2020年高考文科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练

圆锥曲线一、椭圆：（1 ）椭圆的定义：平面内与两个定点F I,F2的距离的和等于常数（大于厅芾2| L 的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：2a |F1F2 |表示椭圆；2a |F1F21表示线段F1 F2；2a |F1F2|没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质:2 23.常用结论：（1）椭圆笃占i（a b 0）的两个焦点为F I,F2，过F i的直线交椭圆于A, B两 a b点，贝U ABF 2的周长= _______2 2（2）设椭圆务笃1（a b 0）左、右两个焦点为F1, F2，过F1且垂直于对称轴的直线 a b交椭圆于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是_______________ | PQ | ___________ 、双曲线:（1）双曲线的定义：平面内与两个定点 F i , F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于 | F 1F 2 |） 的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：|PFj IPF 2I 2a 与 | PF 2 | | PF i | 2a （ 2a | F 1F 2 |）表示双曲线的一支。

2a | F 1F 2 |表示两条射线；2a | F 1F 2 |没有轨迹;（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质:顶点 A 1( a,0), A 2(a,0)B 1(0, a),B 2(0,a)对称轴x 轴，y 轴；虚轴为 2b，实轴为2a 焦 占 八、、 八、、F 1( C ,0),F 2(C ,0)F 1 (0, C ), F 2(0,C )焦距El2C (C 0) 2 C2.2a b离心率e C (e 1) a（离心率越大，开口越大）渐近线b y —xaa y— xb通径2 b 2a（4）等轴双曲线为x 2 y 2 t 2，其离心率为 2中心在原点，焦点在x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上标准 方程2x~2 a2y1( a 0,b0)b2y~2a2（3）双曲线的渐近线：①求双曲线匚〔的渐近线，可令其右边的1为0,即得乂 .2 ' 2a 2b 22yb 2，因式分解得到A y 0。

2020年高考——圆锥曲线1.(20全国Ⅰ文21)（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.2.(20全国Ⅰ理20)（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.3.（20全国Ⅱ文19）(12 分)已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．4.（20全国Ⅱ理19）（12分）已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．5.（20全国Ⅲ文21）（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．6.（20全国Ⅲ理20）（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m+=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．7.（20新高考Ⅰ22）（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．8.(20天津18)（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．9.(20浙江21)（本题满分15分）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．10.（20江苏18）（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．11.(20北京20)（本小题15分）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．参考答案：1．解：（1）由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -．则(,1)AG a =，(,1)GB a =-．由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =．所以E 的方程为2219x y +=．（2）设1122(,),(,),(6,)C x y D x y P t ．若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<． 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以11(3)9ty x =+．直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以22(3)3ty x =-．可得12213(3)(3)y x y x -=+．由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0m y y m n y y n ++++++=．①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290m y mny n +++-=．所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=-++． 代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0m n m n mn n m +--++++=． 解得3n =-（舍去），32n =． 故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3(,0)2． 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3(,0)2．综上，直线CD 过定点3(,0)2．2．解：（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3. 由于直线PA 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++= 解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）． 若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.3．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，)，(0,)，2C 的准线为x c =-. 由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y +=，2C 的标准方程为28y x =.4．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，设00(,)M x y ，则220022143x y c c +=，2004y cx =，故20024143x x c c+=.①由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而||5MF =，故05x c =-，代入①得22(5)4(5)143c c c c --+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为2213627x y +=，2C 的标准方程为212y x =.5．解：（1）由题设可得54=，得22516m =，所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >， 由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =， 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ，故11APQ △的面积为1522=. 22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q的距离为26，故22AP Q △的面积为152262⨯=. 综上，APQ △的面积为52.6．解：（1）由题设可得54=，得22516m =， 所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >，由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =， 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ 的距离为2，故11APQ △的面积为1522=.22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q故22AP Q △的面积为1522=. 综上，APQ △的面积为52.7．解：（1）由题设得22411a b +=，22212a b a -=，解得26a =，23b =． 所以C 的方程为22163x y +=． （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入22163x y +=得222(12)4260k x kmx m +++-=． 于是2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++．①由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=， 可得221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++--++-+=．将①代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212m kmk km k m k k-+---+-+=++．整理得(231)(21)0k m k m +++-=．因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故2310k m ++=，1k ≠．于是MN 的方程为21()(1)33y k x k =--≠. 所以直线MN 过点21(,)33P -. 若直线MN 与x 轴垂直，可得11(,)N x y -.由0AM AN ⋅=得1111(2)(2)(1)(1)0x x y y --+---=. 又2211163x y +=，可得2113840x x -+=.解得12x =（舍去），123x =. 此时直线MN 过点21(,)33P -. 令Q 为AP 的中点，即41(,)33Q . 若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故1||||2DQ AP ==. 若D 与P 重合，则1||||2DQ AP =. 综上，存在点41(,)33Q ，使得||DQ 为定值.8．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由222a b c =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为221189x y +=． （Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221k x k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121k k k --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =． 所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-．9.（Ⅰ）由116p =得2C 的焦点坐标是1(,0)32． （Ⅱ）由题意可设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，点00(,)A x y ．将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得222(2)220m y mty t +++-=， 所以点M 的纵坐标22M mt y m =-+． 将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得202(2)p m y m+=， 因此22022(2)p m x m+=． 由220012x y +=得2421224()2()160m m p m m =+++≥，所以当m，t =时，p．10.解：（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ， 则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=.（2）椭圆E 的右准线为4x =.设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--，2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥， 则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -. 所以直线:3430.AB x y -+= 设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯， 则34120x y -+=或3460x y --=. 由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解； 由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-. 代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.11.。

圆锥曲线全总结及全题型解析1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F ，F 的距离的和等于常，且此常数一定要大于，当常数等时，轨迹是线段 F F ，当常数小时，无轨迹；双曲线中，与两定点F ，F 的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于F |，定义中的“绝对值”与＜|F F|不可忽视。

若＝|F F|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|F F |，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在轴上时（），焦点在轴上时＝1（）。

方程表示椭圆的充要条件是什么？（A B C≠0，且A，B，C同号，A≠B）。

（2）双曲线：焦点在轴上=1，焦点在轴上＝1（）。

方表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B 异号）。

（3）抛物线：开口向右时，开口向左，开口向上时，开口向下时。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由, 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

（2）双曲线：由, 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

提醒：在椭圆中，最大，在双曲线中，最大。

4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为，短轴长为；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。

