2003年高考理科数学真题及答案[全国卷I]

**** ---- 2003 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

数 学（理工农医类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 10 页。考试

结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 （选择题共 60 分）

一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的

1．已知 x ( ，0），

2 4

cos x ，则 tg 2x （ ）

5

24 7 7 24

（A） （B） （C） （D）

24 24 7 7

2．圆锥曲线 8 sin

2

cos 的准线方程是 （ ）

（A） cos 2 （B） cos 2 （C） sin 2 （D） sin 2

3．设函数

f (x) x

2 1 x 0

1

x 0

x 2 ，若 (x ) 1

f ，则 x0 的取值范围是 （ ）

0

（A）（ 1，1） （B）（ 1， ）

（C）（ ， 2 ） （0， ） （D）（ ， 1） （1， ）

4．函数 y 2 sin x(sin x cos x) 的最大值为 （ ）

（A）1 2 （B） 2 1 （C） 2 （D）2

2 y

2

5．已知圆 C： (x ) ( 2) 4 （ a 0 ）及直线 l ： x y 3 0，当直线 l 被 C 截得的弦长

a

为 2 3时，则 a （ ）

（A） 2 （B）2 2 （C） 2 1 （D） 2 1

6．已知圆锥的底面半径为 R，高为 3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）

（A） 2

2 R （B） 9

4 2

R （C） 8

3 2

R （D） 3

2 2

R

2 x m x x n

2

7．已知方程 (x 2 )( 2 ) 0的四个根组成一个首项为 1 的的等差数列，则 | m n |

4

（ ）

（A）1 （B） 3 （C）

4 1 （D）

2 3

8

8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F（ 7 ，0），直线 y x 1与其相交于 M、N两点， MN中点的横

坐标为 2

3 ，则此双曲线的方程是 （ ）

2 2 2 y 2

x

x （B） 1

y

（A） 1 2 y

2

x

（C） 1

5 2 2 y 2

x

（D） 1

2 5 ****

---- 4 3

3 4

3

[ ,

1 x

9．函数 f (x) sin x ， x ] 的反函数 f ( ) （ ）

2 2**** ---- （A） arcsin x x [ 1，1] （B） arcsin x x [ 1，1]

（C） arcsin x x [ 1，1] （D） arcsin x x [ 1，1]

10．已知长方形的四个顶点 A（0，0），B（2，0），C（2，1）和 D（0，1），一质点从 AB的中点 P 沿与 AB

0

的夹角 的方向射到 BC上的点 P 后，依次反射到 CD、DA和 AB上的点

P2 、

1 P 和 P4 （入射角等于反

3

射 角 ）， 设 P 的 坐 标 为 （ x4 ， 0 ）， 若 1 x4 2 ， 则 tg 的 取 值 范 围 是

4

（ ）

（A）（ 1 ，1） （B）（

3 1

3 ， 2 ） （C）（

3 2

5 ， 1

2 ） （D）（ 2 ，

5 2

3 ）

11． 2 2 2 2

C C C C

2 3 4 n

lim

1 1 1 1

n n(C C C C

2 3 4 n

) （ ）

（A）3 （B） 1

3 （C） 1

6 （D）6

12．一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ）

（A） 3 （B） 4 （C） 3 3 （D） 6

二. 填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在题中横线上。

1

13． 2 ) 9

(x 的展开式中

2x 9

x 系数是

14．使 log2 ( x) x 1 成立的 x的取值范围是

15．如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，

要求相邻地区不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供

2

选择，则不同的着色方法共有 种。（以数

字作答）

3 1 5

16．下列 5 个正方体图形中， l 是正方体的一条对角线， 4

点 M、N、P 分别为其所在棱的中点， 能得出 l 面 MNP

的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）

P P

M

P

N

l N N

l l

l

l

N

M

M

M P M

N

P ****

---- ① ② ③ ④ ⑤

三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤

17．（本小题满分 12 分）**** ---- 已知复数 z的辐角为 60 ，且 | z 1|是| z |和 | z 2 |的等比中项，求 | z |

18．（本小题满分 12 分）

如图，在直三棱柱 ABC 中，底面是等腰直角三角形， ACB 90 ，侧棱 AA1 2 ，D、

A1 B C

1 1

E 分别是 CC 与 A1B 的中点，点 E在平面 ABD上的射影是△ ABD的重心 G

1

（I ） 求 A B

1 与平面 ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）

（II ） 求点 A 到平面 AED的距离

1 C1

B 1

A 1 D

E

C

G

K

19．（本小题满分 12 分） A F B

已知 c 0 ，设

P ：函数 x

y c 在 R上单调递减

Q ：不等式 x | x 2c | 1的解集为 R

如果 P和 Q有且仅有一个正确，求 c的取值范围

20．（本小题满分 12 分）

在某 海 滨城 市 附 近海 面 有 一台 风 ，据 监 测 ，当 前 台 风 中 心 位于 城 市 O（ 如图 ） 的 东偏 南

2

( ）方向 300km的海面 P 处，并以

arccos

10 y 北

20km/h 的速度向西偏北 45 方向移动， 台风侵袭的

东

范围为圆形区域，当前半径为 60km，并以 10km/h

O

x O 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风

海 的侵袭？

岸

O

线

P r(t)

45

P

21．（本小题满分 14 分） ****

---- 已知常数 a 0 ，在矩形 ABCD中，AB 4 ，BC 4a ，

O 为 AB 的中点，点 E、F、G 分别在 BC、CD、DA 上移动，且 y

D F C

E

P

G

A O B x**** ---- BE ， P为 GE与 OF的交点（如图） ，问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定

CF DC

BC CD DA

值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。

22．（本小题满分 12 分，附加题 4 分）

s 0 s t 且 s,t Z } 中所有的数从小到大排列成的数列，即

t

（ I ）设{a } 是集合 {2 2 |

n

a 3， a2 5， a3 6， a4 9， a5 10， a6 12，⋯

1

将数列 {a } 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：

n

3

5 6

9 10 12

— — — —

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；

⑵求 a

100

（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加 4 分，但全卷总分不超过150 分）

设{b } 是集合 r 2 2 | 0 r s t

s t

{2 ，且 r, s,t Z} 中所有的数从小到大排列成的数列，已 n

知 b 1160，求 k .

k

2003 年普通高等学校招生全国统一考试

数 学 ( 理工农医类) 答案

一、选择题

1． D 2 ．C 3 ． D 4 ．A 5 ． C 6 ． B 7 ． C 8 ． D 9 ． D 10 ．C 11 ． B 12 ． A

二、填空题

13． 21

2 14 ．（-1 ，0） 15 ． 72 16 ．①④⑤

三、解答题：

r

17． 解：设z r cos60 r sin 60 ) ，则复数 .

z的实部为

2 2

z z r ,zz r 由题设

| z 2

1| 2 2

| z| | z 2|即 : ( z 1)( z 1) | z | (z 2)( z 2), r r 1 r r 2r 4,