1221h h r r =，且232112222122212121==⨯==r r r r r r h r h r V V ππππ，从而49222121==r r S S ππ.13.解：双曲线112422=-y x ，可得42==c a ，，()()0404，，，B A -，不妨设C 在第一象限，由双曲线的定义可知42==-a CB AC ，可得16222=-+BC AC BC AC，53cos =∠ACB ，由余弦定理可得ACB BC AC BC AC AB ∠-+=cos 2222,即5326422⨯-+=BC AC BC AC ，解得10=AC ，6=BC ，8=AB ，则ABC ∆的周长为24.14.解：由题意可知，集合B 中的元素为300以内3的倍数，集合C 中的元素为200以内2的倍数，∴C B 中元素为200以内6的倍数，∴元素共有336200≈，即C B 中共有33个元素.15.A 解析：由题得()()xa ax x f 221++-='，∵()()()0ln 22122>++-=a x x a ax x f 在⎪⎭⎫⎝⎛121，中有极大值，∴方程()()0221=++-='x a ax x f 在⎪⎭⎫⎝⎛121，内有解，∴x a 1=在区间⎪⎭⎫⎝⎛121，有解，故()2,11∈=x a ，则a 的取值范围为()2,1.16.B 解析：如图，☉1O ,☉2O 均与kx y =相切，则两圆交点()2,2P 在直线kx y =的右下方，而OP 所在直线的侠侣为1，可得1>k ，综合选项可知，34=k .17.解：由偶函数()x f 满足()()()224f x f x f +=+，令2-=x ，则()()()2222f f f +-=，即()()022=-+f f ，又()()22f f =-，可得()02=f ，∴()()x f x f =+4，即()x f 的最小正周期为4，∴()()()022********==+⨯=f f f .18.4044解析：设()()()22022sin x x g x x f ==，π，∴()()111==-g g ，1>x 或1-<x 时，()1>x g ，()1≤x f ，两者无交点，∴()()x x f π2022sin =的周期为1011120222==ππT ，在[]1,0上有1011个周期，在[)0,1-上有1011个周期，()()02022sin 1=-=-πf ，()()02022sin 1==πf ，1-=x 在()x f 增区间上，1=x 在()x f 减区间上，因此在[]1,1-上的每个区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-101111,10111k k ()2021,*≤∈k N k 上，()x f 与()x g 的图象都是两个交点，共4044个交点，即原方程有4044个解.19.无实数解解析：∵方程6cos sin π=+x x ，两边平方可得：36cos sin 2cos sin 222π=++x x x x ，∴362sin 12π=+x ，∴01362sin 2<-=πx ，因此方程无实数解.20.解：如图，∵︒=∠=1202211AF F AB AF ，，设x AB AF 221==，则a x BF x a AF 23222-=+=，，且︒=∠602BAF ，∴在2ABF ∆中，22222BF AB AF +=，可得()()()()︒⋅+⋅⋅-++=-60cos 2222223222x a x x a x a x ，……①在21F AF ∆中，2221221AF AF F F +=,可得()()()︒⋅+⋅⋅-++=120cos 2222222x a x x a x c ，……②可得：a x 2=且ax a x c 6434222++=，代入可得a c 7=，故离心率7=e .21.C 解析：当1-≤x 时，()()()321--=-+-+-=x x x x x f ，当01<<-x 时，()()121-=-+-+=x x x x x f ，当20≤≤x 时，()()1321-=-+++=x x x x x f ，当2>x 时，()()321+=--++=x x x x x f ，作出()x f 的图象如图：设()x f t =，由()01=+t f ，得()1-=t f ，得0=t 或2-=t ，当0=t 时，()0=x f ，有两个根；当2-=t 时，()2-=x f ，有1个根；综上，()()01=+x f f 根的个数为3个22.A 解析：如图，延长AM 交BC 于G ，则()AC AB AG λλ-+=1，∵G M A ,,三点共线，∴AM t AG =，即()⎪⎭⎫⎝⎛+=-+AC AB t AC AB 41321λλ，∴41321=-λλ，则381=-λλ，故118=λ且1112=t ，又CB CG λ=，故CB CG 118=，∴83=CG BG ，121=GA GM ,∴ABM ABM BGM BMC S S S S ∆∆∆∆=⨯==31111311311，∴=∆∆BCM ABM S S 3.23.D 解析：根据题意：()()()()()()()()()(){}1,1,0,1,1,1,1,0,0,0,1,0,1,1,0,1,1,1,------=y x A 共9个元素，是平面直角坐标系中9个点.24.D 解析：原式()()1426223313313045sin 223045tan =-⨯++-=︒-︒+︒-︒=.25.A 解析：在正方体1111D C B A ABCD -上建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为1，连接D B 1，并在D B 1上任取一点P ，∵()111，，=DB ，∴()a a a P ,,，其中10≤≤a ，作PE ⊥平面D D AA 11，垂足为E ，再作11D A EF ⊥，垂足为F ，则PF 是点P 到直线11D A 的距离，∴()221a a PF -+=，同理点P 到直线1CC AB 、的距离也是()221a a -+，∴D B 1上任一点与正方体1111D C B A ABCD -的三条棱11D A ，AB ，1CC 所在直线的距离都相等，∴与棱11D A ，AB ，1CC 距离相等的点有无数个.26.C 解析：∵0>>b a ，则ba b a b a b a b a b a a -+-++++=-+++12421423122422=-⋅-++⋅+≥ba b a b a b a ，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=-=+222b a b a ，即22333==b a ，时取等号.27.解：不充分反例：设()()()11-=-=x x x g x x f ，，故()()2-=x x f f ，()()()()112---=x x x x x g g ，故不充分，不必要反例：设()()()121-=+=x x xg x x f ，，故()()1+=x x f f ，()()()()112+++=x x x x x g g ，故不必要.∴“()x f 是()x g 因式”是“()()x f f 是()()x g g 因式”的既不充分又不必要条件.28.A 解析：根据等势集合的定义可判断选项A 正确.29.解：当0=m 时，()1ln ++=x x x f ，此时()01>f 不合题意，当1=m 时，()1ln 2+--=x x x x f ，()()()xx x x x x x x x f --+=--+=--='121121212∴当210<<x 时，()0>'x f ，()x f 单调递增；当21>x 时，()0<'x f ，()x f 单调递减.函数的最大值为016ln ln 1214121ln 2144<-=+--=⎪⎭⎫⎝⎛e f ，即1=m 满足题意，下面证明当1≥m 时，()0≤x f 对0>x 恒成立，由于()()()()x m mx x m mx x x f 21121122-+-=+-+--≤,其对称轴为0121221<-=-=mm m x ，故当0>x 时，()0<x f ，综上可得，整数m 的最小值为1.30.解：∵2212=+-++n n n a a a ，∴()()2112=---+++n n n n a a a a ，设n n n a a b -=+1，则21=-+n n b b ，且426121=-=-=a a b ，∴数列{}n b 是首项为4，公差为2的等差数列，∴()()12214+=⨯-+=n n b n ，即()121+=-+n a a n n ，∴()()()112211a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- ()()226122+-++-+= n n ()[]()()12121212+=⨯+⨯=+++-+=n n n n n n ，∴()111111+-=+=n n n n a n ，∴2023202220231120231202213121211120221=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑= i ia .31.解：设()()2211,,y x B y x A ，，21x x ≠，令92=b ，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+115522222222122122222121b y a x b y a x y a x y a x ，即()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=-+-22222222122221122221222152x a b b y x a b b y x x a y y x x ，∴()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-22222112152a b x x x x a，∴()2232152a b a x x -=+，∵a x a ≤≤-1，a x a ≤≤-2，∴a x x a 2221<+<-，则()a ab a 252223->-，即5422<a b ，∴511222>-=ab e ，又10<<e ，∴155<<e ，即离心率e 的取值范围为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛155，.32.A 解析：由题意可得()0,32F ，且直线03432=-+y x 与x 轴的交点()0,34B ，由平面几何知识可得：当过1F 与2F 的圆与直线03432=-+y x 相切时，切点P 满足21PF F ∠最大，此时圆心A 在y 轴上，设()t A ,0，则圆的半径2AF AP r ==,又P BF APF 12∠=∠,∴P BF BPF 12~∆∆，∴()2222222221BF AF AB BF AP AB BF PBPF PF -=-==()()31533533343342222==---+=bb .33.B 解析：∵在ABC ∆中，C B A 93==，∴13π=C ，∴AC C B B A cos cos cos cos cos cos ++()()()()()()[]C A C A C B B C B A B A -+++-+++-++=cos cos cos cos cos cos 21()C C C C C C 12cos 10cos 8cos 6cos 4cos 2cos 21+++++=⎪⎭⎫⎝⎛+++++=13121310cos 138cos 136cos 134cos 132cos 21ππππππ又⎪⎭⎫ ⎝⎛-=13sin 133sin 21132cos 13sinππππ；⎪⎭⎫⎝⎛-=133sin 135sin 21134cos 13sin ππππ；⎪⎭⎫ ⎝⎛-=135sin 137sin 21136cos 13sinππππ；⎪⎭⎫ ⎝⎛-=137sin 139sin 21138cos 13sin ππππ；⎪⎭⎫ ⎝⎛-=139sin 1311sin 211310cos 13sinππππ；⎪⎭⎫⎝⎛-=1311sin 1313sin 211312cos 13sin ππππ；上述各式相加得：211312cos 1310cos 138cos 136cos 134cos 132cos-=+++++ππππππ.34.B 解析：根据题意，如图：在10个点中，任意三点不共线，在其中任意3个点，可以组成120310=C 个三角形，其中没有锐角三角形，直角三角形有8个，（包含AB 两点在内个三角形），则钝角三角形有120-8=112个.35.解：∵()121+=+=+n n n n n a a a a a ，∴()1111111+-=+=+n n n n n a a a a a ，即n n n a a a 11111+-=++，∴111111112022102022++++++=+∑=a a a ai i ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=202220231201111111a a a a a a 2023202301411a a a -=-=，∵n n n n a a a a >+=+21，∴n n a a 111<+，且15>a ，∴12023>a ，∴1102023<<a ∴31411202320220=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎦⎤⎢⎣⎡+∑=a a i i .36.D 解析：∵()()122=x g ，∴()12±=x g ，当()12=xg 时，()731211=+++=f ，令72=x ，解得7±=x ；当()12-=x g 时，()31312111=++-=--f ，令312=x ，解得33±=x ；∴方程()()122=xg 的根有4个.37.B 解析：∵()2235lim2=---→x x f x ，()33=f ，令2-=∆x x ，∴()()()()()2333lim 33lim 00='-=∆--∆--=∆-∆-→∆→∆f xf x f x f x f x x ，解得()23-='f ，∴()x f 在()()33f ，处切线方程为()323--=-x y ，即092=-+y x .。

