平面向量典型易错题分析
- 格式：pdf
- 大小：693.34 KB
- 文档页数：3
新高普数学
微专题突破
&面向量易+题分析
江苏单铭成
在平面向量的学习中，同学们首先要掌
握其基本概念与运算•如果不能正确理解平
面向量的基础知识，或在某些概念及公式的
理解上模糊不清，就会造成一些表面上看起
来正确而实际上错误的判断，使解题思路走
入误区•本文将对同学们在向量学习中会遇
到的常见典型错误进行分析，希望对你的学
习有所帮助•
匕一、向量的基本概念不清① 若 |!
= |"
|，则 a
= b
%
② 两个向量相等的等价条件是它们的
起点相同，终点相同；
③ 若入衣
=/.
,则ABCD是平行四
边形；
④ 若AB
CD是平行四边形，
则AB
=
dC
；
⑤
若 a
= b,b
= c
，贝U
a
= c
；
⑥
若 a//
b,//
c,
则 a//c.
其中正确的是_________
•
易错点析因 ①向量是既有大小又
槡
24 7 \ 槡
Tx (
_亦—2：$
= _飞>•有方向的量，注意向量和数量的区别，向量
4)
所以
cos#
+ 4 $
=-槡
#
4 + &$
4
:，
12
13*
所以
sin[兀+ #+"
)$ =+=Ax #
—号)
—4x： =—艺因为
OV"
V 4 <
!<
4,所以
2 <
4 + !
5 #
13$
5 13 65，
所以
sin# +"
)二丽.
6
.因为
tan !
= tan [(«
— "
) + "
1 =
丄_丄
%n(—"
$ +%n" _
2 7 _ 1
1 —%n(—"
)%n"=丄
1 ▽ 1 3，
1+2x7
所以
%n(2& — "
$ = tan £a
+ ( — "
)) =
丄+丄
%n &
+ %n(—"
$ =32 =]
1 —%n!
%n(—"
$ 丄乂丄 •
1 3x2
22⑨(a —
b)
2 =a
2 — 2a ・
b
+ b
•
其中正确的是_________
•微专题突破
的模相等不能说明方向相同，此为易错处，
向量相等即向量的方向和大小均相等，反
之，向量相等则向量的模肯定相等
•
② 向量的起点与终点均相同，则两个向
量必相等，但是两向量相等不一定要起点与
终点均相同，向量可以平移，具有自由性，且
平移可以确保向量的方向与大小不变，此时
向量也可相等
•
③ 首先相等向量一定是共线向量，向量
共线也称向量平行，两个向量平行与两条直
线平行是不同的两个概念：两个向量平行包
含两个向量共线，但两条直线平行不包含两
条直线重合，所以a,
b,
c,
d可能四点共线，
此为易错处
•
反之④则正确
•
⑤ 正确，向量的相等具有传递性
.
⑥ 对于零向量的有关概念不清，零向量
的方向是任意的，并且规定零向量和任何向
量平行
.
答案④⑤
.
向量的概念较多，且容易混淆，在学习
中要分清、理解各概念的实质，注意区分共
线向量、平行向量、同向向量、反向向量、零
向量等概念•造成以上错误的原因是对向量
的一些基本概念模糊不清
•
二、向量的运算律理解不透
①
a ・
(b
— c)
=a ・
b
~a ・
c；
② ！
・
(b・
c$ = (
a・
b)・
c；
③ (
a
— b)
2= a
2 —2 a
・ |b
+ b |=；
④ 若a・
b
= 0,则a
= #
或b
= 0；
⑤
若 a・
b
= c・
b,则U
a
= c；
⑥
a\
2 =a
2;
⑧(
a ・
b)
2=a
2 ・
b
2易错点析因
(1)向量运算和实数运
算有类似也有区别的地方：对于一个向量等
式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实
数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但
不能两边同除以一个向量，即两边不能约去
一个向量(如第⑤题)，切记两向量不能相除
(相约);
(2)向量的“乘法
”不满足结合律，即
a#・
c)*(
a・
b')c，
为什么？此为易错处
•
(9)注意向量的数乘与向量的数量积的
区别，实数入与向量
a的积是一个向量，记作
a；向量数量积是一个实数，不再是一个向
量
•而向量时刻要考虑方向问题
•
(4)零向量是特殊向量，具有特殊性，处
理向量问题要首先考虑所给向量能否为零
向量
•此为易错处
•
答案①⑥⑨
.
