第 1 页 共 32 页 【新课标版】
【三年真题重温】
【2011新课标全国】如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB60，2ABAD，PD⊥底面ABCD．
(Ⅰ) 证明：PA⊥BD；
(Ⅱ) 若PDAD，求二面角APBC的余弦值．
【解析】(Ⅰ) ∵DAB=060,AB=2AD,由余弦定理得BD=3AD,
∴22BDAD=2AB, ∴BD⊥AD．
又∵PD⊥面ABCD， ∴BD⊥PD． ∴BD⊥平面PAD， ∴PABD．
427cos,727mn．故二面角APBC的余弦值为 277． 第 2 页 共 32 页
【2012 新课标全国】如图，直三棱柱111ABCABC中，112ACBCAA，
D是棱1AA的中点，BDDC1
（1）证明：BCDC1
（2）求二面角11CBDA的大小。
解析：（1）在RtDAC中，ADAC
得：45ADC
设ACa，则122aCO，1112230CDaCOCDO
既二面角11CBDA的大小为30
【2013新课标全国】如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°.
（Ⅰ）证明AB⊥A1C;
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。 第 3 页 共 32 页
【答案】（1）取AB的中点O，连接1OCO、1OAO、1AB，因为CA=CB，所以OCAB，由于AB=A A1，∠BA
【命题意图猜想】
纵观2011年和2012年2013年的高考题对本热点的考查，可以发现均以规则几何体为背景，这样建立空间直角坐标系较为容易，2011年以四棱锥为几何背景考查线线垂直的判定和二面角的求法，可以运用传统几何法，也可以用空间向量方法求解.突出考查空间想象能力和计算能力..在2012年主要以直三棱柱为几何背景考查线线垂直的判定和二面角的求法，可以运用传统几何法，也可以用空间向量方法求解.突出考查空间想象能力和计算能力. 2013年以三棱柱为几何背景考查线线垂直的判定、线面垂直、面面垂直的性质以及向量法求线面角，考查学生的化归与转化能力、空间想象能力以及基本运算能力. 从近几年的高考试题来看，线线垂直的判定、线面垂直的判定、面面垂直的判定与性质、线面角等是高考的热点，题型既有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏高，客观题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，考查线面角的概念及求法；而主观题不仅考查以上内容，同时还考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力．而直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定高考大题没涉及，而在小题中考查，从高考试题来看，利用空间第 4 页 共 32 页 向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点，题型主要为解答题，难度属于中等，主要考查向量的坐标运算，以及向量的平行与垂直的充要条件，如何用向量法解决空间角问题等，同时注重考查学生的空间想象能力、运算能力．预测2014年高考，可能以锥体为几何背景，第一问以线面平行，面面平行为主要考查点，第二问可能给出一个角，求点的位置或设置一个探索性命题，突出考查空间想象能力和逻辑推理能力，以及分析问题、解决问题的能力．
- 1 - "【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何单元质量评估课时作业 新人教A版选修2-1 "
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列说法中不正确的是( )
A.平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量
B.一个平面的所有法向量互相平行
C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也垂直
D.如果a,b与平面α共面且n⊥a,n⊥b,那么n就是平面α的一个法向量
【解析】选D.只有当a,b不共线且a∥α,b∥α时,D才正确.
2.同时垂直于a=(2,2,1),b=(4,5,3)的单位向量是( )
A.
B.
C.
D.或
【解析】选D.设所求向量为c=(x,y,z),由c·a=0及c·b=0及|c|=1得
检验知选D.
3.(2014·金华高二检测)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c共面,则实数λ等于( )
A. B. C. D.
【解析】选D.易得c=ta+μb=(2t-μ,-t+4μ,3t-2μ),
所以解得故选D.
4.(2014·银川高二检测)已知矩形ABCD,PA⊥平面ABCD,则以下等式中可能不成立的是( )
- 2 - A.·=0 B.·=0
C.·=0 D.·=0
【解析】选B.选项A,⇒DA⊥平面PAB
⇒DA⊥PB⇒·=0;由A可知·=0,C正确;
选项D,PA⊥平面ABCD⇒PA⊥CD⇒·=0;
选项B,若·=0,则BD⊥PC,
又BD⊥PA,所以BD⊥平面PAC,故BD⊥AC,
但在矩形ABCD中不一定有BD⊥AC,故B不一定成立.
5.已知a=(cosα,1,sinα),b=(sinα,1,cosα),且a∥b,则向量a+b与a-b的夹角是( )
1 2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第7章《立体几何》（第5课时）（新人教A版）
一、选择题
1．(2013·北京海淀区期末)已知平面α、β，直线l，若α⊥β，α∩β＝l，则( )
A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α
B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α
C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l
D．垂直于直线l的平面一定与平面α、β都垂直
解析：选D.对于A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错；对于B，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B错；对于C，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故C错；易知D正确．
2．(2012·高考浙江卷)设l是直线，α，β是两个不同的平面( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
解析：选B.对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交，故选B.
3．(2013·洛阳统考)已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是( )
A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
B．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
C．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
D．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β
解析：选C.对于选项A，若m∥α，α∩β＝n，则m∥n或m，n是异面直线，所以A错误；对于选项B，n可能在平面α内，所以B错误；对于选项D，m与β的位置关系还可以是m⊂β，m∥β或m与β斜交，所以D错误；由面面垂直的性质可知C正确．
4．(2012·高考浙江卷)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，( )
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
第 1 页 共 21 页
（一） 选择题（12*5=60分）
1. 【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）
A．23 B．25 C．433 D．533
2. 【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题】对于平面，，和直线a，b，m，n，下列命题中真命题是 （ ）
A.若,,,,amanmn,则a； B.若//,,,ab则//ab；
C.若//,abb,则//a； D.若,,//,//abab,则//.
【解析】
第 2 页 共 21 页 3. 【浙江省温州八校2014届高三10月期初联考数学(理)】已知nm,为异面直线，m平面，n平面.直线l满足,,,lmlnll，则（ ）
A．//，且//l B．，且l
C．与相交，且交线垂直于l D．与相交，且交线平行于l
4.【中原名校联盟2013-2014学年高三上期第一次摸底考试理】正方形AP1P2P3的边长为4，点B，C分别是边P1P2，P2P3的中点，沿AB，BC，CA折成一个三棱锥P－ABC（使P1，P2，P3重合于P），则三棱锥P－ABC的外接球表面积为 （ ）
A．24π B．12π C．8π D．4π
5.【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底数学(理)】设nm,是空间两条直线，,是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．的是（ ）
A．当m时，“//n”是“nm//”的必要不充分条件
