浙教版九年级数学下《2.2切线长定理》同步提升试题含答案

2.2 切线长定理同步练习一、单选题1、以下命题正确的是（）A、圆的切线一定垂直于半径；B、圆的内接平行四边形一定是正方形；C、直角三角形的外心一定也是它的内心；D、任何一个三角形的内心一定在这个三角形内2、下列说法：①三点确定一个圆；②垂直于弦的直径平分弦；③三角形的内心到三条边的距离相等；④圆的切线垂直于经过切点的半径．其中正确的个数是（）A、0B、2C、3D、43、如图，直角梯形ABCD中，以AD为直径的半圆与BC相切于E，BO交半圆于F，DF的延长线交AB于点P，连DE．以下结论：①DE∥OF；②AB+CD=BC；③PB=PF；④AD2=4AB•DC．其中正确的是（）A、①②③④B、只有①②C、只有①②④D、只有③④4、如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A、点（0，3）B、点（2，3）C、点（5，1）D、点（6，1）5、如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O 的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（）A、DE=DOB、AB=ACC、CD=DBD、AC∥OD6、如图所示，⊙M与x轴相切于原点，平行于y轴的直线交圆于P，Q两点，P点在Q点的下方，若P点坐标是（2，1），则圆心M的坐标是（）A、（0，3）B、（0，2）C、（0，）D、（0，）7、．如图，半圆D的直径AB=4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为y，AM=x，则y关于x的函数关系式是( )A、y=-x2+xB、y=-x2+xC、y=-x2-xD、y=x2-x8、如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（）A、16πB、36πC、52πD、81π9、如图，在⊙O中，AD，CD是弦，连接OC并延长，交过点A的切线于点B，若∠ADC=30°，则∠ABO的度数为（）A、20°B、30°C、40°D、50°10、已知⊙O是以原点为圆心，为半径的圆，点P是直线上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为( )A、3B、4C、D、11、如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A、B，∠P=60°，PA=8，那么弦AB 的长是（）A、4B、8C、D、12、如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，若∠AOB ＝120°，则大圆半径R与小圆半径r之间的关系满足( )A、R=2rB、R=3rC、R=rD、R=r13、如图，AE、AD和BC分别切⊙O于点E、D、F，如果AD=20，则△ABC的周长为（）A、20B、30C、40D、5014、如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，0C=8cm，则BE+CG的长等于（）A、13B、12C、11D、1015、如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A、B、C、3D、5二、填空题16、如图，直线AB与⊙O相切于点C，D是⊙O上的一点，∠CDE=22.5°，若EF∥AB，且EF=2，则⊙O的半径是________．17、如图，已知半圆O的直径AB＝4，沿它的一条弦折叠．若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D，且AD:DB＝3:1，则折痕EF的长________ ．18、如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，切点分别为E、F、G、H，已知AB=5，CD=7，那么AD+BC= ________.19、如图，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于E，PA=6，则△PDC的周长为________.20、如图，AB为半⊙O的直径，C为半圆弧的三等分点，过B，C两点的半⊙O的切线交于点P，若AB的长是2a，则PA的长是________ ．三、解答题21、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．若AO=8cm，DO=6cm，求OE的长．22、如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB 于点C、D．若PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0的两个根，求△PCD的周长．23、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，半径OD⊥AC于点E，过点D的切线与BA延长线交于点F．（1）求证：∠CDB=∠BFD；（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．24、如图，点C在⊙O的直径BA的延长线上，AB=2AC，CD切⊙O于点D，连接CD，OD．（1）求角C的正切值：（2）若⊙O的半径r=2，求BD的长度．25、如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．答案部分一、单选题1、【答案】D2、【答案】C3、【答案】C4、【答案】C5、【答案】A6、【答案】C7、【答案】A8、【答案】B9、【答案】B10、【答案】B 11、【答案】B 12、【答案】A 13、【答案】C 14、【答案】D 15、【答案】B二、填空题16、【答案】17、【答案】18、【答案】12 19、【答案】12 20、【答案】 a三、解答题21、【答案】解：∵AB∥CD，⊙O为内切圆，∴∠OAD+∠ODA=90°，∴∠AOD=90°，∵AO=8cm，DO=6cm，∴AD=10cm，∵OE⊥AD，∴AD•OE=OD•OA，∴OE=4.8cm．22、【答案】解：∵PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0的两个根，∴PA+PB=m，PA•PB=m﹣1，∵PA、PB切⊙O于A、B两点，∴PA=PB=，即•=m﹣1，即m2﹣4m+4=0，解得：m=2，∴PA=PB=1，∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，∴AD=ED，BC=EC，∴△PCD的周长为：PD+CD+PC=PD+DE+EC+PC=PD+AD+BC+PC=PA+PB=2．23、【答案】解：（1）∵DF与⊙O相切，∴DF⊥OD，∵OD⊥AC，∴DF∥AC，∴∠CAB=∠BFD，∴∠CAB=∠BFD，∴∠CDB=∠BFD；（2）∵半径OD垂直于弦AC于点E，AC=8，∴AE=AC=．∵AB是⊙O的直径，∴OA=OD=AB=，在Rt△AEO中，OE===3，∵AC∥DF，∴△OAE∽△OFD．∴，∴=，∴DF=．24、【答案】解：（1）∵CD切⊙O于点D，∴CD⊥OD，又∵AB=2AC，∴OD=AO=AC=CO∴∠C=30°∴tan∠C=；（2）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵∠DOA=90°﹣30°=60°，又∵OD=OA，∴△DAO是等边三角形．∴DA=r=2，∴DB==．25、【答案】（1）证明：连接OB，如图所示：∵E是弦BD的中点，∴BE=DE，OE⊥BD，=，∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°，∵∠DBC=∠A，∴∠BOE=∠DBC，∴∠OBE+∠DBC=90°，∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB，∴OC==10，∵△OBC的面积=OC•BE=O B•BC，∴BE===4.8，∴BD=2BE=9.6，即弦BD的长为9.6．。

2.2 切线长定理1．切线长定理：过圆外一点，可以引圆的两条切线，切线长________．2．如图，点P是⊙O外一点，PA，PB切⊙O于点A，B，AB交PO于点C，则有如下结论：(1)PA＝PB；(2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP＝∠CAP＝∠CBP；(3)AB⊥OP 且AC＝BC.A组基础训练1．如图，从圆O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( )A．4 B．8 C．6 D．10第1题图2．如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是( )第2题图A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．PA2＝PC·PO3．如图，一圆内切四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为( )A．50 B．52 C．54 D．56第3题图4.(邵阳中考)如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连结BD，AD.若∠ACD＝30°，则∠DBA的大小是( )第4题图A．15° B．30° C．60° D．75°5．如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.下列结论中：①OP 垂直平分AB；②∠APB＝∠BOP；③△ACP≌△BCP；④PA＝AB；⑤若∠APB＝80°，则∠OBA ＝40°.正确的是________．第5题图1．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A的度数是________°.第6题图7．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE＝2，AD＝4.则BE＝________，BC＝________.第7题图2．如图，⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，且∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是________．第8题图9．如图，AB为半圆O的直径，在AB的同侧作AC，BD切半圆O于点A，B，CD切半圆O 于点E.若AC＝4，BD＝9，求⊙O的半径．第9题图10．如图，PA，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C，D在PA上，E在PB上．(1)若PA＝30，求△PDE的周长；(2)若∠P＝50°，求∠O的度数．第10题图B组自主提高11．如图，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点，若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB、CD、CE的长度，下列关系何者正确( )第11题图A．AB>CE>CD B．AB＝CE>CD C．AB>CD>CE D．AB＝CD＝CE12．如图，直尺、三角尺都和⊙O相切，B是切点，且AB＝8cm.求⊙O的直径．第12题图13．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连结PO，AB相交于点D，C是⊙O上一点，∠C＝60°.(1)求∠APB的大小；(2)若PO＝20cm，求△AOB的面积．第13题图C组综合运用14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AB交于点E，与AC相切于点D，直线ED交BC的延长线于点F.(1)求证：BC＝FC；(2)若AD∶AE＝2∶1，求tanF的值．第14题图2．2 切线长定理【课堂笔记】 1．相等 【课时训练】 1－4.BDBD 5. ①③⑤ 6. 99 7. 6 6 8. 29. r ＝6.法一：可在△COD 中，连结OE ，有OE 2＝CE×DE＝36，∴r ＝6.法二：过C 作CH⊥BD 于点H ，在△CDH 中，CD ＝13，DH ＝5，∴CH ＝AB ＝12，即r ＝6.10. (1)∵PA、PB 是⊙O 切线，∴PA ＝PB ，∵DE 是⊙O 切线，∴DC ＝DA ，EC ＝EB ，∴△PDE 的周长＝PD ＋PE ＋DC ＋CE ＝PD ＋DA ＋PE ＋EB ＝PA ＋PB ＝60； (2)连结AO ，BO ，CO ，可证：∠AOD＝∠COD，∠COE ＝∠BOE，∴∠DOE ＝12∠AOB ，∵∠AOB ＋∠P＝180°，∠P ＝50°，∴∠AOB ＝130°，∴∠DOE ＝65°.11. A12. 连结AO ，BO ，∵AB 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的切线，∴∠ABO ＝90°，∠BAO ＝12∠BAC ＝60°，在Rt △AOB 中，OB ＝AB·tan ∠BAO ＝8×tan 60°＝83，∴⊙O 的直径为163cm .13. (1)∵PA，PB 分别为⊙O 的切线，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP＝90°.∵∠C ＝60°，∴∠AOB ＝2∠C＝120°，∴在四边形APBO 中，∠APB ＝360°－∠OAP－∠OBP－∠AOB ＝360°－90°－90°－120°＝60°； (2)在Rt △PAO 与Rt △PBO 中，∵OA ＝OB ，PO ＝PO ，∴Rt △PAO ≌Rt △PBO ，∴∠APO ＝∠BPO＝12∠APB ＝30°，∴PO ⊥AB ，∴∠DAO ＝∠APO＝30°，∴OA ＝sin ∠APO ×OP ＝12×20＝10(cm )．在Rt △AOD 中，∠DAO ＝30°，OA ＝10cm ，∴AD ＝cos∠DAO ×OA ＝32×10＝53(cm )，OD ＝sin ∠DAO ×OA ＝12×10＝5(cm )，∴AB ＝2AD ＝103(cm )，∴S △AOB ＝12AB ×OD ＝12×103×5＝253(cm 2)．14. (1)连结BD.∵BE 为⊙O 的直径，∴∠BDE ＝90°，∴∠EBD ＝90°－∠BED.∵∠EBF ＝90°，∴∠F ＝90°－∠BEF.∴∠F＝∠EBD.∵AC 切⊙O 于点D ，∴∠EBD ＝∠ADE＝∠CDF.∴∠F＝∠CDF，∴DC ＝FC.∵OB⊥BC，∴BC 是⊙O 的切线，∴DC ＝BC.∴BC＝FC; (2)在△ADE 和△ABD 中，∵∠A ＝∠A，∠ADE ＝∠ABD，∴△ADE ∽△ABD ，DE BD ＝AE AD ＝12.又∵∠F＝∠EBD，∴tan F ＝tan ∠EBD ＝DE BD ＝12.。

2.2切线长定理同步练习2024-2025学年九年级下册数学浙教版知识要点1.从圆外一点作圆的切线，通常我们把圆外这一点到切点间的线段的长叫做切线长.2.切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等.例1 如图2-2-2,AB 为⊙O 的直径,点 P 在AB 的延长线上,PC,PD 与⊙O 相切,切点分别为C,D.若AB=6,PC=4,则sin ∠CAD 的值为( )A. 35B. 23C. 34D. 45例2如图2-2-3,PA,PB 是⊙O 的切线,CD 切⊙O 于点E,△PCD 的周长为12,∠P=60°.求:(1)PA 的长.(2)∠COD 的度数.例3 如图2-2-4,⊙O 与△ABC 的边AC 相切于点C,与AB,BC 边分别相交于点 D,E,DE ∥AO,CE 是⊙O 的直径.(1)求证:AB 是⊙O 的切线.(2)若BD=4,EC=6,求AC 的长.同步训练1.如图,P 为⊙O 外一点,PA,PB 分别切⊙O 于A,B 两点,若PA=3,则PB 的长为 ( ) A.2 B. 3 C. 4 D. 52.如图,AB,AC,BD分别与⊙O相切于点 P,C,D.若AB=5,AC=3,则BD的长为( )A.4B. 3C. 2D. 13.如图,P 为⊙O 外一点,PA,PB 分别切⊙O 于点A,B,CD切⊙O于点E,分别交PA,PB于点C,D.若PA=8,则△PCD的周长为 ( )A.8B. 12C. 16D. 204.如图,已知 PA,PB 是⊙O的两条切线,A,B为切点，线段OP 交⊙O于点 M.有下列说法：①P A= PB;②OP⊥AB；③四边形OAPB 有外接圆.其中正确的个数是 ( )A.0B. 1C. 2D. 35.如图,AB,CD分别为⊙O₁,⊙O₂的弦,AC,BD均为两圆的切线，且相交于点P.若PC=2,CD=3,DB =6,则△PAB 的周长为( )A.6B. 9C. 12D. 146.如图,PA,PB是⊙O的两条切线,A,B是切点.若∠APB=60°,PO=2,则⊙O的半径等于.7.如图,PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,AC为⊙O 的弦,BC 为⊙O的直径.若∠P=60°,PB=2cm.(1)求证:△PAB 是等边三角形.(2)求AC的长.8.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，M 是BC 的中点，P 是线段MC 上的一个动点(不与点 M,C 重合),以AB 为直径作⊙O,过点 P 作⊙O 的切线交AD 于点F ，切点为E.求四边形CDFP 的周长.9.如图，在等腰三角形ABC 中，O 为底边BC 的中点，以点O 为圆心作半圆，分别与AB ，AC 相切于点D ，E.过半圆上一点 F 作半圆的切线,分别交 AB,AC 于点 M,N.则BM⋅CN BC 2的值为( )A. 18B. 14C. 12D. 110.如图,P 为⊙O 外一点,过点 P 作⊙O 的切线 PA,PB,A,B 为切点,连结AO 并延长，交 PB 的延长线于点C ，过点 C 作CD ⊥PO,交 PO 的延长线于点 D.已知 PA=6,AC=8,则CD= .11.如图，以正方形ABCD 的AB 边为直径作半圆O ，过点 C 作直线切半圆于点 F ，交AD 边于点E.若△CDE 的周长为12,则直角梯形 ABCE 的周长为 .12. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O交AB 于点 D,过点 D作⊙O的切线交BC 于点E,过点 E作EF⊥AB,垂足为F.BC.(1)求证: DE=12(2)若AC=6,BC=8,求 S△ACD : S△EDF的值.13.已知AB是⊙O的直径,AM和BN 是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM,BN于点D,C.(1)如图①,求证: AB²=4AD⋅BC.(2)如图②,连结OE 并延长,交AM于点F,连结CF.若∠ADE=2∠OFC,AD=1,求图中阴影部分的面积.。

