2016年北京市顺义区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
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2016年北京市顺义区高考数学一模试卷（理科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项.
1．（5分）已知i为虚数单位，则i（2i+1）＝（ ）
A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i
2．（5分）已知集合A＝{x|x2＜1}，B＝{x|log
2x＜1}，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|0＜x＜2} D．{x|﹣1＜x＜2}
3．（5分）下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．y＝2x B．y＝x3+x C
． D．y＝﹣log
2x
4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）
A．15 B．21 C．24 D．35
5．（5分）已知向量，，其中x∈R．则“x＝2”是“”
成立的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
6．（5分）直线l
：（t为参数）与圆C
：（θ为参数）
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的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切
C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心
7．（5
分）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）表示的区
域面积等于1，则a的值为（ ）
A
． B
． C
． D．1
8．（5分）如图，已知平面α∩平面β＝l，α⊥β．A、B是直线l上的两点，C、
D是平面β内的两点，且DA⊥l，CB⊥l，DA＝4，AB＝6，CB＝8．P是平面
α上的一动点，且有∠APD＝∠BPC，则四棱锥P﹣ABCD体积的最大值是
（ ）
A．48 B．16 C． D．144
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
9．（5分）（x2
+）6的展开式中x3的系数是 ．（用数字作答）
10．（5分）抛物线y2＝﹣8x
的准线与双曲线的两条渐近线所围成
的三角形面积为 ．
11．（5分）已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据
图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是 （单位：cm2）．
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12．（5分）已知函数f（x
）＝，则＝ ；
f（x）的最小值为 ．
13．（5分）某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂），
要求此患者每天早、晚间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克．假
设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%，并
且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用．若该患
者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时，药在其体内的
残留量是 毫克，若该患者坚持长期服用此药 明显副作用（此
空填“有”或“无”）．
14．（5分）设A
1，A
2，A
3，A
4，A
5是空间中给定的5个不同的点，
则使
成立的点M的个数有 个．
三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．（13
分）已知函数，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）若，求函数f（x）的单调递增区间．
16．（13分）在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了A，
B两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题A可获得100分，答
对问题B可获得200分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答
题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答
题．答题终止后，获得的总分决定获奖的等次．若甲是被抽到的答题同学，
且假设甲答对A，B
问题的概率分别为．
（Ⅰ）记甲先回答问题A再回答问题B得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学
期望；
（Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由．
17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，等边△PAD所在的平面与正方形ABCD
所在的平面互相垂直，O为AD的中点，E为DC的中点，且AD＝2．
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（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角P﹣EB﹣A的余弦值；
（Ⅲ）在线段AB上是否存在点M，使线段PM与△PAD所在平面成30°角．若
存在，
求出AM的长，若不存在，请说明理由．
18．（13分）已知函数f（x）＝x2﹣lnx．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）设g（x）＝x2﹣x+t，若函数h（x）＝f（x）﹣g（x
）在上（这里
e≈2.718）恰有两个不同的零点，求实数t的取值范围．
19．（14分）已知椭圆E
：（a＞b＞0
）的离心率
，且点
在椭圆E上．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB
的垂直平分线经过点．求
△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．
20．（14分）在数列{a
n}中，a
1＝0，，其中m∈R，n∈N*．
（Ⅰ）当m＝1时，求a
2，a
3，a
4的值；
（Ⅱ）是否存在实数m，使a
2，a
3，a
4构成公差不为0的等差数列？证明你的结
论；
（Ⅲ）当m
＞时，证明：存在k∈N*，使得a
k＞2016．
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2016年北京市顺义区高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项.
1．（5分）已知i为虚数单位，则i（2i+1）＝（ ）
A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i
【解答】解：由题意，i（2i+1）＝i×2i+i＝﹣2+i
故选：C．
2．（5分）已知集合A＝{x|x2＜1}，B＝{x|log
2x＜1}，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|0＜x＜2} D．{x|﹣1＜x＜2}
【解答】解：集合A＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|log
2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，
则A∩B＝{x|0＜x＜1}，
故选：B．
3．（5分）下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．y＝2x B．y＝x3+x C
． D．y＝﹣log
2x
【解答】解：A．y＝2x的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；
B．y＝x3+x的定义域为R，且（﹣x）3+（﹣x）＝﹣（x3+x）；
∴该函数为奇函数；
y＝x3和y＝x在R上都是增函数；
∴y＝x3+x在R上是增函数，∴该选项正确；
C
．反比例函数在定义域上没有单调性，∴该选项错误；
D．y＝﹣log
2x的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项
错误．
故选：B．
4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）
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A．15 B．21 C．24 D．35
【解答】解：模拟执行程序，可得
S＝0，i＝1
T＝3，S＝3，i＝2
不满足i＞4，T＝5，S＝8，i＝3
不满足i＞4，T＝7，S＝15，i＝4
不满足i＞4，T＝9，S＝24，i＝5
满足i＞4，退出循环，输出S的值为24．
故选：C．
5．（5分）已知向量，，其中x∈R．则“x＝2”是“”
成立的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解答】解：∵，∴x2﹣4＝0，解得x＝±2．
∴“x＝2”是“”成立的充分不必要条件．
故选：A．
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6．（5分）直线l
：（t为参数）与圆C
：（θ为参数）
的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切
C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心
【解答】解：把圆的参数方程化为普通方程得：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，
∴圆心坐标为（2，1），半径r＝2，
把直线的参数方程化为普通方程得：x﹣y+1＝0，
∴圆心到直线的距离d
＝＜r＝2，
又圆心（2，1）不在直线x﹣y+1＝0上，
则直线与圆的位置关系为相交但不过圆心．
故选：D．
7．（5
分）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）表示的区
域面积等于1，则a的值为（ ）
A
． B
． C
． D．1
【解答】
解：不等式组所围成的区域如图ABCD所示，
∵其面积为1，A（2，2a+1），B（2，0），C（1
，），D（1，a+1）
∴S
ABCD
＝＝1，
解得a
＝．
故选：B．
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8．（5分）如图，已知平面α∩平面β＝l，α⊥β．A、B是直线l上的两点，C、
D是平面β内的两点，且DA⊥l，CB⊥l，DA＝4，AB＝6，CB＝8．P是平面
α上的一动点，且有∠APD＝∠BPC，则四棱锥P﹣ABCD体积的最大值是
（ ）
A．48 B．16 C． D．144
【解答】解：∵平面α∩平面β＝l，α⊥β，DA⊥l，CB⊥l，DA⊂平面β，CB⊂
平面β，
∴DA⊥平面α，CB⊥平面α，
∵PA⊂平面α，PB⊂平面α，
∴DA⊥PA，CB⊥PB．
∵∠APD＝∠BPC，
∴
，即，∴PB＝2PA．
以直线l为x轴，AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，
则A（﹣3，0），B（3，0）．设P（x，y），则PA＝，PB＝，
∴2＝，整理得（x+5）2+y2＝16（y＞0）．
∴P点的轨迹为以（﹣5，0）为圆心，以4为半径的半圆．
∴当P到直线l的距离h＝4时，四棱锥P﹣ABCD体积取得最大值．
