三阶幻方——四年级
三阶幻方——四年级
一、教学目标：
1、初步认识三阶幻方得起源与它得特征。
2、会根据三阶幻方得特征填写幻方。
3、学会自己构造一个三阶幻方。
*4、掌握并学会三阶幻方得另七个不同构造方法。
二、教学过程：
（一）引入：
1、介绍三阶幻方得起源：
传说在很久很久以前，洛阳得洛水一带浮出一只神龟，龟背上驮着一幅图。这幅图上都用圆点来表示一组数字，后来，经过人们研究发现：图中用1到9这9个数字组成一幅数字图，使它横得每行相加、竖得每列相加以及对角线相加，其与都等于15。后来人们把龟背上得那幅称为“洛书”。 “洛书”就就是我国最早得一个三阶幻方。
2、揭示课题：
——三阶幻方得认识
（二）新授：
1、前言：
三阶幻方就是一个蕴涵无穷知识得数学习题，又称“九宫格”或“九宫与阵”。今天我们就来仔细认真地来研究它。
2、介绍三阶幻方得特征：
（1）小组交流，从图中您可以发现哪些规律？
（2）师生交流特征：
幻与=中间数×3
师：幻与就是指每行或每列三个数字得与。
与中间数对应得上下、左右、或对角线得两个数字得与=
中间数×2
角上得数字=对角相邻得两个数字与÷2 三阶幻方——四年级
（3）小结：
师：要掌握三阶幻方得相关知识，首先要了解它得三个特征。……
3、学习三阶幻方得填法：
（1）出示例题1：
师：独立完成这道题目，瞧哪位同学能根据刚才所学得幻方得特征来填写完整这个幻方。
（2）师生交流核对：
（3）练习：
（4）核对交流，讨论填写得方法，运用了哪条特征。
——运用了特征1、2。
（5）出示例题2：
师：这道题目在原先得基础上变化了一下，您能补充完整吗？
——学生独立完成，然后小组交流自己得想法。
（6）师生共同交流研究：
——运用了三阶幻方得第三个特征。
（7）练习：
（8）师生核对：
（9）小结：
4、用所给得数据构造一个三阶幻方：
三年级三阶幻方教案
教学目标：
1.认识幻方的概念与特点
2.观察规律，独立思考，培养创新能力
3.提高孩子们的数字观念、计算能力和逻辑思维能力
教学重点：
1.认识幻方的概念，并熟练掌握三阶幻方的构造方法
2.在构造幻方的过程中培养孩子们的逻辑思维和创新能力
教学难点：
1.帮助学生理解并掌握幻方的构造方法，以及规律的产生
2.培养学生探究和解决问题的能力
教学方法：
1.探究式授课，教师启发学生思考，并引导学生自主探索
2.幻方题材的小游戏，引发学生的兴趣
教学步骤：
一、导入（5分钟）
学生们围坐在一起，老师让他们自由讨论一下：在生活中，有没有什么东西是由数字组成的？
学生举手回答：电影票，电话号码，截止时间等等。然后老师介绍一下数字的重要性，并向学生们简单介绍一下幻方。
二、学习三阶幻方构造方法（20分钟）
1、什么是幻方？介绍幻方的概念。
2、幻方的规律是什么？如何构造三阶幻方？具体方法如下：
首先，把1放在第一行的正中间，即第一行第二列的位置上。
然后，从2开始依次向右上方移动。例如:2放在第一行第三列，3放在第一行第四列，4放在第二行第四列，5放在第三行第四列，依此类推。当填满最后一个数字9时，构成了一个三阶幻方。
3、举例说明构造幻方的方法。
三、动手实践掌握方法（15分钟）
让学生们在黑板上模仿示范，用纸与笔模拟三阶幻方的构造过程。引导学生们分别画出三阶幻方的所有行、列、对角线的和，帮助他们了解幻方规律。
四、小游戏巩固知识（15分钟）
让学生组成小组，在班级大屏幕上进行幻方小游戏，比赛哪个小组先完成一道三阶幻方。对于初学幻方的学生，老师可以将部分三阶幻方数字进行提前给出，让学生根据此构造幻方。
五、总结（5分钟）
通过学习与实践，学生们对幻方有了更广泛的了解，老师总结本堂课的内容，帮助学生回顾今天所学的知识点，鼓励他们在后续学习中勇敢尝试。
六、作业布置（5分钟）
1、让学生自己动手构造一个三阶幻方。
２００８年第４期 数学教学 ４—２
对三阶幻方的趣味探讨