切线长定理一、选择题（只有一个选项是正确的，请把它选出来）1. 点P是⊙O外一点，PA,PB是圆的切线，切点分别为A,B，若PA=12,则PB的长为（）（A）6. （B）8. （C）12. （D）14.2. (原创)如图1，点P是⊙O外一点，PA,PB是圆的切线，切点分别为A,B，PO与AB交于点C,则图中直角三角形的个数为（）（A）4个. （B）5个. （C）6个. （D）8个.图 13. 如图2，点P是⊙O外一点，PA,PB是圆的切线，切点分别为A,B，E点是劣弧AB上一点，过E点的切线CD，交PA，PB分别于点D,C，若圆的半径为3，PO=5，则三角形PCD的周长为（）（A）6. （B）8. （C）10. （D）12.图 24. (原创)如图3，点A是⊙O外一点，AB,AC是圆的切线，切点分别为B,C，若∠BOC=120°，则三角形ABC的形状是（）（A）等腰三角形. （B）等边三角形. （C）等腰直角三角形. （D）直角三角形.图 3二、填空题（答案要简洁）5. (原创) 如图4，点A是⊙O外一点，AB,AC是圆的切线，切点分别为B,C，若AB⊥AC，则四边形ABOC的形状是 .图 46. (原创)如图5，点P是⊙O外一点，PB,PA是圆的切线，切点分别为B,A，C是优弧AB上一点，且∠ACB=84°.则∠P的度数是 .图 57. (原创)如图6，点P是⊙O外一点，PB,PA是圆的切线，切点分别为B,A，C是PA的中点，CD切圆O于点D，则AD,PD,PB三者之间的关系是 .图 68. (原创) 如图7，已知点P是⊙O外一点，PB,PA是圆的切线，切点分别为B,A，B是OC 的中点，∠POB=70°，则∠APC的度数为 .图 7三、解答题9. (原创)如图8，已知半⊙O与等腰三角形ABC的边AB,AC分别相切，切点分为D,E，半圆的直径FG在边BC上.求证：DF=EG.图 810. (原创) 如图9，已知点P是⊙O外一点，PB,PA是圆的切线，切点分别为B,A，连接AB,PO 二线交于点E，以AB为一边作矩形ABCD，连接OB，若OB=3,PO=5，求矩形ABCD的面积.图 9三角形的内切圆一、选择题（只有一个选项是正确的，请把它选出来）1.三角形的内心是（）（A）三角形三条中线的交点.（B）三角形三条垂直平分线的交点.（C）三角形三条高线的交点.（D）三角形三条角平分线的交点.2. 如图1，⊙G是三角形ABC的内切圆，切点分别是D,E,F，则三角形EDF的形状是（）（A）直角三角形. （B）锐角三角形. （C）等边三角形. （D）无法确定.3. 如图2，⊙O是三角形ABC的内切圆，切点分别是D,E,F，∠C=78°，则∠EDF的度数是（）（A）51°. （B）62°. （C）78°. （D）84°.4. (原创) 如图3，圆与直角三角形ABC的三边都相切，切点分别是D,E,F，已知斜边AB=10,直角边BC=6,则CD,AE,BF 的长分别是 （ ） （A ）2、6、4. （B ）2、4、6. （C ）2、4、5. （D ）2、5、4.二、填空题（答案要简洁）5. (原创) Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，r 为半径作圆与三角形的三边都相切，则点A 到圆心的距离为_______．6.三角形ABC 的内心与外心重合，则三角形ABC 的形状是 ．7. 如图4，Rt△ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切与点D 、E ，过劣弧DE （不包括端点D ，E ）上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB ，BC 分别交于点M ，N ，若⊙O 的半径为r ，则Rt△MBN 的周长为 .８. (原创) 如图4，CD 是Rt△ABC 斜边AB 上高，⊙E 是三角形ABC 的内切圆，半径为R ，⊙F 是三角形ACD 的内切圆，半径为1R ，⊙G 是三角形BCD 的内切圆，半径为2R ，设三角形ABC 的三边长分别为a,b,c ，则12R R R= .(用a,b,c 表示)三、解答题9. 原创如图5，，CD是Rt△ABC斜边AB上高，⊙1O是三角形ACD的内切圆，半径为1R，⊙2O是三角形BCD的内切圆，半径为2R，设三角形ABC的三边长分别为a,b,c.（1）用a,b,c分别表示1R，2R；（2）计算12RR的值.10.原创如图6，Rt△ABC中，⊙O是三角形ABC的内切圆，半径为1R；如图7，⊙1O，⊙2o是两个等圆，两圆外切，且⊙1O与AB,BC都相切，⊙2o与AC,BC都相切，半径为2R；如图8，⊙1O，⊙2o，⊙3O是等圆，自左到右依次外切，且⊙1O与AB,BC都相切，⊙3O与AC,BC都相切，半径为3R，设三角形ABC的三边长分别为a,b,c.(1)求1R，2R，3R；(2)有n个等圆⊙1O，⊙2o，⊙3O…⊙nO，自左到右依次外切，且⊙1O与AB,BC都相切，⊙nO与AC,BC都相切，半径为2R，仔细观察（1）中的规律，直接写出nR.探究题：如图9，直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=c,BC=a,AC=b，⊙0与直角三角形的三边相切，圆的半径r.则r=2()abcc a b c++．（2）如图10，直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=c,BC=a,AC=b，⊙0、⊙I是两个等圆，且⊙0与直角三角形的两边相切，⊙I与直角三角形的两边相切，⊙0与⊙I相外切，圆的半径r.则r=22()abcc a b c ab+++．(3)如图11，直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=c,BC=a,AC=b，⊙0、⊙I是n个等圆中的两个，且⊙0与直角三角形的两边相切，⊙I与直角三角形的两边相切，n个等圆两两相切，圆的半径r，则r= ．切线长定理一、选择题 1.（C ）提示：根据切线长定理PB=12. 2. （C ）提示：根据切线的性质，知道三角形PAO,PBO 是直角三角形，根据切线长定理，等腰三角形三线合一，知道三角形PAC,PBC,OAC,OBC 都是直角三角形. 3.（B ）提示： 三角形PCD 的周长为PA+PB=2PA ，根据勾股定理，PA=4. 4.. （B ） 提示：利用切线性质，四边形内角，确定∠A=60°. 二、填空题 5. 正方形提示：切线性质，得到两个直角，矩形+邻边相等. 6. 12°提示：利用圆心角与圆周角关系定理，得∠AOB=168°,利用四边形内角和定理可求. 7. 222AD PD PB +=提示：根据切线长定理，得PA=PB,AC=CD=CP ，所以三角形APD 是直角三角形. 8. 60°提示：切线长定理，等腰三角形三线合一，确定∠APO=∠OPB=∠BPC=20°.三、解答题 9.证明：连接OA ，因为AD,AE 是圆的切线，所以OA 平分∠BAC ，AD=AE ， 所以AB-AD=AC-AE ，所以BD=CE. 因为OA 平分∠BAC,AB=AC ，所以OB=OC,所以OB-OF=OC-OG ，所以BF=CG ，因为∠B=∠C ，所以△DBF ≌△EGC ， 所以DF=EG.10.解：因为PB 是圆的切线，所以三角形POB 是直角三角形，所以PB=4， 所以BD=8.因为PA,PB 是圆的切线，所以PE ⊥AB ，所以PB g OB=PO g BE ， 所以BE=125，所以AB=245， 所以2222248()5BD AB -=-325, 所以矩形的面积AB g AD=245×325=76825.三角形的内切圆一、选择题 1.（D ）提示：根据三角形内心的定义判断. 2. （B ）提示：连接EG,FG ，则∠EGF ＜180°，所以12∠EGF ＜90°，所以∠EDF 是锐角，同理可证其余两个角也是锐角.3. （A ）提示：先求∠EOF=102°,后求解即可. 4.（A ）提示：先求AC=8,再求CF=2,AE=6,BF=4.二、填空题提示：r=1,AC 上点A 到切点的距离为2，根据勾股定理求解. 6. 等边三角形提示：等边三角形的三线合一判定. 7.2r提示：三角形的周长为2BD ，BD 就是r. ８.a bc+ 提示：设CD=h ，AD=x ，BD=y ，则R=2a b c +-，1R =2h x b +-，2R =2h y a+- 所以1R +2R =2h x b +-+2h y a +-=2()2h x y a b ++-+=2()2h c a b +-+，因为h=ab c ，所以1R +2R =222()()22ab ab c a b cc a b c c +-++-+= =2222()()()22ab a b a b ca b a b c c c++-++-+==()()22a b a b c a b a b c a b R c c c++-++-+==•g ,所以12R R R +=a b c+.三、解答题 9.解：（1）因为三角形ABC 的面积是定值，所以CD=abc.易证△ADC ∽△ACB ， 所以AD=2b c，因为⊙1O 是三角形ACD 的内切圆，半径为1R ，所以AD-1R +CD-1R =AC所以1R =2AD CD AC +-=2()22b abbb a bc c c c+-+-=； 同理可证， 2R =()2a a b c c+-；（2）因为1R =()2b a b c c +-，2R =()2a a b c c+-，所以12R R =b a .10. 解：（1）如图6 连接OA,OC,OB,因为⊙O 是三角形ABC 的内切圆，半径为1R ，三角形ABC 的三边长分别为a,b,c ，所以三角形AOC 的面积=12×AC ×1R ，三角形BOC 的面积=12×BC ×1R ，三角形AOB 的面积=12×AB ×1R ，三角形ABC 的面积=12×a ×b ， 所以12×AC ×1R +12×BC ×1R +12×AB ×1R =12×a ×b ， 所以1R =ab a c b ++；如图7 连接1O A, 1O C, 1O B, 等圆的半径为2R 三角形ABC 的三边长分别为a,b,c ， 所以三角形A 1O C 的面积=12×AC ×22R ，三角形B 1O C 的面积=12×BC ×2R ，三角形A 1O B 的面积=12×AB ×2R ，三角形ABC 的面积=12×a ×b ， 所以12×AC ×22R +12×BC ×2R +12×AB ×2R =12×a ×b ， 所以2R =2ab a c b ++；同理可证，3R =3ab a c b++； （2）n R =ab a c nb ++.探究题：解：（1）连接OA,OC ，OB ，则三角形AOC 的面积=12×AC ×r ，三角形BOC 的面积=12×BC ×r ， 三角形AOB 的面积=12×AB ×r ，三角形ABC 的面积=12×a ×b ， 因为三角形AOC 的面积+三角形BOC 的面积+三角形AOB 的面积=三角形ABC 的面积， 所以12×AC ×r+12×BC ×r+12×AB ×r=12×a ×b ， 所以12（a+b+c ）r=12×a ×b,所以r=ab a b c ++，所以r=2()abc c a b c++． （2）连接OA,OC,IC,IB,OI,OE,IF,作高CD,交OI 于点G ，则三角形AOC 的面积=12×AC ×r ，三角形BIC 的面积=12×BC ×r ，三角形AOF 的面积=12×AF ×r ，三角形BIF 的面积=12×BF ×r ，三角形OIF 的面积=12×OI ×IF ，三角形OCI 的面积=12×OI ×CG ，三角形ABC 的面积=12×a ×b ，因为三角形AOC 的面积+三角形BIC 的面积+三角形AOF 的面积+三角形BIF 的面积+三角形OIF 的面积+三角形OCI 的面积=三角形ABC 的面积， 所以12×AC ×r+12×BC ×r+12×AF ×r+12×BF ×r+12×OI ×IF+12×OI ×CG=12×a ×b ， 所以12（a+b+c ）r+12×OI ×CD=12×a ×b,且CD=ab c ，整理得：r=22()abc c a b c ab +++．（3）规律隐藏在ab 分母中ab 的系数中，且系数与等圆的个数n 的关系是：系数=2（n-1）,于是结论为r=221()()abc c a b c n ab +++-.。

浙教版九年级下册2.2 切线长定理同步练习一．选择题（共16小题）1．如图，P A、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（）A．40°B．140°C．70°D．80°2．如图，P A，PB分别是⊙O的切线，A，B分别为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB＝60°，则∠P为（）A．120°B．60°C．30°D．45°3．如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（）A．8B．9C．10D．114．如图，P A、PB分别切⊙O于A、B，P A＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交P A、PB于点E、F．则△PEF的周长为（）A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm5．如图，AD、AE、CB均为⊙O的切线，D、E、F分别为切点，AD＝8，则△ABC的周长为（）A．8B．10C．12D．166．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，切点依次是E、F、G、H，下列结论一定正确的有（）个①AF＝BG②CG＝CH③AB+CD＝AD+BC④BG＜CG．A．1B．2C．3D．47．如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C，且在上的动点，则∠BPC的度数是（）A．65°B．115°C．115°或65°D．130°或65°8．如图，已知P A，PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝60°，P A＝8，那么弦AB的长是（）A．4B．8C．4D．89．如图所示，P A，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，下列说法不正确的是（）A．P A＝PB B．∠APO＝20°C．∠OBP＝70°D．∠AOP＝70°10．如图，AE、AD和BC分别切⊙O于点E、D、F，如果AD＝20，则△ABC的周长为（）A．20B．30C．40D．5011．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线P A，PB，切点分别为A，B．如果∠APB＝60°，P A＝8，那么弦AB的长是（）A．4B．8C．D．12．如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB＝10，AD ＝6，则CB长（）A．4B．5C．6D．无法确定13．如图，一圆内切四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为（）A．50B．52C．54D．5614．如图，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O切AB、BC、AC于D、E、F，则AF的长为（）A．5B．10C．7.5D．415．已知⊙O的半径是4，P是⊙O外的一点，且PO＝8，从点P引⊙O的两条切线，切点分别是A，B，则AB＝（）A．4B．C．D．16．如图，P A、PB分别切⊙O于A、B两点，如果∠P＝60°，P A＝2，那么AB的长为（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共4小题）17．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为．18．如图，菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为．19．如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝°．20．如图，四边形ABCD外切于圆，AB＝16，CD＝10，则四边形的周长是．三．解答题（共7小题）21．如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，求∠P 的度数．22．如图，P A、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：（1）P A的长；（2）∠COD的度数．23．如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为Q，交P A、PB于点E、F，已知P A＝12cm，∠P＝40°①求△PEF的周长；②求∠EOF的度数．24．如图，P A、PB、DE切⊙O于点A、B、C、D在P A上，E在PB上，（1）若P A＝10，求△PDE的周长．（2）若∠P＝50°，求∠O度数．25．如图，P A，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°．（1）求∠BAC的度数；（2）当OA＝2时，求AB的长．26．已知：如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O 的切线，交P A、PB于E、F点，已知P A＝12cm，求△PEF的周长．27．如图，已知AB为⊙O的直径，P A，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC＝30°．（Ⅰ）求∠P的大小；（Ⅱ）若AB＝2，求P A的长（结果保留根号）．参考答案一．选择题（共16小题）1．