（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2 ，虚轴长为，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线；⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线在椭圆外， 越小，开口越小， 越大，开口越大；⑥两条渐近线。

【高考复习】2020年高考数学(文数)圆锥曲线 大题练1.已知抛物线E ：y 2=2px(p ＞0)的焦点F ，E 上一点(3，m)到焦点的距离为4.(1)求抛物线E 的方程；(2)过F 作直线l ，交抛物线E 于A ，B 两点，若直线AB 中点的纵坐标为－1，求直线l 的方程．2.已知椭圆12222=+b y a x (a>b>0)的离心率为21,且经过点P （1,1.5）,过它的两个焦点F 1,F 2分别作直线l 1与l 2,l 1交椭圆于A,B 两点,l 2交椭圆于C,D 两点,且l 1⊥l 2.(1)求椭圆的标准方程;(2)求四边形ACBD 的面积S 的取值范围.3.已知椭圆C:12222=+by a x (a>b>0)的离心率为22,点(2,2)在C 上.(1)求C 的方程;(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A,B,线段AB 的中点为M,证明:直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.4.已知椭圆的中心是坐标原点O,焦点在x 轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P,Q 两点. (1)求椭圆的方程;(2)在线段OF 上是否存在点M(m,0),使得|MP|=|MQ|?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.5.在平面直角坐标系中，直线2x －y ＋m=0不过原点，且与椭圆y 24＋x22=1有两个不同的公共点A ，B.(1)求实数m 的取值所组成的集合M ；(2)是否存在定点P 使得任意的m ∈M ，都有直线PA ，PB 的倾斜角互补？若存在，求出所有定点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2=1(a>b>0)的焦距为4，P ⎝⎛⎭⎪⎫2，55是椭圆C 上的点．(1)求椭圆C 的方程；(2)O 为坐标原点，A ，B 是椭圆C 上不关于坐标轴对称的两点，设OD ―→=OA ―→＋OB ―→， 证明：直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值．7.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y2b2=1(a>b>0)的左顶点与上顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C上，且PF ⊥x 轴，若AB ∥OP ，且|AB|=2 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知Q 是C 上不同于长轴端点的任意一点，在x 轴上是否存在一点D ，使得直线QA 与QD 的斜率乘积恒为－12，若存在，求出点D 的坐标，若不存在，说明理由．8.设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k(k>0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB|=8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．答案解析1.解：(1)抛物线E ：y 2=2px(p ＞0)的准线方程为x=－p 2，由抛物线的定义可知3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2 =4， 解得p=2，∴抛物线E 的方程为y 2=4x.(2)法一：由(1)得抛物线E 的方程为y 2=4x ，焦点F(1,0)， 设A ，B 两点的坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，整理得y 2－y 1x 2－x 1 =4y 2＋y 1(x 1≠x 2)．∵线段AB 中点的纵坐标为－1，∴直线l 的斜率k AB =4y 2＋y 1=4－12=－2，∴直线l 的方程为y －0=－2(x －1)，即2x ＋y －2=0.法二：由(1)得抛物线E 的方程为y 2=4x ，焦点F(1,0)， 设直线l 的方程为x=my ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1消去x ，得y 2－4my －4=0.设A ，B 两点的坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， ∵线段AB 中点的纵坐标为－1， ∴y 1＋y 22 =4m 2=－1，解得m=－12，∴直线l 的方程为x=－12y ＋1，即2x ＋y －2=0.2.解:3.解：4.解:5.解：(1)因为直线2x －y ＋m=0不过原点，所以m≠0.将2x －y ＋m=0与y 24＋x22=1联立，消去y ，得4x 2＋22mx ＋m 2－4=0.因为直线与椭圆有两个不同的公共点A ，B ，所以Δ=8m 2－16(m 2－4)>0， 所以－22<m<2 2.故实数m 的取值所组成的集合M 为(－22，0)∪(0,22)．(2)假设存在定点P(x 0，y 0)使得任意的m ∈M ，都有直线PA ，PB 的倾斜角互补， 即k PA ＋k PB =0.令A(x 1，2x 1＋m)，B(x 2，2x 2＋m)，则2x 1＋m －y 0x 1－x 0＋2x 2＋m －y 0x 2－x 0=0，整理得22x 1x 2＋(m －2x 0－y 0)(x 1＋x 2)＋2x 0(y 0－m)=0.(*)由(1)知x 1＋x 2=－2m 2，x 1x 2=m 2－44，代入(*)式化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫22y 0－x 0m ＋2(x 0y 0－2)=0，则⎩⎪⎨⎪⎧22y 0－x 0＝0，x 0y 0－2＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝1，y 0＝2或⎩⎨⎧x 0＝－1，y 0＝－2，所以定点P 的坐标为(1，2)或(－1，－2)．经检验，此两点均满足题意． 故存在定点P 使得任意的m ∈M ，都有直线PA ，PB 的倾斜角互补， 且定点P 的坐标为(1，2)或(－1，－2)． 6.解：(1)由题意知2c=4，即c=2，则椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2a 2－4=1，因为点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，55在椭圆C 上，所以4a 2＋12－=1， 解得a 2=5或a 2=165(舍去)，所以椭圆C 的方程为x 25＋y 2=1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1≠x 2且x 1＋x 2≠0，由OA ―→＋OB ―→=OD ―→， 得D(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，所以直线AB 的斜率k AB =y 1－y 2x 1－x 2，直线OD 的斜率k OD =y 1＋y 2x 1＋x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 215＋y 21＝1，x 225＋y 22＝1，得15(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)=0， 即y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2=－15，所以k AB ·k OD =－15. 故直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值－15.7.解：(1)由题意得A(－a,0)，B(0，b)，可设P(c ，t)(t>0)，∴c 2a 2＋t 2b 2=1，得t=b 2a ，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，由AB ∥OP 得b a =b 2a c，即b=c ，∴a 2=b 2＋c 2=2b 2，①又|AB|=23，∴a 2＋b 2=12，②由①②得a 2=8，b 2=4，∴椭圆C 的方程为x 28＋y24=1.(2)假设存在D(m,0)，使得直线QA 与QD 的斜率乘积恒为－12，设Q(x 0，y 0)(y 0≠0)，则x 208＋y 204=1，③∵k QA ·k QD =－12，A(－22，0)，∴y 0x 0＋22·y 0x 0－m =－12(x 0≠m)，④由③④得(m －22)x 0＋22m －8=0，即⎩⎨⎧m －22＝0，22m －8＝0，解得m=22，∴存在点D(22，0)，使得k QA ·k QD =－12.8.解：(1)由题意得F(1,0)，l 的方程为y=k(x －1)(k>0)． 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2=0. Δ=16k 2＋16>0，故x 1＋x 2=2k 2＋4k2.所以|AB|=|AF|＋|BF|=(x 1＋1)＋(x 2＋1)=4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2=8，解得k=1或k=－1(舍去)．因此l 的方程为y=x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2=－(x －3)， 即y=－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，0＋2＝0－x 0＋22＋16.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2=16或(x －11)2＋(y ＋6)2=144.。