数学运算公式与运算律是运算的基石，
所以要提高运算能力，应该先从理解掌握公
式运算律开始，只有夯实基础才能盖起数学
的摩天大楼
•
匕三、两向量夹角问题考虑不严
Rf 例
3 在
"ABC 中?
= 5,b
= A,C
=
60°,则B.・
CA的值为________
•
易错点析因 对于非零向量
a, b,作
OA
= a，
9B
=b，#
AOB
= 3 称为向量
a , b 的
夹角(其中两个向量为同起点向量)
•学生对
两向量夹角定义理解不透，此题中学生易错
将
#C当做两向量夹角
•
答案 由题意可知〈
BC，
CA >
= 120°，
即#
C的补角
•(画图可知)
故
BC ・ cA
= |BC ・ |
CA ・
cos
CA
> = 5XAX (
-2)
= -20.新高普数学
微专题突破
例
4 已知
(1,9),"
D (2!),设Q
与
"
的夹角为#要使#为锐角，
求A的取值
范围•
易错点析因本题误以为两非零向量
!与
"的夹角为锐角的等价条件是！
・
"
〉
0・
事实上，两向量的夹角
# (
[
0,兀],当
3
=0
时，有
cos 3
=1〉
0,对于非零向量！
与
"仍
有
a・
"
〉
0,因此
a・
"
〉
0并不是两非零向
量！
与
"的夹角为锐角的等价条件•
应有如下结论：两非零向量
a与
"的夹
角为锐角的等价条件是
a・
"
〉
0且
a不平行
于
".
答案 由
3为锐角，得
cos 3>
0且
cos 3
*
1,
即有
a・
"= a b
cos 3>
0恒成立，
故
a・
b
>
0，即
2 + 9入〉
0 ,
解得入
〉
一22•
例
5 已知R ,
(9,
— 4)与 R B
(
-1,
2), R 7
在直线上，
且|7
&
= 2 |7衣
,
求R 7
的坐标.
易错点析因 思考不严密，出现漏解
现象，点
7可能是线段
AB内的点，也可能
是线段
AB外的点,因此本题必须分类讨论•
若能简单画出相应图形,问题就简单得多•
答案 设点
7的坐标为(工,》),
由于 |
7A
|=2|7B ,又因为若
a不平行于
b,则
1・入
一2X9
*
0,即 $
*
6.
9
综上,
$〉
一2且
$*
6.
四、
分类讨论、数形结合思想不
善运用(1) 当点
7在线段
AB内时
,此时有
PA
= 2B
b7 ,
即
(9一6,
一4一y)
= 26
+ 1，5
— 2)
(9 一 6
= 26
+ 2 ,
— 4 — 5
= 25
— 4 ,
故点
7的坐标为
(9,o
) *
(2) 当点
7在线段
AB外时
，简单作图
易知
7点在
B点的左侧
，此时有
7A
=27
,
类似可解得点
7的坐标为
(一5,8).
综上所述
，点
7的坐标为
(1,0
)或
(一5,8).
归纳与整理是学习的重要方法
，而纠错
能起到培养大家良好的学习态度和习惯
，指
导我们学会归纳分析、梳理的作用•整理易
错题
，做好纠错工作是系统学习基础上的重
点解析
，使得学习重点更突出
，复习更具针
对性
，学习更有实效性.
! "
ABC中，已知
AB ・
A.
〉
0,
B.・
AB
v0,.B
・
CA
〉
0,判断"
ABC的形状.
2. 已知
a
= (1,9),b
= ( — 2,$
),设
a 与
b的夹角为
3,要使
3为钝角，求
$的取值
范围•
3. 已知
A
(2,1),B
(9,2),C
( — 1,4),若
ABC是平行四边形的三个顶点，求第四个
顶点
D的坐标.
c®
①参考答峯
1.
锐角三角形•
9
2.
$1 丁且 $* — 6.
3.
第四个顶点D
的坐标为(一2,9)或(6, — 1)
或(0,5).
2
4