如图，P A、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（）A．40°B．140°C．70°D．80°【分析】连接OA，OB根据切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，即可求得∠OAP，∠OBP的度数，根据四边形的内角和定理即可求的∠AOB的度数，然后根据圆周角定理即可求解．【解答】解：∵P A是圆的切线．∴∠OAP＝90°，同理∠OBP＝90°，根据四边形内角和定理可得：∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∴∠ACB＝∠AOB＝70°．故选：C．2．如图，P A，PB分别是⊙O的切线，A，B分别为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB＝60°，则∠P为（）A．120°B．60°C．30°D．45°【分析】连接OA，BO，由圆周角定理知可知∠AOB＝2∠E＝120°，P A、PB分别切⊙O 于点A、B，利用切线的性质可知∠OAP＝∠OBP＝90°，根据四边形内角和可求得∠P ＝180°﹣∠AOB＝60°．【解答】解：连接OA，BO；∵∠AOB＝2∠E＝120°，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠P＝180°﹣∠AOB＝60°．故选：B．3．如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（）A．8B．9C．10D．11【分析】根据圆外切四边形的性质对边和相等进而得出AD的长．【解答】解：∵⊙O内切于四边形ABCD，∴AD+BC＝AB+CD，∵AB＝10，BC＝7，CD＝8，∴AD+7＝10+8，解得：AD＝11．故选：D．4．如图，P A、PB分别切⊙O于A、B，P A＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交P A、PB于点E、F．则△PEF的周长为（）A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm【分析】根据切线长定理由P A、PB分别切⊙O于A、B得到PB＝P A＝10cm，由于过点C的切线分别交P A、PB于点E、F，再根据切线长定理得到EA＝EC，FC＝FB，然后三角形周长的定义得到△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PE+EC+FC+PF，用等线段代换后得到三角形PEF的周长等于P A+PB．【解答】解：∵P A、PB分别切⊙O于A、B，∴PB＝P A＝10cm，∵EA与EC为⊙的切线，∴EA＝EC，同理得到FC＝FB，∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PE+EC+FC+PF＝PE+EA+FB+PF＝P A+PB＝10+10＝20（cm）．故选：C．5．如图，AD、AE、CB均为⊙O的切线，D、E、F分别为切点，AD＝8，则△ABC的周长为（）A．8B．10C．12D．16【分析】由AD、AE、CB均为⊙O的切线，D、E、F分别为切点，根据切线长定理，可得CE＝CF，BD＝BF，AE＝AD＝8，继而可求得△ABC的周长为AE+AD的和．【解答】解：∵AD、AE、CB均为⊙O的切线，D、E、F分别为切点，∴CE＝CF，BD＝BF，AE＝AD＝8，∴△ABC的周长为：AC+BC+AB＝AC+CF+BF+AB＝AC+CE+BD+AB＝AE+AD＝16．故选：D．6．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，切点依次是E、F、G、H，下列结论一定正确的有（）个①AF＝BG②CG＝CH③AB+CD＝AD+BC④BG＜CG．A．1B．2C．3D．4【分析】根据切线长定理（从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角）对以下选项进行分析．【解答】解：如图，连接OE、OF、OH、OG．①∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，切点依次是E、F、G、H，∴BF＝BG、AF＝AE，只有当点F是边AB的中点时，AF＝BF＝BG，否则，等式AF＝BG不成立；故本选项不一定正确；②根据题意，知，CG、CH都是⊙O的切线，∴CG＝CH．故本选项正确；③根据题意，知AF＝AE，DH＝DE，BF＝BG，CG＝CH，则AF+BF+CH+DH＝AE+BG+CG+DE，即AB+CD＝AD+BC．故本选项正确；④当点G是边BC的中点时，BG＝CG．故本选项错误；综上所述，正确的说法有2个；故选：B．7．如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C，且在上的动点，则∠BPC的度数是（）A．65°B．115°C．115°或65°D．130°或65°【分析】连接OB、OC，根据四边形的内角和定理，求得∠BOC＝130°，再由圆周角定理求得∠P的度数即可．【解答】解：如图，连接OB、OC，∵AB、AC是⊙O的切线，∴∠OBA＝∠OCA＝90°，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝130°，∵∠BOC＝2∠P，∴∠BPC＝65°；故选：AC．8．如图，已知P A，PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝60°，P A＝8，那么弦AB的长是（）A．4B．8C．4D．8【分析】根据切线长定理和等边三角形的判定方法，发现等边三角形即可求解．【解答】解：∵P A，PB分别切⊙O于点A、B，∴P A＝PB，又∠P＝60°，∴△APB是等边三角形，∴AB＝P A＝8．故选：B．9．如图所示，P A，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，下列说法不正确的是（）A．P A＝PB B．∠APO＝20°C．∠OBP＝70°D．∠AOP＝70°【分析】根据切线长定理得A，B是正确的；再根据切线的性质定理以及直角三角形的两个锐角互余得D是正确的；根据切线的性质定理得C错误．【解答】解：∵P A，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，∴P A＝PB，∠APO＝∠BPO，∠A＝∠B＝90°，∴∠OBP＝∠OAP，∴C是错误的．故选：C．10．如图，AE、AD和BC分别切⊙O于点E、D、F，如果AD＝20，则△ABC的周长为（）A．20B．30C．40D．50【分析】根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，将△ABC 的周长转化为切线长求解．【解答】解：据切线长定理有AD＝AE，BE＝BF，CD＝CF；则△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BF+CF+AC＝AB+BE+AC+CD＝AD+AE＝2AD＝40．故选：C．11．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线P A，PB，切点分别为A，B．如果∠APB＝60°，P A＝8，那么弦AB的长是（）A．4B．8C．D．【分析】根据切线长定理知P A＝PB，而∠P＝60°，所以△P AB是等边三角形，由此求得弦AB的长．【解答】解：∵P A、PB都是⊙O的切线，∴P A＝PB，又∵∠P＝60°，∴△P AB是等边三角形，即AB＝P A＝8，故选：B．12．如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB＝10，AD ＝6，则CB长（）A．4B．5C．6D．无法确定【分析】方法1、设圆O的半径是R，圆O与AD、DC、CB相切于点E、F、H，连接OE、OD、OF、OC、OH，则圆的半径R，可以看作△BOC，△COD，△AOD的高，根据S梯形ABCD＝S△BOC+S△COD+S△DOA，以及梯形的面积公式即可求解．方法2、利用切线的性质得出∠ADO＝∠ODC，进而得出∠ADO＝∠AOD，即可得出OA ＝6，即：OB＝4，同理：BC＝OB即可得出结论．【解答】解：方法1、设圆O的半径是R，圆O与AD、DC、CB相切于点E、F、H，连接OE、OD、OF、OC、OH．设CD＝y，CB＝x．设S梯形ABCD＝S则S＝（CD+AB）R＝（y+10）R﹣﹣﹣﹣（1）S＝S△BOC+S△COD+S△DOA＝xR+yR+×6R﹣﹣﹣﹣（2）联立（1）（2）得x＝4；方法2、连接OD．OC∵AD，CD是⊙O的切线，∴∠ADO＝∠ODC，∵CD∥AB，∴∠ODC＝∠AOD，∴∠ADO＝∠AOD∴AD＝OA∵AD＝6，∴OA＝6，∵AB＝10，∴OB＝4，同理可得OB＝BC＝4，故选：A．13．如图，一圆内切四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为（）A．50B．52C．54D．56【分析】根据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长．【解答】解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长＝2（16+10）＝52．故选：B．14．如图，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O切AB、BC、AC于D、E、F，则AF的长为（）A．5B．10C．7.5D．4【分析】由切线长定理，可知：AF＝AD，CF＝CE，BE＝BD，用未知数设AF的长，然后表示出BD、CF的长，即可表示出BE、CE的长，根据BE+CE＝5，可求出AF的长．【解答】解：设AF＝x，根据切线长定理得AD＝x，BD＝BE＝9﹣x，CE＝CF＝CA﹣AF ＝6﹣x，则有9﹣x+6﹣x＝5，解得x＝5，即AF的长为5．故选：A．15．已知⊙O的半径是4，P是⊙O外的一点，且PO＝8，从点P引⊙O的两条切线，切点分别是A，B，则AB＝（）A．4B．C．D．【分析】在Rt△POA中，用勾股定理，可求得P A的长，进而可根据∠APO的正弦值求出AC的长，即可求出AB的长．【解答】解：如图所示，P A、PB切⊙O于A、B，因为OA＝4，PO＝8，则AP＝＝4，∠APO＝30°，∵∠APB＝2∠APO＝60°故△P AB是等边三角形，AB＝AP＝4故选：C．16．如图，P A、PB分别切⊙O于A、B两点，如果∠P＝60°，P A＝2，那么AB的长为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由切线长定理知P A＝PB，根据已知条件即可判定△P AB是等边三角形，由此可求得AB的长．【解答】解：∵P A、PB分别切⊙O于A、B，∴P A＝PB；∵∠P＝60°，∴△P AB是等边三角形；∴AB＝P A＝2，故选B．二．填空题（共4小题）17．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为50．【分析】根据切线长定理得到AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，得到AD+BC＝AB+CD＝25，根据四边形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，∴AD+BC＝AB+CD＝25，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝25+25＝50，故答案为：50．18．如图，菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为．【分析】作辅助线，构建直角△AOB，分别计算OA、OB的长，根据面积法可得OE的长．【解答】解：设AB和BC上的切点分别为E、F，连接OA、OE、OB、OF，则OE⊥AB，OF⊥BC，∵⊙O内切于菱形ABCD，∴OE＝OF，∴OB平分∠ABC，∵∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°，同理得∠BAO＝60°，∴∠AOB＝90°，∴AO＝AB＝2，OB＝2，∴S△AOB＝AB•OE＝AO•OB，4OE＝2×，OE＝，故答案为：．19．如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝76°．【分析】由切线的性质得出P A＝PB，P A⊥OA，得出∠P AB＝∠PBA，∠OAP＝90°，由已知得出∠PBA＝∠P AB＝90°﹣∠OAB＝52°，再由三角形内角和定理即可得出结果．【解答】解：∵P A，PB是⊙O的切线，∴P A＝PB，P A⊥OA，∴∠P AB＝∠PBA，∠OAP＝90°，∴∠PBA＝∠P AB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°；故答案为：76．20．如图，四边形ABCD外切于圆，AB＝16，CD＝10，则四边形的周长是52．【分析】利用圆外切四边形的性质定理可以得出，四边形的周长是对边和的2倍，即可得．【解答】解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长＝2（16+10）＝52．故答案为：52．三．解答题（共7小题）21．如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，求∠P 的度数．【分析】根据切线长定理得等腰△P AB，运用三角形内角和定理求解即可．【解答】解：根据切线的性质得：∠P AC＝90°，所以∠P AB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣20°＝70°，根据切线长定理得P A＝PB，所以∠P AB＝∠PBA＝70°，所以∠P＝180°﹣70°×2＝40°．22．如图，P A、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：（1）P A的长；（2）∠COD的度数．【分析】（1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PDE的周长等于P A+PB的结论，即可求出P A的长；（2）根据三角形的内角和求出∠ADC和∠BEC的度数和，然后根据切线长定理，得出∠EDO和∠DEO的度数和，再根据三角形的内角和求出∠DOE的度数．【解答】解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线，∴CA＝CE，同理DE＝DB，P A＝PB，∴三角形PDE的周长＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝P A+PB＝2P A＝12，即P A的长为6；（2）∵∠P＝60°，∴∠PCE+∠PDE＝120°，∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°，∵CA，CE是圆O的切线，∴∠OCE＝∠OCA＝∠ACD；同理：∠ODE＝∠CDB，∴∠OCE+∠ODE＝（∠ACD+∠CDB）＝120°，∴∠COD＝180﹣120°＝60°．23．如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为Q，交P A、PB于点E、F，已知P A＝12cm，∠P＝40°①求△PEF的周长；②求∠EOF的度数．【分析】①根据切线长定理得出P A＝PB，EB＝EQ，FQ＝F A，由PE+EF+PF＝PE+EQ+FQ+PF即可求出答案．②连接OE，OF，求出∠OEF+∠OFE的度数，即可得出∠EOF的度数．【解答】解：①∵P A、PB是⊙O的切线，∴P A＝PB，又∵直线EF是⊙O的切线，∴EB＝EQ，FQ＝F A，∴△PEF的周长＝PE+PF+EF＝PE+PF+EB+F A＝P A+PB＝2P A＝24cm；②连接OE，OF，则OE平分∠BEF，OF平分∠AFE，则∠OEF+∠OFE＝（∠P+∠PFE）+∠（P+∠PEF）＝（180°+40°）＝110°，∴∠EOF＝180°﹣110°＝70°．24．如图，P A、PB、DE切⊙O于点A、B、C、D在P A上，E在PB上，（1）若P A＝10，求△PDE的周长．（2）若∠P＝50°，求∠O度数．【分析】（1）于P A、PB、DE都是⊙O的切线，可根据切线长定理将切线P A、PB的长转化为△PDE的周长；（2）连接OA、OC、0B，利用切线长定理即可得到∠O＝∠AOB，根据四边形的内角和可得∠AOB+∠P＝180°，进而求出∠O的度数．【解答】解：（1）∵P A、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，∴P A＝PB，DA＝DC，EC＝EB；∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝P A+PB＝10+10＝20；∴△PDE的周长为20；（2）连接OA、OC、0B，∵OA⊥P A，OB⊥PB，OC⊥DE，∴∠DAO＝∠EBO＝90°，∴∠P+∠AOB＝180°，∴∠AOB＝180°﹣50°＝130°∵∠AOD＝∠DOC，∠COE＝∠BOE，∴∠DOE＝∠AOB＝×130°＝65°．25．如图，P A，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°．（1）求∠BAC的度数；（2）当OA＝2时，求AB的长．【分析】（1）根据切线长定理推出AP＝BP，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠P AB＝60°，求出∠P AO＝90°即可；（2）根据直角三角形性质求出OP，根据勾股定理求出AP，根据等边三角形的判定和性质求出即可．【解答】解：（1）∵P A，PB是⊙O的切线，∴AP＝BP，∵∠P＝60°，∴∠P AB＝60°，∵AC是⊙O的直径，∴∠P AC＝90°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°．（2）连接OP，则在Rt△AOP中，OA＝2，∠APO＝30°，∴OP＝4，由勾股定理得：，∵AP＝BP，∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形，∴．26．已知：如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O 的切线，交P A、PB于E、F点，已知P A＝12cm，求△PEF的周长．【分析】根据切线长定理得出P A＝PB，EB＝EQ，FQ＝F A，代入PE+EF+PF＝PE+EQ+FQ+PF即可求出答案．【解答】解：∵P A、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，∴P A＝PB＝12，∵过Q点作⊙O的切线，交P A、PB于E、F点，∴EB＝EQ，FQ＝F A，∴△PEF的周长是：PE+EF+PF＝PE+EQ+FQ+PF，＝PE+EB+PF+F A＝PB+P A＝12+12＝24，答：△PEF的周长是24．27．如图，已知AB为⊙O的直径，P A，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC＝30°．（Ⅰ）求∠P的大小；（Ⅱ）若AB＝2，求P A的长（结果保留根号）．【分析】（Ⅰ）根据切线的性质及切线长定理可证明△P AC为等边三角形，则∠P的大小可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）知P A＝PC，在Rt△ACB中，利用30°的特殊角度可求得AC的长．【解答】解：（Ⅰ）∵P A是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴P A⊥AB，∴∠BAP＝90°；∵∠BAC＝30°，∴∠CAP＝90°﹣∠BAC＝60°．又∵P A、PC切⊙O于点A、C，∴P A＝PC，∴△P AC为等边三角形，∴∠P＝60°．（Ⅱ）如图，连接BC，则∠ACB＝90°．在Rt△ACB中，AB＝2，∠BAC＝30°，∵cos∠BAC＝，∴AC＝AB•cos∠BAC＝2cos30°＝．∵△P AC为等边三角形，∴P A＝AC，∴P A＝．。

