高考文科数学真题及答案全国卷
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2013年高考文科数学真题及答案全国卷1
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝( )．
A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2}
【答案】A
【考点】本题主要考查集合的基本知识。
【解析】∵B＝{x|x＝n2，n∈A}＝{1,4,9,16}，
∴A∩B＝{1,4}．
2．(2013课标全国Ⅰ，文2)212i1i＝( )．
A. −1−12𝑖 B．11+i2 C．1+12𝑖 D．1−12𝑖
【答案】B
【考点】本题主要考查复数的基本运算。
【解析】212i12i12ii2i1i2i22＝11+i2.
3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．
A．12 B．13 C．14 D．16
【答案】B
【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。
【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13. 4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C：2222=1xyab(a＞0，b＞0)的离心率为52，则C的渐近线方程为( )．
A． y=±14𝑖 B．y=±13𝑖 C．12yx D．y=±𝑖
【答案】C
【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。
【解析】∵52e，∴52ca，即2254ca.
∵c2＝a2＋b2，∴2214ba.∴12ba.
∵双曲线的渐近线方程为byxa，
∴渐近线方程为12yx.故选C.
5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p：x∈R,2x＜3x；命题q：x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )．
A．p∧q B．p∧q C．p∧q D．p∧q
【答案】B
【考点】本题主要考查常用逻辑用语等基本知识。
【解析】由20＝30知，p为假命题．令h(x)＝x3－1＋x2，
∵h(0)＝－1＜0，h(1)＝1＞0，
∴x3－1＋x2＝0在(0,1)内有解．
∴x∈R，x3＝1－x2，即命题q为真命题．由此可知只有p∧q为真命题．故选B.
6．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为23的等比数列{an}的前n项和为Sn，则( )．
A． 𝑖𝑖=2𝑖𝑖−1 B．𝑖𝑖=3𝑖𝑖−2 C．𝑖𝑖=4−3𝑖𝑖
D．𝑖𝑖=3−2𝑖𝑖
【答案】D
【考点】本题主要考查等比数列前n项和公式。
【解析】11211321113nnnnaaaqaqSqq＝3－2an，故选D. 7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，
则输出的s属于( )．
A．[－3,4] B．[－5,2]
C．[－4,3] D．[－2,5]
【答案】A
【考点】本题主要考查程序框图的认识、分段函数求值域及水性结合的思想。
【解析】当－1≤t＜1时，s＝3t，则s∈[－3,3)．
当1≤t≤3时，s＝4t－t2.
∵该函数的对称轴为t＝2，
∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．
∴smax＝4，smin＝3.
∴s∈[3,4]．
综上知s∈[－3,4]．故选A.
8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为( )．
A．2 B．22 C．23 D．4
【答案】C
【考点】本题主要考查抛物线的定义、数形结合思想及运算能力。
【解析】利用|PF|＝242Px，可得xP＝32.
∴yP＝26.∴S△POF＝12|OF|·|yP|＝23.
故选C.
9．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图像大致为( )．
【答案】C
【考点】本题主要考查数形结合思想及对问题的分析判断能力。
【解析】由f(x)＝(1－cos x)sin x知其为奇函数．可排除B．当x∈π0,2时，f(x)＞0，排除A.
当x∈(0，π)时，f′(x)＝sin2x＋cos x(1－cos x)＝－2cos2x＋cos x＋1.令f′(x)＝0，得2π3x.
故极值点为2π3x，可排除D，故选C. 10．(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( )．
A．10 B．9 C．8 D．5
【答案】D
【考点】本题主要考查三角函数的化简，考查利用余弦定理解三角形以及方程思想。
【解析】由23cos2A＋cos 2A＝0，得cos2A＝125.∵A∈π0,2，∴cos A＝15.
∵cos A＝2364926bb，∴b＝5或135b(舍)．
故选D.
11．(2013课标全国Ⅰ，文11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．
A．16＋8π B．8＋8π
C．16＋16π D．8＋16π
【答案】A
【考点】本题主要考查三视图。简单组合体的体积。
【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．
V半圆柱＝12π×22×4＝8π，
V长方体＝4×2×2＝16.
所以所求体积为16＋8π.故选A.
12．(2013课标全国Ⅰ，文12)已知函数f(x)＝22,0,ln(1),0.xxxxx若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )．
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1] D．[－2,0]
【答案】D
【考点】本题主要考查数形结合思想、函数与方程思想、利用导数研究函数间关系，对分析能力有较高要求。
【解析】可画出|f(x)|的图象如图所示．
当a＞0时，y＝ax与y＝|f(x)|恒有公共点，所以排除B，C；
当a≤0时，若x＞0，则|f(x)|≥ax恒成立．
若x≤0，则以y＝ax与y＝|－x2＋2x|相切为界限， 由2,2,yaxyxx得x2－(a＋2)x＝0.
∵Δ＝(a＋2)2＝0，∴a＝－2.
∴a∈[－2,0]．故选D.
第Ⅱ卷（选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．(2013课标全国Ⅰ，文13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝______.
【答案】2
【考点】本题主要考查向量的基本知识及运算。
【解析】∵b·c＝0，|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝111122.
∴b·c＝[ta＋(1－t)b]·b＝0，
即ta·b＋(1－t)b2＝0.
∴12t＋1－t＝0.
∴t＝2.
14．(2013课标全国Ⅰ，文14)设x，y满足约束条件13,10,xxy则z＝2x－y的最大值为______．
【答案】3
【考点】本题主要考查简单的线性规划问题。
【解析】画出可行域如图所示．
画出直线2x－y＝0，并平移，当直线经过点A(3,3)时，z取最大值，且最大值为z＝2×3－3＝3.
15．(2013课标全国Ⅰ，文15)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为______．
【答案】9π2
【考点】本题主要考查球及基本几何体的基本知识。
【解析】如图，
设球O的半径为R，
则AH＝23R，
OH＝3R.
又∵π·EH2＝π，∴EH＝1. ∵在Rt△OEH中，R2＝22+13R，∴R2＝98.
∴S球＝4πR2＝9π2.
16．(2013课标全国Ⅰ，文16)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝______.
【答案】255
【考点】本题主要考查三角函数的化简与求值。
【解析】∵f(x)＝sin x－2cos x＝5sin(x－φ)，
其中sin φ＝255，cos φ＝55.
当x－φ＝2kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)取最大值．
即θ－φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，θ＝2kπ＋π2＋φ(k∈Z)．
∴cos θ＝πcos2＝－sin φ＝255.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2013课标全国Ⅰ，文17)(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列21211nnaa的前n项和．
【考点】本题主要考查等差数列的基本知识，特殊数列的求和等。
【解析】(1)设{an}的公差为d，则Sn＝1(1)2nnnad.
由已知可得{3𝑖1+3d=05𝑖1+10d=−5
解得a1＝1，d＝－1.
故{an}的通项公式为an＝2－n.
(2)由(1)知21211nnaa＝1111321222321nnnn，
从而数列21211nnaa的前n项和为
＝12nn.
18．(2013课标全国Ⅰ，文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40
