一元二次方程根与系数关系导学案

第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 重点：探索一元二次方程的根与系数的关系.难点：不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.一、知识链接1.一元二次方程的求根公式是什么？2.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程根的情况？算一算解下列方程并完成填空：(1)x2+3x－4=0； (2)x2－5x+6=0； (3)2x2+3x+1=0.想一想方程的两根x1，x2与系数a，b，c有什么关系？二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系猜一猜（1）一元二次方程 (x－x1)(x－x2) = 0 (x1，x2为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2与 p，q 之间的关系吗？（2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？证一证：x1 + x2= x1·x2=归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 1、x2，那么12bx xa ，12cx xa.(前提条件是b2－4ac≥0).(1) x2–6x–15 = 0； (2) 3x2+7x－9 = 0； (3) 5x–1 = 4x2.归纳：在求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，判别Δ≥0，如是则代入 a、b、c的值即可.例2 已知关于x的方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.变式题已知关于的值.例3 不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两根的平方和、倒数和.练一练设x1，x2为方程x2－4x+1=0的两个根，则：(1) 12x x ， (2)12xx ，(3) 2212x x ， (4)212()x x .归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.常见的求值式子如下： 12111.x x +=22122.x x += 12213.=x xx x + 124.(1)(1)x x ++= 125.||=x x -例4 设x 1，x 2是方程 x 2－2(k －1)x + k 2 =0的两个实数根，且2212x x 4，求k 的值.方法总结：根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母代入方程中，方程应该满足Δ≥0 .2b x a，1c x a.2221212()2x x x x x 2221212)()4x x x x x122121x x x x x......1.如果－1是方程2x 2－ = .2.已知一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为－2和1，则p = ， q = .3.已知关于 的值.4.已知x 1，x 2是方程2x 2+2kx+k －1=0的两个根，且(x 1+1)(x 2+1)=4.(1)求k的值； (2)求(x1－x2)2的值.5.设x1，x2是方程3x2+4x－3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值：(1) (x 1 + 1)(x2 + 1)； (2)2112.x xx x拓展提升6. 当k为何值时，方程2x2－kx+1=0的两根之差为1.7.已知关于-2=0(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围；(2)若方程两根x1，x2满足|x1-的值.242bb ac xa.时，方程有两个相1232课堂探究二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系 猜一猜=b a ，x 1x 2证一证：（注：b221242b b ac x x a +-+=2b b a -+-= 22ba-=.b a =- 1222b b x x a a•-+-⋅=()()22244b b ac a ---=244ac a=.ca =例1 解：（1） a=1 , b= – 6 , c= – 15. Δ = b 2– 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 = –( – 6 ) =6，x 1 x 2 = – 15 .（2）a = 3 , b =7, c = –9. Δ= b 2 - 4ac = 72 –4×3×(-9) =157 > 0，∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 =73， x 1 x 2 =933.（3）方程可化为4x 2–5x +1 =0，a =4，b = – 5，c = 1.Δ = b 2- 4ac =(– 5)2 – 4×4×1=9>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1， x 2，那么x 1 + x 2 =5544，x 1 x 2 =1.4=6.5=3.5+ x 2=2+ 35=.5k 得k=答：方程的另一个根是3,5k=－ 解：设方程的两个根分别是+ x 2=1+ x =5 .121231,.22x x x 222121122)2,x xx x x ∴22221212123113()22.224xxx x x x 121212131 3.22x x x x x练一练 （1）4 （2）1 （3）14 （4）12例4 解：由方程有两个实数根，得22221212()2x x x x x = 4(k 222x 4，得 2k +4 =4，解得k 1=0，k 2=4 . 当堂检测1. ；-3.2. 1 ； -2.1161.3c x a 116.3x 12121,.2k x k x x 1()1 4.2kk 解得k = -7；4.-则222121212)()474(4)65.x x x x x12124, 1.3b c x x x aa)+1=441()1.33122221121221212()234.9x x x x x x x x x x x x 12121,.22kx x x 22121212()()4 1.x x x x x x 22141,3,2 3.222k k k7.解：（1）方程有实数根，所以Δ=b 2-4ac=(-2m)2-4·m·（m-2=4m 2-4m 2+8m=8m ≥0.∵m≠0，∴m 的取值范围为m ＞0. 121222,.m x x x m22121212()()4 1.x x x x x x 22241.m m解得m=8.经检验，解.。

一元二次方程根与系数的关系导学案一、学习目标1、熟练掌握一元二次方程的根与系数关系.2、灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.二、重点、难点重点：一元二次方程的根与系数的关系．难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系．三、教学过程（一）复习引入1、一元二次方程的一般形式？2、一元二次方程有实数根的条件是什么？3、当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？4、一元二次方程的求根公式是什么？通过前面的学习我们发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式。

除此之外，一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢？（二）探索并归纳一元二次方程根与系数的关系1、解方程并观察x1＋x2, x1·x2与系数的关系x2－2x=0x2＋3x－4=0x2－5x+6=0 x2＋5x－24=0问题：观察两根之和，两根之积与方程的系数之间有什么关系？归纳：一元二次方程根与系数的关系(1).当二次项系数为1的关于x的方程x2 +px+q=0两根为x1 、x2(p,q 为常数).则：x1＋x2= , x1·x2=3、解方程并观察x1＋x2, x1·x2与系数的关系2x2－x－6=02x2＋x－6=05x2－4x－12=0问题：观察两根之和，两根之积与方程的系数之间有什么关系？归纳：（三）例题讲解例1、根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的x1 ，x2的和与积。