切线长定理和三角形内切圆（两大类题型）【题型1利用切线长定理的性质求线段长度或周长】【题型2 三角形的内切圆与内心】【题型1利用切线长定理的性质求线段长度或周长】1．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC ＝6，则BD的长是（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP＝6，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．故选：B．2．如图，P为⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交P A、PB于点C、D，若P A＝8，则△PCD的周长为（）A．8B．12C．16D．20【答案】C【解答】解：∵P A、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴P A＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝P A+AC+PD+BD＝P A+PB＝8+8＝16，即△PCD的周长为16．故选：C．3．以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（）A．12B．13C．14D．15【答案】C【解答】解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，∵CE与半圆O相切于点F，∴AE＝EF，BC＝CF，∵EF+FC+CD+ED＝12，∴AE+ED+CD+BC＝12，∵AD＝CD＝BC＝AB，∴正方形ABCD的边长为4；在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，∵AE+EF+FC+BC+AB＝14，∴直角梯形ABCE周长为14．故选：C．4．如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE 为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（）A．7B．8C．9D．16【答案】A【解答】解：∵AB、AC、BC、DE都和⊙O相切，∴BI＝BG，CI＝CH，DG＝DF，EF＝EH．∴BG+CH＝BI+CI＝BC＝9，∴C△ADE ＝AD+AE+DE＝AD+AE+DF+EF＝AD+DG+EH+AE＝AG+AH＝C△ABC﹣（BG+EH+BC）＝25﹣2×9＝7．故选：A．5．如图所示，P是⊙O外一点，P A，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交P A，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则P A的长为（）A．12B．6C．8D．4【答案】B【解答】解：∵P A，PB分别和⊙O切于A，B两点，∴P A＝PB，∵DE是⊙O的切线，∴DA＝DC，EB＝EC，∵△PDE的周长为12，即PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+AD+EB+PE＝P A+PB＝2P A＝12，∴P A＝6．故选：B．6．如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（）A．9B．7C．11D．8【答案】C【解答】解：设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q，CM＝x，根据切线长定理，得CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣，AN＝AP＝10﹣x．则有9﹣x+10﹣x＝8，解得：x＝5.5．所以△CDE的周长＝CD+CE+QE+DQ＝2x＝11．故选：C．7．如图，⊙O内切于正方形ABCD，点O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点M，N，交⊙O于点E，F，若CM+CN＝6，则弧EF的长为（）A．3πB．2.25πC．2πD．1.5π【答案】D【解答】解：设⊙O与正方形ABCD的边CD相切于点G，与BC相切于点H，如解图，连接OG，OH，则四边形OHCG是正方形，∵∠GON+∠NOH＝90°∠HOM+∠NOH＝90°，∴∠GON＝∠HOM，又∵∠OGN＝∠OHM＝90°，OG＝OH，∴△OGN≌△OHM（ASA），∴GN＝HM，∴⊙O的半径＝，∴．故选：D．8．如图，在等腰三角形ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N．那么的值等于（）A．B．C．D．1【答案】B【解答】解：连OM，ON，如图，∵MD，MF与⊙O相切，∴∠1＝∠2，同理得∠3＝∠4，而∠1+∠2+∠3+∠4+∠B+∠C＝360°，AB＝AC∴∠2+∠3+∠B＝180°；而∠1+∠MOB+∠B＝180°，∴∠3＝∠MOB，即有∠4＝∠MOB，∴△OMB∽△NOC，∴＝，∴BM•CN＝BC2，∴＝．故选：B．9．如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝10，则⊙O的面积为．【答案】25π【解答】解：设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，连接OE，OF，则四边形OECF是正方形，∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，∵∠MON＝90°，∴∠EOM＝∠FON，∴△OEM≌△OFN（ASA），∴EM＝NF，∴CM+CN＝CE+CF＝10，∴OE＝5，∴⊙O的面积为25π，故答案为：25π．10．如图，四边形ABCD是O的外切四边形，且AB＝8，CD＝12，则四边形ABCD的周长为．【答案】40．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AD+BC＝AB+CD＝20，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝40，故答案为：40．11．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB＝16cm，CD＝10cm，则四边形的周长为．【答案】52cm．【解答】解：设四边形ABCD的内切圆圆心为O，⊙O与AB、BC、CD、AD 分别相切于点E、F、G、H，∵AH＝AE，BF＝BE，DH＝DG，CF＝CG，AB＝16cm，CD＝10cm，∴AD+BC＝AH+BF+DH+CF＝AE+BE+DG+CG＝AB+CD＝16+10＝26（cm），∴AB+CD+AD+BC＝26+26＝52（cm），∴四边形ABCD的周长为52cm，故答案为：52cm．12．如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB ＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AB、AC、BC都是⊙O的切线，∴AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，∵AB＝4，AC＝5，AD＝1，∴AE＝1，BD＝3，CE＝CF＝4，∴BC＝BF+CF＝3+4＝7．13．如图所示，P是⊙O外一点，P A，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交P A，PB于D，E．（1）若△PDE的周长为10，则P A的长为；（2）连接CA、CB，若∠P＝50°，则∠BCA的度数为度．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵P A、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，∴P A＝PB，DA＝DC，EC＝EB；＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝P A+PB＝10；∴C△PDE∴P A＝PB＝5；（2）连接OA、OB、AC、BC，在⊙O上取一点F，连接AF、BF，∵P A、PB分别切⊙O于A、B；∴∠P AO＝∠PRO＝90°∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°；∴∠AFB＝∠AOB＝65°，∵∠AFB+∠BCA＝180°∴∠BCA＝180°﹣65°＝115°；故答案为：5，115°．14．如图，分别过⊙O上A、B、C三点作⊙O切线，切线两两交于P、M、N，P A＝9，则△PMN的周长为．【答案】18．【解答】解：∵P A、PB、MN分别与⊙O切于A、B、C，∴P A＝PB，MA＝MC，NB＝NC，∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝PM+MC+CN+PN＝PM+MA+NB+PN＝P A+PB＝9+9＝18，故答案为：18．15．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为．【答案】见试题解答内容【解答】解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，∵CE与半圆O相切于点F，∴AE＝EF，BC＝CF，∵EF+FC+CD+ED＝12，∴AE+ED+CD+BC＝12，∵AD＝CD＝BC＝AB，∴正方形ABCD的边长为4；在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，∴AE+EF+FC+BC+AB＝14，∴直角梯形ABCE周长为14．故答案为：14．【题型2 三角形的内切圆与内心】16．如图，在△ABC中，内切圆O与BC，CA，AB分别切于D，E，F若∠A＝50°，则∠EDF＝（）A．55°B．65°C．75°D．85°【答案】B【解答】解：如图所示，连接OE，OF，∵内切圆O与CA，AB分别切于E，F，∴∠AFO＝∠AEO＝90°，∵∠A＝50°，∴∠EOF＝360°﹣∠A﹣∠AFO﹣∠AEO＝130°，∵点D在圆O上，∴，故选：B．17．如图，点Ⅰ为△ABC的内心，若∠A为50°，则∠BIC的度数为（）A．105°B．100°C．115°D．130°【答案】C【解答】解：∵点I为三角形的内心，∴∠CBI＝∠ABC，∠BCI＝∠ACB，∴∠CBI+∠BCI＝（∠ABC+∠ACB），∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，∴∠CBI+∠BCI＝（∠ABC+∠ACB）＝65°，∴∠BIC＝180°﹣（∠CBI+∠BCI）＝115°．故选：C．18．如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE 的周长为（）A．19B．17C．22D．20【答案】D【解答】解：如图，设△ABC的内切圆切三边于点F，H，G，连接OF，OH，OG，∴四边形OHCG是正方形，由切线长定理可知：AF＝AG，∵DE是⊙O的切线，∴MD＝MF，EM＝EG，∵∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，∴AB＝＝13，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴内切圆的半径＝（AC+BC﹣AB）＝2，∴CG＝2，∴AG＝AC﹣CG＝12﹣2＝10，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DF+EG+AE＝AF+AG＝2AG＝20．故选：D．19．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC的内心，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（）A．20B．15C．18D．12【答案】B【解答】解：∵O为△ABC的内心，∴点O到AB，AC的距离相等，∴△AOB、△AOC面积的比＝AB：AC＝8：6＝4：3．∵△ABO的面积为20，∴△ACO的面积为15．故选：B．20．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，∠B ＝90°，AB＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r为（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解答】解：连接OD、OE、OF，OA、OB、OC，∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∵⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，OD＝OE＝OF＝r，，∵AB•OD+BC•OE+AC•OD＝AB•BC＝S△ABC∴×6r+×8r+×10r＝×6×8，解得r＝2，故选：C．21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，⊙O是△ABC的内切圆，则阴影部分面积是（）A．2B．πC．4﹣πD．π﹣2【答案】C【解答】解：Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，∴AB ＝＝10，∴S △ABC ＝AC •BC ＝24，C △ABC ＝AC +BC +AB ＝24，∴内切圆半径r ＝＝2，∴S 圆＝πr 2＝π，设⊙O 与AC 切于点D ，与BC 切于点E ，连接OD 、OE ，则四边形ODCE 为正方形，∴S 阴影＝S 正方形ODCE ﹣S 扇形DOE ＝2×2﹣×2×2π＝4﹣π．故选：C ．22．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，⊙O 为△ABC 的内切圆，若，且△ABC 的面积为24，则△ABC 的周长为（ ）A ．48B ．C ．24D ．【答案】C 【解答】解：过O 点作OD ⊥AB 于D 点，OE ⊥AC 于E 点，OF ⊥BC 于F 点，连接OA 、OB ，如图，∵⊙O 为△ABC 的内切圆，∴OD ＝OE ＝OF ，OC 平分∠ACB ，∴∠OCE＝∠OCF＝∠ACB＝45°，∴OE＝OC＝×2＝2，∴OD＝OF＝2，∵S△AOB +S△AOC+S△BOC＝S△ABC，∴×2×AB+×2×AC+×2×BC＝24，即AB+AC+BC＝24，∴△ABC的周长为24．故选：C．23．如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（）A．100°B．160°C．80°D．130°【答案】D【解答】解：∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，∵点O是△ABC的内心，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝50°，∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°．故选：D．24．如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知∠ABC＝90°，CM＝2，AM＝3，则⊙O的半径为（）A．B．C．1D．2【答案】C【解答】解：连接OM、ON、OQ，根据切线长定理可得，AN＝AM＝3、CQ＝CM＝2，∠ONB＝∠OQB＝90°，又∵ON＝OQ＝r，∠ABC＝90°，∴四边形ONBQ为正方形，即QB＝BN＝r，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∵CM＝2，AM＝3，∴AB＝3+r，BC＝2+r，AC＝2+3＝5∴（3+r）2+（2+r）2＝52，解得r1＝1，r2＝﹣6（舍去），∴⊙O的半径为1，故选：C．25．如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I 的半径为r，∠A＝α，则（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分别为（）A．