2006年上海交通大学冬令营选拔测试
数学试题
说明：考试时间2小时，考生根据自己情况选题作答，综合优秀或单科突出给予A的认定。

满分l00分。

一、填空题(每题5分．共50分)
1．矩形中，，，过作相距为的平
行线，则．
2．一个正实数与它的整数部分，小数部分成等比数列，那么这个
正实数是．
3．的末尾有连续个零．
4．展开式中，项的系数为．
5．在地面距离塔基分别为100、200、300的处测得塔顶的仰角分别为，且，则塔高为．
6．三人玩剪子、石头、布的游戏，在一次游戏中，三人不分输赢的概率为；在一次游戏巾，甲获胜的概率为．
7．函数在上单调递增，则实数的取值范围
是.
8．是的非实数根，．
9．2张100元，3张50元，4张10元人民币，共可组成种不同的面值．
10.已知，则数列()前l00项和为.
二、解答题(第11题8分，第12、13、14题每题10分，第15题12分)
11.,,有两个相等根，
求证：成等差数列
12．椭圆，一顶点，是否存在这样的以为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形，若存在，求出共有几个．若不存在，请说明理由．
13．已知，是实数，是复数，求的最大值．
14．若函数形式为，其中为关于的多项式，
为关于的多项式，则称为类函数，判断下列函数是否是类函数，并说明理由．
(1)；
(2)．
15．设，解方程．。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的图像与x轴的交点坐标。

