人教版高中数学选修(2-2)-1.3热点题型：导数在研究函数中的应用

1 高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用（第3课时）课堂探究 新人教A版选修2-2

探究一 求函数的最值

求解函数在固定区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还需注意以下几点：

(1)对函数进行准确求导；

(2)研究函数的单调性，正确确定函数的极值和端点的函数值；

(3)比较极值与端点函数值的大小，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论．

【典型例题1】求下列函数的最值：

(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－3，3]；

(2)f(x)＝sin 2x－x，x∈－π2，π2.

思路分析：按照求函数最值的方法与步骤，通过列表进行计算与求解．

解：(1)f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x－1)(x＋1)．

令f′(x)＝0，得x＝1，或x＝－1.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x －3 (－3，－1) －1 (－1,1) 1 (1，3) 3

f′(x) － 0 ＋ 0 －

f(x) 0  －2  2  0

由上表可知：

当x＝1时，f(x)取得最大值，[f(x)]max＝f(1)＝2.

当x＝－1时，f(x)取得最小值，[f(x)]min＝f(－1)＝－2.

(2)f′(x)＝2cos 2x－1，

令f′(x)＝0，－π2≤x≤π2，得x＝－π6或x＝π6.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x －π2 错误! －π6 错误! π6 错误! π2

f′(x) － 0 ＋ 0 －

f(x) π2  π6－32  32－π6  －π2

由上表可知：

当x＝－π2时f(x)取得最大值f－π2＝π2， 2 当x＝π2时f(x)取得最小值fπ2＝－π2.

探究二 含参数的函数最值问题

由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值变化．因此需要对参数进行分类讨论，分类时常见于讨论：①f′(x)的类型，如f′(x)＝ax2＋2x－1时，可以分a＞0，a＝0，a＜0三种情况讨论；②当f′(x)＝0时注意是否有解，若有解，则讨论根是否在定义域内，根的大小是否确定．③有时，可以用可能的极值或最值的大小关系分类．

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教材问题解答

(问题)

如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特征？

答：如果在某个区间上恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)在这个区间上是常数函数．

(思考)

请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考某个区间上函数y＝f(x)的平均变化率的几何意义与其导数正负的关系．

答：函数y＝f(x)的平均变化率fx2－fx1x2－x1的几何意义是经过(x1，f(x1))，(x2，f(x2))两点直线的斜率．

当导数为正值时，函数单调递增，平均变化率fx2－fx1x2－x1＞0；当导数为负值时，函数单调递减，平均变化率fx2－fx1x2－x1＜0.

(问题)

如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？运算过程麻烦吗？你有什么体会？

答：如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，也可以求解本题，但运算过程相对麻烦，有时需要变形的很多技巧，特别是判断三次的多项式函数的单调性时，这种方法不是一种简便的方法，导数是研究函数单调性的工具，其方法具有普适性、通用性．

练习1

1．解：(1)因为f(x)＝x2－2x＋4，所以f′(x)＝2x－2.

当f′(x)＞0，即x＞1时，函数f(x)＝x2－2x＋4单调递增；

当f′(x)＜0，即x＜1时，函数f(x)＝x2－2x＋4单调递减．

(2)因为f(x)＝ex－x，所以f′(x)＝ex－1.

当f′(x)＞0，即x＞0时，函数f(x)＝ex－x单调递增；

当f′(x)＜0，即x＜0时，函数f(x)＝ex－x单调递减．

(3)因为f(x)＝3x－x3，所以f′(x)＝3－3x2.

当f′(x)＞0，即－1＜x＜1时，函数f(x)＝3x－x3单调递增；

当f′(x)＜0，即x＞1或x＜－1时，函数f(x)＝3x－x3单调递减．

1 高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用（第2课时）课堂探究 新人教A版选修2-2

探究一 求函数的极值

用导数研究函数的极值的步骤及应对策略：

(1)求定义域，并求导数f′(x)；

(2)解方程f′(x)＝0；

(3)列出表格．

在判断f′(x)的符号时，可借助决定导函数符号的图象直观解决；也可判断导函数中各因式的符号；还可用特值法判断，要灵活、快速、准确；

(4)由表格获得结论．

实质上表格反映的就是函数的草图，下结论时应注意“极值”和“极值点”的区别．

【典型例题1】求下列函数的极值：

(1)f(x)＝x3－12x；

(2)f(x)＝sin x(1＋cos x)(0＜x＜2π)．

思路分析：求f(x)的定义域→求f′(x)→解方程f′(x)＝0→列表分析→结论

解：(1)函数f(x)的定义域为R；

f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．

令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞)

f′(x) ＋ 0 － 0 ＋

f(x)  16  －16 

从表中可以看出，当x＝－2时，函数有极大值，且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16.

当x＝2时，函数有极小值，且f(2)＝23－12×2＝－16.

(2)f′(x)＝cos x(1＋cos x)＋sin x(－sin x)

＝cos x＋cos2x－sin2x

＝cos x＋cos2x－(1－cos2x)

＝2cos2x＋cos x－1＝(2cos x－1)(cos x＋1)．

令f′(x)＝0，得cos x＝12或cos x＝－1.

当0＜x＜2π时，x1＝π3，x2＝π，x3＝5π3.

当x在区间(0,2π)内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 2 x 0，π3 π3 π3，π π 错误! 5π3 5π3，2π

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1.3 导数的应用

1.3.1 利用导数判断函数的单调性

【提出问题】

在必修一中我们知道，对于函数y= f(x)在区间(a,b)上有定义，在区间(a,b)上任取xi,X2, 设/X=X2-X1 ,

如果2x=X2-xi>0时，都有』y= f(X2)- f(xi)>0,则称函数y=f(x)在区间(a,b)上为增函数;

如果2x=X2-xi>0时，都有力y= f(x2)- f(xi)<0,则称函数y=f(x)在区间(a,b)上为减函数。

我们不妨先看增函数的情况。

y f(X2) f(xi)

头际上，/ x=X2-xi>0时，都有』y= f(X2)- f(xi )>0,等价于 —= ---------------- 0

X X2 X1

,,……一 y f%) f("), _ ...... ...

从函数图象上看， ==4^—一表示A(Xi, yi), B(x2,y2)两点割线的斜率。

X X2 X1

因此，如果函数在区间(a,b)上的图象上任意两点 A(Xi, yi), B(X2, y2)割线的斜率都大于

0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上为增函数。

当点B沿着曲线趋近于点 A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置是直线 AD,这条 直线AD叫做此曲线在点A的切线。

所以，我们猜想如果函数在区间(a,b)上每一点的切线斜率都大于 0,则函数y = f(x)在区

间(a,b)上为增函数。

我们知道，在区间(a,b)上每一点的导数的几何意义就是在区间 (a,b)上每一点的切线斜率。

所以，我们进一步猜想：如果函数在区间 (a,b)上每一点的导数都大于 0,则函数y=f(x) 在区间(a,b)上为增函数；如果函数在区间 (a,b)上每一点的导数都小于 0,则函数y = f(x)在区 间(a,b)上为减函数。 2

【获得新知】

用函数导数判断函数单调性的法则：

设函数y=f(x)在区间(a, b)内可导，