2r，90°﹣αB．0，90°﹣αC．2r，D．0，【答案】D【解答】解：如图，连接IF，IE．∵△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，∴BF＝BD，CD＝CE，IF⊥AB，IE⊥AC，∴BF+CE﹣BC＝BD+CD﹣BC＝BC﹣BC＝0，∠AFI＝∠AEI＝90°，∴∠EIF＝180°﹣α，∴∠EDF＝∠EIF＝90°﹣α．故选：D．26．如图，在△ABC中，∠A＝80°，⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，交⊙O于点D、E，已知OD＝3，则图中阴影部分的面积是（）A．4πB．C．3πD．【答案】B【解答】解：如图，⊙O分别与BC、AB相切于M、N，连接OM，ON，∴OM⊥BC，ON⊥AB，∵OM＝ON，∴OB平分∠ABC，同理OC平分∠ACB，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣80°）＝50°，∴∠BOC ＝180°﹣50°＝130°，∵OD ＝3，∴扇形ODE 的面积＝＝．故选：B ．27．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）（ ）A ．B ．6﹣C ．5﹣D ．3+【答案】C【解答】解：Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝＝5，∴S △ABC ＝AC •BC ＝6，C △ABC ＝AC +BC +AB ＝12，∴内切圆半径r ＝＝1，∴S 圆＝πr 2＝π，设⊙O 与AC 切于点D ，与BC 切于点E ，连接OD 、OE ，则四边形ODCE 为正方形，∴S 阴影＝S △ABC ﹣S 圆﹣S 正方形＝6﹣π﹣1＝5﹣π．故选：C ．28．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，若△ABC 的周长为18，面积为9，则⊙O 的半径是（ ）A ．1B ．C ．1.5D ．2【答案】A 【解答】解：如图，设⊙O 与△ABC 的各边分别相切于点E 、F 、G ，连接OE ，OF ，OG ，OA ，OB ，OC ，设⊙O 的半径为r ，则OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，OG ⊥BC ，OE ＝OF ＝OG ＝r ，∵S △ABC ＝S △ABO +S △ACO +S △BOC ，＝AB •r +AC •r +BC •r ，＝（AB +AC +BC ）•r ，又△ABC 的周长为18，面积为9，∴9＝×18•r ，∴r ＝1，故选：A ．29．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3．⊙O 是△ABC 的内切圆，分别与AC 、BC 、AB 相切于点D 、E 、F ，则圆心O 到顶点A 的距离是（ ）A．B．3C．D．【答案】C【解答】解：如图，连结OD，OE，OF，设⊙O半径为r，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，∵⊙O是△ABC AC、BC、AB相切于点D、E、F，，∴AC⊥OD，AB⊥OF，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r，∴四边形OECF是正方形，∴CE＝CD＝OD＝r，∴AD＝AF＝AC﹣CD＝4﹣r，BF＝BE＝BC﹣CE＝3﹣r，∵AF+BF＝AB＝5，∴3﹣r+4﹣r＝5，∴r＝1．∴OD＝CD＝1，∴AD＝3．∴AO＝＝，故选：C．30．如图，等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E、F，且AB＝AC＝13，BC＝10，则DE的长是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：连接OA、OE、OB，OB交DE于H，如图，∵等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴OA平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE＝BD，∵AB＝AC，∴AO⊥BC，∴点A、O、E共线，即AE⊥BC，∴BE＝CE＝5，在Rt△ABE中，AE＝＝12，∵BD＝BE＝5，∴AD＝8，设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，AO＝12﹣r，在Rt△AOD中，r2+82＝（12﹣r）2，解得r＝，在Rt△BOE中，OB＝5＝，∵BE＝BD，OE＝OD，∴OB垂直平分DE，∴DH＝EH，OB⊥DE，∵HE•OB＝OE•BE，∴HE＝＝＝，∴DE＝2EH＝．故选：D．31．如图，⊙I是Rt△ABC的内切圆，∠ACB＝90°，过点I作MN∥AB分别交CA，CB于N，M，若BM＝3，AN＝4，则⊙I的半径是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：设切点分别为E，F，G，连接IE，IF，IG，过点M作MP⊥AB 于P，过点N作NQ⊥AB于Q，∵⊙I是Rt△ABC的内切圆，∴IE⊥BC，IF⊥AC，IG⊥AB，IE＝IF＝IG，∵NQ⊥AB，∴∠AQN＝∠IFN＝90°，∵MN∥AB，∴∠A＝∠INF，∵MP⊥AB，NQ⊥AB，IG⊥AB，MN∥AB，∴NQ＝IG＝MP，∴NQ＝IF，∴△AQN≌△NFI（AAS），∴IN＝AN＝4，同理可得IM＝BM＝3，∵IE⊥BC，∴∠MEI＝90°，∵∠ACB＝90°∴∠MEI＝∠ACB∴IE∥AC，∴∠MIE＝∠INF，∴△MEI∽△IFN，∴，设ME＝3x，IF＝4x，则IE＝IF＝4x，在Rt△MEI中，由勾股定理，得（3x）2+（4x）2＝32，解得：（负根已经舍去），∴，故选：D．32．如图，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B 的坐标为（3，0），点P是Rt△OAB内切圆的圆心．将Rt△OAB沿y轴的正方向作无滑动滚动．使它的三边依次与x轴重合．第一次滚动后，圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2…依此规律，第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2019的坐标是（）A．（673，1）B．（674，1）C．（8076，1）D．（8077，1）【答案】D【解答】解：∵点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝5，∴Rt△OAB内切圆的半径＝（3+4﹣5）＝1，∴P的坐标为（1，1），∵将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，∴P3（3+5+4+1，1），即（13，1），每滚动3次一个循环，∵2019÷3＝673，∴第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2019的横坐标是673×（3+5+4）+1，即P2019的横坐标是8077，∴P2019的坐标是（8077，1）；故选D．33．如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．13cmB．8cmC．6.5cmD．随直线MN的变化而变化【答案】B【解答】解：由切线长定理得，BD＝BG，CP＝CG，MH＝MD，NH＝NP，∴BD+CP＝BG+CG＝5，∴AD+AP＝18﹣10＝8，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+MD+AN+NP＝AD+AP＝8，故选：B．34．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若BF＝3，AF＝10，则△ABC的面积是30．【答案】30．【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD＝CE，BD＝BF＝3，AF＝AE＝10，∴AB＝AF+BF＝13，∵∠C＝90°，OD＝OE，∴四边形OECD是正方形，设EC＝CD＝x，在Rt△ABC中，BC2+AC2＝AB2，故（x+3）2+（x+10）2＝132，解得：x1＝2，x2＝﹣15（舍去），∴BC＝5，AC＝12，＝×5×12＝30，∴S△ABC故答案为：30．。

2.2 切线长定理1．切线长定理：过圆外一点，可以引圆的两条切线，切线长________．2．如图，点P是⊙O外一点，PA，PB切⊙O于点A，B，AB交PO于点C，则有如下结论：(1)PA＝PB；(2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP＝∠CAP＝∠CBP；(3)AB⊥OP 且AC＝BC.A组基础训练1．如图，从圆O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( )A．4 B．8 C．6 D．10第1题图2．如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是( )第2题图A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．PA2＝PC·PO3．如图，一圆内切四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为( )A．50 B．52 C．54 D．56第3题图4.(邵阳中考)如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连结BD，AD.若∠ACD＝30°，则∠DBA的大小是( )第4题图A．15° B．30° C．60° D．75°5．如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.下列结论中：①OP 垂直平分AB；②∠APB＝∠BOP；③△ACP≌△BCP；④PA＝AB；⑤若∠APB＝80°，则∠OBA ＝40°.正确的是________．第5题图1．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A的度数是________°.第6题图7．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE＝2，AD＝4.则BE＝________，BC＝________.第7题图2．如图，⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，且∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是________．第8题图9．如图，AB为半圆O的直径，在AB的同侧作AC，BD切半圆O于点A，B，CD切半圆O 于点E.若AC＝4，BD＝9，求⊙O的半径．第9题图10．如图，PA，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C，D在PA上，E在PB上．(1)若PA＝30，求△PDE的周长；(2)若∠P＝50°，求∠O的度数．第10题图B组自主提高11．如图，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点，若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB、CD、CE的长度，下列关系何者正确( )第11题图A．AB>CE>CD B．AB＝CE>CD C．AB>CD>CE D．AB＝CD＝CE12．如图，直尺、三角尺都和⊙O相切，B是切点，且AB＝8cm.求⊙O的直径．第12题图13．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连结PO，AB相交于点D，C是⊙O上一点，∠C＝60°.(1)求∠APB的大小；(2)若PO＝20cm，求△AOB的面积．第13题图C组综合运用14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AB交于点E，与AC相切于点D，直线ED交BC的延长线于点F.(1)求证：BC＝FC；(2)若AD∶AE＝2∶1，求tanF的值．第14题图2．2 切线长定理【课堂笔记】 1．相等 【课时训练】 1－4.BDBD 5. ①③⑤ 6. 99 7. 6 6 8. 29. r ＝6.法一：可在△COD 中，连结OE ，有OE 2＝CE×DE＝36，∴r ＝6.法二：过C 作CH⊥BD 于点H ，在△CDH 中，CD ＝13，DH ＝5，∴CH ＝AB ＝12，即r ＝6.10. (1)∵PA、PB 是⊙O 切线，∴PA ＝PB ，∵DE 是⊙O 切线，∴DC ＝DA ，EC ＝EB ，∴△PDE 的周长＝PD ＋PE ＋DC ＋CE ＝PD ＋DA ＋PE ＋EB ＝PA ＋PB ＝60； (2)连结AO ，BO ，CO ，可证：∠AOD＝∠COD，∠COE ＝∠BOE，∴∠DOE ＝12∠AOB ，∵∠AOB ＋∠P＝180°，∠P ＝50°，∴∠AOB ＝130°，∴∠DOE ＝65°.11. A12. 连结AO ，BO ，∵AB 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的切线，∴∠ABO ＝90°，∠BAO ＝12∠BAC ＝60°，在Rt △AOB 中，OB ＝AB·tan ∠BAO ＝8×tan 60°＝83，∴⊙O 的直径为163cm .13. (1)∵PA，PB 分别为⊙O 的切线，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP＝90°.∵∠C ＝60°，∴∠AOB ＝2∠C＝120°，∴在四边形APBO 中，∠APB ＝360°－∠OAP－∠OBP－∠AOB ＝360°－90°－90°－120°＝60°； (2)在Rt △PAO 与Rt △PBO 中，∵OA ＝OB ，PO ＝PO ，∴Rt △PAO ≌Rt △PBO ，∴∠APO ＝∠BPO＝12∠APB ＝30°，∴PO ⊥AB ，∴∠DAO ＝∠APO＝30°，∴OA ＝sin ∠APO ×OP ＝12×20＝10(cm )．在Rt △AOD 中，∠DAO ＝30°，OA ＝10cm ，∴AD ＝cos∠DAO ×OA ＝32×10＝53(cm )，OD ＝sin ∠DAO ×OA ＝12×10＝5(cm )，∴AB ＝2AD ＝103(cm )，∴S △AOB ＝12AB ×OD ＝12×103×5＝253(cm 2)．14. (1)连结BD.∵BE 为⊙O 的直径，∴∠BDE ＝90°，∴∠EBD ＝90°－∠BED.∵∠EBF ＝90°，∴∠F ＝90°－∠BEF.∴∠F＝∠EBD.∵AC 切⊙O 于点D ，∴∠EBD ＝∠ADE＝∠CDF.∴∠F＝∠CDF，∴DC ＝FC.∵OB⊥BC，∴BC 是⊙O 的切线，∴DC ＝BC.∴BC＝FC; (2)在△ADE 和△ABD 中，∵∠A ＝∠A，∠ADE ＝∠ABD，∴△ADE ∽△ABD ，DE BD ＝AE AD ＝12.又∵∠F＝∠EBD，∴tan F ＝tan ∠EBD ＝DE BD ＝12.。

2.2切线长定理同步练习一．选择题1．如图，P A、PB分别切⊙O于A、B，P A＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交P A、PB于点E、F．则△PEF的周长为（）A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm2．如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB＝10，AD ＝6，则CB长（）A．4B．5C．6D．无法确定3．图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE＝（）A．B．C．D．4．如图，P A、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（）A．40°B．140°C．70°D．80°5．如图，在▱ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB＝4，BE ＝5，则DE的长为（）A．3B．4C．D．6．如图，P A、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交P A、PB于C、D两点，若∠P＝40°，则∠P AE+∠PBE的度数为（）A．50°B．62°C．66°D．70°7．如图，在等腰三角形△ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N．那么的值等于（）A．B．C．D．18．如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC＝90°，AD＝2，AB＝6，以AB为直径的半⊙O切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（）A．9B．10C．3D．29．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）A．B．3C．3D．10．如图中，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB、CD、CE的长度，下列关系何者正确（）A．AB＞CE＞CD B．AB＝CE＞CD C．AB＞CD＞CE D．AB＝CD＝CE 二．填空题11．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的直径是cm．12．已知：P A切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，点C是⊙O上异于A、B的一点，过点C作⊙O的切线分别交P A和PB于点D、E，若P A＝10cm，DE＝7cm，则△PDE的周长为cm．13．