格林公式(公开教学用)

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格林公式ppt课件

D D
单连通区域
复连通区域
单连通区域就是没有“洞”的区域.
；.
2
对平面区域D的边界曲线L, 我们规定L的正向
如下 :沿L的这一方向行走时, D始终位于他的左侧.
单连通区域 D 的边界曲线L的正向是逆时针方向.
复连通区域D 的边界曲线L由 L1 和 L2 组成, L1 逆时针 L2 顺时针方向为边界曲线L的正向.
Q P
x y
0,
)
Q x
当P
U
P y (M
M0
0, )
. 由连续定义知
G时,
有 (Q P ) , 有 Q P ,
x y
2
2 x y
2
即U(M0, ) 上恒有
Q P x y
. 2
二重积分的性质
设是U (M0 , )的正向边界曲线, 是U (M0 , )的面积.
条曲线,若 Pdx Qdy Pdx Qdy,
L1
L2
则称该曲线积分在G内与路径
无关, 否则便说与路径有关.
B
L2
L1
AG
；.
18
曲线积分在G内与路径无关,
即 Pdx Qdy Pdx Qdy,
L1
L2
即 Pdx Qdy Pdx Qdy,
L
xdy y dx x2 y2
D
( Q x
P
Q P x y
)dxdy
0
y ；.
为错误结果.
14
课堂练习
P214.3
求
L
ydx xdy 2( x 2 y2 )
,
其

§10.3格林公式-PPT课件

2 2 2 3 3 3 C x y a 例 1 ．求由星形线：所围成的面积 A 。
3 x a cos t , 0 t 2 解： C 的参数方程为（）。 3 y a sin t ,y
1 A xdy ydx 2C
X 型 Y 型又是作辅助线把 D 分成两个既是的区域 y F D 和 D ， 1 2
D1
Q P ( x y )dxdy
D
A
D2
B
E
o Q P Q P ( ) dxdy ( ) dxdy ：（ 1 ）若 D 既是。
D {( x , y ) y ( x ) y y ( x ), a x b } ， 1 2
P ∵ 连续， y y y y (x ) 2 b y ( x ) P P N C 2 dxdy dx dy ∴ y ( x ) y a yA D B 1
4.用格林公式求平面图形的面积
Q P Pdx Qdy ( ) dxdy 若在中， C x y
D
P ( x , y ) y Q ( x , y ) x 取，，则得
ydx xdy 2 dxdy , C
D
1 A xdy ydx ∴ 。（其中 A 是区域 D 的面积。） C 2
P [ x ,y ( x )] P [ x ,y ( x )]} dx { 1 2
a b
P ∴ P ( x , y ) dx dxd 。 ① C y
D
D { ( x , y ) x ( y ) x x ( y ), c y d } 又设， 1 2

第二讲格林公式36页PPT

解这里P2xy Qx2
因为 P y Q x 2 x 所以积分
2 x x 2 d 与 y 路径无关 y dx
L
选择从O(0 0)到A(1 0)再到B(1 1)的折线作为积分路线
则 2 x y x 2 d d y 2 x x y x 2 d d y 2 x x y x 2 d d y
y
y xy
2u Q . y x x
证毕。
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用格林公式导出的四个等价结论
设D为单连开通区域 P(x,， y)、Q(x,y)C1(D， ) 那么，下面四条等价：
1) 在D内， QP； x y
2对 ) 闭 L D 路，有 L P d x Q d y 0 ；
3)在 D 内， PdxQ dy与路径；无 AB
OA
A L
D
3dxdy
O
D
OA
3|D|
2
0 sin y dy
3co2s1.

