高考数学一轮复习 第五章 数列 5.2 等差数列及其前n项
- 格式：doc
- 大小：55.51 KB
- 文档页数：4
1 等差数列及其前n项和
时间:50分钟 总分：70分
班级： 姓名：
一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）
1.《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月(按30天计)共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织________尺布( )
A.12 B.815
C.1631 D.1629
【答案】D
【解析】设从第2天起每天比前一天多织d尺布，则30×5＋30×292d＝390.解得d＝1629，故选D.
2.设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列{an}前8项和为( )
A.128 B.80
C.64 D.56
【答案】C
【解析】 法一 因为S8＝8（a1＋a8）2＝4(a2＋a7)＝4×16＝64，
法二 {an}是等差数列，且a2＝3，a7＝13，则公差d＝2，a1＝1，所以S8＝8a1＋8×72d＝8＋56＝64.
3.已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a10＝S4，则S8a9等于( )
A.4 B.5
C.8 D.10
【答案】A
【解析】由a10＝S4得a1＋9d＝4a1＋4×32d＝4a1＋6d，即a1＝d≠0.所以S8＝8a1＋8×72d＝8a1＋28d＝36d，所以S8a9＝36da1＋8d＝36d9d＝4，选A.
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB→＝a1OA→＋a200OC→，且A、B、C三点共线(该直线不经过点O)，则S200等于( )
A.100 B.101
C.200 D.201
【答案】A 2 【解析】 ∵OB→＝a1OA→＋a200OC→，且A、B、C三点共线，∴a1＋a200＝1，∴S200＝200（a1＋a200）2＝100.
5.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )
A.15 B.30
C.31 D.64
【答案】A
【解析】 设等差数列的首项为a1，公差为d，a7＋a9＝16，∴2a1＋14d＝16，a4＝1，
∴a1＋3d＝1.两式相减，得a1＋11d＝15，即a12＝15.∴选A.
6.已知函数f(x)＝cos x，x∈(0，2π)有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为( )
A.12 B.－12
C.32 D.－32
【答案】D
【解析】 若m>0，则公差d＝3π2－π2＝π，显然不成立，所以m<0，则公差d＝3π2－π23＝π3.
所以m＝cos π2＋π3＝－32，故选D.
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
7.已知等差数列{an}，其中a1＝13，a2＋a5＝4，an＝33，则n的值为________.
【答案】 50
【解析】在等差数列{an}中，a2＋a5＝2a1＋5d＝23＋5d＝4，所以d＝23，又an＝13＋23(n－1)＝33，解得n＝50.
8.数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，2Sn－nan＝n，若S20＝－360，则a2＝________.
【答案】－1
【解析】 ∵2Sn－nan＝n①∴当n≥2时，2Sn－1－(n－1)an－1＝n－1②
∴①－②得，(2－n)an＋(n－1)an－1＝1③∴(1－n)an＋1＋nan＝1④
∴③－④得，2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，∴数列{an}为等差数列，
∵当n＝1时，2S1－a1＝1，∴a1＝1，∵S20＝20＋20×192d＝－360，∴d＝－2.∴a2＝1－2＝－1.
9.公差不为零的等差数列{an}的三项a1，a4，a16成等比数列，则a1＋a3＋a5a2＋a4＋a6的值是________.
【答案】 34 3 【解析】 由已知得a24＝a1·a16，即(a1＋3d)2＝a1·(a1＋15d)，∴d＝a1，∴a1＋a3＋a5a2＋a4＋a6＝3a33a4＝34.
10.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为________.
【答案】4或5
【解析】由a4＝a1＋3d＝1，S5＝5a1＋10d＝10，得a1＝4，d＝－1，Sn＝4n－n（n－1）2＝－n2＋9n2，∴n＝4或5时，Sn最大.
三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）
11.已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋cn(n＋1)(c为常数).
(1)证明：{ann}是等差数列；
(2)若{an}是正数组成的数列，试给出不依赖于n的一个充分必要条件，使得数列{an}是等差数列，并说明理由.
【答案】见解析
【解析】 (1)证明 由nan＋1＝(n＋1)an＋cn(n＋1),可得an＋1n＋1＝ann＋c，即an＋1n＋1－ann＝c，
所以ann是等差数列.
(2)解 由(1)可得ann＝1＋(n－1)c，则an＝n＋n(n－1)c.{an}是等差数列的充要条件是
an＝an＋b，即a2n2＋2abn＋b2＝cn2＋(1－c)n⇒c＝1.
12.已知等差数列{an }中，a2＋a6＝6, Sn 为其前n项和，S5＝353.
(1)求数列{an }的通项公式；
(2)令bn ＝1an－1an(n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Sn 【答案】见解析 【解析】 (1)由a2＋a6＝6，得a4＝3，又由S5＝5（a1＋a5）2＝5a3＝353，得a3＝73， 设等差数列{an}的公差为d，则 a1＋2d＝73，a1＋3d＝3.解得a1＝1，d＝23，∴an＝23n＋13. (2)当n≥2时，bn＝1anan－1＝123n＋13·23n－13＝9212n－1－12n＋1， 当n＝1时，上式同样成立， 4 ∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝921－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1 ＝921－12n＋1，又921－12n＋1随n递增，且921－12n＋1＜92≤m， ∴m≥5，mmin＝5.即最小正整数m的值为5.