2020年高考数学精选专题（含答案详解）一、解答题（共15题；共145分）1.已知直线l1:3x−y−6=0与x轴，y轴分别交于A，B，线段AB的中垂线l2与抛物线E:y2=2px(p>0)有两个不同的交点C、D．（1）求p的取值范围；（2）是否存在p，使得A，B，C，D四点共圆，若存在，请求出p的值，若不存在，请说明理由．2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2，离心率为√32，过F1的直线l与椭圆C交于M,N两点，且ΔMNF2的周长为16（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=kx+m与椭圆C分别交于A,B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．3.已知点A,B的坐标为(−√2,0)，(√2,0)，直线AE，BE相交于点E，且它们的斜率之积是−12．（1）求点E的轨迹方程；（2）设O为坐标原点，过点F(−1,0)的直线l与点E的轨迹交于M,N两点，求△MON的面积的最大值．4.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1,0），且点P(1,32)在椭圆C上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过定点T（0,2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．5.已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为（0,1）（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l2：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点P，且与直线l1：y＝﹣1相交于点Q，试问，在坐标平面内是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点F到右准线的距离为3．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点．已知l被圆O：x2+y2＝a2截得的弦长为√14，求△OPQ 的面积．7.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的上顶点为A(0,1)，离心率为√22.（1）求椭圆C的方程；（2）若过点A作圆M:(x+1)2+y2=r2（圆M在椭圆C内）的两条切线分别与椭圆C相交于B，D 两点(B，D不同于点A)，当r变化时，试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.8.已知椭圆x22+y2=1上两个不同的点A，B关于直线y=mx+12对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求ΔAOB面积的最大值（O为坐标原点）．9.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，点(2,√2)在C上（1）求C的方程（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.10.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴顶点分别为A,B,且短轴长为2,T为椭圆上异于A,B的任意-一点,直线TA,TB的斜率之积为−13（1）求椭圆C的方程;（2）设O为坐标原点,圆O:x2+y2=34的切线l与椭圆C相交于P,Q两点,求△POQ面积的最大值.11.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点是F1(−1,0)，F2(1,0)，且过点A(1,√22)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过左焦点F1的直线l与椭圆C相交于B、D两点，O为坐标原点．问椭圆C上是否存在点P，使线段BD和线段OP相互平分？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．12.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点相同,F1,F2为C的左､右焦点,M为C上任意一点, SΔMF1F2最大值为1.（1）求椭圆C的方程;（2）不过点F2的直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点.①若k2=12,且S△AOB=√22,求m的值.②若x轴上任意一点到直线AF2与BF2距离相等,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.13.已知点M(−1,0),N(1,0)，若点P(x,y)满足|PM|+|PN|=4.（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）过点Q(−√3,0)的直线l与（Ⅰ）中曲线相交于A,B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程.14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的右顶点A(2,0)，且离心率为√32．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，过点O的直线l与椭圆C交于两点P、Q，直线AP和AQ分别与直线x=4交于点M、N，求ΔAPQ与ΔAMN面积之和的最小值.15.已知抛物线Γ的准线方程为x+y+2=0.焦点为F(1,1).（1）求证：抛物线Γ上任意一点P的坐标(x,y)都满足方程：x2−2xy+y2−8x−8y=0;（2）请求出抛物线Γ的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；（3）设垂直于x轴的直线与抛物线交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程.