高考数学一轮复习 第五章 数列 第2讲 等差数列及其前n项和课件 文

第3讲 等比数列及其前n项和

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1．等比数列的有关概念

(1)定义

假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an＋1an＝q(q≠0，n∈N*)．

(2)等比中项

假如a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇒G2＝ab．

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1qn－1．

(2)前n项和公式：Sn＝na1，q＝1，a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q，q≠1.

3．等比数列的性质

已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(m，n，p，q，r，k∈N*)

(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a2r；

(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；

(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．

1．辨明三个易误点

(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0，但q可为正数，也可为负数．

(2)由an＋1＝qan，q≠0，并不能马上断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.

(3)在运用等比数列的前n项和公式时，必需留意对q＝1与q≠1分类争辩，防止因忽视q＝1这一特殊情形而导致解题失误．

2．等比数列的三种判定方法

(1)定义法：an＋1an＝q(q是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．

(2)通项公式法：an＝cqn－1(c、q均是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．

(3)等比中项法：a2n＋1＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列． 3．求解等比数列的基本量常用的思想方法

(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量：a1，q，n，an，Sn，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中依据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键．

第2讲 等差数列及其前n项和

泊头一中韩俊华

【2013年高考会这样考】

1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题（知三求二问题，知三求一问题）．

2．考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用．

【复习指导】

1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等．

2．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法．

基础梳理

1．等差数列的定义

（1）文字定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个叫做 等差数列的 ，通常用字母d表示

（2）符号定义： ①．

②

2．等差数列的通项公式：

na= ，

变式：d 1n

或na= ，

变式：d nm（其中*,mnN）

或na= 。（函数的一次式）

3．等差中项如果A＝a＋b2，那么A叫做a与b的等差中项．

4 等差数列的判定方法

①定义法：

②等差中项法：

③通项公式法：

4．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则

(m，n，p，q∈N*)．

特别的若：m＋n＝2p，则

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，„(k，m∈N*)是公差为 的等差数列

(4)在有穷等差数列中与首末两项等距离的任意两项的和相等：即：

第五章 数列

第三节 等比数列及其前n项和

课时规范练

A组——基础对点练

1．(2020·合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝( )

A．4 B．52

C．2 D.12

解析：由题意，得a1·a1q4＝16，a1q＝2，解得a1＝1，q＝2或a1＝－1，q＝－2(舍去)，故选C.

答案：C

2．(2020·重庆模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝14，a3＝8，则a6＝( )

A．16 B．32

C．64 D．128

解析：由题意得，等比数列的公比为q，由S3＝14，a3＝8，则a1（1＋q＋q2）＝14，a3＝a1q2＝8，解得a1＝2，q＝2，所以a6＝a1q5＝2×25＝64，故选C.

答案：C

3．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( )

A．21 B．42

C．63 D．84

解析：设数列{an}的公比为q，则a1(1＋q2＋q4)＝21，又a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，所以q2＝2(q2＝－3舍去)，所以a3＝6，a5＝12，a7＝24，所以a3＋a5＋a7＝42.故选B.

答案：B

4．(2020·辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为22，则log2a7＋log2a11的值为( )

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：由题意得a4a14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a4a14＝a7a11＝8，∴log2a7＋log2a11＝log2(a7a11)＝log28＝3，故选C.

答案：C

5．在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝( )

A．1 B．±1 C．2 D．±2

解析：因为数列{an}是等比数列，所以a2a3a4＝a33＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，所以q2＝2，则a1＝a3q2＝1，故选A.

- 1 - 第2节 等差数列及其前n项和

[A级 基础巩固]

1．(一题多解)(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )

A．1 B．2

C．4 D．8

解析：法一 设等差数列{an}的公差为d，

依题意a1＋3d＋a1＋4d＝24，6a1＋6×52d＝48，解得d＝4.

法二 等差数列{an}中，S6＝（a1＋a6）×62＝48，

则a1＋a6＝16＝a2＋a5，

又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－16＝8，

所以d＝4，故选C.

答案：C

2．(2020·安阳联考)在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则(a3＋a7)2－a5＝( )

A．60 B．56

C．12 D．4

解析：因为在等差数列{an}中，a2＋a8＝8，所以a2＋a8＝2a5＝8，解得a5＝4，(a3＋a7)2－a5＝(2a5)2－a5＝64－4＝60.

答案：A

3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S2＝3，S3＝6，则S2n＋1＝( )

A．(2n＋1)(n＋1) B．(2n＋1)(n－1)

C．(2n－1)(n＋1) D．(2n＋1)(n＋2)

解析：设等差数列{an}的公差为d，

则2a1＋d＝3，3a1＋3d＝6，

所以a1＝d＝1，则an＝1＋(n－1)×1＝n.

因此S2n＋1＝（2n＋1）（1＋2n＋1）2＝(2n＋1)(n＋1)．

答案：A

4．(2020·宜昌一模)等差数列{an}的前n项和为Sn，若公差d>0，(S8－S5)(S9－S5)<0，则( )

A．a7＝0 B．|a7|＝|a8|

C．|a7|>|a8| D．|a7|<|a8| - 2 - 解析：因为公差d>0，(S8－S5)(S9－S5)<0，

所以S9>S8，所以S8

所以a6＋a7＋a8<0，a6＋a7＋a8＋a9>0，