数学-分段函数

分段函数数学函数　1.会用解析法及图象法表示分段函数.

2.给出分段函数，能研究有关性质.

3.能用分段函数解决生活中的一些简单问题．导语

大家知道国家电网依据什么来收取电费吗？其实他们是按不同的时间段来收取费用，一般来

说，白天稍贵一些，晚上稍便宜一些，反映到我们数学上，这就需要我们分两段来研究用电

的费用，生活中诸如此类的问题很多，比如用水收费问题、出租车计费问题、个人所得税纳

税等．这些都属于我们今天要研究的分段函数的范畴．

一、分段函数求值(范围)问题

问题　函数y＝Error!是两个函数吗？

提示　是一个函数，只不过x的取值范围不同，解析式不同．知识梳理

分段函数(1)定义：象y＝Error!这样的函数称为分段函数；

(2)本质：函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系．

注意点：分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集．

例1　已知函数f(x)＝Error!

(1)求f(－5)，f(1)，f ；(f (－52))

(2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围．

解　(1)由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，52

f(1)＝3×1＋5＝8，f ＝f (f (－52))(－52＋1)

＝f ＝3×＋5＝.(－32)(－32)12

(2)因为a2＋2≥2，

所以f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3，

所以不等式f(a2＋2)≥a＋4化为2a2－a－1≥0，

解得a≥1或a≤－，12即实数a的取值范围是∪[1，＋∞)．(－∞，－12]

延伸探究1．本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值．

解　当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，

即a＝2>－2，不符合题意，舍去；

当－2

即a＝－∈(－2,2)，符合题意；23

当a≥2时，f(a)＝2a－1＝3，

即a＝2∈[2，＋∞)，符合题意．

综上可得，当f(a)＝3时，a的值为－或2.23

2．本例条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围．

解　当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，

即x<1，所以x≤－2；

当－22x可化为3x＋5>2x，

即x>－5，所以－2

当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈∅.

综上可得，x的取值范围是(－∞，2)．

反思感悟　(1)分段函数求值的方法

①先确定要求值的自变量属于哪一段区间．

②然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次

求值．(2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但

应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求

解．

跟踪训练1　(1)已知f(x)＝Error!使f(x)≥－1成立的x的取值范围是( )A．[－4,2) B．[－4,2]

C．(0,2] D．(－4,2]

答案　B

解析　当x≤0时，f(x)≥－1即x＋1≥－1，解得x∈[－4,0]；12

当x>0时，f(x)≥－1即－(x－1)2≥－1，解得x∈[0,2]，综上，x∈[－4,2]．(2)函数f(x)＝Error!若f(x0)＝8，则x0＝________.

答案　－或106

解析　当x0≤2时，f(x0)＝x＋2＝8，即x＝6，2020

∴x0＝－或x0＝(舍去)；66

当x0>2时，f(x0)＝x0＝8，∴x0＝10.45综上可知，x0＝－或x0＝10.6

二、分段函数的图象及应用

例2　已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)

．(1)分别用图象法和解析式表示φ(x)；

(2)求函数φ(x)的定义域，值域．

解　(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.

由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②.

令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1.

结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)＝

Error!(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，

∴φ(x)的值域为(－∞，1]．反思感悟　分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函

数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，

作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不

重不漏．

跟踪训练2　函数f(x)的图象如图所示，求函数f(x)的值．

解　当x<－1时，设f(x)＝ax＋b，

则Error!解得Error!所以f(x)＝x＋2；

当－1≤x≤2时，设f(x)＝kx2，

由4＝k·22得k＝1，所以f(x)＝x2；

当x>2时，设f(x)＝cx＋d，则Error!解得Error!所以f(x)＝2x，

所以f(x)＝Error!三、分段函数在实际问题中的应用

例3　国家规定个人稿费纳税办法：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元

的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税．已知某人出版

一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为( )A．2 800元 B．3 000元

C．3 800元 D．3 750元

答案　C

解析　由题意知，纳税额y(单位：元)与稿费(扣税前)x(单位：元)之间的函数关系式为y＝Error!当800

令(x－800)×0.14＝420，

解得x＝3 800；

当x>4 000时，令0.112x＝420，

解得x＝3 750(舍)．

反思感悟　分段函数的实际应用(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间

的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个

区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．

跟踪训练3　某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5 km以内(含5 km)，票价2元；(2)5 km以上，每增加5 km，票价增加1元(不足5 km的按5 km计算)．

如果某条线路的总里程为20 km，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出

函数的图象．

解　设票价为y元，里程为x公里．

由题意可知，自变量x的取值范围是(0,20]．

由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式：y＝Error!函数图象如图．

1．知识清单：

(1)分段函数的概念及求值．

(2)分段函数的图象及应用．

2．方法归纳：分类讨论、数形结合法．

3．常见误区：

(1)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实．

(2)求分段函数的函数值时要依据自变量的取值范围确定对应的解析式．

1．著名的Dirichlet函数D(x)＝Error! 则D(D(x))等于( )

A．0 B．1

C.Error! D.Error!答案　B

解析　∵D(x)∈{0,1}，∴D(x)为有理数，∴D＝1.(Dx)

2．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车

到达下站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以

近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )

答案　B3．已知函数f(x)＝Error!则f(2)等于( )

A．－1 B．0 C．1 D．2

答案　A4．函数f(x)＝Error!若f(x)＝3，则x的值是________．答案　3

解析　当x≤－1时，x＋2＝3，得x＝1，舍去；

当－1

课时对点练

1．设函数f(x)＝Error!则f(3)等于( )

A. B．3 C. D.1523139

答案　C2．下列图象是函数y＝x|x|的图象的是( )

答案　D

解析　函数y＝x|x|＝Error!3．(多选)设函数f(x)＝Error!若f(a)＝4，则实数a等于( )

A．－4 B．2 C．4 D．－2

答案　AB

解析　由Error!或Error!得a＝－4或a＝2.4．设x∈R，定义符号函数sgn x＝Error!则函数f(x)＝|x|sgn x的图象大致是( )答案　C

解析　由题意知f(x)＝Error!则f(x)的图象为C中图象所示．5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，

按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工

某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为( )A．13立方米 B．14立方米

C．18立方米 D．26立方米

答案　A

解析　该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝Error!由y＝16m，可知x>10.

令2mx－10m＝16m，解得x＝13.6．(多选)已知函数f(x)的图象由如图所示的两条线段组成，则( )

A．f(f(1))＝3

B．f(2)>f(0)

C．f(x)＝－x＋1＋2|x－1|，x∈[0,4]

D．∃a>0，不等式f(x)≤a的解集为[12，2]

答案　AC

解析　因为f(1)＝0，f(0)＝3，所以f(f(1))＝3，A正确；f(0)＝3,0

由题图得，当x∈[0,1]时，设解析式为y＝k1x＋b1(k1≠0)，图象经过(1,0)，(0,3)，所以Error!解得Error!所以y＝3－3x；

x∈[1,4]时，设解析式为y＝k2x＋b2(k2≠0)，图象经过(1,0)，(4,3)，所以Error!，解得Error!所以解析式为y＝x－1；即f(x)＝－x＋1＋2|x－1|，x∈[0,4]，C正确；

由C得 f(2)＝2－1＝1，f ＝3－＝，如图，(12)3232