(1) x2+7x+6=0(2) 2x2－3x－2=0变式题：50页随堂练习1、2例2：已知方程5x2+k x－6=0的一个根是2，求另一个根及k值。

变式：50页随堂练习3（四）典型题训练题型一：已知一元二次方程，求有关两根的代数式的值。

例：若方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1、x 2，则11x ＋21x 的值为（ ） A ．3 B ．－3C ．13D ．－13变式题1、已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为（ ） A ．7- B ．3- C ．7 D ．3 题型二：利用一元二次方程的根与系数的关系判断方程的根的符号。

一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1、 知道一元二次方程的根与系数的关系。

2、 能运用一元二次方程的根与系数的关系进行已知一根求另一根的简便运算。

学习重点、难点：重点：一元二次方程的根与系数关系的推导和它的运用。

难点：灵活运用一元二次方程的根与系数的关系。

学习流程： 一、旧知回顾：（独立完成，组长检查指导） 1、 写出一元二次方程的一般式和求根公式。

2、 已知232+=x ，232-=y 求22y xy x ++的值。

二、合作交流：（独学、互学，交流归纳）1、 仔细观察一元二次方程)04,0(022≥-≠=++ac b a c bx ax 的两个实数根a acb b x 2421-+-=，aacb b x 2422---=它们有什么相同点和不同点。

试求222121x x x x ++的值。

归纳：一元二次方程的根21,x x 与系数c b a ,,之间有什么关系呢？=+21x x ， =⋅21x x2、若方程4522=-x x 的两个根是x 1和x 2，则=+21x x ， =⋅21x x 。

3、已知方程0652=-+kx x 的一个根是2，求它的另一个根和k 的值。

三、课堂检测：1、若方程x x 4322=-的两个根是x 1和x 2，则=+21x x ， =⋅21x x 。

2、已知方程0322=-+kx x 的一个根x 1=3，求它的另一个根x 2和k 的值。

3、关于x 的方程01622=+-+m x x 的两个根互为倒数，则m= 。

四、课堂整理1、 熟记一元二次方程的根与系数的关系，你记住了吗？请写下来：2、这节课你学了什么？会了什么？还有不会的吗？五、拓展延伸（挑战自我）1、当k 取何值时，013)13(2322=-++-k x k x（1）有一根为零？（2）有两个互为相反数的根？（3）两根互为倒数？2、已知关于x 的方程0)1(2=-+-a a x x 有两不等的正数根，求a 的取值范围。

九年级数学上册导学案1.表格中方程的两个根相加后的和与原方程的的系数有什么关系？______________________2.表格中方程的两个根相乘后的积与原方程的的系数有什么关系？________________________2、若设一元二次方程为，则用公式法求它的解，过程可以为：3、只有在二次项系数为________时才成立。

4、两根之和为一次项系数与二次项系数之比的________，两根之积为________与________之比．5、ax2＋bx＋c＝0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律．x 1＋x2＝________，x1x2＝________6、利用求根公式推导根与系数的关系．(韦达定理)ax2＋bx＋c＝0的两根x1＝________，x2＝________．1．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积．(1)x2－6x－15＝0; (2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.解：(1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15；(2)x1＋x2＝－73，x1x2＝－3；(3)x1＋x2＝54,x1x2＝142．已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．解：另一根为＝32，k＝3.3．已知α，β是方程x2－3x－5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值．(1) 1a ＋1β； (2)α2＋β2； (3)α－β.解：(1)－35；(2)19；(3)√29或－√29.课堂练习1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积：(1)x2－3x＝15; (2)5x2－1＝4x2；(3)x2－3x＋2＝10; (4)4x2－144＝0.2.不解方程，求出方程的两根之和，两根之积。

（1）（2）（3）3.已知方程的一个根是2，求它的另外一个根和的值。

4.写出一个二元一次方程，使它的两个根分别是1和：________5.已知关于的方程的两个根分别是1和3，则1．两根均为负数的一元二次方程是( )A．7x2－12x＋5＝0 B．6x2－13x－5＝0C．4x2＋21x＋5＝0 D．x2＋15x－8＝02.方程x2-6x+10=0的根的情况是( )A.两个实根之和为6B.两个实根之积为10C.没有实数根D.有两个相等的实数根3.已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0有两个不相等的实数根α,β,且α,β满足+=1,则m的值为( )A.-3B.1C.-3或1D.24.下列方程中,两根之和是正数的是( )A.3x2+x-1=0B.x2-x+2=0C.3x2-5x+1=0D.2x2-5=05.已知m,n是方程x2+2x-1=0的两根,则代数式的值为( )A.9B.C.3D.±6.已知是方程的两个实数根，求下列各式：①②（3）④7.一般形式中，两个根之和=__________，两根之积=___________8.不解方程，求下列方程的两根和与两根积：(1)x2-3x=15； (2)5x2-1=4x2；(3)x2-3x+2=10； (4)4x2-144=0；。