傅里叶变换公式
- 格式：docx
- 大小：196.53 KB
- 文档页数：25
第2 章信号分析本章提要◼信号分类◼周期信号分析--傅里叶级数◼非周期信号分析--傅里叶变换◼脉冲函数及其性质信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量信号分析：从信号中提取有用信息的方法和手段§2 －1 信号的分类⚫两大类：确定性信号，非确定性信号确定性信号：给定条件下取值是确定的。
进一步分为：周期信号，非周期信号。
质量－弹簧系统的力学模型x(t) = A cos k t +0非确定性信号(随机信号：给定条件下取值是不确定的⚫按取值情况分类：模拟信号，离散信号数字信号：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。
⚫信号描述方法时域描述如简谐信号简谐信号及其三个要素频域描述以信号的频率结构来描述信号的方法: 将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。
<page break>§2－2 周期信号与离散频谱一、周期信号傅里叶级数的三角函数形式⚫周期信号时域表达式x(t) = x(t +T) = x(t + 2T) = = x(t + nT)(n = 1， 2 ，)T ：周期。
注意n 的取值：周期信号“无始无 终”#⚫ 傅里叶级数的三角函数展开式 x (t ) = a + (a cos n t + b sin nt ) n =1（n =1, 2, 3 ，…）傅立叶系数：Ta 0 = 1x (t )dt-2Tx (t )cos ntdt2T2x (t ) sin n tdt2式中 Ｔ--周 期；0--基频, 0=2/T 。
⚫ 三角函数展开式的另一种形式：2an =b n =2⚫频谱图n﹡﹡﹡﹡﹡﹡0 20 2⚫周期信号的频谱三个特点：离散性、谐波性、收敛性⚫例1 ：求周期性非对称周期方波的傅立叶级数并画出频谱图解：非对称周期方波解：信号的基频20 =傅里叶系数奇函数：a=an =T2x (t ) sin n t d t2T2 A2A sin nt d t = 2A 1- cos nn 次谐波的幅值和相角(n = 1,3,5, )最 后得傅立叶级数t 的偶函数b n =2T 0 0 n4 An 为奇数 n0 n 为偶数Ana 2 +b 2= b nn4A nn = -2x (t ) = 4Acos(nt - )(n = 1,3,5, )n n2频谱图二、 周期信号傅里叶级数的复指数形式 ⚫ 欧拉公式ej t= cos t j sin t4AAn4A4A 353ω0ω5ω0幅频谱图 相频谱图cost = 1 2 (e - j t +e j t ) 2sint = j (e -j t - e j t ) 2j = - 1傅立叶级数的复指数形式x (t ) = c n ejn 0 t(n = 0, 1, 2, 3, )n =-⚫ 复数傅里叶系数的表达式a n - jb n2T22x (t )e- jn0tdt1c 0 = a 0 =T 2x (t )dt 2其中a n ，b n 的计算公式与三角函数形式相 同，只是n 包括全部整数。
⚫ 一般c n 是个复数。
因为a n 是n 的偶函数，b n 是n 的奇函数， 因此 #a n = a -nb -n = -b n即：实部相等，虚部相反，c n 与c -n 共轭。
n c n = c n ejn共轭性还可以表示为c n = c －nn = --n即：c n 与c -n 模相等，相角相反。
⚫ 傅立叶级数复指数也描述信号频率结 构。
