2003年高考全国卷文科数学真题及答案
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2003年高考全国卷文科数学真题及答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）直线y
＝2x
关于x
轴对称的直线方程为（ ）
A
． B
． C．y
＝﹣2x
D．y
＝2x
2．（5分）已知x
∈（，0），cos
x
，则tan2x
等于（ ）
A
． B
． C
． D
．
3．（5分）抛物线y
＝ax
2的准线方程是y
＝2，则a
的值为（ ）
A
． B
． C．8 D．﹣8
4．（5分）等差数列{a
n}中，已知a
1，a
2+a
5＝4，a
n＝33，则n
为（ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
5．（5分）双曲线虚轴的一个端点为M
，两个焦点为F
1、F
2，∠F
1MF
2＝120°，则双曲线的
离心率为（ ）
A
． B
． C
． D
．
6．（5
分）设函数若f
（x
0）＞1，则x
0的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
7．（5分）已知f
（x
5）＝lgx
，则f
（2）＝（ ）
A．lg
2 B．lg
32 C
． D
．
8．（5分）函数y
＝sin（x
+φ）（0≤φ≤π）是R
上的偶函数，则φ＝（ ）
A．0 B
． C
． D．π 9．（5分）已知点（a
，2）（a
＞0）到直线l
：x
﹣y
+3＝0的距离为1，则a
＝（ ）
A
． B
． C
． D
．
10．（5分）已知圆锥的底面半径为R
，高为3R
，它的内接圆柱的底面半径为，该圆柱的
全面积为（ ）
A．2πR
2 B
． C
． D
．
11．（5分）已知长方形的四个顶点A
（0，0），B
（2，0），C
（2，1）和D
（0，1），一质点
从AB
的中点P
0沿与AB
夹角为θ的方向射到BC
上的点P
1后，依次反射到CD
、DA
和AB
上的点P
2、P
3和P
4（入射角等于反射角）若P
4与P
0重合，则tg
θ＝（ ）
A
． B
． C
． D．1
12．（5
分）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A．3π B．4π C．
3 D．6π
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4
分）不等式的解集是 ．
14．（4
分）在的展开式中，x
3的系数是 （用数字作答）
15．（4分）在平面几何里，有勾股定理“设△ABC
的两边AB
，AC
互相垂直，则AB
2+AC
2＝
BC
2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的
关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A
﹣BCD
的三个侧面ABC
、ACD
、ADB
两两互相
垂直，则 ．”
16．（4分）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同
一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种．（以数字作答）
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知正四棱柱ABCD
﹣A
1B
1C
1D
1．AB
＝1，AA
1＝2，点E
为CC
1中点，点F
为BD
1
中点．
（1）证明EF
为BD
1与CC
1的公垂线；
（2）求点D
1到面BDE
的距离．
18．（12分）已知复数z
的辐角为60°，且|z
﹣1|是|z
|和|z
﹣2|的等比中项．求|z
|．
19．（12分）已知数列{a
n}满足a
1＝1，a
n＝3n
﹣1+a
n
﹣1（n
≥2）．
（Ⅰ）求a
2，a
3；
（Ⅱ）证明．
20．（12分）已知函数f
（x
）＝2sinx
（sinx
+cosx
）．
（1）求函数f
（x
）的最小正周期和最大值；
（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y
＝f
（x
）在区间上的图象．
21．（12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O
（如图）
的东偏南方向300km
的海面P
处，并以20km
/h
的速度向西偏北45°方向移
动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km
，并以10km
/h
的速度不断增大，问几
小时后该城市开始受到台风的侵袭？
22．（14分）已知常数a
＞0，在矩形ABCD
中，AB
＝4，BC
＝4a
，O
为AB
的中点，点E
、F
、G
分别在BC
、CD
、DA
上移动，且，P
为GE
与OF
的交点（如图），问是否存在
两个定点，使P
到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若
不存在，请说明理由．
2003年全国统一高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）直线y
＝2x
关于x
轴对称的直线方程为（ ）
A
． B
． C．y
＝﹣2x
D．y
＝2x
【解答】解：∵直线y
＝f
（x
）关于x
对称的直线方程为y
＝﹣f
（x
），
∴直线y
＝2x
关于x
对称的直线方程为：
y
＝﹣2x
．
故选：C
．
2．（5分）已知x
∈（，0），cos
x
，则tan2x
等于（ ）
A
． B
． C
． D
．
【解答】解：∵cos
x
，x
∈（，0），
∴sin
x
．∴tan
x
．
∴tan2
x
．
故选：D
．
3．（5分）抛物线y
＝ax
2的准线方程是y
＝2，则a
的值为（ ）
A
． B
． C．8 D．﹣8
【解答】解：抛物线y
＝ax
2的标准方程是x
2y
，
则其准线方程为
y
2， 所以
a
．
故选：B
．
4．（5分）等差数列{a
n}中，已知a
1，a
2+a
5＝4，a
n＝33，则n
为（ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
【解答】解：设{a
n}的公差为d
，
∵，a
2+a
5＝4，
∴
d
4d
＝4
，即5d
＝4，
解得
d
．
∴
an
（n
﹣1
），
令a
n＝33，
即33，
解得n
＝50．
故选：C
．
5．（5分）双曲线虚轴的一个端点为M
，两个焦点为F
1、F
2，∠F
1MF
2＝120°，则双曲线的
离心率为（ ）
A
． B
． C
． D
．
【解答】解：根据双曲线对称性可知∠OMF
2＝60°，
∴tan∠OMF
2，即
cb
，
∴
ab
，
