人教版高中选修2-21.3导数在研究函数中的应用教学设计 (2)

1 高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用（第3课时）课堂探究 新人教A版选修2-2

探究一 求函数的最值

求解函数在固定区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还需注意以下几点：

(1)对函数进行准确求导；

(2)研究函数的单调性，正确确定函数的极值和端点的函数值；

(3)比较极值与端点函数值的大小，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论．

【典型例题1】求下列函数的最值：

(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－3，3]；

(2)f(x)＝sin 2x－x，x∈－π2，π2.

思路分析：按照求函数最值的方法与步骤，通过列表进行计算与求解．

解：(1)f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x－1)(x＋1)．

令f′(x)＝0，得x＝1，或x＝－1.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x －3 (－3，－1) －1 (－1,1) 1 (1，3) 3

f′(x) － 0 ＋ 0 －

f(x) 0  －2  2  0

由上表可知：

当x＝1时，f(x)取得最大值，[f(x)]max＝f(1)＝2.

当x＝－1时，f(x)取得最小值，[f(x)]min＝f(－1)＝－2.

(2)f′(x)＝2cos 2x－1，

令f′(x)＝0，－π2≤x≤π2，得x＝－π6或x＝π6.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x －π2 错误! －π6 错误! π6 错误! π2

f′(x) － 0 ＋ 0 －

f(x) π2  π6－32  32－π6  －π2

由上表可知：

当x＝－π2时f(x)取得最大值f－π2＝π2， 2 当x＝π2时f(x)取得最小值fπ2＝－π2.

探究二 含参数的函数最值问题

由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值变化．因此需要对参数进行分类讨论，分类时常见于讨论：①f′(x)的类型，如f′(x)＝ax2＋2x－1时，可以分a＞0，a＝0，a＜0三种情况讨论；②当f′(x)＝0时注意是否有解，若有解，则讨论根是否在定义域内，根的大小是否确定．③有时，可以用可能的极值或最值的大小关系分类．

1 高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用教材习题点拨 新人教A版选修2-2

教材问题解答

(问题)

如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特征？

答：如果在某个区间上恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)在这个区间上是常数函数．

(思考)

请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考某个区间上函数y＝f(x)的平均变化率的几何意义与其导数正负的关系．

答：函数y＝f(x)的平均变化率fx2－fx1x2－x1的几何意义是经过(x1，f(x1))，(x2，f(x2))两点直线的斜率．

当导数为正值时，函数单调递增，平均变化率fx2－fx1x2－x1＞0；当导数为负值时，函数单调递减，平均变化率fx2－fx1x2－x1＜0.

(问题)

如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？运算过程麻烦吗？你有什么体会？

答：如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，也可以求解本题，但运算过程相对麻烦，有时需要变形的很多技巧，特别是判断三次的多项式函数的单调性时，这种方法不是一种简便的方法，导数是研究函数单调性的工具，其方法具有普适性、通用性．

练习1

1．解：(1)因为f(x)＝x2－2x＋4，所以f′(x)＝2x－2.

当f′(x)＞0，即x＞1时，函数f(x)＝x2－2x＋4单调递增；

当f′(x)＜0，即x＜1时，函数f(x)＝x2－2x＋4单调递减．

(2)因为f(x)＝ex－x，所以f′(x)＝ex－1.

当f′(x)＞0，即x＞0时，函数f(x)＝ex－x单调递增；

当f′(x)＜0，即x＜0时，函数f(x)＝ex－x单调递减．

(3)因为f(x)＝3x－x3，所以f′(x)＝3－3x2.

当f′(x)＞0，即－1＜x＜1时，函数f(x)＝3x－x3单调递增；

当f′(x)＜0，即x＞1或x＜－1时，函数f(x)＝3x－x3单调递减．

1 高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用（第2课时）课堂探究 新人教A版选修2-2

探究一 求函数的极值

用导数研究函数的极值的步骤及应对策略：

(1)求定义域，并求导数f′(x)；

(2)解方程f′(x)＝0；

(3)列出表格．

在判断f′(x)的符号时，可借助决定导函数符号的图象直观解决；也可判断导函数中各因式的符号；还可用特值法判断，要灵活、快速、准确；

(4)由表格获得结论．

实质上表格反映的就是函数的草图，下结论时应注意“极值”和“极值点”的区别．

【典型例题1】求下列函数的极值：

(1)f(x)＝x3－12x；

(2)f(x)＝sin x(1＋cos x)(0＜x＜2π)．

思路分析：求f(x)的定义域→求f′(x)→解方程f′(x)＝0→列表分析→结论

解：(1)函数f(x)的定义域为R；

f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．

令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞)

f′(x) ＋ 0 － 0 ＋

f(x)  16  －16 

从表中可以看出，当x＝－2时，函数有极大值，且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16.

当x＝2时，函数有极小值，且f(2)＝23－12×2＝－16.

(2)f′(x)＝cos x(1＋cos x)＋sin x(－sin x)

＝cos x＋cos2x－sin2x

＝cos x＋cos2x－(1－cos2x)

＝2cos2x＋cos x－1＝(2cos x－1)(cos x＋1)．

令f′(x)＝0，得cos x＝12或cos x＝－1.

当0＜x＜2π时，x1＝π3，x2＝π，x3＝5π3.

当x在区间(0,2π)内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 2 x 0，π3 π3 π3，π π 错误! 5π3 5π3，2π

极大值与极小值(1)

教学过程

一、 问题情境

(图1)

观察给定函数图象,在P和Q两侧图象的单调性变化:

P点处从左侧到右侧由上升变为下降(函数由单调递增变为单调递减),这时在点P附近,点P的位置最高;

Q点处从左侧到右侧由下降变为上升(函数由单调递减变为单调递增),这时在点Q附近,点Q的位置最低.[1]

二、 数学建构

问题1 上述的结论如果用数学语言该怎样来描述?[2]

解 1. 极大值点:已知函数f(x),设x1是定义域内一点,如果在x1附近的所有的x,都有f(x)

极小值点:已知函数f(x),设x2是定义域内一点,如果在x2附近的所有的x,都有f(x)>f(x2),就说函数f(x)在x2处取得极小值,把x2称为f(x)的一个极小值点.

2. 极大值:称f(x1)为函数f(x)的一个极大值;

极小值:称f(x2)为函数f(x)的一个极小值.

极大值与极小值统称为极值.

问题2 在定义域内,函数的极大值是唯一的吗?函数的极大值一定大于其极小值吗? 函数的极值点可能在区间的端点产生吗?试作图说明.[3]

问题3 极值点处导数有何特点?当f'(x0)=0时,能否肯定函数f(x)在x0处取得极值?[4]

问题4 函数的极值与函数的导数有怎样的关系?[5] 3. 函数极值与导数关系:

如果f'(x0)=0,且在x0的附近的左侧f'(x0)>0,右侧f'(x0)<0,那么f(x0)是极大值;如果f'(x0)=0,且在x0的附近的左侧f'(x0)<0,右侧f'(x0)>0,那么f(x0)是极小值.

表1

x x1左侧 x1 x1右侧

f'(x) f'(x)>0 f'(x)=0 f'(x)<0

f(x) 增↗ 极大值f(x1) ↘减

表2

x x2左侧 x2 x2右侧

f'(x) f'(x)<0 f'(x)=0 f'(x)>0

f(x) ↘减 极小值f(x2) 增↗

概念理解

1. 取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.