它与三角函数形式的关系cn对于n>0等于三角函数模的一半）相角相等）c -n = A 2n= -arctg -bn = arctg bn -n a na n ⚫用c n 画频谱：双边频谱第 一 种 ： 幅 频 谱 图 :|c n |- ， 相频谱 图: n -n =arctg -bn na n与三角函数形式中的<page break>第二种：实谱频谱图:Re c n - ，虚频谱图： Im c n - ； 也就是a n - 和-b n - #AnA 1A 2n2--11n-20 022-0-2122单边频谱双边频谱§2－3 非周期信号与连续频谱分两类：a.准周期信号定义：由没有公共周期（频率）的周期信号组成频谱特性：离散性，非谐波性判断方法：周期分量的频率比（或周期比）不是有理数b.瞬变非周期信号几种瞬变非周期信号数学描述：傅里叶变换一、傅里叶变换演变思路：视作周期为无穷大的周期信号式（2.22）借助（2.16）演变成：x (t )的傅里叶变换X (ω)定义x (t )的傅里叶变换X (ω)X () =x (t )e -j t dt-X (ω)的傅里叶反变换x (t ):1x (t ) =X ()e j t d2 -⚫ 傅里叶变换的频谱意义：一个非周期信 号可以分解为角频率 连续变化的无数 谐波21X ()e j t d的叠加。
称X ()其为函数x (t )的频谱密度x (t ) = 1 - 2 - x (t )e -j t dt e j td函数。
⚫对应关系：1X () d e j t c e jn0 t2nX()描述了x(t)的频率结构X()的指数形式为X() = X()e j()⚫以频率f (Hz)为自变量，因为fX ( f ) = x(t)e - j2 f tdt-x(t) = X ( f )e j2 f t df-X(f) = X(f)e j( f )⚫频谱图幅值频谱图和相位频谱图：幅值频谱图 相位频谱图实频 谱图Re X (ω)和虚频谱图Im(ω) 如果X ()是实函数，可用一张X ()图表示。
负值理解为幅值为X ()的绝对值，相角为 或-。
二、 傅里叶变换的主要性质 (一)叠加性a 1x 1 (t ) + a 2x 2(t )⎯⎯FT→a 1X 1( f )+ a 2 X 2(f )(二)对称性X (t )⎯⎯FT→x (-f )注意翻转 )三) 时移性质x (t t ) ⎯⎯FT→ X (f )ej 2f t幅值 不变，相位随 f 改变±2ft 0) 四) 频移性质x (t )ej 2ft⎯⎯FT→ X (f f 0) 注意两边正负号相反)五) 时间尺度改变特性 x (at ) = X ( )aa六) 微分性质x (t ) y (t ) = x ()y (t -)d-d x (t )FT(j 2f )n X (f )七)(1) dt n 卷积性质2)卷积定理x (t ) y (t ) ⎯⎯FT → X ( f )Y ( f ) x (t )y (t )⎯⎯FT→X (f )Y (f )义） 函数值：脉冲强度（面 积 ）一) x (t )-/2/2tt 0 t(t )=0 t =0t 0 (t )1/t 0)脉冲函数及其频谱 脉冲函数： x （t ） 定义函 （要通过函数值和面积两方面(t ) dt = 1 -x(t)(t - t ) =强度：x(t )(t - t )dt = x(t )(t - t )dt = x(t ) -二)脉冲函数的样质结论：1.结果是一个脉冲，脉冲强度是x(t)在脉冲发生时刻的函数值2. 脉冲函数与任意函数乘积的积分等于该函数在脉冲发生时刻的的值。
2．脉冲函数的卷积性质：(a) 利用结论2x(t) (t) = x()(t -)d-(t -) d-= x(t )b) 利用结论2x(t) (t -t ) = x()(t - t -)d-= x(t - t )(t - t -) d-结论：平移三）脉冲函数的频谱(t ) ⎯⎯FT →( f ) =(t )e-j 2ftdt =1-均匀幅值谱由此导出的其他3个结果质）1⎯⎯FT →(- f )=( f )利用对称性FT(t t ) ⎯⎯FT→ej 2ft利用时移性质)e j2f0t⎯⎯FT→(f f0)对上式，再用频移性质）四)正弦函数和余弦函数的频谱 cos 2 ft 1 =1 e - j 2ft +e j 2ft=2 e +e⎯⎯FT → 1 ( f + f 0) + 1( f - f 0)sin2ft =je- j2ft -e j 2ft=2 e -e⎯⎯FT→ j( f + f 0) - j( f - f 0)T - 2余弦函数的频谱正弦函数的频谱<pa ge break>。