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二.平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积 LP分 dxQdy与路径无关：
P d x Q d y P d x Q d y
L 1 (A)B
L 2 (A)B
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用格林公式导出的四个等价结论
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2 （ ) 闭对 L D 路，有 L P d x Q d y 0 ） 3()在 D 内， PdxQ dy与路径 ) 无关
AB
设 L 1 、 L 2是 D 中起点 A 、为终 B 的点路为径
LL2 L1，
由 2， )0LP dxQ dy
L1
B
A L2

高等数学-格林公式及其应用.ppt

l D1
O D2
x
1
2π
d
1 2π
π
20
2
l :4x2 y2 2
法二
l
ydx xdy 4x2 y2
l
ydx
2
xdy
1
2
ydx xd y
l
格林公式
D2是由l 所围区域
4x2 y2 2
所以 I 0 π
π.
1
2
1
2
(1
D2
(2)
π
2
1)dxdy
2
π
25
10.3 格林公式及其应用
Pdx Qdy
L
(L1, L2, L3对D来说为正方向)
8
10.3 格林公式及其应用
(3) 对复连通区域证明:
对若复区连域通不区止域由D一, 格条林闭公曲式线
的右所曲端围线应成积包.添分括加,沿且直区边线域界段D的的A方全B向,部CE对边.区界 G D
域则DD来的说边都界是曲正线向由. AB, L2 , BA,
2π 0
格林公式
sin d(
2
(Q P )dxdy D1 x y 0
cos ) cos d(
2
2
0 sin
)
24
10.3 格林公式及其应用
l
ydx xdy 4x2 y2
2π
sin
d(
2
cos
)
2
cos
d(
sin
)
0
2
2 0
π
2
2
sin
2
2
2
2
cos2
d
y L: x2 y2 4

高等数学：格林公式

D
由于 xdy 0,
xdy 0, xdy dxdy 1 r2.
OA
BO
AB D
4
2. 简化二重积分
y
例 2 计算
e y2 dxdy ,其中D 是
B 1
D
D
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点
的三角形闭区域.
o
解令P 0, Q xe y2 ,
A
1
x
则 Q P e y2 , x y
c
1 ( y) x
d
c
Q(
2
(
y),
y)dy
d
c
Q(
1(
y),
y)dy
ห้องสมุดไป่ตู้
y
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
CAE
d
x 1( y)
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
EAC
A
c
LQ( x, y)dy
o
E D B
C
x 2( y)
x
同理可证
D
P y
dxdy
L
P(
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2 ONA
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
M
N
A(a,0)
1 2
0
a
x(
2
a ax
1)dx
(
ax x)dx
a a
40
xdx 1 a2 . 6
例3. 计算

高等数学格林公式PPT课件

正向闭路.
解: 令 P x ,yy2 ,Q x ,yx2
y
L
则 P2y,Q2x
y
x
在L所围成的区域D上连续
D x
由格林公式得ID 2x2ydxdy 2d0 2Rcos2cossind 2 R3
2
5
机动目录上页下页返回结束
例3.求 I y x 3 e y d x x y 3 x e y 2 y d y , L
其中L是圆周 x2y2 a2的顺时针方向.
y
解:令 Px,yyx3ey
L
Q x,yxy3xey2y
D x
则 Px3ey,Qy3ey
y
x
在L所围成的区域D上连续, 由格林公式得
I L P x ,y d x Q x ,y d y Dy3x3dxdy 0
注:用格林公式时,一定要注意曲线积分的方向性.
y
0, a
Dl x
0, a
7
高斯目录上页下页返回结束
则
P 2 y , Q a 2 y 1
y a 2x2 x
a 2x2
在 l L 所围成的闭区域D上连续,
L
y
0, a
所以由格林公式得:
I lL
l
Dadxdy aa2ylnady
1 2
a
3
Dl x
0, a
注: 用格林公式时, 若L非闭, 则可使用补边法使积分
注:使用格林公式时,若 P , Q 闭曲线所围区域上不 y x
连续, 可先挖去不连续的点后, 再使用格林公式.
11
高斯目录上页下页返回结束
三、平面曲线积分与路径无关的等价条件
1.定义:设A,B为D内任意两点, 若从