一、解答题1.【答案】 （1）解：因为直线 l 1:3x −y −6=0 与 x 轴， y 轴分别交于 A ， B . 所以 A(2,0) ， B(0,−6) ，所以线段 AB 的中点为 (1,−3) ， k AB =3 ，所以线段 AB 的中垂线 l 2 的方程为 y +3=−13(x −1) ，即 x +3y +8=0 . 将 x =−3y −8 代入 E:y 2=2px(p >0) ， 得 y 2+6py +16p =0 ，因为 l 2 与 E 有两个不同的交点 C ， D . 所以 Δ=36p 2−4×16p >0 ， 又 p >0 ，所以 p >169，即 p 的取值范围为 (169,+∞) .（2）解：若 A ， B ， C ， D 四点共圆，由对称性可知，圆心应为线段 CD 的中点， 设 C(x 1,y 1) ， D(x 2,y 2) ，线段 CD 的中点为 M(x 0,y 0) ， 则 {y 1+y 2=−6py 1y 2=16p ， 所以 y 0=y 1+y 22=−3p ， x 0=−3y 0−8=9p −8 ，|CD|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√1+(−3)2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =√10⋅√36p 2−4×16p =2√10⋅√9p 2−16p若 A ， B ，C ， D 四点共圆，则 |MA|=12|CD| ，即 |MA|2=14|CD|2 ，所以 (x 0−2)2+y 02=14×40(9p 2−16p) . 所以 (9p −10)2+9p 2=90p 2−160p ，解得 p =5 ， 又 p =5 满足 p >169，所以存在 p =5 ，使得 A ， B ，C ， D 四点共圆.【解析】【分析】（1）求出 A,B 两点坐标，得出其中垂线方程为 x +3y +8=0 ，与抛物线方程联立根据 Δ>0 即可得结果；（2）设 C(x 1,y 1) ， D(x 2,y 2) ，线段 CD 的中点为 M(x 0,y 0) ，将（1）和韦达定理可得 M(9p −8,−3p) ， |CD|=2√10⋅√9p 2−16p ，结合四点共圆的特征得 |MA|2=14|CD|2 ，代入两点间距离公式可解得 p 的值. 2.【答案】 （1）解：由椭圆定义知： ΔMNF 2 的周长为： 4a =16 ⇒a =4 由椭圆离心率： e =ca=√32 ⇒c =2√3 ， b 2=c 2−a 2=4 ∴ 椭圆 C 的方程：x 216+y 24=1（2）解：由题意，直线 AB 斜率存在，直线 AB 的方程为： y =kx +m设 A(x 1,y 1) ， B(x 2,y 2)联立方程 {y =kx +mx 216+y 24=1 ，消去 y 得： (1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−16=0 由已知 Δ>0 ，且 x 1+x 2=−8km4k 2+1 ， x 1x 2=4m 2−164k 2+1由 OA ⊥OB ，即 OA⇀⋅OB ⇀=0 得： x 1x 2+y 1y 2=0 即： x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=x 1x 2+k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=0 ∴(k 2+1)4m 2−164k 2+1+km ⋅−8km 4k 2+1+m 2=0 ，整理得： 5m 2=16(1+k 2) ，满足 Δ>0∴ 点 O 到直线 AB 的距离： d =√1+k2=4√55为定值【解析】【分析】（1）由 ΔMNF 2 周长可求得 a =4 ，利用离心率求得 c =2√3 ，从而 b 2=c 2−a 2=4 ，从而得到椭圆方程；（2）直线 AB 方程与椭圆方程联立，可得韦达定理的形式；利用垂直关系可构造方程 x 1x 2+y 1y 2=0 ，代入韦达定理整理可得 5m 2=16(1+k 2) ；利用点到直线距离公式表示出所求距离 d ，化简可得结果.3.【答案】 （1）解：设 E(x,y) ，因为 A(−√2,0) ，所以直线 AE 的斜率 k AE =x+√2≠−√2) ， 同理直线 BE 的斜率 k BE =x−√2≠√2) ， 由已知有 x+√2×x−√2−12(x ≠±√2) ， 化简得 E 的轨迹方程为 x 22+y 2=1 (x ≠±√2) .（2）解：设过 F(−1,0) 的直线方程为 x =my −1 ，设 M(x 1,y 1) ， N(x 2,y 2) 联立直线与椭圆的方程，化简得 (m 2+2)y 2−2my −1=0 ，显然 Δ>0 ． y 1+y 2=2mm 2+2 ， y 1y 2=−1m 2+2 ，从而， |y 1−y 2|=√(2mm 2+2)2+4m 2+2=2√2(m 2+1)(m 2+2)2.所以 S △MON =12|OF|·|y 1−y 2|=√2√(m 2+2)−1(m 2+2)2，令 t =m 2+2≥2 ，则 S =√2·√−1t 2+1t =√2·√−(1t −12)2+14≤√22，当 t =2 ，即 m =0 时取等号.所以 △MON 面积的最大值为 √22.【解析】【分析】（1）设 E(x,y) ，根据斜率关系列方程化简即可；（2）设直线方程，并与曲线方程联立，求出两根之和两根之积，把面积用其表示出来，再借助于二次函数在区间上的最值求解方法即可得到结论．4.【答案】 （1）解：由题意得c ＝1，所以a 2＝b 2＋1，① 又点P (1,32) 在椭圆C 上，所以 1a 2 ＋ 94b 2 ＝1，② 由①②可解得a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆C 的标准方程为 x 24＋y 23＝1.（2）解：设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A （x 1 ， y 1），B （x 2 ， y 2），由 {y =kx +2x 24+y 23=1 得（4k 2＋3）x 2＋16kx ＋4＝0，因为Δ＝16（12k 2－3）＞0，所以k 2＞ 14 ，则x 1＋x 2＝ −16k4k +3 ，x 1x 2＝ 44k 2+3 .