高中数学(人教A版,选修22)1.3 导数在研究函数中的应用

选修2-2 第一章 1.3 1.3.1

一、选择题

1．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为( )

A．(－∞，－1]和[0,1] B．[－1,0]和[1，＋∞)

C．[－1,1] D．(－∞，－1]和[1，＋∞)

[答案] A

[解析] y′＝4x3－4x，

令y′<0，即4x3－4x<0，

解得x<－1或0

2．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则( )

A．a≤0 B．a<1

C．a<2 D．a≤13

[答案] A

[解析] f ′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，∴a≤0.

3．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f ′(x)>0，g′(x)> 0，则x<0时( )

A．f ′(x)>0，g′(x)>0 B．f ′(x)>0，g′(x)<0

C．f ′(x)<0，g′(x)>0 D．f ′(x)<0，g′(x)<0

[答案] B

[解析] f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x<0时，f ′(x)>0，g′(x)<0.

4．(2013·武汉市实验中学高二期末)设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m>43，则p是q的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

[答案] B

[解析] f ′(x)＝3x2＋4x＋m，∵f(x)在R上单调递增，∴f ′(x)≥0在R上恒成立，∴Δ＝16－12m≤0， ∴m≥43，故p是q的必要不充分条件．

5．设f ′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f ′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是(

)

[答案] C

[分析] 由导函数f ′(x)的图象位于x轴上方(下方)，确定f(x)的单调性，对比f(x)的图象，用排除法求解．

[解析] 由f ′(x)的图象知，x∈(－∞，0)时，f ′(x)>0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f ′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x)为增函数．

只有C符合题意，故选C.

6．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设函数F(x)＝fxex是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f ′(x)满足f ′(x)

A．f(2)>e2f(0)，f(2012)>e2012f(0) B．f(2)e2012f(0)

C．f(2)e2f(0)，f(2012)

[答案] C

[解析] ∵函数F(x)＝fxex的导数

F′(x)＝f ′xex－fxexex2＝f ′x－fxex<0，

∴函数F(x)＝fxex是定义在R上的减函数，

∴F(2)

同理可得f(2012)

7．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为________．

[答案] (－∞，－1)

[解析] 函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为

(2，＋∞)∪(－∞，－1)，

令f(x)＝x2－x－2，f ′(x)＝2x－1<0，得x<12，

∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－∞，－1)．

8．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．

[答案] (－∞，0]

[解析] ∵f(x)＝x3－ax2－3x，∴f ′(x)＝3x2－2ax－3，

又因为f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，

f ′(x)＝3x2－2ax－3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，

∴ a3≤1，f ′1＝3×12－2a－3≥0，解得a≤0，

故答案为(－∞，0]．

9．(2014·郑州网校期中联考)若f(x)＝－12x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是__________________．

[答案] b≤－1

[解析] f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，∴f ′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵f ′(x)＝－x＋bx＋2，∴－x＋bx＋2≤0，∵b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，∴b≤－1.

三、解答题

10．(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.

(1)求a、b的值；

(2)求函数f(x)的单调区间．

[解析] (1)∵函数f(x)的图象过点P(1,2)，

∴f(1)＝2. ∴a＋b＝1. ①

又函数图象在点P处的切线斜率为8，

∴f ′(1)＝8，

又f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，

∴2a＋b＝5. ②

解由①②组成的方程组，可得a＝4，b＝－3.

(2)由(1)得f ′(x)＝3x2＋8x－3，

令f ′(x)>0，可得x<－3或x>13；

令f ′(x)<0，可得－3

∴函数f(x)的单调增区间为(－∞，－3)，(13，＋∞)，单调减区间为(－3，13)．

一、选择题

11．(2012·天津理，4)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )

A．0 B．1

C．2 D．3

[答案] B

[解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．

∵f(x)＝2x＋x3－2,00在(0,1)上恒成立，∴f(x)在(0,1)上单调递增．

又f(0)＝20＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，f(0)f(1)<0，则f(x)在(0,1)内至少有一个零点，

又函数y＝f(x)在(0,1)上单调递增，则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点．

12．(2014·北京西城区期末)已知函数f(x)及其导数f ′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f ′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数是( )

①f(x)＝x2，②f(x)＝e－x，③f(x)＝lnx，④f(x)＝tanx，⑤f(x)＝x＋1x A．2 B．3

C．4 D．5

[答案] B

[解析] ①中的函数f(x)＝x2，f ′(x)＝2x，要使f(x)＝f ′(x)，则x2＝2x，解得x＝0或2，可见函数有巧值点；对于②中的函数，要使f(x)＝f ′(x)，则e－x＝－e－x，由对任意的x，有e－x>0，可知方程无解，原函数没有巧值点；对于③中的函数，要使f(x)＝f ′(x)，则lnx＝1x，由函数f(x)＝lnx与y＝1x的图象有交点知方程有解，所以原函数有巧值点；对于④中的函数，要使f(x)＝f ′(x)，则tanx＝1cos2x，即sinxcosx＝1，显然无解，所以原函数没有巧值点；对于⑤中的函数，要使f(x)＝f ′(x)，则x＋1x＝1－1x2，即x3－x2＋x＋1＝0，设函数g(x)＝x3－x2＋x＋1，g′(x)＝3x2－2x＋1>0且g(－1)<0，g(0)>0，显然函数g(x)在(－1,0)上有零点，原函数有巧值点，故①③⑤正确，选C.

13．(2014·天门市调研)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数记为f ′(x)，若对于任意实数x，有f(x)>f ′(x)，且y＝f(x)－1为奇函数，则不等式f(x)

A．(－∞，0) B．(0，＋∞)

C．(－∞，e4) D．(e4，＋∞)

[答案] B

[解析] 令g(x)＝fxex，则

g′(x)＝f ′x·ex－fx·exex2＝f ′x－fxex<0，

所以g(x)在R上是减函数，又y＝f(x)－1为奇函数，所以f(0)－1＝0，所以f(0)＝1，g(0)＝1，所以原不等式可化为g(x)＝fxex<1＝g(0)，所以x>0，故选B.

14．已知函数y＝xf ′(x)的图象如图(1)所示(其中f ′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(

)

[答案] C

[解析] 当0

∴f ′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数．

当x>1时xf ′(x)>0，∴f ′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.

二、填空题

15．(2014·衡阳六校联考)在区间[－a，a](a>0)内图象不间断的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，函数g(x)＝ex·f(x)，且g(0)·g(a)<0，又当00，则函数f(x)在区间[－a，a]内零点的个数是________．

[答案] 2

[解析] ∵f(－x)－f(x)＝0，∴f(x)为偶函数，

∵g(x)＝ex·f(x)，∴g′(x)＝ex[f ′(x)＋f(x)]>0，

∴g(x)在[0，a]上为单调增函数，

又∵g(0)·g(a)<0，

∴函数g(x)＝ex·f(x)在[0，a]上只有一个零点，

又∵ex≠0，

∴f(x)在[0，a]上有且仅有一个零点，

∵f(x)是偶函数，且f(0)≠0，∴f(x)在[－a，a]上有且仅有两个零点．

三、解答题

16．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．

(1)求a、b的值；

(2)讨论函数f(x)的单调性．