已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB＝2，BC＝CD＝10，AD＝6，过B、D两点作圆，与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F，则BE﹣BF的值为．14．已知：P A、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，若P A＝15cm，那么△PEF周长是cm．若∠P＝50°，那么∠EOF＝．15．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为．三．解答题16．如图，P A、PB、CD是⊙O的切线，切点分别为点A、B、E，若△PCD的周长为18cm，∠APB＝60°，求⊙O的半径．17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（1）求证：AO2＝AE•AD；（2）若AO＝4cm，AD＝5cm，求⊙O的面积．18．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8．（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；（2）求BC的长；（3）求⊙O的半径OF的长．参考答案一．选择题1．解：∵P A、PB分别切⊙O于A、B，∴PB＝P A＝10cm，∵EA与EC为⊙的切线，∴EA＝EC，同理得到FC＝FB，∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PE+EC+FC+PF＝PE+EA+FB+PF＝P A+PB＝10+10＝20（cm）．故选：C．2．解：方法1、设圆O的半径是R，圆O与AD、DC、CB相切于点E、F、H，连接OE、OD、OF、OC、OH．设CD＝y，CB＝x．设S梯形ABCD＝S则S＝（CD+AB）R＝（y+10）R﹣﹣﹣﹣（1）S＝S△BOC+S△COD+S△DOA＝xR+yR+×6R﹣﹣﹣﹣（2）联立（1）（2）得x＝4；方法2、连接OD．OC∵AD，CD是⊙O的切线，∴∠ADO＝∠ODC，∵CD∥AB，∴∠ODC＝∠AOD，∴∠ADO＝∠AOD∴AD＝OA∵AD＝6，∴OA＝6，∵AB＝10，∴OB＝4，同理可得OB＝BC＝4，故选：A．3．解：取BC的中点O，则O为圆心，连接OE，AO，AO与BE的交点是F ∵AB，AE都为圆的切线∴AE＝AB∵OB＝OE，AO＝AO∴△ABO≌△AEO（SSS）∴∠OAB＝∠OAE∴AO⊥BE在直角△AOB里AO2＝OB2+AB2∵OB＝1，AB＝3∴AO＝易证明△BOF∽△AOB∴BO：AO＝OF：OB∴1：＝OF：1∴OF＝sin∠CBE＝＝故选：D．4．解：∵P A是圆的切线．∴∠OAP＝90°，同理∠OBP＝90°，根据四边形内角和定理可得：∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∴∠ACB＝∠AOB＝70°．故选：C．5．解：连接CE；∵，∴∠BAE＝∠EBC+∠BEC；∵∠DCB＝∠DCE+∠BCE，由弦切角定理知：∠DCE＝∠EBC，由平行四边形的性质知：∠DCB＝∠BAE，∴∠BEC＝∠BCE，即BC＝BE＝5，∴AD＝5；由切割线定理知：DE＝DC2÷DA＝，故选：D．6．解：∵P A、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交P A、PB于C、D两点，∴CE＝CA，DE＝DB，∴∠CAE＝∠CEA，∠DEB＝∠DBE，∴∠PCD＝∠CAE+∠CEA＝2∠CAE，∠PDC＝∠DEB+∠DBE＝2∠DBE，∴∠CAE＝∠PCD，∠DBE＝∠PDC，即∠P AE＝∠PCD，∠PBE＝∠PDC，∵∠P＝40°，∴∠P AE+∠PBE＝∠PCD+∠PDC＝（∠PCD+∠PDC）＝（180°﹣∠P）＝70°．故选：D．7．解：连OM，ON，如图∵MD，MF与⊙O相切，∴∠1＝∠2，同理得∠3＝∠4，而∠1+∠2+∠3+∠4+∠B+∠C＝360°，AB＝AC∴∠2+∠3+∠B＝180°；而∠1+∠MOB+∠B＝180°，∴∠3＝∠MOB，即有∠4＝∠MOB，∴△OMB∽△NOC，∴＝，∴BM•CN＝BC2，∴＝．故选：B．8．解：作DH⊥BC于H，如图，∵四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC＝90°，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∵AB为直径，∴AD和BC为⊙O切线，∵CD和MN为⊙O切线，∴DE＝DA＝2，CE＝CB，NE＝NF，MB＝MF，∵四边形ABHD为矩形，∴BH＝AD＝2，DH＝AB＝6，设BC＝x，则CH＝x﹣2，CD＝x+2，在Rt△DCH中，∵CH2+DH2＝DC2，∴（x﹣2）2+62＝（x+2）2，解得x＝，∴CB＝CE＝，∴△MCN的周长＝CN+CM+MN＝CN+CM+NF+MF＝CN+CM+NF+MB＝CE+CB＝9．故选：A．9．解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；又∵A（﹣6，0）、B（0，6），∴OA＝OB＝6，∴AB＝6∴OP＝AB＝3，∵OQ＝2，∴PQ＝＝，故选：D．10．解：∵∠1＝60°，∠2＝65°，∴∠ABC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣60°﹣65°＝55°，∴∠2＞∠1＞∠ABC，∴AB＞BC＞AC，∵CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点，∴AC＝CD，BC＝CE，∴AB＞CE＞CD．故选：A．二．填空题11．解：∵∠CAD＝60°，∴∠CAB＝120°，∵AB和AC与⊙O相切，∴∠OAB＝∠OAC，∴∠OAB＝∠CAB＝60°∵AB＝3cm，∴OA＝6cm，∴由勾股定理得OB＝3cm，∴光盘的直径6cm．故答案为：6．12．解：分两种情况：①点C在劣弧AB上时，如图，当根据切线长定理得：AD＝CD，BE＝CE，P A＝PB，则△PDE的周长＝PD+DE+PE＝PD+CD+CE+PE＝PD+AD+PE+BE＝P A+PB＝2P A＝20cm．②点C在优弧AB上时，如图，当根据切线长定理得：AD＝CD，BE＝CE，P A＝PB，则△PDE的周长＝PD+DE+PE＝2P A+2DE＝20+2×7＝34cm．综上，△PDE的周长为20或34cm．故答案为：20或34．13．解：延长CD交⊙O于点G，设BE，DG的中点分别为点M，N，则易知AM＝DN，∵BC＝CD＝10，由割线定理得，CB•CF＝CD•CG，∵CB＝CD，∴BF＝DG，∴BE﹣BF＝BE﹣DG＝2（BM﹣DN）＝2（BM﹣AM）＝2AB＝4．故答案为：4．14．解：∵P A、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，∴P A＝PB＝15cm，ED＝EA，FD＝DB，∴PE+EF+PF＝PE+ED+PF+FD＝P A+PB＝30（cm）即△PEF周长是30cm；∵P A、PB为⊙O的切线，∴∠P AO＝∠PBO＝90°，而∠P＝50°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°；连OD，如图，∴∠ODE＝∠ODF＝90°，易证得Rt△OAE≌Rt△ODE，Rt△OFD≌Rt△OFB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠3＝∠AOB＝65°，则∠EOF＝65°．15．解：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD ＝10cm，∴设E、F分别是⊙O的切点，故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝10+10＝20（cm）．故答案是：20cm．三．解答题16．解：连接OA，OP，则OA⊥P A，根据题意可得：CA＝CE，DE＝DB，P A＝PB，∵PC+CE＝DE+PD＝18，∴PC+CA+DB+PD＝18，∴P A＝×18＝9（cm），∵P A、PB是⊙O的切线，∴∠APO＝∠APB＝30°，在Rt△AOP中，PO＝2AO，AO＞0，故OA2+92＝（2AO）2，解得：OA＝3，故⊙O的半径为：3cm．17．（1）证明：根据切线长定理可知：∵∠OAE+∠ODA＝（∠BAD+∠ADC）＝90°，∴∠AOD＝90°，∵∠OAE＝∠OAE，∠AOD＝∠AEO＝90°，∴△AOE∽△ADO，∴＝，即AO2＝AE•AD；（2）解：在Rt△AOD中，OD＝＝3（cm），∵S△AOD＝×AD×EO＝×AO×OD即5×EO＝4×3，∴EO＝（cm），∵OE是⊙O的半径，∴S圆O＝πr2＝π（cm2）．18．（1）答：△OBC是直角三角形．证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，∴∠OBE＝∠OBF＝∠EBF，∠OCG＝∠OCF＝∠GCF，∵AB∥CD，∴∠EBF+∠GCF＝180°，∴∠OBF+∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°，∴△OBC是直角三角形；（2）解：∵在Rt△BOC中，BO＝6，CO＝8，∴BC＝＝10；（3）解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，∴OF⊥BC，∴OF＝＝＝4.8．。

浙教版九年级下册2.2 切线长定理一、选择题1.如图，PA，PB为⊙O的两条切线，点A，B是切点，OP交⊙O于点C，交弦AB于点D.下列结论中错误的是（）A . PA＝PB B . AD＝BDC . OP⊥ABD . ∠PAB＝∠APB2.如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PA＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（）A . 1.5B . 2C . √2D . √33.如图，圆和四边形ABCD的四条边都相切，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为（）A . 50B . 52C . 54D . 564.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P=80°，则∠ABO的度数是（）A . 40°B . 45°C . 50°D . 55°5.如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，AC 是⊙O 的直径，连结AB ，BC ，OP ，则与∠PAB 相等的 角(不包括∠PAB 本身)有（ ）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个6.如图，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，交PA ，PB 于C ，D ．若⊙O 的半径为1，△PCD 的周长等于2 √3 ，则线段AB 的长是（ ）A . √3B . 3C . 2 √3D . 3 √37.⊙O 为△ABC 的内切圆，且AB ＝10，BC ＝11，AC ＝7，MN 切⊙O 于点G ，且分别交AB ， BC 于点M ，N ，则△BMN 的周长是( )A . 10B . 11C . 12D . 148.如图，PA 和PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 为切点，点D 在AB 上，点E ，F 分别在线段PA 和PB 上，且AD ＝BF ，BD ＝AE.若∠P ＝α，则∠EDF 的度数为（ ）A . 90°﹣αB . 32αC . 2αD . 90°﹣12α9.如图，AB是⊙0的直径，点C为⊙0外一点，CA，CD分别与⊙0相切于点A，点D，连结BD，AD，若∠ACD＝50°，则∠DBA的度数是（）A . 15°B . 35°C . 65°D . 75°10.如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC=5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A . 12cmB . 7cmC . 6cmD . 随直线MN的变化而变化11.如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（）A . 7B . 8C . 9D . 1612.如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（）A . 20cmB . 15cmC . 10cmD . 随直线MN的变化而变化二、填空题13.如图，⊙I为△ABC的内切圆，AB=9，BC=8，AC=10，点D、E分别为AB、AC上的点，且DE为⊙I的切线，则△ADE的周长为_____．14.如图，已知圆O内切于五边形ABCDE，切点分别是M、N、P、Q、R，且AB=5，BC=7，CD=8，DE=9，EA=4，则AM的值是_____．MB15.PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是_____.16.如图，在△ABC中，AB=AC，在∠ABC的内部作∠ABE=45°，EC⊥BC点D在AB上，DE、AC相交点F，若以DE为直径的⊙O与AB、BC都相切，切点分别为点D和G，则AF的FC值是_____.三、解答题17.如图，☉O与四边形ABCD的四边都相切.若∠AOB=70°，求∠COD的度数.18.如图，已知E为圆内两弦AB和CD的交点，直线EF∥CB，交AD的延长线于F，FG切圆于G．求证：EF=FG．19.如图示，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，切点C在弧AB上，若PA=12，则△PEF的周长是？20.如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作☉O，与斜边AC交于点D，过点D作☉O的切线交BC边于点E.求证：EB=EC=ED21.如图，PA、PB切⊙O于A、B，若∠APB=60°，⊙O半径为3，求阴影部分面积．。

切线长定理同步训练题一．选择题（共10小题）1．（2014春•鹿城区校级期末）如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B分别为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P为（）A．120°B．60°C．30°D．45°（1题图）（2题图）（3题图）2．（2014秋•安顺期末）如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=15，则△PCD的周长为（）A．15 B．12 C．20 D．303．（2015•秦皇岛校级模拟）如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（）A．32 B．34 C．36 D．384．（2015•齐齐哈尔一模）如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC 相交于E点，则△ADE的面积（）A．12 B．24 C．8 D．6（4题图）（5题图）（6题图）（7题图）5．（2014秋•鄞州区期末）如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P=40°，则∠C的度数为（）A．40°B．140°C．70°D．80°6．（2014秋•亭湖区校级月考）如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（）A． B．C．D．7．（2015•高港区二模）矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以AB为直径在矩形内作半圆．DE切⊙O于点E（如图），则tan∠CDF的值为（）A． B．C．D．8．（2014秋•夏津县校级期末）如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA=5，则△PCD的周长和∠COD分别为（）A．5，（90°+∠P）B．7，90°+C．10，90°﹣∠P D．10，90°+∠P（8题图）（9题图）（10题图）9．（2015•武汉模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB 于点D，过点D作⊙O的切线，与边BC交于点E，若AD=，AC=3．则DE长为（）A． B．2 C．D．10．（2014秋•岳池县期末）如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，如果∠APB=60°，线段PA=10，那么弦AB的长是（）A．10 B．12 C．5D．10二．填空题（共10小题）11．（2015•滨海县一模）如图，一圆外切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为．（11题图）（12题图）（13题图）（15题图）12．（2015•婺城区模拟）PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA、PB 于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是．13．（2015•屏山县校级模拟）如图，⊙I为△ABC的内切圆，AB=9，BC=8，AC=10，点D、E分别为AB、AC上的点，且DE为⊙I的切线，则△ADE的周长为．14．（2014秋•长汀县期末）已知P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B．若PA=6，则PB= ．15．（2014秋•崇安区校级期中）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为．16．（2014秋•永定县校级期末）如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线DC分别相交于C、D．已知△PCD的周长等于14cm，则PA= cm．