A. (1, 0)，(3, 0)B. (0, 1)，(3, 1)C. (1, 3)，(3, 1)D. (0, 3)，(3, 1)2. 已知等差数列{an}的公差d=2，若a1+a5=18，求a3的值。

A. 8B. 10C. 12D. 143. 在平面直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(5, 7)，求线段AB的中点坐标。

A. (3, 5)B. (4, 6)C. (5, 7)D. (7, 9)4. 已知复数z = 3 + 4i，求z的模。

A. 5B. 7C. 9D. 115. 已知三角形ABC的边长分别为a、b、c，且满足a+b+c=12，a^2+b^2=c^2，求三角形ABC的面积。

A. 6B. 8C. 10D. 126. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求f(x)的极值点。

A. x=1，x=2B. x=1，x=3C. x=2，x=3D. x=1，x=47. 已知等比数列{an}的公比q=2，若a1+a3+a5=24，求a2的值。

A. 6B. 8C. 10D. 128. 在平面直角坐标系中，点P(1, 2)，点Q(4, 6)，求线段PQ的长度。

A. 3B. 4C. 5D. 69. 已知复数z = 1 - 3i，求z的共轭复数。

A. 1 + 3iB. 1 - 3iC. -1 + 3iD. -1 - 3i10. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的图像与y轴的交点坐标。

A. (1, 0)，(3, 0)B. (0, 1)，(3, 1)C. (1, 3)，(3, 1)D. (0, 3)，(3, 1)11. 已知等差数列{an}的公差d=-2，若a1+a5=18，求a3的值。

上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题(每小题5分，共50分)1 设函数f(x)满足2f(3x) f (2 3x) 6x 1，贝卩f(x) ________________________ .2.设a,b,c均为实数，且3a 6b 4，则1丄.a b3 .设a 0且a 1 ,则方程a x 1 x2 2x 2a的解的个数为____________ .4. _______________________________________________ 设扇形的周长为6,则其面积的最大值为___________________________ .5. 1 1! 2 2! 3 3! L n n! ____________________ .6•设不等式x(x 1) y(1 y)与x2 y2 k的解集分别为M和N.若M N ,贝H k的最小值为___________ .7 设函数f(x)- , 则xS 1 2 f (x) 3f2(x) L nf n1(x) _____________ .8 .设a 0 ,且函数f (x) (a cosx)(a sin x)的最大值为空,则2a ________________ .9. 6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 _______________ .10. 已知函数f1(x)気」，对于n 1,2,L，定义f n 1(x) f1(f n(x))，若x 1f35 ( x) f s(x)，贝S f28(X) _____________ .二、计算与证明题(每小题10分，共50分)11.工件内圆弧半径测量问题.为测量一工件的内圆弧半径R，工人用三个半径均为r的圆柱形量棒O1Q2Q3放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒02顶侧面的垂直深度h，试写出R用h表示的函数关系式，并计算当r 10mm, h 4mm 时，R 的值.12. 设函数f(x) |sinx cosx，试讨论f(x)的性态(有界性、奇偶性、单调性和周期性)，求其极值，并作出其在0,2内的图像.13. 已知线段AB长度为3，两端均在抛物线x y2上，试求AB的中点M 到y轴的最短距离和此时M点的坐标.参考答案:1. 2x 12. 1丄3. 2 4. n 1 ! 1 6. 242410.7. 11. !n n 12n11 2n 1 42 2R r r ,h12.1^.21k 2d min14.略; 反证法x 08.x 060mm15. 2 29.；周期为2；3; 3 43 45222n2008年交大冬令营数学试题参考答案 1.若 f(x)2 1 3厂，g(x) f1(x)'则 g(5)2x 3 5 3x2008.1.1xH 的最大值为 ------------ .13 .等差数列中，5a 8 3^3，则前n 项和S n 取最大值时,2.函数y.204 .复数|z| 1 ,若存在负数a 使得z 2 2az a 25.若 cosx sin xcos 3x2.3sin x111613.n 的值为a 0，则6.数列a.的通项公式为a n1 nn 1 (n 1). n,则这个数列的前 99乙厂生产的占20%甲厂商品的合格率为95%乙厂商品的合格率为 90%若某人购买了此商品发现为次品，贝眦次品为甲厂生产的概率10.若曲线C i ：x 2 y 2 0与C 2：(x a)2 y 2 1的图像有3个交点，则a _______ . 1二.解答题1. 30个人排成矩形，身高各不相同.把每列最矮的人选出，这些人 中最高的设为a ;把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为 b .(1) a 是否有可能比b 咼？ (2)a 和b 是否可能相等？1. 解：1不可能① 若a 、b 为同一人，有a b ;② 若a 、b 在同一行、列，则均有a b ;③ 若a 、b 不在同一行、列，同如图1以5*6的矩形为例，记a所在列与b 所在行相交的人为x 。

交通大学2000年保送生数学试题一、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内)1．若今天是星期二，则31998天之后是 ( )A ．星期四B ．星期三C ．星期二D ．星期一2．用13个字母A ，A ，A ，C ，E ，H ，I ，I ，M ，M ，N ，T ，T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MA THEMA TICIAN”一词的概率是 ( )A ．4813!B ．21613!C ．172813!D ．813!3．方程cos 2x -sin 2x +sin x ＝m +1有实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．18m ≤B ．m >-3C ．m >-1D ．138m -≤≤4．若一项数为偶数2m 的等比数列的中间两项正好是方程x 2+px +q ＝0的两个根，则此数列各项的积是( ) A ．p mB ．p 2mC ．q mD ．q 2m 5．设f ’(x 0)＝2，则000()()limh f x h f x h h→+-- ( )A ．-2B ．2C ．-4D ．4二、填空题（本题共24分，每小题3分）1．设f (x )1，则1(2)f x dx =⎰__________．2．设(0,)2x π∈，则函数(222211sin )(cos )sin cos x x xx++的最小值是__________．3．方程316281536x x x ⋅+⋅=⋅的解x ＝__________．4．向量2a i j =+ 在向量34b i j =+上的投影()ba = __________．5．函数2y x =+__________．6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________．7．方程7x 2-(k +13)x +k 2-k -2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围是__________．8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________． 三、证明与计算（本题61分）1．(6分)已知正数列a 1，a 2，…，a n ，且对大于1的n 有1232n a a a n +++=，1212n n a a a +=．试证：a 1，a 2，…，a n 中至少有一个小于1．2．(10分)设3次多项式f (x )满足：f (x +2)＝-f (-x )，f (0)＝1，f (3)＝4，试求f (x )．3．(8分)求极限112lim (0)pppp n np n+→∞+++> ．4．(10分)设2,0(),0x bx c x f x lx m x ⎧++>=⎨+≤⎩在x ＝0处可导，且原点到f (x )中直线的距离为13，原点到f (x )中曲线部分的最短距离为3，试求b ，c ，l ，m 的值．(b ,c >0)5．(8分)证明不等式：3412≤≤，[0,]2x π∈．6．(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是12．若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率．7．(11分)如图所示，设曲线1y x=上的点与x 轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB 1A 1，△A 1B 2A 2，…，直角顶点在曲线1y x=上．试求A n 的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在．复旦大学2000年保送生招生测试数学试题（理科）一、填空题（每小题10分，共60分）1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第n 组含n 个数，即1；2，3；4，5，6；……．令a n 为第n 组数之和，则a n ＝________________． 2．222sin sin ()sin ()33ππααα+++-＝______________．3．222lim[(2)log (2)2(1)log (1)log ]n n n n n n n →∞++-+++＝_________________．4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成60度角，则两对角面面积之比为__________________．5．正实数x ,y 满足关系式x 2-xy +4＝0，又若x ≤1，则y 的最小值为_____________．6．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了______________米． 二、解答题（每小题15分，共90分）1．数列{a n }适合递推式a n +1＝3a n +4，又a 1＝1，求数列前n 项和S n ．2．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明．3．正六棱锥的高等于h ，相邻侧面的两面角等于12arcsin2，求该棱锥的体积．(1cos 124π=+)4．设z 1,z 2,z 3,z 4是复平面上单位圆上的四点，若z 1+z 2+z 3+z 4=0．求证：这四个点组成一个矩形．5．设(1nnx y+=+x n,y n为整数，求n→∞时，nnxy的极限．6．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请证明你的结论．2000年交大联读班试题1. 直线y ax b =+关于y x =-的对称直线为_______________。

