2009年高考立体几何的题型解析与2010年高考立体几何二轮复习的教学建议
桃江一中 张 兵
历年高考对立体几何的考查题型有选择题、填空题及解答题三种，这三种题型基本上各有一题，2009年高考立体几何题仍保持了这种格局。
09年高考立体几何的选择题在全国卷中考查的是异面直线所成的角，宁夏、海南、山东、陕西考查的是三视图、面积、体积及其综合，湖南考查的是异面直线。
09年高考立体几何的填空题全国卷考查的是球的表面积，浙江、福建考查的是三视图、面积、体积的综合问题，湖南考查的是在球中求点面距离与二面角。
09年高考立体几何的解答题部份省份的命题范围如下：
所属地域 命题范围
全国卷 证线段相等、证中点、求线面角和二面角
广东（新） 三视图、体积、线面垂直、异面直线所成的角
北京 证线面平行、求线面角、点到直线的距离
山东（新） 证线面平行、求二面角
安徽（新） 求二面角、体积、证垂直
江西 证面面垂直、求线面角、点面距离
湖北 证线线垂直、求二面角
四川 证线面垂直、线面平行、求二面角
辽宁（新） 求线面角、线段的长、用反证法证直线异面
宁夏、海南（新） 证线线垂直、求体积
陕西 证线线垂直、求二面角
天津（新） 证面面垂直、求异面直线所成的角、二面角
福建（新） 证线线垂直、求侧面积
重庆 求点面距离、线面距离、三面角
湖南 证面面垂直、求线面角
注：加“（新）”表示此卷是新课程高考试卷 2
根据各地区对立体几何的考查范围来看，在选择题与填空题中，三视图结合面积、体积进行综合考查的题型在多个省份中出现，是命题的趋势，此种题综合性强，考查的知识面广，能很好地检验学生的读图、作图能力。2010年是湖南课改后高考的第一年，三视图是新增内容，对这种题型我们要引起足够的重视。另外，在选择题、填空题中，除保留传统的单选题外，还出现了“多选填空”和“完型填空”等灵活形式。在解答题中，证明与计算相结合考查的是命题的大体趋势；证明部分无外乎是证平行、垂直；计算部分是求空间角与空间距离。题目的解答方法有传统方法与空间向量两种选择，将近三分之一的省份在解答中没有直接出现两两垂直关系，这提高了用空间向量解决立体几何问题的难度。2010年湖南的文科删除了用空间向量解决立体几何问题这一块，根据湖南的理科高考考标和教学大纲分析，实际上理科加强了空间向量与立体几何这块的考查力度，只不过对距离的计算降低了要求。09年高考，立体几何的难度与前几年的基本持平，但由于新课程标准减少了立体几何的教学课时，教材降低了对推理论证的要求，这样一来，立体几何的实际难度就比原来大了，这说明立体几何对传统的主干知识的考查力度没有削弱，尤其对空间想象能力与立体几何的模型思想的要求很高，具有“依据教材、高于教材”的特点。
12020高三理科数学一轮复习讲义四《立体几何热点问题》核心热点真题印证核心素养
线、面位置关系的证
明与线面角2018·Ⅰ，18；2018·Ⅱ，20；2016·天津，17；
2018·天津，17；2017·北京·16数学运算、逻辑推
理、直观想象
线、面位置关系的证
明与二面角2018·Ⅲ，19；2017·Ⅲ，19；2017·Ⅰ，18；
2017·Ⅱ，19；2016·Ⅰ，18；2016·Ⅱ，19数学运算、逻辑推
理、直观想象
教材链接高考——线面位置关系与空间角
[教材探究](选修2－1P109例4)
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，点E是PC
的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PA∥平面EDB；(2)求证：PB⊥平面EFD；
(3)求二面角C－PB－D的大小．
[试题评析]1.本例包括了空间向量在立体几何中最主要的两个应用：(1)证明或判定空间中的线面位置
关系，(2)求空间角．
2．教材给出的解法虽然都用到了向量，但第(1)(2)题仍然没有脱离线面平行、线面垂直的判定定理，
第(3)题是先找到二面角的平面角，然后利用向量求解．
3．除了教材给出的解法外，我们还可以利用相关平面的法向量解答本题，其优点是可以使几何问题代
数化．
【教材拓展】已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为正方形，且PA⊥平面ABCD，tan∠PBA＝6
3，F
为PC的中点，求二面角C－AF－D的余弦值．
解如图所示，因为底面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD，
2所以PA，AB，AD两两垂直，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝1，
则PA＝AB·tan∠PBA
＝6
3，则B(1，0，0)，
P0，0
