苏教版高中数学 选修2-2 1.3 导数在研究函数中的应用 教案

1．3 导数在研究函数中的应用

一、学习内容、要求及建议

二、预习指导

1．预习目标

(1)了解函数的单调性、函数的极大(小)值、函数的最大(小)值与导数的关系．

(2)能利用导数的符号法则来解决函数的单调性问题，求函数的极值、最值等，通过这些量来研究函数的图象的变化规律．

2．预习提纲

(1)回顾必修1中有关函数单调性以及函数最值的相关内容(必修1第34页至37页)．

(2)阅读课本第28页至33页，回答下面的问题

① 函数的单调性与导数

函数的单调性与导数的符合存在着怎样的关系呢?

②函数的极值与导数：

函数的极大值与极小值是怎样定义的?

注： 第一，极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．第二，函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．第三，极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值．

③函数的最值

最值的概念在必修1的教材中已经给出，请回忆，并指出最值与极值的区别与联系．

(3)阅读课本例题，思考下面的问题．

①阅读课本第28页至29页上例1、例2和例3，总结求函数()yfx单调区间的步骤．

②阅读课本第31页上例1和例2，归纳求可导函数)(xf的极值的步骤．

思考：当0()0fx时，能否函数()fx在0x处取得极值?

③阅读课本第32页与第33页上例1和例2，归纳利用导数求函数的最值步骤．

3．典型例题

例1 求函数3()2736fxxx的单调区间．

解： 2()3273(3)(3)fxxxx．令()0fx，解得3x．

x (－∞，－3) －3 (－3，3) 3 (3，＋∞)

()fx ＋ 0 － 0 ＋ 知识、方法 要求 学习建议

利用导数研究函数的单调性和极大(小)值 掌握 借助于导数这个工具可以很好地判别函数单调性、求单调区间，极值，最值等，通过这些量我们可以从总体上把握函数的图象的变化规律．可以通过对一些具体的函数(如常见的三次多项式函数)的研究来加以体会． ()fx ↗ 极大值(3)f ↘ 极小值(3)f ↗

由上表可知，函数()fx有两个单调增区间，分别是,3和3,；函数()fx的单调减区间是3,3．

点评： (1)不能说在,33,内函数递增，应写为在,3和3,内分别递增．

(2)因为函数3()2736fxxx为连续函数，所以说函数()fx有两个单调增区间，分别是,3和3,，函数()fx的单调减区间是3,3这样的说法也是对的．

例2 已知函数3()2fxxax(0)a，其中0,1x．若()fx在0,1上是增函数，求a的取值范围．

分析： 因为()fx在0,1上是增函数，所以()0fx≥对(0,1)x上恒成立，再求出a的取值范围．

解： 根据题意，2()23fxax．

由于()fx在0,1上是增函数，所以()0fx≥对(0,1)x上恒成立，

即2230ax≥即232ax≥对(0,1)x上恒成立．

因为0,1x，所以2330,22x，于是32a≥．

点评： ①解答过程中()0fx≥对(0,1)x恒成立，而不是(0,1]x恒成立，主要由于教材没有对闭区间的端点的导数下定义．由于函数()fx在区间0,1是连续的，所以在区间0,1上是单调增函数，等价于在区间0,1上是单调增函数．

②对已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则()0fx≥；若函数单调递减，则()0fx≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则有可能漏解．

