高三高考数学复习课件高考专题突破四高考中的立体几何问题

高三数学(文)立体几何专题(二)

命题人:钟建新

1.在梯形中，，，，，如图把沿翻折，使得平面平面. （Ⅰ）求证:平面；

（Ⅱ）若点为线段中点,求点到平面的距离．

2.一个四棱锥的三视图和直观图如图所示，其中俯视图中．为侧棱的中点． 求证：平面；

若为侧棱上的一点，且，则为何值时，平面？并求此时几何体的体积．

3.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．

（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D﹣ABC的表面积．

4 .如图，在多面体中，平面，∥，平面平面，，，．

（1）求证：∥； （2）求三棱锥的体积．

5.如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D为棱AB的中点，BC=1，AA1=．

（1）求证：BC1∥平面A1DC； （2）求三棱锥D﹣A1B1C 的体积．

6.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2a，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥，F是的中点。

（1）求证：平面⊥平面BCDE； （2）求证：EF∥平面；

（3）求四棱锥体积的最大值时。

7.如图，是底面边长为2，高为的正三棱柱，经过AB的截面与上底面相交于PQ，设． （Ⅰ）证明：PQ∥A1B1；

（Ⅱ）是否存在，使得平面截面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．

8.如图, 四棱柱的底面是正方形,为底面中心,

平面.

(1) 证明: 平面； (2) 求三棱柱的体积.

专题13 立体几何中的计算问题

【自主热身，归纳总结】

1、若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为 ．

【答案】：61

【解析】：设此正三棱锥的高为h，则，所以312h，33h，

故此三棱锥的体积．

2、 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则三棱锥AB1D1D的体积为________cm3.

【答案】 3

【解析】VAB1D1D＝VB1AD1D＝13S△ADD1×A1B1＝13×12×AD×D1D×A1B1＝13×12×3×2×3＝3.

3、将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27π cm3，则该圆柱的侧面积为________cm2.

【答案】：18π

【解析】：设正方形的边长为x cm，则圆柱的体积为πx2·x＝27π，解得x＝3，所以该圆柱的侧面积为2π×3×3＝18π(cm2)．

4、如图，正四棱锥PABCD的底面一边AB的长为23 cm，侧面积为83 cm2，则它的体积为________cm3.

【答案】 4

【解析】：如图，过点P作PO垂直于底面ABCD，且垂足为O，在平面ABCD中，过点O作直线AB的垂线，垂足为E，连结PE.

由正四棱锥的性质知，PE⊥AB，所以S侧＝(12×23×PE)×4＝83，解得PE＝2，在Rt△POE中，PO＝PE2－EO2＝22－3＝1，所以正四棱锥的体积为13×(23)2×1＝4.

5、已知正四棱柱的底面边长为3 cm，侧面的对角线长是35cm，则这个正四棱柱的体积是________cm3.

【答案】54

【解析】：设该正四棱柱的侧棱长为h cm，则(35)2＝32＋h2，解得h＝6(负值舍去)，从而这个正四棱柱的体积是V＝32×6＝54(cm3)．

6、若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的体积为________．

高三数学第一轮复习指导：立体几何

一、逐步提高逻辑论证能力

论证时，第一要保持严密性，对任何一个定义、定理及推论的明白得要做到准确无误。符号表示与定理完全一致，定理的所有条件都具备了，才能推出相关结论。切忌条件不全就下结论。其次，在论证问题时，摸索应多用分析法，即逐步地找到结论成立的充分条件，向已知靠拢，然后用综合法(推出法)形式写出。

二、立足课本，夯实基础

直线和平面这些内容，是立体几何的基础，学好这部分的一个捷径确实是认真学习定理的证明，专门是一些专门关键的定理的证明。例如：三垂线定理。定理的内容都专门简单，确实是线与线，线与面，面与面之间的关系的阐述。但定理的证明在出学的时候一样都专门复杂，甚至专门抽象。把握好定理有以下三点好处：

(1)深刻把握定理的内容，明确定理的作用是什么，多用在那些地点，如何用。

(2)培养空间想象力。

(3)得出一些解题方面的启发。

在学习这些内容的时候，能够用笔、直尺、书之类的东西搭出一个图形的框架，用以关心提高空间想象力。对后面的学习也打下了专门好的基础。

三、转化思想的应用

我个人觉得，解立体几何的问题，要紧是充分运用转化这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，有什么联系，这是专门关键的。例如：

(1)两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角即过空间任意一点引两条异面直线的平行线。斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角即斜线与斜线在该平面内的射影所成的角。

(2)异面直线的距离能够转化为直线和与它平行的平面间的距离，也能够转化为两平行平面的距离，即异面直线的距离与线面距离、面面距离三者能够相互转化。而面面距离能够转化为线面距离，再转化为点面距离，点面距离又可转化为点线距离。

(3)面和面平行能够转化为线面平行，线面平行又可转化为线线平行。而线线平行又能够由线面平行或面面平行得到，它们之间能够相互转化。同样面面垂直能够转化为线面垂直，进而转化为线线垂直。

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一．方法综述

立体几何的动态问题是高考的热点，问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解问题的思维障碍，使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性.一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等.此类题的求解并没有一定的模式与固定的套路可以沿用，很多学生一筹莫展，无法形成清晰的分析思路，导致该题成为学生的易失分点.究其原因，是因为学生缺乏相关素养和解决问题的策略造成的.

动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口.求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围.对于探究存在问题或动态范围（最值）问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静态问题.具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证.

二．解题策略

类型一 立体几何中动态问题中的角度问题

例1.【四川高考题】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为，则cos的最大值为.

【指点迷津】空间的角的问题，一种方法，代数法，只要便于建立空间直角坐标系均可建立空间直角坐标系，然后利用公式求解；另一种方法，几何法，几何问题要结合图形分析何时取得最大（小）值.当点M在P处时，EM与AF所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当M点向左移动时，EM与AF所成角逐渐变小时，点M到达点Q时，角最小，余弦值最大.

【举一反三】

1、【四川高考题】如图，在正方体1111ABCDABCD中，点O为线段BD的中点.设点P在线段1CC上，直线OP与平面1ABD所成的角为，则sin的取值范围是（）