（16题图）（17题图）（18题图）17．（2014秋•如皋市校级月考）如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA= cm．18．（2014秋•嘉鱼县校级月考）如图，以正方形ABCD的边BC为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB于点E，则△ADE和直角梯形EBCD的周长之比为．19．（2015春•叙永县校级月考）如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，切点分别为E、F、G、H，已知AB=5，CD=7，那么AD+BC= ．（19题图）（20题图）（21题图）20．（2012秋•茌平县校级期末）如图所示，DE是△ABC的内切圆I的切线，又BC=2cm，△ADE的周长为4cm，则△ABC的周长是cm.三．解答题（共5小题）21．（2014秋•临洮县校级月考）如图示，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，⊙O 的切线EF分别交PA，PB于点E，F，切点C在弧AB上，若PA=12，则△PEF的周长是？22．（2014秋•琼海校级期中）如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=60°．（1）求∠BAC的度数；（2）当OA=2时，求AB的长．23．（2014秋•张家港市期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E；（1）求证：BE=CE；（2）若以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，⊙O的半径为r，求△ABC的面积；（3）若EC=4，BD=，求⊙O的半径OC的长．24．（2015•潍坊模拟）如图，PA、PB切⊙O于A、B，若∠APB=60°，⊙O半径为3，求阴影部分面积．25．（2014秋•仙游县期中）已知：AB为⊙O的直径，∠A=∠B=90°，DE与⊙O相切于E，⊙O的半径为，AD=2．①求BC的长；②延长AE交BC的延长线于G点，求EG的长．参考答案一．选择题（共10小题）1．B 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A 7．B 8．C 9．B 10．A 二．填空题（共10小题）11．52 12．13．11 14．6 15．2 16．7 17．518．6：7 19．12 20．8三．解答题（共5小题）21．解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，∴AE=CE，FB=CF，PA=PB=12，∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PA+PB=24．22．解：（1）∵PA，PB是⊙O的切线，∴AP=BP，∵∠P=60°，∴∠PAB=60°，∵AC是⊙O的直径，∴∠PAC=90°，∴∠BAC=90°﹣60°=30°．（2）连接OP，则在Rt△AOP中，OA=2，∠APO=30°，∴OP=4，由勾股定理得：，∵AP=BP，∠APB=60°，∴△APB是等边三角形，∴．23．（1）证明：连接CD，由AC是直径知CD⊥AB；DE、CE都是切线，所以DE=CE，∠EDC=∠ECD；又∠B+∠ECD=90°，∠BDE+∠EDC=90°；所以∠B=∠BDE，所以BE=DE，从而BE=CE；（2）解：连接OD，当以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，DE=EC=OC=OD=r；从而BE=r，即△ABC是一个等腰直角三角形；AC=AB=2r，S△ABC=2r2；（3）解：若EC=4，BD=4，则BC=8；在Rt△BDC中，cos∠CBD==；所以∠CBD=30°；在Rt△ABC中，=tan30°，即AC=BCtan30°=8×=，OC==；另解：设OC=r，AD=x；由EC=4，BD=4得BC=8，DC=4；则：，解得；即OC=．（23题图）（24题图）（25题图）24．解：连接PO与AO，∵PA、PB切⊙O于A、B，若∠APB=60°，∴OA⊥PA，∠APO=∠APB=30°，∴∠AOP=60°，∵⊙O半径为3，∴OA=3，PO=6，∴PA==3，∴S△PAO=AO•PA=×3×3=，S扇形AOC==π，∴S阴影=2×（S△PAO﹣S扇形AOC）=2×（﹣π）=9﹣3π．∴阴影部分面积为：9﹣3π．25．解：①过点D作DF⊥BC于点F，∵AB为⊙O的直径，∠A=∠B=90°，∴四边形ABFD是矩形，AD与BC是⊙O的切线，∴DF=AB=2，BF=AD=2，∵DE与⊙O相切，∴DE=AD=2，CE=BC，设BC=x，则CF=BC﹣BF=x﹣2，DC=DE+CE=2+x，在Rt△DCF中，DC2=CF2+DF2，即（2+x）2=（x﹣2）2+（2）2，解得：x=，即BC=；②∵AB为⊙O的直径，∠A=∠B=90°，∴AD∥BC，∴△ADE∽△GCE，∴AD：CG=DE：CE，AE：EG=AD：CG，∵AD=DE=2，∴CG=CE=BC=，∴BG=BC+CG=5，∴AE：EG=4：5，在Rt△ABG中，AG==3，∴EG=AG=．。

2.2切线长定理一、选择题1. 如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（）A．130°B．120°C．110°D．100°2. 如图，P A、PB分别切⊙O于A、B两点，如果∠P=60°，P A=2，那么AB的长为（）A．1 B．2 C．3 D．43. 如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为（）A．50 B．52 C．54 D．564. 如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是（）A．9 B．10 C．12 D．145. 如图，若△ABC的三边长分别为AB=9，BC=5，CA=6，△ABC的内切圆⊙O切AB、BC、AC于D、E、F，则AF的长为（）A．5 B．10 C．7.5 D．46. 如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线P A，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，P A=8，那么弦AB的长是（）A ．4B ．8C ．34D ．38二、填空题7. 如图，⊙O 的半径为3cm ，点P 到圆心的距离为6cm ，经过点P 引⊙O 的两条切线，这两条切线的夹角为 .8. 如图，⊙O 与△ABC 中AB 、AC 的延长线及BC 边相切，且∠ACB =90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长依次为3，4，5，则⊙O 的半径是 .9. 如图：EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E =46°，∠DCF =32°，则∠A 的度数是 °.10. 如图，⊙O 的半径为3cm ，点P 到圆心的距离为6cm ，经过点P 引⊙O 的两条切线，则∠APO =°.11. 如图，P A 、PB 分别切⊙O 于A 、B ．P A =5，在劣弧AB 上取点C ，过C 作⊙O 的切线，分别交P A ，PB 于D ，E ，则△PDE 的周长等于 .12.如图，已知PA，PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，PO=13，AO=5，则△PCD周长为 .三、解答题13.已知：⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm，经过点P和⊙O的两条切线，求这两条切线的夹角及切线长．参考答案2.2切线长定理一、选择题1.C2.B3.B4.D5.A6.B二、填空题7.60度8.29.9910.3011.1012.24三、解答题13.初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。

初中数学浙教版九年级下册第二章2.2切线长定理练习题一、选择题1.如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，连接OD、OC，下列结论：，②AD+BC=CD，③S△AOD：S△BOC=AD2：AO2，④OD：OC=DE：OE，⑤OD2=DE⋅CD，正确的有()A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个2.如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D.若△PCD的周长等于3，则PA的值是()A. 32B. 23C. 12D. 343.如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D.若△PCD的周长等于3，则PA的值是()A. 32B. 23C. 12D. 344.如图，PA、PB切☉O于点A、B，PA=10，CD切☉O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是A. 10B. 18C. 20D. 225.已知：AB是⊙O的直径，AD，BC是⊙O的切线，P是⊙O上一动点，若AD=10，OA=4，BC=16，则ΔPCD的面积的最小值是()A. 36B. 32C. 24D. 10.46.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为()A. 133B. 92C. 4√133D. 2√57.如图，PA，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C，若⊙O的半径为5，OP=13，则△PDE的周长为()A. 18B. 20C. 24D. 308.一个钢管放在V形架内，如图是其截面图，O为钢管的圆心.如果钢管的半径为25cm，∠MPN=60∘，则OP=( )A. 50cmB. 25√3cmC. 50√3cm D. 50√3cm39.如图，PA、PB、CD分别切⊙O于点A、B、E，CD分别交PA、PB于点C、D.下列关系：①PA=PB；②∠ACO=∠DCO；③∠BOE和∠BDE互补；④△PCD的周长是线段PB长度的2倍.则其中说法正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.如图，半轻为2的⊙O与含有30°角的直角三角板ABC的AC边切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与⊙O相切时，该直角三角板平移的距离为()A. 2√3B. √3C. 2√2D. √211.如图，PA、PB切☉O于点A、B，PA=10，CD切☉O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是A. 10B. 18C. 20D. 2212.如图，PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，若∠P=40°，则∠PAE+∠PBE的度数为()A. 50°B. 62°C. 66°D. 70°二、填空题13.如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，切点C在弧AB上，若PA长为8，则ΔPEF的周长是_____.14.如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46∘，∠DCF=32∘，则∠A的度数为__________．15.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E.若PO=13，AO=5，则△PCD的周长为__________．16.如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F、G、H，ED与⊙O相交于点M，则sin∠MFG的值为_____．17.如图，⊙O切△ABC的边BC于点D，切AB，AC的延长线于点E，F.若△ABC的周长为18，则AE等于_________．三、解答题18.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，求证19.已知∠AOB=60º，半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动，与边OA始终相切，切点记为点C．(1)⊙P移动到与边OB相切时(如图1)，切点为D，①OD=______cm;②求四边形DOCP的面积;(2)⊙P移动到与边OB相交于点E，F，若EF=4√2cm，求OC的长20.如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若60∘≤∠MPN<180∘，则称P为⊙T的环绕点．(1)当⊙O半径为1时，①在P1(1,0),P2(1,1),P3(0,2)中，⊙O的环绕点是___________；②直线y=12x+b与x轴交于点A，y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；(2)⊙T的半径为1，圆心为(0,t)，以(m,√33m)(m>0)为圆心，√33m为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围21.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，AC、PB的延长线相交于点D．(1)若∠1=20°，求∠APB的度数；(2)当∠1为多少度时，OP=OD，并说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，利用了转化的数学思想，熟练掌握切线长定理，证明三角形全等和三角形相似是解本题的关键．连接OE，利用切线长定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代换可得出CD=AD+BC，选项②正确；由AD=ED，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC为直角，选项①正确；由∠DOC 与∠DEO都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO与三角形DOC相似，由相似比例可得出OD2=DE⋅CD，选项⑤正确；由△AOD∽△BOC，可得选项③正确；由△ODE∽△COE，可得选项④正确．【解答】解：连接OE，如图所示：∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，∴DA=DE，CE=CB，AD//BC，∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确；在Rt△ADO和Rt△EDO中，{OD=ODDA=DE，∴Rt△ADO≌Rt△EDO(HL)，∴∠AOD=∠EOD，同理Rt△CEO≌Rt△CBO，∴∠EOC=∠BOC，又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，∴2(∠DOE+∠EOC)=180°，即∠DOC=90°，选项①正确；∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，∴△EDO∽△ODC，∴ODCD =DEOD，即OD2=DC⋅DE，选项⑤正确；∵∠AOD+∠COB=∠AOD+∠ADO=90°，∴∠COB=∠ADO，又∠A=∠B=90°，∴△AOD∽△BOC，∴S△AODS△BOC =(ADOB)2=(ADAO)2=AD2AO2，选项③正确；同理△ODE∽△COE，∴OD：OC=DE：OE，选项④正确；故选D．2.【答案】A【解析】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，∴AC=EC，DE=DB，PA=PB∵△PCD的周长等于3，∴PA+PB=3，∴PA=32．故选：A．直接利用切线长定理得出AC=EC，DE=DB，PA=PB，进而求出PA的长．此题主要考查了切线长定理，熟练应用切线长定理是解题关键．3.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了切线长定理，熟练应用切线长定理是解题关键．直接利用切线长定理得出AC=EC，DE=DB，PA=PB，进而求出PA的长．【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，∴AC=EC，DE=DB，PA=PB∵△PCD的周长等于3，∴PA+PB=PC+PD+AC+DB=PC+CD+PD=3，∴PA=3．2故选A．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了切线长定理的应用，关键是求出△PCD的周长=PA+PB．根据切线长定理得出PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，求出△PCD的周长是PC+ CD+PD=PA+PB，代入求出即可．【解答】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，∴△PCD的周长是PC+CD+PD=PC+AC+DB+PD=PA+PB=10+10=20．故选C．5.【答案】B【解析】解：∵CD是定值，所以当P到CD的距离最小时，△PCD的面积最小，过P作EF//CD，交AD于点E，交BC于点F，当EF与⊙O相切时，P到CD的距离最短，连接OP并延长交CD于点Q，过O作OH//BC，交EF于点G，交CD于点H，则可知OH为梯形ABCD的中位线，OG为梯形ABFE的中位线，∴OH =12(AD +BC)=13，过D 作DM ⊥BC 于点M ，则DM =AB =8，MC =BC −AD =6，∴CD =EF =10，由切线长定理可知AE =EP ，BF =PF ，∴AE +BF =EF =10，∴OG =12(AE +BF)=5，∴GH =OH −OG =8，又∵OP =4，PG//QH ，∴OP PQ =OG GH ， ∴4PQ =58， ∴PQ =325，∴S △PCD =12PQ ⋅CD =12×325×10=32．