格林公式及其应用-课件

OB
y
(1 )
o
y x2
x y2
B(1,1)
x
A(1,0)
进一步猜测：沿任意分段光滑的曲线 LOB：
2xydx x2dy ?
LOB
(1 )
问题1
一、Green公式
是否所有二型线积分都有这样的性质：积分值只与曲线 L的起点和终点有关
而与曲线 L所走过的路径无关？ ( 否 )
B(1,1)
I 1 2 y2 y 2 ydy 1 y4dy o
0
0
x
A(1,0)
5 1 y4dy 1 0
1. 引例
一、Green公式
引求I 2xydx x2dy,其中L分别为：1) y2 x;2) y x2;
例
L
1 3)OAB上由O(0,0) B(1,1)一段有向曲线 (如图)。
L
LOAAB 来自12x 0dx
112 dy 1
0
0
1. 引例
一、Green公式
引求I 2xydx x2dy,其中L分别为：1) y2 x;2) y x2;
例
L
1 3)OAB上由O(0,0) B(1,1)一段有向曲线 (如图)。
猜一猜：
2xydx x2dy ?
ydx
其中，L是D的正向边界曲线。
G.F .:P 0,Q x
证：xdy
L
Py 0,Qx 1
(1 0)d D
D
同理： ydx d D ydx
L
D
L
例1
4. Green公式举例
求椭圆
x2 a2

10-3格林公式30309 46页PPT

若P Q
y
y x
B(x1,y1)
则B(x1,y1)PdxQdy
A(x0,y0)
o
A(x0,y0)
C(x1,y0)
x
x x 0 1P (x ,y0)d xy y 0 1 Q (x 1,y)dy图（B）
或 y y 0 1 Q (x 0 ,y ) d y x x 0 1 P (x ,y 1 ) dx ( 6 )
y
L
D1
l
or
x
02r2co2sr2r2si2nd
2.
(其中l 的方向取逆时针方向)
二、平面上曲线积分与路径无关的
条件
如果在区域G内有
y
PdxQdy L1
PdxQdy L2
L 1
B
L2
A
G
图（A）
o
x
则称曲线积分 L P Q d 在 G 内与 d x 路径无关 y ,
(L1,L2,L3对D来说为正) 方向
格林公式的实质 : 沟通了沿闭曲线的积分与
二重积分之间的联系 .
便于记忆形式:

x ydxdy LPdxQdy.
DP Q
在公式（1）中取P y, Q x, 即得
2dxdy xdy ydx
y
(1) 当(0,0)D时,
L
由格林公式知
L
xdy x2
yy2dx0
D
o
x
(2) 当 (0,0) D 时 ,
作位于 D 内圆周 l:x 2 y 2 r2 , y L
记 D 1由 L 和 l所围成 ,

十五讲格林公式及其应用-一连通区域省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

y
( x x,y)
P( x, y)dx Q( x, y)dy . ( x, y )
所以
O
u( x x, y) u( x, y)
M(x, y) N(x x, y)
M0 ( x0 , y0 )
x
( x x,y)
P( x, y)dx Q( x, y)dy
x x
P( x, y)dx .
( x, y )
x
由定积分中值定理，得
u( x x, y) u( x, y) P( x x, y) x,(0 1).
所以得到 u P( x, y) . x
同理可证 u Q( x, y) . y
即条件(2)是充分旳 .
若 P Q , y x
则 Pdx Qdy B( x1 ,y1 ) A( x0 , y0 )
其中具有连续的导数，且 (0) 0，计算曲线积分
(1,1)
xy2dx y ( x)dy . (0,0) 解 P( x, y) xy2 , Q( x, y) y ( x),
P ( xy2 ) 2xy , Q [ y ( x)] y ( x),
y y
x x
由积分与途径无关可知 P Q . y x
L
记 D 由 L 和 l 所围成. 1
应用格林公式,得
l D1
or
x
xdy ydx xdy ydx 0,
L x2 y2
l x2 y2
xdy ydx xdy ydx
L x2 y2
l x2 y2
y
L
D1
l
or
x
2 r 2 cos2 r 2 sin2 d
0
r2
( 其中 l 旳方向取逆时针方向 )