例3 求函数243yxx的值域．

分析： 求函数值域一般可以通过图象观察或利用不等式性质来求解，也可利用函数的单调性求出值域，本题形式结构复杂，可采用求导方法求解．

解： 函数的定义域由24030xx，求得2x，

求导得11232424232243xxyxxxx． 由0y得2324xx，

即240304(3)24xxxx， 解得2x．

即函数243yxx在2,上是增函数，又此函数在x=－2处连续，所以在2,上是增函数．而f(－2)= －1，

所以函数243yxx的值域是1,．

点评： 函数y=f(x)在(a，b)上为单调函数，当在上连续时，y=f(x)在上也是单调函数．

例4 求函数4282yxx的极大值和极小值．

分析： 利用求极值的一般方法．

解： 3416yxx，

令0y，解得1230,2,2xxx．

列表：

x ,2 －2 2,0 0 0,2 2 2,

y － 0 ＋ 0 － 0 ＋

y ↘ 极小值

－14 ↗ 极大值

2 ↘ 极小值

－14 ↗

因此，当x=0时，f(x)有极大值f(0)=2；当x=±2时，f(x)有极小值f(±2)=－14．

例5 已知函数326yxxm的极大值为13，求m的值．

分析： 首先求()fx，然后令()0fx求出方程根，判别f(x)在何处取得极大值，最后求m．

解： 23123(4)yxxxx

令0y，解得120,4xx．

列表：

x ,0 0 0,4 4 4,

y － 0 ＋ 0 －

y ↘ 极小值

m ↗ 极大值

13 ↘ 所以在x=4处取得极大值，即(4)13f，解得19m．

点评： 解答此题关键是判别f(x)在何处取得极大值．

例6 设函数32()fxaxbxcx在x=1和x=－1处有极值，且f(1)=－1，求a，b，c的值，并求出相应的极值．

分析： 此题属于逆向思维，但仍可根据函数极值的步骤来求，但要注意极值点与导数之间的关系：极值点为()0fx的根，利用这一关系借助于待定系数法求a，b，c的值．

解： 2()32fxaxbxc，1x是函数的极值点，则－1，1是方程()0fx的根，即有211313baca，解得b=0，c=－3a．

又f(1)=－1，则a＋b＋c=－1，

所以13,0,22abc．

此时313()22fxxx，

2333()(1)(1)222fxxxx

令()0fx，解得121,1xx．

列表：

x ,1 －1 1,1 1 1,

()fx ＋ 0 － 0 ＋

f(x) ↗ 极大值

1 ↘ 极小值

－1 ↗

所以在x=－1处取得极大值1，即(1)1f；在x=1处取得极小值－1，即(1)1f．

点评： 本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联合，合理地实现了问题的转化，使抽象问题具体化．

例7 设a为实数，函数32()fxxxxa

(1)求f(x)的极值；

(2)当a在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点．

分析： (1)中的极值含有参数a．(2)将函数化为2()(1)(1)1fxxxa．可知x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0．所以y=f(x)与x轴至少有一个交点．要使y=f(x)与x轴仅有一个交点，只需要极大值与极小值同号即可． 解： (1)'2()321fxxx，令'()0fx，解得1211,3xx．

列表：

x

1,3 13 1,13 1 1,

()fx ＋ 0 － 0 ＋

f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

所以在x=13处取得极大值，即15()327fa；在x=1处取得极小值，即(1)1fa．

(2)函数32()fxxxxa2(1)(1)1xxa．

由此可知x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0．所以y=f(x)与x轴至少有一个交点．

结合f(x)的单调性可知：当f(x)的极大值5027a，即5,27a时，它的极小值也小于0，因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点，它在1,；当f(x)的极小值10a，即1,a时，它的极大值也大于0，因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点，它在1,3上．所以当5,1,27a时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点．

点评： 本题若改为“曲线y=f(x)与x轴恰有两个交点”或“ 曲线y=f(x)与x轴有三个交点”该如何处理?

例8 求函数32()362fxxxx在区间上的最大值和最小值．

分析： 求出()fx，当[1,1]x时，()0fx恒成立，即在区间内函数f(x)无极值点，因此需利用函数的单调性求最值

解： 222()3663(22)3[(1)1]0fxxxxxx

因为()fx在内恒大于0，所以在上是增函数，故当x=－1时，min12y；当x=1时，max2y，即f(x)的最大值为2，最小值为－12．

例9 求函数32()395fxxxx在上的最大值和最小值．

分析： 先求出函数可能的极值点(即()0fx的点及个别不可导的点)，然后比较区间的两端点及所有这些点(这些点的个数往往是不多的)处的函数值，最大(小)者即为所求的最大(小)值． 解： 2()3693(1)(3)fxxxxx

令()0fx，解得121,3xx．

列表：

x －4 4,1 －1 1,3 3 3,4 4

()fx ＋ 0 － 0 ＋

f(x) －71 ↗ 极大值

10 ↘ 极小值

－22 ↗ －15

所以，函数f(x)在－4，4上的最大值为f(－1)=10，最小值为f(－4)=－71．

例10 求函数()ln(1)fxxx的最大值．

分析： 求出f(x)的定义域为1,，令()0fx，解得x=0，然后讨论f(x)在(－1，0)和0,上的单调性．

解：函数f(x)的定义域为1,，1()11fxx，

令()0fx，解得0x．

列表：

x 1,0 0 0,

()fx ＋ 0 －

f(x) ↗ 极大值

0 ↘

所以，当且仅当x=0时，函数f(x)取得极大值为f(0)=0，这个极大值就是该函数的最大值，即最大值为0．

例11 设)1,32(a，baxxxf2323)(，]1,1[x的最大值为1，最小值为26，求常数ba,的值．

分析： 闭区间上连续，开区间上可导的函数的最大值、最小值问题的解法应该先出极大值、极小值，然后再与端点处的函数值进行比较，分类讨论确定ba,的值．