因为∠AOB 为锐角，所以 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞0，即x 1x 2＋y 1y 2＞0，所以x 1x 2＋（kx 1＋2）（kx 2＋2）＞0， 所以（1＋k 2）x 1x 2＋2k （x 1＋x 2）＋4＞0，即（1＋k 2）· 44k 2+3 ＋2k · −16k4k 2+3 ＋4＞0， 解得k 2＜ 43 .又k 2＞ 14 ，所以 14 ＜k 2＜ 43 ，解得－ 2√33＜k ＜－ 12 或 12 ＜k ＜2√33.所以直线l 的斜率k 的取值范围为 (−2√33,−12) ∪ (12,2√33)【解析】【分析】（1）由c ＝1得a 2＝b 2＋1，再代入P 点坐标可求得a ,b ；（2）设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A （x 1 ， y 1），B （x 2 ， y 2），直线方程与椭圆方程联立消元得 x 的一元二次方程，其判别式需大于0，由韦达定理得 x 1+x 2,x 1x 2 ，条件∠AOB 为锐角对应 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ >0 ，代入 x 1+x 2,x 1x 2 后可求得 k 的范围．5.【答案】 （1）解：由题意， p2=1 ， 所以p ＝2，∴抛物线C 的方程为：x 2＝4y（2）解：由 {x 2=4yy =kx +m得x 2﹣4kx ﹣4m ＝0（*），由直线y ＝kx +m 与抛物线C 只有一个公共点，可得 Δ=0 ，解得m ＝﹣k 2 ， 代入到（*）式得x ＝2k ， ∴P （2k ,k 2），当y ＝﹣1时，代入到y ＝kx ﹣k 2 得Q （ k −1k ，−1 ）， ∴以PQ 为直径的圆的方程为：(x −2k)[x −(k −1k )]+(y −k 2)(y +1)=0 ，整理得： (1−y)k 2−3x ⋅k +x ⋅1k +(x 2+y 2+y −2)=0 ， 若圆恒过定点，则 {1−y =0−3x =0x =0x 2+y 2+y −2=0 ， 解得 {x =0y =1， ∴存在点N （0,1），使得以PQ 为直径的圆恒过点N ．【解析】【分析】（1）根据抛物线的交点坐标，即可得到 p ，从而求得抛物线方程；（2）根据抛物线与直线相切，求得切点的坐标，以及 k,m 之间的等量关系，再求出点 Q 的坐标，从而写出圆的方程，再求圆恒过的定点即可.6.【答案】 （1）解：由题意知 c a =12 , a 2c−c =3 ,因为 b 2=a 2−c 2 ,解得a 2＝4,b 2＝3, 所以椭圆的方程为: x 24+y 23= 1（2）解：由题意知直线l 的斜率不为0,由（1）知F （1,0）, 设直线l 的方程为x ＝my+1,P （x,y ）,Q （x',y'）,联立直线l 与椭圆的方程整理得（4+3m 2）y 2+6my ﹣9＝0, 所以y+y' =−6m 4+3m 2 ,yy' =−94+3m 2 ,所以|PQ| =√1+m 2√(y +y ′)2−4yy ′=√1+m 2√36m 2(3+4m 2)2+363+4m2=12(1+m 2)3+4m 2,因为圆O:x 2+y 2＝4到l 的距离d =√1+m 2 ,被圆O:x 2+y 2＝4截得的弦长为 √14 , 所以得14＝4（4 −11+m 2 ）,解得m 2＝1,所以d =√22,|PQ| =247 ,所以S △OPQ =12⋅|PQ|⋅d =12⋅√22⋅247=6√27.【解析】【分析】（1）由题可得 ca =12 ,a 2c−c =3 ,再由 b 2=a 2−c 2 可求得 a 2,b 2 ,即可得到椭圆方程；（2）显然直线 l 的斜率不为0,设直线l 的方程为x ＝my+1,与椭圆方程联立,则利用韦达定理可得 P,Q 的纵坐标的关系,再根据弦长公式求得 |PQ| ,由直线截圆的弦长求得 m ,进而求解即可.7.【答案】 （1）解：依题意可得： {b =1ca =√22a 2=b 2+c2,a =√2，b =1，c =1椭圆C ：x 22+y 2=1 ）（2）解：圆M 过A 的切线方程可设为l ： y =kx +1 ，代入椭圆C 的方程得： x 2+2(kx +1)2=2,x =−4k1+2k 2 ，可得 B(−4k 11+2k 12，1−2k 121+2k 12) ；同理可得 D(−4k 21+2k 22，1−2k 221+2k 22)由圆M 与l 相切得：√1+k 2=r,(1−r 2)k 2−2k +1−r 2=0由韦达定理得： k 1+k 2=21−r 2，k 1k 2=1 所以直线BD 的斜率 k =y 2−y 1x 2−x1=1−2k 221+2k 22−1−2k 121+2k 12−4k 21+2k 22+4k 11+2k 12=4k 12−4k 224(k2−k 1)(2k 1k 2−1)=−(k 1+k 2)=2r 2−1…… 直线BD 的方程为： y −1−2k 121+2k 22=2r 2−1(x +4k11+2k 12)化简为： y =2r 2−1x −1+k 12k 1×4k11+2k 12+1−2k 121+2k 12=2r 2−1x −3 ，即 y =2r 2−1x −3所以，当 r(0<r <√2−1) 变化时，直线BD 总过定点 R(0，−3)【解析】【分析】（1）根据椭圆的顶点和离心率建立方程组求解椭圆方程；（2）圆M 过A 的切线方程可设为l ： y =kx +1 ，代入椭圆，解出B ， D 坐标，根据直线与圆相切结合韦达定理得斜率 k 1，k 2 的关系，表示出直线BD 的方程即可求得过定点.8.【答案】 （1）解：由题意知 m ≠0 ，可设直线AB 的方程为 y =−1m x +b ，由 {x 22+y 2=1y =−1m x +b ， 消去 y ，得 (12+1m 2)x 2−2bm x +b 2−1=0 ，∵直线 y =−1m x +b 与椭圆 x 22+y 2=1 有两个不同的交点，∴ Δ=−2b 2+2+4m 2>0 ，①，将AB 中点 M(2mb m +2,m 2bm +2) 代入直线方程 y =mx +12 解得b =−m 2+22m 2，②。