2010年“华约”自主招生试题解析一、选择题 1．设复数2()1a i w i +=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） （A ）32- （B ）12- （C ）12 （D ）322．设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（ ）（A ）2 （B （C ）1 （D 3。

缺 4。

缺5．在ABC ∆中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tan tan 22A C的值为（ ） （A ）15 （B ）14 （C ）12 （D ）236．如图，ABC ∆的两条高线,AD BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ，则OFG ∆与GAH ∆面积之比为（ ）（A ）1:4 （B ）1:3 （C ）2:5 （D ）1:27．设()e (0)axf x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是（ ）（A ）1 （B （C ）e 2 （D ）2e 48．设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -=>>，椭圆2222:14x y C a +=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为（ ）（A ） （B ）2 （C ） （D ）49．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为（ ） （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）910．设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设στ表示变换的复合，先作τ，再作σ。

2006年上海交通大学自主招生考试数学试题一、填空题（每题5分，共50分）1．矩形ABCD 中，AD =a ，AB =b ，过A 、C 作相距为h 的平行线AE 、CF ，则AF =____．2．一个正实数与它的整数部分，小数部分成等比数列，那么这个正实数是_________．3．2005！的末尾有连续________个零．4．210(2)x x -+展开式中，3x 项的系数为__________． 5．在地面距离塔基分别为100m 、200m 、300m 的A 、B 、C 处测得塔顶的仰角分别为,,,90αβγαβγ++=︒且，则塔高为______________．6．三人玩剪子、石头、布的游戏，在一次游戏中，三人不分输赢的概率为_____________；在一次游戏中，甲获胜的概率为___________．7．函数23log ()(,1y x ax a =----∞在上单调递增，则实数a 的取值范围是________．8．51x ω=是的非实数根，2(1)(1)ωωω++=_____________．9．2张100元，3张50元，4张10元人民币，共可组成_______种不同的面值．10．已知2!(1)!(2)!k k a k k k +=++++，则数列{}n a 前100项和为___________． 二、解答题（第11题8分，第12、13、14题每题10分，第15题12分）11．a ，b ，c，abc ，b c ，a （b ）x 2b （c a ）x c （a b ）有两个相等根，求证：111,,a b c成等差数列．A D CF E B12．椭圆2221(1)x y a a+=>，一顶点A （0，1），是否存在这样的以A 为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形，若存在，求出共有几个，若不存在，请说明理由．13．已知|z |=1，k 是实数，z 是复数，求|z 2+kz +1|的最大值．14．若函数形式为(,)()()()(),(),()f x y a x b y c x d y a x c x =+其中为关于x 的多项式，(),()b y d y 为关于y 的多项式，则称(,)f x y 为P 类函数，判断下列函数是否是P 类函数，并说明理由．（1） 1+xy ； （2） 1+xy +x 2y 2．15．设3229,29270k x kx k x k ≥++++=解方程．。

