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2．1指数函数2．1.1指数与指数幂的运算1．理解方根和根式的概念，掌握根式的性质，会进行简单的求n次方根的运算．(重点、难点)2．理解整数指数幂和分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂之间的相互转化．(重点、易混点)3．理解有理数指数幂的含义及其运算性质．(重点)4．通过具体实例了解实数指数幂的意义．[基础·初探]教材整理1根式阅读教材P48～P51“例1”以上部分，完成下列问题．1．根式及相关概念(1)a的n次方根的定义如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示x ＝⎩⎪⎨⎪⎧n a ，n 为奇数，±n a ，(a ＞0)，n为偶数.(3)根式2．根式的性质(n ＞1，且n ∈N *) (1)n 为奇数时，na n ＝a .(2)n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎨⎧a (a ≥0)，－a (a ＜0).(3)n0＝0.(4)负数没有偶次方根．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当n ∈N *时，(n－16)n 都有意义．( )(2)任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数．( ) (3)na n ＝a .( )【解析】 (1)×.当n 是偶数时，(n－16)n 没有意义． (2)×.负数没有偶次方根．(3)×.当n 为偶数，a <0时，na n ＝－a . 【答案】 (1)× (2)× (3)× 教材整理2 分数指数幂阅读教材P 50例1以下～P 51“指数幂的运算性质”部分，完成下列问题． 1．规定正数的正分数指数幂的意义是： a mn ＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)． 2．规定正数的负分数指数幂的意义是：a －mn ＝1a m n(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)．3．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．把下列根式化为分数指数幂，分数指数幂化为根式： (1)35＝________；(2)322＝________；(3)1523＝________；(4)332＝________；(5)m －35＝________.【答案】 (1)352 (2)223 (3)2－35 (4)33 (5)15m 3教材整理3 有理数指数幂的运算性质和无理数指数幂阅读教材P 51“指数幂的运算性质”至P 53“思考”，完成下列问题． 1．有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )． (2)(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )． (3)(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 2．无理数指数幂无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 14b 13⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a －12b 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a －14b －23＝________. 【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 14b 13⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a －12b 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a －14b －23 ＝2×(－3)×(－4)a 14－12＋14b 13＋23＋23＝24b 53.【答案】24b 53[小组合作型](1)5(－2)5； (2)4⎝⎛⎭⎪⎫3－π24； (3)(x －y )2；(4)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9(－3<x <3)．【精彩点拨】 根指数是奇数的，直接开出结果，根指数是偶数的，先判断被开方数的底数的符号，如不能唯一确定，可分类表示．【自主解答】 (1)5(－2)5＝－2. (2)∵3－π<0，∴4⎝⎛⎭⎪⎫3－π24＝π－32. (3)(x －y )2＝|x －y |＝⎩⎨⎧x －y ，x ≥yy －x ，x <y .(4)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|.当－3<x <1时，|x －1|－|x ＋3|＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x <3时，|x －1|－|x ＋3|＝x －1－(x ＋3)＝－4. ∴x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9＝⎩⎨⎧－2x －2，－3<x <1－4，1≤x <3.1．正确区分n a n 与(na )n(1)(n a )n 已暗含了na 有意义，据n 的奇偶性可知a 的范围； (2)n a n 中的a 可以是全体实数，na n 的值取决于n 的奇偶性． 2．有条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．[再练一题]1．求值：3－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31－23＝________.【解析】 3－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31－23＝(2－1)2＋()1－2＝2－1＋1－2＝0.【答案】 0(1)a a (a >0)；(2)13x (5x 2)2；(3) (b >0)．【精彩点拨】 对于本题先把根式化为分数指数幂，再利用运算性质求解．【自主解答】 (1)原式＝＝a 34.(2)原式＝＝(3)原式＝1．当所要化简的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．2．关于式子na m＝a mn 的两点说明： (1)根指数n ↔分数指数的分母；(2)被开方数(式)的指数m↔分数指数的分子．3．通常规定分数指数幂的底数a ＞0，但像(－a )12＝－a 中的a 则需要a ≤0. 特点提醒：分数指数幂和根式是同一个数的两种不同书写形式．[再练一题] 2.化简x ·3x 2x ·6x的结果是( )A.x B ．x C ．1D ．x 2【解析】x ·3x 2x ·6x ＝x 12·x 23x ·x 16＝x 12＋23－1－16＝x 0＝1.故选C. 【答案】 C(1)0.064－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－870＋[](－2)3－43＋16－0.75； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12× (a >0，b >0)．【精彩点拨】指数幂的运算性质化简求值根式与分数指数幂的互化【自主解答】 (1)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(2)原式＝＝425a 0b 0＝425.利用指数幂的运算性质化简求值的方法1．进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．2．在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．3．对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．[再练一题]3．计算：＋(1.5)－2________.【导学号：97030075】【解析】 原式＝＝32－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝12.【答案】 12[探究共研型]探究1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2和⎝ ⎭⎪⎫a －1a 2存在怎样的等量关系？【提示】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＋4.探究2 已知a ＋1a的值，如何求a ＋1a 的值？反之呢？ 【提示】 设a ＋1a＝m ，则两边平方得a ＋1a ＝m 2－2；反之若设a ＋1a ＝n ，则n ＝m 2－2，∴m ＝n ＋2.即a ＋1a＝n ＋2.已知＝4，求下列各式的值：(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2.【精彩点拨】寻找要求值的式子与条件式＝4的联系，进而整体代入求值．【自主解答】(1)将＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.1．在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形、沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．2．在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．[再练一题]4．已知＝5，则＝________.【解析】因为＝a＋a－1＋2＝＋4＝5＋4＝9.又因为>0，所以＝3.【答案】 31．下列运算结果中，正确的是()A ．a 2a 3＝a 5B ．(－a 2)3＝(－a 3)2C ．(a －1)0＝1D ．(－a 2)3＝a 6【解析】 a 2a 3＝a 2＋3＝a 5；(－a 2)3＝－a 6≠(－a 3)2＝a 6；(a －1)0＝1，若成立，需要满足a ≠1；(－a 2)3＝－a 6，故选A.【答案】 A2．下列各式中成立的一项是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m 17 B.12(－3)4＝3－3 C.4x 3＋y 3＝(x ＋y )34D.39＝33【解析】 A 中应为⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m －7；B 中等式左侧为正数，右侧为负数；C 中x ＝y ＝1时不成立；D 正确．【答案】 D 3.a 3a ·5a 4(a >0)的值是( )A ．1B ．aC ．a 15D ．a 1710【解析】 原式＝a 3·a －12·a －45＝a 3－12－45＝a 1710. 【答案】 D4．计算：0.25×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－4－4÷20－⎝ ⎛⎭⎪⎫116－12＝________.【解析】 原式＝14×16－4÷1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1＝4－4－4＝－4.【答案】 －45．化简下列各式(式中字母均为正数)： (1)b 3aa 6b 6；(2)4x 14⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 14y －13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－6x －12y －23(结果为分数指数幂).【导学号：97030076】【解】 (1)b 3a a 6b 6＝b 32×a －12×a 64×b －64＝a . (2)4x 14⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 14y －13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－6x －12y －23 ＝2x 14＋14＋12y －13＋23＝2xy 13.。