专题50 圆锥曲线（多选题部分）一、题型选讲题型一 、圆锥曲线定义与性质的考查例1、（202年山东卷）已知曲线22:1C mx ny +=（ ） A ．若0m =，0n >，则C 是两条直线 B ．若0m n =>，则CC ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上D ．若0mn <，则C是双曲线，其渐近线方程为y = 【答案】AD【详解】对于A ，若0m =，0n >，则2:1C ny =即y =，为两条直线，故A 正确； 对于B ，若0m n =>，则221:C x y n +=，所以CB 错误； 对于C ，若0m n >>，则110m n<<， 所以22:1C mx ny +=即22:111x y C m n +=为椭圆，且焦点在y 轴上，故C 错误； 对于D ，若0mn <，则22:111x y C m n +=为双曲线，且其渐近线为y ==，故D 正确.例2、已知双曲线C过点(且渐近线方程为3y x =±，则下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为2213x y -=B ．CC ．曲线21x y e -=-经过C 的一个焦点 D．直线10x -=与C 有两个公共点【答案】AC【详解】对于A：由双曲线的渐近线方程为3y x =±，可设双曲线方程为223x y λ-=，把点代入，得923λ-=，即1λ=．∴双曲线C 的方程为2213x y -=，故A 正确； 对于B ：由23a =，21b =，得2c =，∴双曲线C=，故B 错误； 对于C ：取20x +=，得2x =-，0y =，曲线21x y e +=-过定点(2,0)-，故C 正确；对于D ：双曲线的渐近线0x ±=，直线10x --=与双曲线的渐近线平行，直线10x -=与C 有1个公共点，故D 不正确．故选：AC ．例3、（2020·山东济南外国语学校高三月考）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，且，若，则对双曲线中的有关结论正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】ABCD【解析】由双曲线的定义知：， 由，在中，由余弦定理可得：，22221(0,0)x y a b a b-=>>12,,F F P122PF PF =12sin 4F PF ∠=,,,a b c e e =2e =b =b =12212,4PF PF PF a PF a -==∴=12sin F PF ∠=121cos 4F PF ∠=±12PF F △222416412244a a c a a +-=±⨯⨯解得或，， 或，又， 可得或故选：ABCD例4、已知双曲线，若的离心率最小，则此时（ ）A．BC ．双曲线的一个焦点坐标为D【答案】AB【解析】因为，所以双曲线的焦点在轴上，所以，，所以．又双曲线的离心率，则．因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，则双曲线的离心率最小时，，，，则双曲，故A ，B 正确；双曲线的焦点坐标为（，0），故C 错误；焦点，故D 错误.故选：AB ．题型二圆锥曲线的综合性问题例5、的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，12,A A 分别为左、右顶点，1B ，2B 分别为上、下顶点，1F ，2F 分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ）224c a =226c a=2ce a∴==2c a ∴=c =222c a b =+b =b =()222:104x y C m m m m -=>-+C 2m =0y ±=)0m >C x 2a m =224b m m =-+224c m =+c e a =222244c m e m a m m+===+0m >244e m m =+≥=4m m=2m =C 22a =26b =28c =0y ±=±()0y +=2==A ．2112212A F F A F F ⋅= B ．11290F B A ∠=︒C ．1PF x ⊥轴，且21//PO A BD ．四边形221AB A B 的内切圆过焦点1F ，2F【答案】BD【详解】∵椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>∴121212(,0),,0),(0,),(0,),(,0),(,)(0A a A a B b B b F c F c ---对于A ，若2112212A F F A F F ⋅=，则22()(2)a c c -=，∴2a c c -=，∴13e =，不满足条件，故A 不符合条件；对于B ，11290F B A ︒∠=，∴222211112A F B F B A =+ ∴2222()a c a a b +=++，∴220c ac a +-= ∴210e e +-=，解得e =e =，故B 符合条件； 对于C ，1PF x ⊥轴，且21//PO A B ，∴2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵21PO A B k k =∴2b c ab a =--，解得 ∵，∴b c =222a b c =+a =∴，不满足题意，故C不符合条件；对于D，四边形的内切圆过焦点即四边形的内切圆的半径为c，∴∴，∴，解得（舍去）或，∴，故D符合条件．例6、已知椭圆()22:10x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为1F，2F且122F F=，点()1,1P在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．1QF QP+的最小值为1B．椭圆C的短轴长可能为2C．椭圆C的离心率的取值范围为⎛⎝⎭D．若11PF FQ=，则椭圆C【答案】ACD【详解】A.因为12||2F F，所以22(1,0),||1F PF=，所以122||||||||||1QF QP QF QP PF+=+≥=，当2,,Q F P，三点共线时，取等号，故正确；B．若椭圆C的短轴长为2，则1,2b a==，所以椭圆方程为22121x y+=，11121+>，则点P在椭圆外，故错误；C．因为点(1,1)P在椭圆内部，所以111a b+<，又1a b-=，所以1b a=-，所以1111+<-a a，即2310a a-+>，解得236(1244a+++>==，12+>，所以12=<e，所以椭圆C的离心率的取值范围为，故正确；2cea===1221A B A B12,F F1221A B A B ab=422430c a c a-+=42310e e-+=235e+=235e-=51e-=D ．若11PF FQ =，则1F 为线段PQ 的中点，所以(3,1)Q --，所以911+=a b，又1a b -=，即21190-+=a a ，解得a ====，所以椭圆C，故正确．例7、（2020·山东高三开学考试）已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于两点、，则（ ）A ．若、同在双曲线的右支，则的斜率大于B ．若在双曲线的右支，则最短长度为C ．的最短长度为D ．满足的直线有4条 【答案】BD【解析】易知双曲线的右焦点为，设点、，设直线的方程为， 当时，直线的斜率为， 联立，消去并整理得. 则，解得. 对于A 选项，当时，直线轴，则、两点都在双曲线的右支上，此时直线的斜率不存在，A 选项错误；对于B 选项，，B 选项正确； 对于C 选项，当直线与轴重合时，，C 选项错误； 对于D 选项，当直线与轴重合时，； 当直线与轴不重合时，由韦达定理得，， 22:1916x y C -=F l A B A B l 43A FA 2AB 32311AB =C ()5,0F ()11,A x y ()22,B x y l 5x my =+0m ≠l 1k m=225169144x my x y =+⎧⎨-=⎩x ()221691602560m y my -++=()()222222169016042561699610m m m m ⎧-≠⎪⎨∆=-⨯-=+>⎪⎩34m ≠0m =l x ⊥A B l min 532F c a A =-=-=l x 32263AB a ==<l x 2611AB a ==≠l x 122160169m y y m +=--122256169y y m =-由弦长公式可得，解得或.故满足的直线有条，D 选项正确. 故选：BD.例8、（2020·江苏扬州中学高二月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A ．的最小值为B ．椭圆的短轴长可能为2C ．椭圆的离心率的取值范围为D ．若，则椭圆【答案】ACD【解析】A. 因为，所以，所以，当，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆的短轴长为2，则，所以椭圆方程为，，则点在椭圆外，故错误；C. 因为点在椭圆内部，所以，又，所以，所以，即，解得，所以，所以椭圆的离心率的取值范围为，故正确；()2122961169m AB y y m +=-==-()226161611169m m +==-4m =±m =11AB =4()22:10x y C a b a b+=>>1F 2F 122F F =()1,1P Q 1QF QP +21a -C C ⎛ ⎝⎭11PF FQ =C 122F F =()221,0,1=F PF 1222221+=-+≥-=-QF QP a QF QP a PF a 2,,Q F P C 1,2b a ==22121x y +=11121+>P ()1,1P 111a b+<1a b -=1b a =-1111+<-a a 2310a a -+>(2136244++>==a >12=<e C 10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. 