2020年上海交大自主招生数学试卷一、填空题1．函数f（x）的定义域为（0，1）．若c∈（0，），则函数g（x）＝f（x+c）+f（x﹣c）的定义域为．2．已知方程2x﹣sin x＝1，则下列判断：（1）方程没有正数解（2）方程有无穷多个解（3）方程有一个正数解（4）方程的实根小于1其中错误的判断有．3．小于1000的正整数中，既不是5的倍数也不是7的倍数的整数有个．4．已知边长为a的正三角形ABC，D，E分别在边AB，BC上，满足AD＝BE＝，联结AE，CD，则AE 和CD的夹角为．5．△ABC的顶点坐标分别为A（3，4），B（6，0），C（﹣5，﹣2），则角A的平分线所在的直线方程为．6．从2个红球，3个黑球，5个白球中任意取6个球，则有种不同的取法．7．已知y＝ax2+bx+c过A（﹣3，4），B（5，4），则2a+b＝．8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线m交抛物线于A，B两点，若A，B横坐标之和为5，则直线m的条数为．9．用同样大小的正n边形平铺整个平面（没有重叠），若要将平面铺满，则n的值为．10．若三条直线x﹣2y+2＝0，x＝2，x+ky＝0将平面划分成6个部分，则k可能的取值情况是（）A．只有唯一值B．有两个不同的值C．有三个不同的值D．无穷多个值11．非零实数a，b，c，若，，成等差，则下列不等式成立的是（）A．|b|≤|ac|B．|b|≤C．b2≥|ac|D．a2≤b2≤c212．若集合M中任意两个元素的和差积商的运算结果都在M中，则称M是封闭集合．下列集合：（1）R（2）Q（3）∁R Q（4）{x|x＝m+n，m，n∈Z}中．封闭集合的个数为．13．方程x（x+1）+1＝y2的正整数解有．14．若a，b＜0，且满足+＝，则＝．15．若四面体的各个顶点到平面α距离都相等，则称平面α为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数是．16．设m（a）是函数f（x）＝|x2﹣a|在区间[﹣1，1]上的最大值，则m（a）的最小值为．17．立方体8个顶点任意两个顶点所在的直线中，异面直线共有对．18．空间三条直线a，b，c两两异面，则与三条直线都相交的直线有条．19．用平面截一个单位正方体，若截面是六边形，则此六边形周长最小值为．20．矩形ABCD的边AB＝，过B，D作直线AC的垂线，垂足分别为E，F，且E，F分别为AC的三等分点．沿着AC将矩形翻折，使得二面角B﹣AC﹣D成直角，则BD长度为．21．平面上给定5个点，任意三点不共线．过任意两点作直线，已知任意两条直线既不平行也不垂直．过5点中任意一点向另外4点的连线作垂线，则所有这些垂线的交点（不包括已知的5点）个数至多有个．22．实数a，b满足（a+b）59＝﹣1，（a﹣b）60＝1，则（a n+b n）＝．23．甲乙丙三人的职业分别是A，B，C，乙的年龄比C大，丙的年龄和B不同，B比甲的年龄小，则甲乙丙的职业分别为（）A．ABC B．CAB C．CBA D．BCA24．函数y＝，x∈（﹣，）的最小值是．参考答案一、填空题1．（c，1﹣c）；2．1个；3．686；4．60°；5．7x﹣y﹣17＝0；6．11；7．0；8．当p＞5时，直线条数为0条；当p＝5时，直线条数为1条；当p＜5时，直线条数为2条．；9．3，4，6；10．C；11．B；12．2；13．0；14．；15．7；16．；17．174；18．无穷多条；19．3；20．；21．310；22．0；23．A；24．2；试题解析一、填空题1．函数f（x）的定义域为（0，1）．若c∈（0，），则函数g（x）＝f（x+c）+f（x﹣c）的定义域为（c，1﹣c）．【解答】解：由题意可得，，解可得，，因为0＜c＜，所以﹣c＜c＜1﹣c＜1+c，所以c＜x＜1﹣c．故函数的定义域（c，1﹣c），故答案为：（c，1﹣c）2．已知方程2x﹣sin x＝1，则下列判断：（1）方程没有正数解（2）方程有无穷多个解（3）方程有一个正数解（4）方程的实根小于1其中错误的判断有1个．【解答】解：由2x﹣sin x＝1，得2x﹣1＝sin x，作出函数y＝2x﹣1与y＝sin x的图象如图：当x＝时，sin＝，＜＜＝，可知函数y＝2x﹣1与y＝sin x的图象在（0，1）上一定有一个交点，且唯一，故（1）错误，（3）（4）正确；由图可知，方程有无穷多个解，故（2）正确．∴其中错误的判断有1个．故答案为：1个．3．小于1000的正整数中，既不是5的倍数也不是7的倍数的整数有686个．【解答】解：因为小于1000的正整数中，5的倍数有1000÷5＝200个，1000÷7＝142…6即7的倍数有142个，因为1000÷35＝28…20即35的倍数有28个，故既不是5的倍数也不是7的倍数的整数有1000﹣（200+142﹣28）＝686个故答案为：6864．已知边长为a的正三角形ABC，D，E分别在边AB，BC上，满足AD＝BE＝，联结AE，CD，则AE 和CD的夹角为60°．【解答】解：以BC的中点为坐标原点O，建立直角坐标系xOy，可得A（0，a），B（﹣a，0），C（a，0），由AD＝BE＝，可得E（﹣a，0），又＝，可得D（，a），即为（﹣a，a），则直线AE的斜率为k AE＝＝3，直线CD的斜率为k CD＝＝﹣，可得两直线AE，CD的夹角的正切为||＝，则所求夹角为60°．故答案为：60°．5．△ABC的顶点坐标分别为A（3，4），B（6，0），C（﹣5，﹣2），则角A的平分线所在的直线方程为7x ﹣y﹣17＝0．【解答】解：由A（3，4），B（6，0），C（﹣5，﹣2），所以|AB|＝＝5，|AC|＝＝10，设角A的平分线AT交BC于点T，则点T分BC所成的比为λ＝＝，由定比分点坐标公式，得x T＝＝，y T＝＝﹣；所以点T（，﹣），所以AT所在的直线方程为＝，即7x﹣y﹣17＝0．6．从2个红球，3个黑球，5个白球中任意取6个球，则有11种不同的取法．【解答】解：根据题意，从2个红球，3个黑球，5个白球中任意取6个球，有以下情况：1、2个红球，3个黑球，1个白球；2、2个红球，2个黑球，2个白球；3、2个红球，1个黑球，3个白球；4、2个红球，4个白球；5、1个红球，3个黑球，2个白球；6、1个红球，2个黑球，3个白球；7、1个红球，1个黑球，4个白球；8、1个红球，5个白球；9，3个黑球，3个白球；10、2个黑球，4个白球；11、1个黑球，5个白球；共11种情况；故答案为：11．7．已知y＝ax2+bx+c过A（﹣3，4），B（5，4），则2a+b＝0．【解答】解：图象过A，B两点，可知该函数一定是二次函数，对称轴方程为，所以b＝﹣2a，b+2a＝0．故答案为0．8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线m交抛物线于A，B两点，若A，B横坐标之和为5，则直线m的条数为当p＞5时，直线条数为0条；当p＝5时，直线条数为1条；当p＜5时，直线条数为2条．．【解答】解：设直线方程为x＝ty+，联立整理可得y2﹣2pty﹣p2＝0，y1+y2＝2pt，x1+x2＝t（y1+y2）+p＝5，t•2pt+p＝5∴，当p＞5时，直线条数为0条；当p＝5时，直线条数为1条；当p＜5时，直线条数为2条．9．用同样大小的正n边形平铺整个平面（没有重叠），若要将平面铺满，则n的值为3，4，6．【解答】解：设m个正n边形可以无重叠，无缝隙地平铺平面如图所示，则，化简可得：2（m+n）＝mn，则满足条件的有，，，因此满足条件的n的值为3，4，6，故答案为：3，4，610．若三条直线x﹣2y+2＝0，x＝2，x+ky＝0将平面划分成6个部分，则k可能的取值情况是（）A．只有唯一值B．