《D68格林公式》课件

D68格林公式PPT课件大纲
汇报人：
单击输入目录标题 D68格林公式简介 D68格林公式推导过程 D68格林公式实例解析 D68格林公式应用案例 D68格林公式总结与展望
添加章节标题
D68格林公式简介
公式背景
格林公式是描述向量场与曲面积分关系的重要公式格林公式在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用格林公式的提出者是英国数学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦格林公式的提出是为了解决电磁场理论中的问题
实例解析
公式介绍：D68格林公式是描述电磁场与电荷、电流关系的基本公式
实例1：计算电场强度
实例3：计算电荷分布实例4：计算电流分布
实例2：计算磁场强度
实例5：计算电磁场能量
实例结论
D68格林公式是一个重要的数学定理，广泛应用于物理、工程等领域
实例解析可以帮助我们更好地理解D68格林公式的应用场景和计算方法
应用D68格林公式：使用D68 格林公式进行计算
计算结果：得出精确的解
应用效果：提高了计算效率，节省了时间
应用案例二
案例背景：某公司需要解决一个复杂的数学问题应用D68格林公式：使用D68格林公式进行计算，得出精确结果结果分析：D68格林公式的应用使得问题得到快速解决，提高了工作效率结论：D68格林公式在解决复杂数学问题方面具有显著优势，值得推广和应用
公式重要性
D68格林公式是物理学中的重要公式，广泛应用于电磁学、光学等领域。
D68格林公式是理解电磁波传播、电磁场与物质相互作用等物理现象的基础。
D68格林公式在工程应用中具有重要价值，如天线设计、电磁兼容分析等。
D68格林公式对于理解电磁场与物质相互作用的微观机制具有重要意义。

