江苏九年级数学上册知识点

1 第一章证明（一）

1、你能证明它吗？

（1）三角形全等的性质及判定

全等三角形的对应边相等，对应角也相等

判定：SSS、SAS、ASA、AAS、

（2）等腰三角形的判定、性质及推论

性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）

判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）

推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）

（3）等边三角形的性质及判定定理

性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。

判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。

（4）含30度的直角三角形的边的性质

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2、直角三角形

（1）勾股定理及其逆定理

定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

（2）直角三角形全等的判定定理

定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）

3、线段的垂直平分线

（1）线段垂直平分线的性质及判定

性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

（2）三角形三边的垂直平分线的性质

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线

分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。

4、角平分线

（1）角平分线的性质及判定定理

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；

判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

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资料来源于网络 仅供免费交流使用 苏教版九年级上册数学

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

圆的有关概念及圆的确定—知识讲解

【学习目标】

1．知识目标：理解圆的描述概念和圆的集合概念；理解半径、直径、弧、弦、弦心距、圆心角、同心圆、等圆、等弧的概念；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；了解不在同一直线上的三点确定一个圆，了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的外接三角形的概念.

2．能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，进行计算或证明；会过不在同一直线上的三点作圆.

3．情感目标：在确定点和圆的三种位置关系的过程中体会用数量关系来确定位置关系的方法，逐步学会用变化的观点及思想去解决问题，养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.

【要点梳理】

要点一、圆的定义

1. 圆的描述概念

如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

要点诠释：

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

②圆是一条封闭曲线.

2.圆的集合概念

圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.

平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.

圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.

要点诠释：

①定点为圆心，定长为半径；

②圆指的是圆周，而不是圆面；

③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.

要点二、点与圆的位置关系

点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 精品文档 用心整理

北师大版《数学》（九年级上册）知识点总结

第一章 证明（二）

一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）。

（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）。

（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。

推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）。

二、等腰三角形

1、等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。

等腰三角形的其他性质：

①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则2b

④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=2180A

2、等腰三角形的判定

(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。

(2)有两条边相等的三角形是等腰三角形.

三、等边三角形 性质：（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。

（2）三线合一

判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形

（3）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

四、直角三角形

（一）、直角三角形的性质

1、直角三角形的两个锐角互余

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

4、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即222cba

其它性质：

1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似。

1

1.1 等腰三角形的性质和判定

▲ 知识点1：等腰三角形的性质定理1

等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。

▲ 知识点2：等腰三角形的性质定理2

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。

▲ 知识点3：等腰三角形的判定定理

如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。

▲ 知识点4：等边三角形的性质与判定

等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。

三个角都相等的三角形是等边三角形。

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，而等腰三角形只有一条对称轴。

1.2 直角三角形全等的判定

▲ 知识点1：直角三角形全等的判定定理

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写为“HL”）。

▲ 知识点2：角平分线的性质定理

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

▲ 知识点3：角平分线性质定理的逆定理

角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

▲ 知识点4：三角形角平分线的性质定理

三角形的三条角平分线交于一点，这点到三角形三边的距离相等。

▲ 知识点5：一个内角为30°的直角三角形中的定理

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定

▲ 知识点1：平行四边形的性质

（1）平行四边形的对边相等；

（2）平行四边形的对角相等； 2

（3）平行四边形的对角线互相平分。

▲ 知识点2：矩形的性质

（1）矩形的4个角都是直角；

（2）矩形的对角线相等。

▲ 知识点3：直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

▲ 知识点4：菱形的性质

（1）菱形的4条边都相等；