有两个不同的值C．有三个不同的值D．无穷多个值【解答】解：若三条直线x﹣2y+2＝0，x＝2，x+ky＝0将平面划分成6个部分，则其中只有2条直线互相平行，第三条和这2条平行线都相交，则k＝﹣2或k＝0，或者三条直线经过同一个点，即x﹣2y+2＝0和x＝2的交点（2，2）在直线x+ky＝0上，此时k＝﹣1．综上，k＝﹣2 或k＝0或k＝﹣1，故选：C．11．非零实数a，b，c，若，，成等差，则下列不等式成立的是（）A．|b|≤|ac|B．|b|≤C．b2≥|ac|D．a2≤b2≤c2【解答】解：∵由题意得+＝，即2a2c2＝（a2+c2）b2≥2b2|ac|，∴b2≤|ac|，∴，即|b|≤，又2b2c2＝（a2+c2）b2．∴，∴≤≤，或，即a2≤b2≤c2，或c2≤b2≤a2．故选：B．12．若集合M中任意两个元素的和差积商的运算结果都在M中，则称M是封闭集合．下列集合：（1）R（2）Q（3）∁R Q（4）{x|x＝m+n，m，n∈Z}中．封闭集合的个数为2．【解答】解：两个实数的和差积商仍然是实数，故R是一个封闭集合；两个有理数的和差积商仍然是有理数，故Q是一个封闭集合；注意到，而，故∁R Q不是封闭集合；令，注意到，而，故不是封闭集合；综上可得，封闭集合的个数为2．故答案为：2．13．方程x（x+1）+1＝y2的正整数解有0．【解答】解：由x（x+1）+1＝y2，得y2﹣x2＝x+1，∵x为正整数，∴x+1＞1，即y2﹣x2＞1，则y＞x，由x（x+1）+1＝y2，得y2﹣1＝（y﹣1）（y+1）＝x（x+1），∵y+1＞x+1，∴y﹣1＜x，则x＜y＜x+1，满足该式的正整数y不存在，则方程x（x+1）+1＝y2的正整数解为0个．故答案为：0．14．若a，b＜0，且满足+＝，则＝．【解答】解：∵a，b＜0，且满足+＝，∴＝，整理得a2﹣b2＝ab，∴＝1，∴（）2﹣﹣1＝0，由a，b＜0，解得＝．故答案为：．15．若四面体的各个顶点到平面α距离都相等，则称平面α为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数是7．【解答】解：将所考虑的四面体记作ABCD．若四个顶点均在平面的一侧，则这四个顶点必位于一个与平面平行的平面内，不符合条件；只考虑以下两种情形．（i）平面的一侧有三个顶点，另一侧有一个顶点．不妨设点A，B，C在平面的一侧，点D在另一侧，则A，B，C三点所确定的平面必平行与，由点D作平面ABC的垂线DD1，D1为垂足．则中位面必为经过DD1的中点且与DD1垂直的平面（存在且唯一），该中位面平行于平面ABC．这种类型的中位面共有4个．（ii）平面的两侧各有两个顶点，不妨设点A，B在平面α的一侧，点C，D在另一侧，显然，易知，AB与CD为异面直线，中位面必为经过它们公垂线中点且平行于它们的平面（存在且唯一）．由于四面体的6条棱可按异面直线关系分为3组，于是这种类型的中位面共有3个．综上，一个四面体的中位面由7个互不相同的中位面．故答案为：7．16．设m（a）是函数f（x）＝|x2﹣a|在区间[﹣1，1]上的最大值，则m（a）的最小值为．【解答】解：由题意可得函数f（x）为偶函数，因此讨论M（a）的值域只需在x∈[0，1]这一范围内进行；①当a≤0时，f（x）＝x2﹣a，函数f（x）在[0，1]单调递增，M（a）＝f（1）＝1﹣a≥1．②当1＞a＞0时，函数f（x）在[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，所以f（x）在[0，]内的最大值为M（a）＝f（0）＝a，而f（x）在[，1]上的最大值为M（a）＝f（1）＝1﹣a．若f（1）＞f（0）得，则1﹣a＞a，求得0＜a＜．故当a∈（0，）时，M（a）＝f（1）＝1﹣a＞；若f（1）≤f（0）得，则1﹣a≤a，求得1＞a≥．故当a∈[，1）时，M（a）＝f（0）＝a，③当a≥1时，函数在[0，1]上为减函数，所以M（a）＝f（0）＝a≥1．综上，M（a）＝1﹣a，（当a＜时）；或M（a）＝a，（当a≥时）．所以M（a）在[0，]上为减函数，且在[，1]为增函数，易得M（a）的最小值为M（）＝．故答案为：．17．立方体8个顶点任意两个顶点所在的直线中，异面直线共有174对．【解答】解：立方体中有8个顶点，任意两个顶点所构成的直线有：＝28，其中不在同一个平面上的4个点的个数有C84﹣12＝58，4个点中异面直线的对数是：3，所以过正方体任意两个顶点的直线共有28条，其中异面直线有：58×3＝174对．故答案为：174．18．空间三条直线a，b，c两两异面，则与三条直线都相交的直线有无穷多条条．【解答】解：在a、b、c上取三条线段AB、CC′、A′D′，作一个平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′，如右图所示在c上，即在直线A′D′上取一点P，过a、P作一个平面β平面β与DD′交于Q、与CC′交于R，则由面面平行的性质定理，得QR∥a，于是PR不与a平行，但PR与a共面．故PR与a相交，得直线PR是与a，b，c都相交的一条直线．根据点P的任意性，得与a，b，c都相交的直线有无穷多条．故答案为：无穷多条．19．用平面截一个单位正方体，若截面是六边形，则此六边形周长最小值为3．【解答】解：如图示：，则结合对称性可知，六边形的周长最小值是6×＝3，故答案为：3．20．矩形ABCD的边AB＝，过B，D作直线AC的垂线，垂足分别为E，F，且E，F分别为AC的三等分点．沿着AC将矩形翻折，使得二面角B﹣AC﹣D成直角，则BD长度为．【解答】解：设AF＝FE＝EC＝x，则，，解得，故．故答案为：．21．平面上给定5个点，任意三点不共线．过任意两点作直线，已知任意两条直线既不平行也不垂直．过5点中任意一点向另外4点的连线作垂线，则所有这些垂线的交点（不包括已知的5点）个数至多有310个．【解答】解：由给定的五个点两两连线共有＝10条，记五个点为A1，A2，A3，A4，A5，则以A1为例进行研究：A2，A3，A4，A5四个点共产生＝6条连线，由A1向6条连线可引出6条垂线，则推广到其他点共可得到6×5＝30条垂线．若每两条垂线均相交，则可得到个交点，易知每一条线段的垂线互相平行且每一条线段共有3条垂线，则应减去30个交点，又A1，A2，A3，A4，A55点共可得到个三角形，三角形的三边垂线交于一点，故要减去20个点，而由A1，A2，A3，A4，A55点中任一点引出的垂线必交于该点，故减去点，则最终有435﹣75﹣20﹣30＝310个点．故答案为310．22．实数a，b满足（a+b）59＝﹣1，（a﹣b）60＝1，则（a n+b n）＝0．【解答】解：依题意，由（a+b）59＝﹣1，可知a+b＝﹣1，∵（a﹣b）60＝1，∴a﹣b＝±1，∴，或，解得，或，当时，a n+b n＝（﹣1）n；当时，a n+b n＝（﹣1）n，∴（a n+b n）＝（﹣1）n＝（﹣1）1+（﹣1）2+…+（﹣1）60＝＝0．故答案为：0．23．甲乙丙三人的职业分别是A，B，C，乙的年龄比C大，丙的年龄和B不同，B比甲的年龄小，则甲乙丙的职业分别为（）A．ABC B．CAB C．CBA D．BCA【解答】解：由丙的年龄和B不同，B比甲的年龄小，可知乙的职业为B，进而乙比甲的年龄小，又因为乙的年龄比C大，所以甲的职业不可能为C，从而甲的职业为A，所以丙的职业为C，所以甲乙丙的职业分别为ABC，故选：A．24．函数y＝，x∈（﹣，）的最小值是2．【解答】解：令t＝sin x+cos x＝sin（x+），x∈（﹣，），则t∈（0，]，2sin x cos x＝t2﹣1，∴y＝＝2t+，t∈（0，]，∴y≥2＝2（当且仅当t＝时取等号）．故答案为：2．。

