10.分段函数

1 分段函数的应用

教学目标：

（1）使学生掌握分段函数的表达式；

（2）学会运用分类讨论的数学思想方法.

教学重点：

分段函数的在实际问题中的应用.

教学难点：

分类讨论思想的应用.

教学手段：

案例教学法，开放式教学，讨论法

教学过程：

一、案例引入：

近年来，由于用电紧张，用电成本增加，为使居民节约用电，浙江省2004年8月1日抄见电量开始执行新的居民生活用电价格。一户一表居民用户实施阶梯式累进电价：月用电量低于50千瓦时（含50千瓦时）部分不调整；月用电量在50千瓦时—200千瓦时部分，电价每千瓦时上调0.03元；月用电量超过200千瓦时部分，电价每千瓦时上调0.10元。执行峰谷电价的居民用户以总电量与阶梯基数比对进行计算。居民合表用户和学校等集体用户的电价每千瓦时上调0.02元。双月抄表的一户一表居民用户的阶梯基数电量按标准月度基数电量乘二执行。对于调价当月抄表计算的双月抄表居民用户，本次抄见电量的一半按原电价计算，另一半按照调整后新电价计算，阶梯基数电量执行标准月度基数电量。

另：未安装峰谷电的用户价格为每度0.53元；安装峰谷电的用户计价方法为：从早上8时至晚上10时为峰电，价格为每度0.56元，从晚上10时至次日早上8时为谷电，价格为每度0.28元。

附：“千瓦时”是一电量单位，即我们平时常说的“度”。

二、案例讨论：

1．讨论：

（1）假设你是一位普通用户，你最关心的是什么？

（2）上述案例中指出了多少种不同的用户？

（3）根据实际生活经验，我们要讨论的重点是哪一类或哪几类用户？

2 2．计算：

（1）若甲用户未安装峰谷电，单月抄表，某月抄见总电量为150度，按规定他应缴纳多少电费？

150×0.53＋（150－50）×0.03＝82.5元

（2）若乙用户已安装峰谷电，单月抄表，某月抄见总电量为285度，其中峰电150度，谷电135度，按规定他应缴纳多少电费？

150×0.56＋135×0.28＋（200－50）×0.03＋（285－200）×0.10＝134.8元

- 1 - 分段函数

【典型例题】

1．定义新运算： a⊕b＝1()(0)aabaabbb－﹣且≠，则函数y＝3⊕x的图象大致是（ ）

yx32-1O xy23-1O xy-132O xy-132O

A B C D

2．已知整数x满足0≤x≤5，y1＝x＋2，y2＝－2x＋5，对任意一个x，y1，y2中的较大值用m表示，则m的最小值是（ ）

A．3 B．5 C．7 D．2

3．设max{x，y}表示x，y两个数中的最大值。例如“max{0，2}＝2；max{8，12}＝12；max{3，3}＝3”，请画出关于x的函数y＝max{2x，x＋2}的图像．

4．用min,,abc表示a、b、c三个数中的最小值，若2min,2,10(0)yxxxx，则y的最大值为___．

A．7 B．6 C．5 D．4

624264yxO

- 2 -

5,.已知函数221(1)y=2(1)xxxxx，当y随x的增大而减小时，x的取值范围是？

6.P是抛物线y=x²-4x+5上的一点，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别是M，N，则PM+PN的最小值为？

7．高斯记号[x]表示不超过x的最大整数，即若有整数n满足n≤x＜n＋1，则[x]＝n．当－1≤x＜1时，请画出

P(x，x＋[x])的纵坐标随横坐标变化的图像，并说明理由．

- 3 -

【强化训练】

1．已知整数x满足0≤x≤5，y1＝x＋2，y2＝－2x＋5，对任意一个x，y1，y2中的较大值用m表示，则m的最小值是（ ）

专题二 函数

考点3 分段函数的4种求法

【方法点拨】

分段函数的4种求法

1. 求函数值或解不等式：由自变量所属区间，选定相应的解析式求解.

2. 求函数值域：分别求每一段的值域取并集.

3. 求函数最值：分别求每一段的最值，然后比较大小.

4.求参数的值(或参数范围)：分段处理，分类讨论，综合作答.

三、【高考模拟】

1．已知函数2,0,0xxfxxx，则4ff（ ）

A．-4 B．14 C．14 D．4

【答案】C

【分析】

根据分段函数的解析式，先求4f，再求2f即可求解.

【解析】

由2,0,0xxfxxx，则442f，

所以214224fff.

故选：C

2．已知函数(2),2()(2),2xxxfxfxx，则(1)f（ ）

A．3 B．6 C．15 D．12

【答案】C

【分析】

根据分段函数解析式代入计算即可；

【解析】 解：因为(2),2()(2),2xxxfxfxx，所以11233215ff

故选：C

3．已知函数1,1 23,1xxfxfxx，则1f（ ）

A．12 B．2 C．14 D．18

【答案】C

【分析】

根据函数的解析式，代入计算，即可求解.

【解析】

由题意，函数1,1 23,1xxfxfxx，可得211113224fff.

故选：C.

4．已知20()(1)0xxfxfxx，则1f=（ ）

A．0 B．1 C．2 D．4

【答案】C

【分析】

根据分段函数各段的定义域求解.

【解析】

因为20()(1)0xxfxfxx，

所以110122fff，

分段函数

基础知识

1．分段函数的定义

__一个函数__，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，__有不同的对应方式__，则称其为分段函数．

思考：根据实数绝对值的含义将函数y＝|x＋1|中的绝对值号去掉，变形后的函数是什么函数？

2．几个特殊的函数

(1)高斯取整函数．

y＝[x]，定义域为R，值域为Z.

(2)狄利克雷函数．

D(x)＝ 1，x∈Q，0，x∉Q，定义域为R，值域为{0,1}，

(3)常数函数

y＝c，c为常数，定义域为R，值域为{c}，图像为垂直于y轴的直线．

基础自测

1．已知f(x)＝ x＋1 x>0π x≤0，则f[f(－3)]＝( D )

A．－2 B．π

C．π－3 D．π＋1

解析：∵f(x)＝ x＋1 x>0π x≤0，

∴f(－3)＝π，

∴f[f(－3)]＝f(π)＝π＋1.

2．下表表示函数y＝f(x)，则f(11)＝( C )

x 0

y 2 3 4 5

A．2 B．3

C．4 D．5

解析：∵10≤x<15时，y＝4，∴y＝f(11)＝4.

3．已知函数f(x)＝ x＋4，x＜0，x－4，x＞0，则f[f(－3)]的值为__－3__.

解析：因为f(x)＝ x＋4，x＜0，x－4，x＞0，

所以f(－3)＝－3＋4＝1，

f[f(－3)]＝f(1)＝1－4＝－3.

4．设函数f(x)＝ x2＋2，x≤2，2x，x＞2，若f(x0)＝8，则x0＝__4或－6__.

解析：由题意，得(1)当x0≤2时，有x20＋2＝8，解之得x0＝±6，而6＞2不符合，所以x0＝－6.

(2)当x0＞2，有2x0＝8，解之得x0＝4.

综上所述，得x0＝4或－6.

5．如图为一个分段函数的图像，则该函数的定义域为__[－1,2]__，值域为__[－1,1)__.

解析：由图像可知，第一段图形对应的自变量取值范围为[－1,0)，值域为[0,1)；第二段图形对应的自变量取值范围为[0,2]，值域为[－1,0]，因此该分段函数的定义域为[－1,0)∪[0,2]，即[－1,2]，值域为[－1,0]∪[0,1)，即[－1,1)．