若，则为线段的中点，所以，所以，又，即，解得，所以椭圆的，故正确.故选：ACD例9、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点为F ，准线为l.设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作QN PE ⊥交EP 的延长线于N ，作QM PF ⊥交线段PF 于点M ，则（ ）A ．||||PE PF =B ．||||PF QF =C ．||||PN MF =D ．||||PN KF =【答案】ABD 【解析】由抛物线的定义，PE PF =，A 正确；∵//PN QF ，PQ 是FPN ∠的平分线，∴FQP NPQ FPQ ∠=∠=，∴||||PF QF =，B 正确； 若||||PN MF =，由PQ 是外角平分线，QN PE ⊥，QM PF ⊥得QM QN =，从而有PM PN =，于是有PM FM =，这样就有QP QF =，PFQ ∆为等边三角形，60FPQ ∠=︒，也即有60FPE ∠=︒，11PF FQ =1F PQ ()3,1Q --911+=a b1a b -=21190-+=a a 21122244++===a =C这只是在特殊位置才有可能，因此C 错误；连接EF ，由A 、B 知PE QF =，又//PE QF ，EPQF 是平行四边形，∴EF PQ =，显然EK QN =，∴KF PN =，D 正确．二、达标训练1、（2020·山东高三其他模拟）关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（ ）.A ．它们有相同的渐近线B ．它们有相同的顶点C ．它们的离心率不相等D ．它们的焦距相等【答案】CD【解析】双曲线的顶点坐标，渐近线方程：，离心率为：，焦距为10．双曲线，即：，它的顶点坐标，渐近线方程：，离心率为：，焦距为10． 所以它们的离心率不相等，它们的焦距相等． 故选：．2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，则能使双曲线C 的方程为221169x y -=的是( )A ．离心率为54B ．双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．渐近线方程为340±=x yD ．实轴长为4【答案】ABC【解析】由题意，可得：焦点在x 轴上，且5c =；A 选项，若离心率为54，则4a =，所以2229b c a =-=，此时双曲线的方程为：221169x y -=，故A 正确；221:1916x y C -=222:1916y x C -=-221:1916x y C -=(3,0)430x y ±=53222:1916y x C -=-221169x y -=(4,0)±340±=x y 54CDB 选项，若双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22222812516125a b a b c ⎧⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎩，解得：22169a b ⎧=⎨=⎩；此时双曲线的方程为：221169x y -=，故B 正确；C 选项，若双曲线的渐近线方程为340±=x y ，可设双曲线的方程为：22(0)169x y m m -=>，所以216925c m m =+=，解得：1m =，所以此时双曲线的方程为：221169x y -=，故C 正确； D 选项，若实轴长为4，则2a =，所以22221b c a =-=，此时双曲线的方程为：224121x y -=，故D 错误；故选：ABC.3、（2020届山东省德州市高三上期末）已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．4p = B ．DF FA =C ．2BD BF =D ．4BF =【答案】ABC 【解析】 如下图所示：分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E 、M .抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ，则PF p =，由于直线l 60，//AE x 轴，60EAF ∴∠=，由抛物线的定义可知，AE AF =，则AEF ∆为等边三角形，60EFP AEF ∴∠=∠=，则30PEF ∠=，228AF EF PF p ∴====，得4p =，A 选项正确；2AE EF PF ==，又//PF AE ，F ∴为AD 的中点，则DF FA =，B 选项正确；60DAE ∴∠=，30ADE ∴∠=，22BD BM BF ∴==（抛物线定义），C 选项正确； 2BD BF =，118333BF DF AF ∴===，D 选项错误. 故选：ABC.4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M为线段AB 的中点，则（ ） A ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切 C ．当2AF FB =时，92AB = D ．AB 的最小值为4【答案】ACD【解析】对于选项A ，点M 到准线1x =-的距离为()1122AF BF AB +=，于是以线段AB 为直径的圆与直线1x =-一定相切，进而与直线32x =-一定相离： 对于选项B ，显然AB 中点的横坐标与12BM 不一定相等，因此命题错误. 对于选项C ，D ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为1x my =+，联立直线与抛物线方程可得2440y my --=，124y y =-，121=x x ，若设()24,4A a a ，则211,4B aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是21221424AB x x p a a=++=++，AB 最小值为4；当2AF FB =可得122y y =-， 142a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所212a =，92AB =.故选:ACD.5、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，Q 是圆D ：()22115x y ++=上的动点，则（ ）A ．CB ．C 的离心率为6C ．圆D 在C 的内部D ．PQ 【答案】BC【解析】2216x y += a ∴=，1b =c ∴===C 的焦距为c e a ===.设(), P x y （x ≤≤， 则()()22222256441111665555x x y x x PD ⎛⎫++=++-=++≥> ⎪⎝⎭=，所以圆D 在C 的内部，且PQ =. 故选：BC .6、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则 （ ） A ．若126x x +=，则8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M ，则1PM PP +≥D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条 【答案】ABC【解析】对于选项A,因为2p =,所以122x x PQ ++=,则8PQ =,故A 正确；对于选项B,设N 为PQ 中点,设点N 在l 上的射影为1N ,点Q 在l 上的射影为1Q ,则由梯形性质可得111222PP QQ PF QF PQ NN ++===,故B 正确； 对于选项C,因为()1,0F ,所以1PM PP PM PF MF +=+≥=故C 正确； 对于选项D,显然直线0x =,1y =与抛物线只有一个公共点,设过M 的直线为1y kx =+, 联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩,可得()222410k x k x +-+=,令0∆=,则1k =,所以直线1y x =+与抛物线也只有一个公共点,此时有三条直线符合题意,故D 错误； 故选：ABC7、（2020·福清西山学校高二期中）在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则（ ） A ．的方程为B ．C ．的渐近线与圆相切D ．满足的直线仅有1条【答案】AC【解析】设点，整理得，所以点的轨迹为曲线的方程为，故A 正确；又离心率，故B 不正确； 圆的圆心到曲线的渐近线为的距离为，又圆的半径为1，故C 正确；直线与曲线的方程联立整理得，设， ，且，xOy P ()1F)2F 13P E l ()2y k x =-E A B E 221(3x y x -=≠E E ()2221x y -+=AB =l (),P xy 13=2213x y -=P E 221(3x y x -=≠e ==()2221x y -+=()20，E y x =1d ==()2221x y -+=l E ()2221(3y k x x y x ⎧=-⎪⎨-=≠⎪⎩()222213+121230k x x k k ---=()()1122,,A B x y x y ，()()()224214441312312+1>0kk kk ∆=----=2130k -≠有，所以， 要满足，则需或或，当,此时，而曲线E 上，所以满足条件的直线有两条，故D 不正确，故选：AC .2122221212123+,1313x xx k x kk k ---==--)221+13k AB k===-AB =)221+13k k=-0k =1k =1k =-0k =)()AB ，x ≠。