６３６０３１四川省巴州区大和初中 李发勇施晓华
将１ ９的连续９个正整数填入３×３的方格
图形中（如图１），使每行、每列及对角线上的三
数和都相等，通常将这个图形称为三阶幻方或魔
方，我国古代又称为“九宫”图．因三阶幻方具有
一些神奇的性质，从古至今，人们保持着对它的
探究热情．
Ｉ．．．．．．．．．Ｉ．．．．．．．．．Ｉ．．．．＿＿Ｊ
图１
事实上，凡是具有等差数列的９个数都能制
作出这样的三阶幻方．有没有不具备等差数列的
９个数，也能构造三阶幻方呢？本文就相关问题
作些粗浅的探讨．
１．统计特征
设０１、０２、０３、０４、０５、０６、０７、０８、０９是
互不相等的九个数，将其填入３×３的正方形方
格中（图２），使每行、每列及对角线上的三数和
都相等．这个和称为幻和，设为ｂ，则
０１＋０２＋ａ３＝ｂ
０４＋０５＋ａ６＝ｂ
０７＋０８＋ａ９＝ｂ
０１＋０４＋ａ７＝ｂ
０２＋０５＋ａ８＝ｂ
０３＋０６＋ａ９＝ｂ
０１＋０５＋ａ９＝ｂ
０３＋０５＋ａ７＝ｂ
固ａｌ ａ２ ａ３
图２
由⑤＋⑦＋⑧一①一⑨得ｂ＝３ａ５，将ｂ＝ ３ａ５分别代入②、⑤、⑦、⑧得０４＋ａ６＝２ａ５，
０２＋ａ８：＝＝２ａ５，ａｌ＋ａ９＝２ａ５，ａ３＋ａ７：＝＝２ａ５．
概括特征：
①关于中心方格对称的两数和等于中心方
格数的２倍，每边三数之和为中心数的３倍．
②频数统计
数 ａｌ ａ２ ａ３ ａ４ ａ５ ａ６ ａ７ ａ８ ａｇ 频数 ３ ２ ３ ２ ４ ２ ３ ２ ３
即中心方格数出现４次，四角方格数均出现３次，
其余位置数均出现２次．
⑨由０１＋ａ９＝２ａ５可推得０１一ａ５＝ａ５—
０９，因幻方数互不相等，所以不妨设０１＜ａ５，则
口５＜ａｇ；同理，若０２＜口５，则口５＜ａｓ；若０３＜
０５，贝０ ０５＜ａＴ；若０４＜０５，贝４ ０５＜０６．即按大
小排列时，中间数位于中心方格．
1 三阶幻方（二）
同学们：我们今天继续学习三阶幻方，通过上次学习，同学们初步掌握了求三阶幻方的方法。下面我们就利用这些方法求三阶、四阶等幻方。
（一）学习指导与解答
例1. 在下图的的阵列中填入了1～9的自然数，构成了大家熟悉的三阶幻方。现在另有一个的阵列，请选择九个不同的自然数填入九个方格中，使其中最大者为20，最小者大于5，且每一横行，每一竖行及每条对角线上三个数的和都相等。
分析：所给的三阶幻方中填入的是1～9这九个不同的自然数，其中最大的为9，最小的为1，要使新编制的幻方中最大数为20，而，因此，如果在所给幻方中各数都增加11，就能构成一个新幻方，并且满足最大数为20，最小数大于5。见图。
例2. 在的阵列中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列的位置上填6，如图3，请你在其它方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和为36。
分析：为了叙述方便，我们将其余空格的数字用字母表示，如图4。因为幻和为36，所以可求出中心数为：
，即
从第二行可求出
从对角线中可求出
从第一列可求出
从第一行可求出
从第二列可求出
从第三列可求出 2 得到三阶幻方如下：
从上面的例题我们不难看出：要填出一个三阶幻方，中心数起着至关重要的作用。利用幻和＝中心数×3这个关系式，在已知幻和的情况下，可先求出中心数，在已知中心数的情况下，可求出幻和，以便其它数的求出。
例3. 将1～9这九个数字分别填入图1中所示的空格中，使得前两行所构成的两个三位数之和等于第三行的三个数，并且相邻（上下或左右）的两个数奇偶性不同。
分析：由于1、5已填好，按照奇偶相间的要求，五个奇数应在四个角及中心，如图2。
例4. 写出一个三阶幻方，使其幻和为24。
因为三阶幻方，幻和为24，所以其9个数的和为，假设这9个数为，所以，这9个数为4、5、6、7、8、9、10、11、12用这9个数排成一个三阶幻方，如图：