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B
x
b
y
E
xd 1( y)
nD
c
C
o
m
x 2( y)
x
y 型区域
按照 y 型区域考虑
Q dxdy
d
[
2 ( y) Q(x, y)dx]dy
D x
c 1( y)
x
d
c Q( 2 ( y), y) Q(1( y), y)dy
Q(x, y)dy Q(x, y)dy Q(x, y)dy
3）平面曲线 L 的正向：当人（观
察者）沿L的方向行走时，D内在靠近人
Hale Waihona Puke 的一侧始终在人的左侧。L
L
D
D l洞
外圈是逆时针方向；内圈是顺时针方向。
2、格林(Green)公式(定理1)
（1）D 是由分段光滑 (或光滑)的有向
闭曲线 L 围成；（2）函数 P(x, y),Q(x, y) 在D上具有一
阶连续偏导数；
y2 x2 x2 y2
2
,
补充定理:
1) 设P，Q 在 D 内具有一阶连续偏导数
2)
在
D
内恒有
Q x
P y
3) L1, L2 为D内任意两条同向闭曲线;
4) L1,L2 各自所围的区域中有相同的不
属于D的点，则
D
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
L1 L2
解：当 (0,0利) 用D格林公式，结论为0.
（3）L要求取正向.（若不是正向 ? )
（4）二重积分的被积函数必须是 Q P .
x y
同学们思考一下，说明的第（2）条其实是可以修改的，应该改成什么？
例1 计算下列曲线积分:
(1). (x2 y cos x 2xysin x y2ex)dx (x2 sin x 2yex)dy L
2
2
1）单连通区域：
如果D内任一闭曲线所围成的部分
全都属于D ；
D内任意一条闭曲线
都可以连续地收缩为一点，
这一点也属于D；
D
D为无“洞”的区域。
单连通区域
2）复连通区域: 存在一些闭曲线它围成的区域不全属于D；存在一些闭曲线不能连续收缩为D中的点；有“洞”的区域（包括“点洞”）。
D 点洞洞
复连通区域
（3） L 取正向.则有
L
P(
x,
y)dx
Q(
x,
y)dy
D
Q x
P y
dxdy
——格林公式
3、说明：
（1） L必须是光滑或分段光滑的有向闭曲线，如果不封闭怎么办？
（2）函数 P(x, y),Q(x, y) 在D上必须具有一阶连续偏导数，如果在有些点处不满足（不存在或存在不连续），怎么解决？（重点与难点）
当 (0,时0) D
设 L : x2 y2 为 (围绕 0原) 点的简单闭曲线，围
成的区L域为 , 与L同向D L
y
L
xdy x2
ydx y2
xdy ydx L x2 y2
L
1 xdy ydx 1 2dxdy 2
L
D
L
x
D
例3 设C是围绕原点的任意一条光滑简单
( )Pdx Qdy Pdx Qdy.
MN L2 NM L
LL2
二、格林公式的应用
1、计算曲线积分
例2 计算
xdy ydx L x2 y2
其中 L 为一条无
重点分段光滑且不经过原点的连续闭
曲线，L 的方向为逆时针方向。
P y ,Q x
x2 y2
x2 y2
P Q y x
2xydx (x)dy 2xydx x2dy
L
x4 y2
L x4 y2
1 2xydx x2dy 1 4xdxdy 0
L
D
y
C L
x
D
例4 已知平面区域
y C(0, )
闭曲线，求
2xydx x2dy C x4 y2 .
（第二届中国大学生数学竞赛非数学类数学竞赛题15分，
其中的三分之一部分，前面两部分是05年高等数学一试题）
P(x,
y)
2xy x4 y2
,Q
x2 x4 y2
.
P
y
Q x
2x5 x4
2xy2 y2 2
.(x,
y)
(0, 0)
解：设 L : x4 y2 为围(绕原0)点的简单闭曲线，围成的区域L为，与 C 同向D， L
格林公式及其应用
从不定积分与定积分的引入来考虑两者之间没有任何关系，但牛顿—莱布尼茨公式将二者联系起来。
格林公式同样是将看似截然不同的两类积分: 二重积分与曲线积分有机的统一起来。
一、格林（Green）公式 1、预备知识：
为了学习格林公式，我们先介绍
三个基本概念：单连通区域、复连通区域、平面曲线的正向。
ABCmA
AnBA
BpCB
L Pdx Qdy.
p C L3 D3
n
B
D2 L2
A
D1 D
L1
L
m
（3）当积分区域D为复
连通区域时，如右图
将复连通区域沿着某一
D
条线段割开，将复连通区域转化为
L2
L
NN N
单连通区域（已证）
MM M
Q P
dxdy
Pdx Qdy
D x y
MNL2 NMLM
L
CmE
EnC
d
c Q( 2 ( y), y) Q(1( y), y)dy
D
Q x
dxdy
L Q(x,
y)dy
同理，按照 x 型区域考虑
D
P( x, y
y)
dxdy
L
P(x,
y)dx
D
Q x
P x
dxdy
L
P(x,
y)dx
Q(x,
y)dy
（2）当积分区域不满足既是 x 型，又
是 y 型时，如下图（分割成（1）的情
况）
p
n
C L3 D3
B A D2 L2
D1 D
L1
L
m
Q P
Q P
( )dxdy
( )dxdy
D x y
x D1 D2 D3 y
Q P
Q P
Q P
( )dxdy ( )dxdy ( )dxdy
D1 x y
D2 x y
D3 x y
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
2
其中L为星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0) 的正
向。
L
:
x y
a a
cos3 sin3
P Q y x
y
a
a Do a x
a
利用后面学过的知识发现积分与路径无关,结论显然是0.
(2). (ex sin y 2y)dx (ex cos y 2)dy L
其中L为上半圆周 (x a)2 y2 a2 , y 0
沿逆时针方向从A点到 O 点。
P ex sin y 2y,Q ex cos y 2,
Py ex cos y 2,Qx ex cos y,
5、格林公式的证明（体现分析过程）
证明(1)先考虑积分区域既是 x型，又是 y 型区域的情况，如图
y n y 2(x)
D
Am
y 1(x)
oa x 型区域