上海交通大学国际本科生招生考试数学科考试试卷（样卷）SJTU International Undergraduate Entrance Examination(Mathematics sample exam papers)第一部分: 下列问题有且仅有一个正确答案(每题3分, 共42分)Section 1: The following problems have one and only one correct answer.(3 points for each, 42 points total)1.设集合A={1,2,4},B={2,4,5}, 则A∩B=（）.If set A={1,2,4},B={2,4,5}, then A∩B=（）.（A）{2,4}（B）{1,2,4,5}（C）{1}（D）{1,5}2.函数y=(x−1)12+(4−x)−32的定义域为（）.The domain of the function y=(x−1)12+(4−x)−32is（）.（A）[1,4)（B）(−∞,1)（C）[4,+∞)（D）(1,4]3.下列公式中，正确的是（）.In the following formulae, t he one that must be correct is（）.（A）cos2x=2cos2x−1（B）cos2x=2sin2x−1（C）sin2x=2cos2x−1（D）sin2x=2sin2x−14.设m是实常数. 若直线l1:2x+my+1=0与直线l2:y=3x−1平行，则m=（）.Let m be a real number. If line l1:2x+my+1=0is parallel to line l2:y=3x−1, then m=（）.（A）−23（B）23（C）6（D）−65.设平面上的动点P 到定点F(2,0)的距离等于P到直线x+2=0的距离，则点P的轨迹方程为（）.If the distance from moving point P to point F(2,0)equals to the distance from P to the straight line x+2=0, then the trajectory equation of P is（）.（A）y2=8x（B）y2=−8x（C）x2=8y（D）x2=−8y6.下列函数中，在其定义域上是单调递减的函数是（）.In the following functions, the one that is decreasing in its domain is（）.（A ）y =2−x （B ）y =cot x （C ）y =1x 2+1（D ）y =x7. 下列选项中，正确的是（ ）.Among the following options, t he correct one is （ ）. （A ）y =x 3+1x 和 y =log 2(x +√x 2+1) 均是奇函数y =x 3+1xand y =log 2(x +√x 2+1) are both odd functions（B ）y =x 3+1x是奇函数，但 y =log 2(x +√x 2+1) 不是奇函数y =x 3+1xis an odd function but y =log 2(x +√x 2+1) is not an odd function（C ）y =log 2(x +√x 2+1)是奇函数，但 y =x 3+1x不是奇函数y =log 2(x +√x 2+1) is an odd function but y =x 3+1x is not an odd function （D ）y =x 3+1x 和 y =log 2(x +√x 2+1) 均不是奇函数neither y =x 3+1x nor y =log 2(x +√x 2+1) is an odd function8. 已知 {a n } 是等差数列, 且 a 2=12,a 8=18, 则 a 5=（ ）.Given that {a n } is an arithmetic sequence, and a 2=12,a 8=18, then a 5=（ ）. （A ）15 （B ）6√6 （C ）30 （D ）2169. 若函数 f (x ) 的反函数 f −1(x )=x 2 (x >0), 则 f (4)=（ ）.If the inverse function of f (x ) is f −1(x )=x 2 (x >0), then f (4)=（ ）. （A ）2 （B ）−2 （C ）16 （D ）−16 10. arctan (tan5π6)=（ ）.（A ）−π6（B ）π6（C ）−5π6（D ）5π611. 已知椭圆 Γ：x 2a 2+y 2b 2=1 的一个焦点是(−2√3,0). 若a =2b , 则b =（ ）.Let (−2√3,0) be one focus of the ellipse Γ：x 2a 2+y 2b 2=1. If a =2b , then b =（ ）. （A ）2 （B ）√605 （C ）4 （D ）12512.设a,b均为正实数, 则“a+b≤2” 是“a2+b2≤2” 的（）.Let a,b be positive real numbers, then statement “a+b≤2” is a（）for statement “a2+ b2≤2”.（A）必要但非充分条件necessary but not sufficient condition（B）充分但非必要条件sufficient but not necessary condition（C）既非充分又非必要条件neither sufficient nor necessary condition（D）充分且必要条件sufficient and necessary condition13.函数sin(2x+3)的导数是（）.The derivative of function sin(2x+3)is（）.（A）2cos(2x+3)（B）cos(2x+3)（C）-2cos(2x+3)（D）−cos(2x+3) 14.曲线y=x3+3x+1在点P(0,1)处的切线方程是（）.The tangential equation of curve y=x3+3x+1at point P(0,1)is （）.（A）3x−y+1=0（B）x−3y+3=0（C）3x+y−1=0（D）x+3y−3=0第二部分: 下列问题有且仅有一个正确答案(每题4分, 共48分)Section 2: The following problems have one and only one correct answer.(4 points for each, 48 points total)15.不等式1x−2<1x的解集为（）.The solution set of the inequality1x−2<1xis（）.（A）(0,2)（B）(1,3)（C）(−∞,−1)（D）(2,+∞)（E）(−1,0)16.已知等比数列{a n}的首项a1=1, 公比q=2, 则{a n}的前8项的和S8=（）.If the first term a1of the geometric sequence {a n}is 1, and the common quotient q=2, then the sum S8of the first 8terms of {a n}is（）.（A）255（B）127（C）63（D）511（E）51217.已知实数a,b满足22a−b=4a+b=3, 则a=（）.If real numbers a,b satisfy 22a−b =4a+b =3, then a =（ ）. （A ）log 43 （B ）log 23 （C ）log 32 （D ）log 34 （E ）log 42 18. 已知 a,b,1,2 的中位数是 3，平均数是 4，则 ab =（ ）.Let the median of a,b,1,2 be 3，the average of a,b,1,2 be 4，then ab =（ ）. （A ）36 （B ）22 （C ）30 （D ）40 （E ）4219. 已知点 P 在曲线 C:2x 2−4x +2y 2−12y =5 上，点 Q 在直线 x +y +3=0上，则点P 和 Q 之间点距离 |PQ | 的最小值为（ ）.If point P is on the curve C:2x 2−4x +2y 2−12y =5, and point Q is on the line x +y +3=0, then the minimum distance |PQ | between points P and Q is （ ）. （A ）√2 （B ）√22（C ）1 （D ）0 （E ）2 20. 设复数 z =√3+i , 其中 i 是虚数单位, 则 z 5=（ ）.Let complex number z be defined as z =√3+i , where i is the unit of imaginary numbers, then z 5=（ ）.（A ）−16√3+16i （B ）16√3+16i （C ）−16√3−16i （D ）16√3−16i （E ）16√3+16√3i21. 在所有两位数中，个位数和十位数之和事偶数的数有（ ）.In all two-digit numbers, the number of those which the sum of its ones digit and its tens digit is an even number is （ ）.（A ）45 （B ）25 （C ）40 （D ）20 （E ）5022. 若实数 x,y 满足 sinx cosy =45, siny cosx =15, 则 cos2x =（ ）.If real numbers x,y satisfy sinx cosy =45, siny cosx =15, then cos2x =（ ）. （A ）−35（B ）35（C ）45（D ）−45（E ）2523. 三位同学参加跳过、跳远和铅球项目的比赛. 若每人都选择两个项目, 则有且仅有两人选择的项目相同的概率是（ ）.Three students participated in high jump, long jump and shot put competitions. If everyone chooses two of these three items, then the probability that there are exactly two people choosing same items is （ ）.（A ）23（B ）13（C ）29（D ）19（E ）1624. 设双曲线 C ：x 2−y 23=1 的左右焦点分别为 F 1 和 F 2 . 若点 P 在 C 上，且sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2=2, 则 cos ∠F 1PF 2=（ ）.Let the foci of the hyperbola C ：x 2−y 23=1 be F 1 and F 2, respectively. If point P is onC , such thatsin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2=2, then cos ∠F 1PF 2=（ ）.（A ）14（B ）−12（C ）16（D ）−15（E ）1325. 设 P −ABC 是棱长为 6 的正四面体，点 D,E,F 分别是三角形 ∆PAB ∆PBC ∆PAC的重心, 则三棱锥 P −DEF 的体积为（ ）.Let P −ABC be a tetrahedron whose edges have a length of 6 . If points D,E,F are the barycenter of triangles ∆PAB ∆PBC ∆PAC respectively, then the volume of the trigonal pyramid P −DEF is （ ）.（A ）4√23 （B ）√23 （C ）3√22（D ）2√2 （E ）4√226. 设数列{a n },{b n } , 和 {c n } 满足: 对任意正整数n , a n+1=(−1)n (a n 2+1) , b n =a n a n+1, c n =cos a n . 下列论断中正确的的是（ ）.Let sequences {a n },{b n }, and {c n } satisfy: for an arbitrary integer n , a n+1=(−1)n (a n 2+1) , b n =a n a n+1, c n =cos a n , then the one that must be correct in the following statements is （ ）.（A ）{b n } 是单调递减数列 {b n } is a decreasing sequence （B ）{b n } 是单调递增数列 {b n } is an increasing sequence （C ）{c n } 是单调递增数列 {c n } is an increasing sequence （D ）{a n } 是单调递增数列 {a n } is an increasing sequence （E ）{c n } 是单调递减数列 {c n } is a decreasing sequence第三部分: 下列问题有且仅有一个正确答案 (每题5分, 共10分) Section 3: The following problems have one and only one correct answer.(5 points for each, 10 points total)27. 设 A,B,C 是三角形 ∆ABC 的三个顶点，且对任意的实数 λ 恒有 |BA⃗⃗⃗⃗⃗ −λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≥2|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |. 若 |BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1, 则三角形 ∆ABC 周长的最小值为（ ）. Let points A,B,C be the three vertices of triangle ∆ABC , such that for an arbitrary realnumber λ , the following always holds true: |BA⃗⃗⃗⃗⃗ −λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≥2|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ | . If |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 , then the minimum value of the perimeter of the triangle ∆ABC is （ ）.（A ）1+√17 （B ）1+√12 （C ）1+√7 （D ）1+√22 （E ）1+√27 28. 已知实数 x,y,z 满足 x 2+y 2+z 2=1, 则 xy +2yz 的最大值为（ ）.If x,y,z are all real numbers, and x 2+y 2+z 2=1, then the maximum value of xy +2yz is （ ）. （A ）√52 （B ）√22 （C ）√32 （D ）2 （E ）12参考答案：1~28：A。