圆锥曲线八种解题方法、七种常规题型和性质（有相应例题详解） 总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数）7、代入法中的顺序8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题（3）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

2．曲线的形状未知-----求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。

【高考数学中最具震撼力的一个解答题！】注：【求解完第一问以后，】→WILL COME ACROSS圆锥曲线题10大题型：（1）弦长问题（2）中点问题（3）垂直问题（4）斜率问题（5）对称问题（6）向量问题（7）切线问题（8）面积问题（9）最值问题（10）焦点三角形问题。

中的2-----4类；分门别类按套路求解；1.考（总与三个问题有关）：（1）———————；（2）——————————；（3）—————————；2.圆锥曲线题，直线代入圆锥曲线的“：---------------------------------------------------; ——————————————————————————————————————；3.圆锥曲线题-------------------；---------------------------------------------；————————————；—————————；——————————；—————————————————；———————————；——————————————；4.STEP1:首先看是否属于3种特殊弦长：（1）圆的弦长问题；（2）中点弦长问题（3）焦点弦长问题；→（1）圆的弦长问题：（2法）首选方法：垂径定理+勾股定理：图示：--------------------------------；公式为：-------------------------；其中求“点线距”的方法：———————；次选：弦长公式；→（2）中点弦长问题：（2法）首选方法：“点差法”椭圆：（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；副产品：两直线永远不可能垂直！原因：___________；【两直线夹角的求法：（夹角公式）___________；】双曲线（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；抛物线：形式一：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；形式2：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；附：“点差法”步骤：椭圆：“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;→得公式：（公式一）-------------------；（公式二）---------------------；附：“点差法”步骤：抛物线；形式一___________;：“点”_______________________;_____________________;“差”_________________________;“设而不求法”___________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;→得公式：（公式一）---------------------；（公式二）--------------------；附：“点差法”步骤：抛物线：形式二：____________;“点”_______________________;_________________;“差”__________________________________;“设而不求法”______________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;→得公式：（公式一）-------------------；（公式二）--------------------------------；法二次选：中点公式；→（2）焦点弦长问题：（2（公式一）左焦点弦长：--------------------------------；图示：__________________;右焦点弦长：--------------------------------；图示：__________________;公式一适用于：__________________________;（公式二）--------------------------------；其中：________________;适用于：__________________________; ________;公式一：__________________;图示：_____________________;公式一适用于：__________________________;焦点弦公式二：____________________;公式2适用于：__________________________;→ STEP2:除了这三种特殊弦长以外，其余弦长求解都用【弦长公式】（保底方法）；【弦长公式】3类型：【类1】___________;___________;_______________;适用于：__________________________;【类2】___________;____________;_______________;适用于：__________________________;【类3】___________;____________;_______________;适用于：__________________________;5.【2次选-------------------------；--------------------------；--------------------------；---------；6. 2种特殊的垂直问题：（1【2法】：法一：“圆的直径式方程”____________________________________;法二：向量垂直法：____________________；____________________________________; （2）“原点张角垂直问题”首选方法：向量垂直法+韦达定理【最快！】图示：_____________________;套路：___________________；_______________________________；7．“结论法+代入法最快！”【2题型】（1）结论一：【原点对称】_______________________________；结论二：【任意点对称】_______________________________；（2【x 轴对称】_______________________________；结论二：【y轴对称】_______________________________；结论三【x=a对称】------------------------------------------；结论四【y=b对称】：______________________；结论5【y=x对称】：__________________________；结论6【y=-x对称】：_______________________________；结论7【y=x+c对称】：___________________；结论8【y=-x+c对称】：_____________________；结论9【任意直线Ax+By+C=0对称】：_______________________________；8.【大纲内2题型】（1）题：【3套路8结论】（1）“点线距等于半径”________________________；（2）斜率乘积等于-1；______________；（3）勾股定理：__________________；结论：（1）【切线长公式】_______________________;（2）【圆心在原点时】_______________________;（3）【切点弦直线方程】_______________________;（4）_______________________;（5）_______________________;（6）_______________________;（7）________________________;（2【导数法】（2形式）【形式一】________；____________________；【形式二】_________；__________________________；9.圆锥曲线题题型六：固定套路：_________+___________+_____________+___________+__________ ___+___________+_____________;【相关结论】：【两焦半径】左焦半径_____________;右焦半径_____________;特别的，通径：______________;半通径：______________;【三边长】_____________;_____________;_____________;【周长】_____________;【两焦半径乘积】_____________;【焦点三角形面积】_____________;_____________;作用：_____________;_____________;【余弦定理式】_____________;_____________;_____________;【正弦定理式】________;【求解离心率】__________;_________;________;__________;_____;【焦点三角形中内心公式】_____________________;10.“向量法最快”！平解几中，向量问题均采用“坐标运算”最佳！】首先：坐标化→→【平面向量10公式】【向量平行】_____________________;【向量垂直】_____________________;【向量夹角公式】_____________________;【加减式】_____________________;【数乘式】_____________________;【向量数量积公式】_____________________;【向量模的公式】_____________________;【量模转化公式】_____________________;【向量平方差公式】_____________________;【向量完全平方公式】_____________________;11.【2类】（1】→→“成锐角时《=》向量数量积>0；”“成钝角时《=》向量数量积<0；”“成直角时《=》向量数量积=0；”（2）【2法】（1）向量数量积公式_____________________;（2）两直线夹角公式_____________________;12.圆锥曲线题题型9_____________________;_____________________;_____________________;【凡与垂直相关的斜率问题】首选：斜率乘积等于-1。

2020年高考文科数学一轮复习大题篇—圆锥曲线综合问题【归类解析】题型一 范围问题【解题指导】 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【例】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 23－y 2＝1的离心率互为倒数，且直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围.【解】 (1)∵双曲线的离心率为233， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝32. 又∵直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点，∴右顶点为点(2,0)，即a ＝2，c ＝3，b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意可设直线的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1， 消去y ，并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－11＋4k 2， 于是y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.又直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，故y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km x 1＋x 2＋m 2x 1x 2＝k 2， 则－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0. 由m ≠0得k 2＝14，解得k ＝±12. 又由Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0，得0<m 2<2，显然m 2≠1(否则x 1x 2＝0，x 1，x 2中至少有一个为0，直线OM ，ON 中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾).设原点O 到直线的距离为d ，则S △OMN ＝12|MN |d ＝12·1＋k 2·|x 1－x 2|·|m |1＋k 2故由m 的取值范围可得△OMN 面积的取值范围为(0,1).【训练】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴； (2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围. (1)【证明】 设P (x 0，y 0)，A ⎝⎛⎭⎫14y 21，y 1，B ⎝⎛⎭⎫14y 22，y 2. 因为P A ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝⎛⎭⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02，即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根.所以y 1＋y 2＝2y 0，所以PM 垂直于y 轴.(2)【解】 由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0， |y 1－y 2|＝22y 20－4x 0. 所以△P AB 的面积S △P AB ＝12|PM |·|y 1－y 2|)322004y x -.因为x 20＋y 204＝1(－1≤x 0<0)， 所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4,5]，所以△P AB 面积的取值范围是⎣⎡⎦⎤62，15104. 题型二 最值问题1 利用三角函数有界性求最值【解题指导】 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.【例】过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF |·|BF |的最小值是【解】 设直线AB 的倾斜角为θ，可得|AF |＝21－cos θ，|BF |＝21＋cos θ， 则|AF |·|BF |＝21－cos θ×21＋cos θ＝4sin 2θ≥4. 2 数形结合利用几何性质求最值【例】在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点.若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，求实数c 的最大值为。