，6
3，C(1
，1，0)，故F1
2，1
2
，6
6，D(0，1，0)，
所以AD→
＝(0，1，0)，
AF→
＝1
2，1
2
，6
6，
设平面AFD的法向量为n＝(x，y，z)，则
AD→·n＝0，
AF→·n＝0，得y＝0，
R P Q α C B A 第三章 立体几何初步
第1课时 平面的基本性质
基础过关
公理1 如果一条直线上的 在同一个平面内，那么这条直线上的 都在这个平面内
(证明直线在平面内的依据)．
公理2 如果两个平面有 个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是
(证明多点共线的依据)．
公理3 经过不在 的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)．
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面．
推论2 经过两条 直线，有且只有一个平面．
推论3 经过两条 直线，有且只有一个平面．
典型例题
例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于O，AC、BD交于点M．
求证：点C1、O、M共线．
证明：
A1A∥CC1确定平面A1C
A1C面A1C O∈面A1C
O∈A1C
面BC1D∩直线A1C＝O O∈面BC1D
O在面A1C与平面BC1D的交线C1M上
∴C1、O、M共线
变式训练1：已知空间四点A、B、C、D不在同一平面内，求证：直线AB和CD既不相交也不平行．
提示：反证法．
例2. 已知直线l与三条平行线a、b、c都相交．求证：l与a、b、c共面．
证明：设a∩l＝A b∩l＝B c∩l＝C
a∥b a、b确定平面α lβ
A∈a, B∈b
b∥cb、c确定平面β 同理可证lβ
所以α、β均过相交直线b、l α、β重合 cα a、b、c、l共面
变式训练2：如图，△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线AB、BC、CA分别交平面α于P、Q、R点．求证：P、Q、R共线．
证明：设平面ABC∩α＝l，由于P＝AB∩α，即P＝平面ABC∩α＝l，
即点P在直线l上．同理可证点Q、R在直线l上．
大题专项练习(四) 立体几何
1．[2020·安徽池州月考]如图，在几何体ABC－A1B1C1中，平面A1ACC1⊥底面ABC，四边形A1ACC1是正方形，B1C1∥BC，Q是A1B的中点，且AC＝BC＝2B1C1，∠ACB＝2π3.
(1)证明：B1Q⊥A1C；
(2)求直线AC与平面A1BB1所成角的正弦值．
2．[2020·全国卷Ⅲ]如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧»CD所在平面垂直，M是»CD上异于C，D的点．
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
(2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值．
3．[2020·康杰中学模拟]已知四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝BC＝1，沿对角线BD将△ABD旋转，使得点A至点P的位置，此时满足PD⊥BC.
(1)证明：PD⊥CD；
(2)求二面角A－PB－C平面角的正弦值．
4．[2020·武威六中第六次诊断考试]如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB上的中点．
(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若二面角P－AC－E的余弦值为63，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
5．[2020·安徽安庆一中模拟]如图，在各棱长均为2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为棱A1B1与BB1的中点，M，N为线段C1D上的动点，其中，M更靠近D，且MN＝C1N.
(1)证明：A1E⊥平面AC1D；
(2)若NE与平面BCC1B1所成角的正弦值为1020，求异面直线BM与NE所成角的余弦值．
6．[2020·福建三明一中模拟]如图所示，四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝120°，AB＝2，BE∥DF，且BE＝DF＝3，DF⊥平面ABCD，
(1)求证：平面ABE⊥平面ABCD；