2004年上海交通大学自主招生考试物理试题一、填空题（每题4分，共40分）1．已知x 、y 、z 是作负整数，且x +y +z =10，x +2y +3z =30，则x +5y +3z 的取值范围是 ．2．长为1的钢丝折成三段与另一墙面围成封闭矩形，则矩形面积的最大值是 ．3．函数02y x π⎫=≤≤⎪⎭的值域是 ． 4．已知三角形又边的长a 、b 、c 均为正整数，且a ≤b≤c，b=n ，则满足条件的三角形r 的个数为 。

5．设x 2+ax +b 和x 2+b x +c 的最大公因式为x +1，最小公倍式为x 3+（c −1）x 2+（b+3）x +d ，则（a ，b ，c ，d ）= ．6．已知1a ≤≤||x =的相异实根的个数是 ． 7．整数()8182004736+的个位数是 ．8．已知数列{a n }满足a 1=l ，a 2=2，且2132n n n a a a ++=-，则2004a = ．9．在n×n 的正方格中，任意取得的长方形（长方形的边与正方格的边平行或重合）是正方形的概率是 ．10．已知67xyzabc abcxyz =，则xyzabc = ．二、解答题（本大题共60分）1．已知矩形的长、宽分别为a 、b ，现在把矩形翻折，使矩形的对顶点重合，求所得折痕的长．2．某二项式展开式中，相邻a （a ≥3，a ∈N+）项的二项式系数之比为1:2:3:⋯:a ，求二项式的次数与a 的值，以及各项的二项式系数．3．已知f （x ）=432(58)69ax x a x x a ++-+- ，证明:（1）恒有实数x ，使f （x ）=0；（2）存在实数x ，使f （x ）的值恒不为0．4．已知f 1（x ）=11x x-+ ，对于一切正整数n ，都有11()[()],n n f x f f x += 且366()()f x f x =，求28()f x ．5．对于两条垂直直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中心的轨迹．6．已知｛n a ｝是公差为6的等差数列，11n n n b a a ++=-（n ∈N+）．（l ）用a 1、b 1、n 表示数｛n a ｝的通项公式；（2）若a 1＝b 1=a ，a ∈[27，33]，求a n 的最小值及取最小值时n 的值．。