故选：B ． 由CD 是固定的，所以当P 到CD 的距离最小时，△PCD 的面积最小，过P 作EF//CD ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，当EF 与⊙O 相切时，P 到CD 的距离最短，连接OP 并延长交CD 于点Q ，过O 作OH//BC ，交EF 于点G ，交CD 于点H ，则可知OH 为梯形ABCD 的中位线，OG 为梯形ABFE 的中位线，可求得OH ，过D 作DM ⊥BC 于点M ，可求得CD =EF =10，由切线长定理可知AE =EP ，BF =PF ，可得AE +BF =EF =10，可求得OG =5，可求得GH =8，又因为OP =4，且OP PQ =OG GH ，可求得PQ =325，可求得△PCD 的面积，可得出答案．本题主要考查切线的性质及平行线分线段成比例、梯形的中位线等知识，确定出△PCD 面积最小时的点P 的位置是解题的关键．在求PQ 的长时注意梯形中位线及线段成比例的应用． 6.【答案】A【解析】【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，正方形的判定和性质，切线长定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．连接OE ，OF ，ON ，OG ，结合矩形和圆的性质推出四边形AFOE ，FBGO 是正方形，得到AF=BF=AE=BG=2，由切线的性质和勾股定理列方程即可求出结果．【解答】解：如图，连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，OE=OF=ON=OG，∴四边形AFOE和四边形FBGO是正方形，∴AF=BF=AE=BG=2，∴DE=3，∵DM是⊙O的切线，∴DN=DE=3，MN=MG，∴CM=5−2−MN=3−MN，在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，∴(3+NM)2=(3−NM)2+42，∴NM=43，∴DM=3+43=133．故选：A．7.【答案】C【解析】【试题解析】【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质，勾股定理.利用切线长定理得到AD=CD，CE=BE，PA=PB，根据切线的性质得到OA⊥PA，即可利用勾股定理得到AP=12，进而得到△PDE的周长．【解答】解：∵PA，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C，∴AD=CD，CE=BE，PA=PB，OA⊥AP．在Rt△OAP中，根据勾股定理，得AP=√OP2−OA2=12，∴△PDE的周长为PD+PE+DE=AP−AD+PB−BE+DC+CE=AP+BP=2AP=24．故选C．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了切线长定理，切线的性质定理，含有30度角的直角三角形的性质，解题的关键是将此问题转化为解直角三角形的问题来解决．钢管放在V形架内，则钢管所在的圆与V形架的两边相切，根据切线的性质可知△OMP 是直角三角形，且∠OPM=∠OPN=30°，根据三角函数就可求出OP的长．【解答】解：∵圆与V形架的两边相切，∠MPN=30°，∴△OMP是直角三角形，∠OPN=12∴OP=2ON=50CM．故选A．9.【答案】D【解析】解：∵PA、PB、CD是⊙O的切线，∴PA=PB，∠ACO=∠DCO，故①②正确；∵PA、PB、CD是⊙O的切线，∴CA=CE，DE=DB，∠OBD=∠OED=90°，∴∠BOE+∠BDE=360°−∠OBD−∠OED=180°，∴∠BOE和∠BDE互补，故③正确；∴△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+CA+PD+DB=PA+PB=2PB，故④正确．故选：D．根据切线的性质和切线长定理，可判断①②正确；利用四边形的内角和=360°，可判断③正确；将△PCD的周长转化为PA+PB，可判断④正确．本题考查了切线的性质及切线长定理，解答本题的关键是熟练掌握：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，也考查了四边形的内角和．10.【答案】A【解析】【分析】此题考查了切线的性质，切线长定理，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，垂径定理，以及平移的性质，是一道多知识点的综合性题，根据题意画出相应的图形，并作出适当的辅助线是本题的突破点．根据题意画出平移后的图形，如图所示，设平移后的△A′B′C′与圆O相切于点D，连接OD，OA，AD，过O作OE⊥AD，根据垂径定理得到E为AD的中点，由平移前AC与圆O相切，切点为A点，根据切线的性质得到OA与AC垂直，可得∠OAA′为直角，由A′D与A′A为圆O的两条切线，根据切线长定理得到A′D=A′A，再根据∠B′A′C′=60°，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形A′AD为等边三角形，平移的距离AA′=AD，且∠DAA′=60°，由∠OAA′−∠DAA′求出∠OAE为30°，在直角三角形AOE中，由锐角三角函数定义表示出cos30°=AE，OA 把OA及cos30°的值代入，求出AE的长，由AD=2AE可求出AD的长，即为平移的距离．【解答】解：根据题意画出平移后的图形，如图所示：设平移后的△A′B′C′与圆O相切于点D，连接OD，OA，AD，过O作OE⊥AD，可得E为AD的中点，∵平移前圆O与AC相切于A点，∴OA⊥A′C，即∠OAA′=90°，∵平移前圆O与AC相切于A点，平移后圆O与A′B′相切于D点，即A′D与A′A为圆O的两条切线，∴A′D=A′A，又∠B′A′C′=60°，∴△A′AD为等边三角形，∴∠DAA′=60°，AD=AA′=A′D，∴∠OAE=∠OAA′−∠DAA′=30°，在Rt△AOE中，∠OAE=30°，AO=2，∴AE=AO⋅cos30°=√3，∴AD=2AE=2√3，∴AA′=2√3，则该直角三角板平移的距离为2√3．故选A．11.【答案】C【解析】【试题解析】【分析】本题考查了切线长定理的应用，关键是求出△PCD的周长=PA+PB，解答此题根据切线长定理得出PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，求出△PCD的周长是PC+CD+ PD=PA+PB，代入求出即可．【解答】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，∴△PCD的周长是PC+CD+PD=PC+AC+DB+PD=PA+PB=10+10=20．故选C．12.【答案】D【解析】此题考查了切线长定理、等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．由PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，根据切线长定理即可得：CE=CA，DE=DB，然后由等边对等角与三角形外角的性质，可求得∠PAE=1 2∠PCD，∠PBE=12∠PDC，继而求得∠PAE+∠PBE的度数．【解答】解：∵PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，∴CE=CA，DE=DB，∴∠CAE=∠CEA，∠DEB=∠DBE，∴∠PCD=∠CAE+∠CEA=2∠CAE，∠PDC=∠DEB+∠DBE=2∠DBE，∴∠CAE=12∠PCD，∠DBE=12∠PDC，即∠PAE=12∠PCD，∠PBE=12∠PDC，∵∠P=40°，∴∠PAE+∠PBE=12∠PCD+12∠PDC=12(∠PCD+∠PDC)=12(180°−∠P)=70°．故选D．13.【答案】16【解析】【分析】本题考查切线长定理，由切线长定理知，AE=CE，FB=CF，PA=PB=8，然后根据△PEF的周长公式即可求出其结果．【解答】解：∵PA和PB分别与⊙O相切于点A和B，⊙O的切线EF分别交PA和PB于点E和F，切点C在弧AB上．∴AE=CE，FB=CF，PA=PB=8，∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PA+PB=16．故答案为16．14.【答案】99°【解析】本题考查切线长定理，圆内接四边形的性质定理及三角形的内角和定理，解题的关键是正确使用切线长定理及圆内接四边形的性质定理．先根据切线长定理求出∠ECB=67°，再根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论．【解答】解：∵EB、EC是⊙O的切线，∴EB=EC，又∵∠E=46°，∴∠ECB=∠EBC=67°，∵∠DCF=32°，∴∠BCD=180°−(∠BCE+∠DCF)=180°−99°=81°；∵四边形ADCB内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°，∴∠A=180°−81°=99°．故答案为99°．15.【答案】24【解析】【分析】本题考查了勾股定理、切线的性质以及切线长定理的运用．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长长度相等，圆心和这一点的连线，平分这两条切线的夹角．由切线长定理可得PA=PB，DA=DE，CE=CB，由于△PCD的周长=PC+CE+ED+ PD，所以△PCD的周长=PC+CB+AD+PD=PA+PB=2PA，故可求得三角形的周长．【解答】解：连接OB．∵PA是⊙O的切线，点A是切点，∴PA⊥OA；∴PA=√PO2−OA2=12；∵PA、PB为圆的两条相交切线，∴PA=PB；同理可得：DA=DE，CE=CB．∵△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，∴△PCD的周长=PC+CB+AD+PD=PA+PB=2PA，∴△PCD的周长=24；故答案为24．16.【答案】√55【解析】【分析】本题考查圆周角的性质及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的比的问题．【解答】解：∵⊙O是正方形ABCD的内切圆，∴AE=12AB，EG=BC；根据圆周角的性质可得：∠MFG=∠MEG．∵sin∠MFG=sin∠MEG=DGDE =√55，∴sin∠MFG=√55．故答案为√55．17.【答案】9【解析】【分析】此题考查切线长定理，根据切线长定理得出BE=BD，DC=CF，AF=AE进而解答即可．【解答】解：∵⊙O切△ABC的BC于D，切AB、AC的延长线于E、F，∴BE=BD，DC=CF，AF=AE，∵△ABC的周长为18，即AC+BC+AB=AB+DB+DC+AC=AB+BE+AC+CF=18，∴AE+AF=18，∴AE=9，故答案为9．18.【答案】证明：连接OA、OP，OP交AB于M，∵PA、PB是圆O的两条切线，切点为A、B，∴∠PAO=∠PBO=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO=12∠APB，∴OP⊥AB，∴∠BMP=90°，∴∠ABO+∠PBM=90°，∠PBM+∠OPB=90°，∴∠ABO=∠BPO，∵∠BPO=12∠APB，∴∠ABO=12∠APB．【解析】本题考查了切线的性质，切线长定理，三角形内角和定理，解此题的关键是熟练掌握这些性质定理和求出∠ABO=∠BPO，∠BPO=12∠APB．19.【答案】解：(1) ①OD=3√3； ②如图1，连结PD，PC，根据切线长定理得，OD=OC=3√3且PD⊥OB，PC⊥OA，∴S四边形DOCP =2S△ODP=2×12×3×3√3=9√3；(图1)(图2)(2)可分两种情况， ①如图2，当P在∠AOB内部，连接PE，PC，过点P做PM⊥EF于点M，延长CP交OB于点N，∵EF=4√2cm，∴EM=2√2cm，在Rt△EPM中，PM=√32−(2√2)2=1cm，∵∠AOB=60∘，∴∠PNM=30∘，∴PN=2PM=2cm，∴NC=PN+PC=5cm，在Rt△OCN中，OC=NC×tan30∘=5×√33=5√33cm；(图3) ②如图3，当P在∠AOB外部，连接PF，PC，PC交EF于点N，过点P作PM⊥EF于点M，由 ①可知，PN=2cm，∴NC=PC−PN=1cm，在Rt△OCN中，OC=NC×tan30∘=1×√33=√33cm．综上所述，OC的长为5√33cm或√33cm．【解析】【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系以及圆的切线性质，(2)分类讨论是解题关键．(1)①根据∠AOB=60°，半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的切点记为点C，当⊙P移动到与边OB相切时，则OC=OD，OP是∠AOB的平分线，一元勾股定理以及含30°的直角三角形的性质解答即可；②⊙P与边OB、OA都相切时，可得OD=OC=3√3且PD⊥OB，PC⊥OA，用三角形ODP面积乘以2，即可得到四边形DOCP的面积;(2)分两种情况分析：①当P在∠AOB内部，根据⊙P移动到与边OB相交于点E，F，利用垂径定理得出PM= 2√2cm，进而得出OC的长；②当P在∠AOB外部，连接PF，PC，PC交EF于点N，过点P作PM⊥EF于点M，进而求出即可．【解答】解：(1)①由题意可知，⊙P与边OB、OA都相切，则：PD=PC=3，OP=OP，OD=OC，∴△ODP≌△OPC，∴∠DOP=∠COP=12∠AOB=30º，∴OD=3tan(30°)=3√3；②见答案；(2)见答案．20.【答案】解：(1)①P2，P3②如图3中，设小圆交y轴的正半轴与于E．当直线y=12x+b经过点E时，b=1．当直线y=12x+b与大圆相切于K(在第二象限)时，连接OK，由题意B(0,b)，A(−2b,0)，∴OB=b，OA=2b，AB=√AO2+OB2=√5b，∵OK=2，12⋅AB⋅OK=12⋅OA⋅OB，∴S△ABO=12×AB⋅OK=12×OA⋅OB，即12×√5b×2=12×b×2b，解得b=√5，观察图象可知，当1<b≤√5时，线段AB上存在⊙O的环绕点，根据对称性可知：当−√5≤b<−1时，线段AB上存在⊙O的环绕点，综上所述，满足条件的b的值为1<b≤√5或−√5≤b<−1；(2)如图3中，不妨设E(m,√33m)，则点E在直线y=√33x时，∵m>0，∴点E在射线OE上运动，作EM⊥x轴，∵E(m,√33m)，∴OM=m，EM=√33，∴以E(m,√33m)(m>0)为圆心，√33m为半径的⊙E与x轴相切，作⊙E的切线ON，观察图象可知，以E(m,√33m)(m>0)为圆心，√33m为半径的所有圆构成图形H，图形H即为∠MON的内部，包括射线OM，ON上．当⊙T的圆心在y轴的正半轴上时，假设以T为圆心，2为半径的圆与射线ON相切于D，连接TD．∵tan∠EOM=EMOM =√33，∴∠EOM=30°，∵ON，OM是⊙E的切线，∴∠EON=∠EOM=30°，∴∠TOD=30°，∴OT=2DT=4，∴T(0,4)，当⊙T的圆心在y轴的负半轴上时，且经过点O(0,0)时，T(0,−2)，观察图象可知，当−2≤t≤4时，在图形H上存在⊙T的环绕点．【解析】【分析】本题属于圆综合题，考查了切线长定理，直线与圆的位置关系，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．(1)①如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN.当∠MPN=60°时，可证TP=2TM，以T为圆心，TP为半径作⊙T，首先说明：当60°≤∠MPN<180°时，⊙T的环绕点在图中的圆环内部(包括大圆设的点不包括小圆上的点).利用这个结论解决问题即可．②如图2中，设小圆交y轴的正半轴与于E.求出两种特殊位置b的值，结合图形根据对称性解决问题即可；(2)如图3中，不妨设E(m,√33m)，则点E在直线y=√33x时，以E(m,√33m)(m>0)为圆心，√33m为半径的⊙E与x轴相切，作⊙E的切线ON，观察图象可知，以E(m,√33m)(m>0)为圆心，√33m为半径的所有圆构成图形H，图形H即为∠MON的内部，包括射线OM，ON上．利用(1)中结论，画出圆环，当圆环与∠MON的内部有交点时，满足条件，求出两种特殊位置t的值即可解决问题．【解答】解：(1)①如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN．当∠MPN=60°时，∵PT平分∠MPN，∵∠TPM=∠TPN=30°，∵TM⊥PM，TN⊥PN，∴∠PMT=∠PNT=90°，∴TP=2TM，以T为圆心，TP为半径作⊙T，观察图象可知：当60°≤∠MPN<180°时，⊙T的环绕点在图中的圆环内部(包括大圆设的点不包括小圆上的点)．如图1中，以O为圆心2为半径作⊙O，观察图象可知，P2，P3是⊙O的环绕点，故答案为P2，P3；②见答案；(2)见答案．21.【答案】解：(1)∵AC是直径，PA、PB是圆的切线，∴PA=PB，OA⊥PA，即∠PAO=90°，∴∠PAB=∠PBA，∵∠1=20°，∴∠PAB=70°，∴∠PBA=∠PAB=70°，∴∠APB=180°−∠PBA−∠PAB=40°；(2)当∠1=30°时，OP=OD．理由：由OP=OD得∠D=∠OPD，∵AC是直径，PA、PB是圆的切线，∴PA=PB，OA⊥PA，即∠PAO=90°，在△POA和△POB中，{PA=PB OA=OB OP=OP，∴△POA≌△POB(SSS)∴∠APO=∠OPD=∠D，∴∠APD=2∠D，∵Rt△ADP中：∠APB+∠D=90°，∴2∠D+∠D=90°，即∠D=30°，∴∠APD=60°，∴△APB是等边三角形，∴∠PAB=60°，∴∠1=∠PAO−∠PAB=90°−60°=30°．【解析】本题考查了切线的性质，切线长定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，本题中求证△POA≌△POB是解题的关键．(1)易证∠PAO=90°和∠PAB=∠PBA，即可求得∠APB的值，即可解题；(2)易证∠D=∠OPD，PA=PB，即可证明△POA≌△POB，可得∠APO=∠OPD，即可求得∠APD=2∠D，即可求得∠D的值，即可判定△PAB为等边三角形，求得∠1的大小，即可解题．。