数值分析第七章上机题

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数值分析第

数值分析第7章答案第七章非线性方程求根一、重点内容提要（一）问题简介求单变量函数方程()0f x = (7.1)的根是指求*x （实数或复数），使得(*)0f x =.称*x 为方程(7.1)的根,也称*x 为函数()f x 的零点.若()f x 可以分解为()(*)()mf x x xg x =- 其中m 为正整数,()g x 满足()0g x ≠,则*x 是方程(7.1)的根.当m=1时,称*x 为单根;当m>1时,称*x 为m 重根.若()g x 充分光滑,*x 是方程(7.1)的m 重根,则有(1)()(*)'(*)...(*)0,(*)0m m f x f x f x f x -====≠ 若()f x 在[a,b]上连续且()()0f a f b <,则方程(7.1)在(a,b)内至少有一个实根,称[a,b]为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得. (二)方程求根的几种常用方法 1.二分法设()f x 在[a,b]上连续,()()0f a f b <,则()0f x =在(a,b)内有根*x .再设()0f x =在(a,b)内仅有一个根.令00,a a b b ==,计算0001()2x a b =+和0()f x .若0()0f x =则*x x =,结束计算;若00()()0f a f x >,则令10,1a x b b ==,得新的有根区间11[,]a b ;若00()()0f a f x <,则令10,10a ab x ==,得新的有根区间11[,]a b .0011[,][,]a b a b ⊂,11001()2b a b a -=-.再令1111()2x a b =+计算1()f x ,同上法得出新的有根区间22[,]a b ,如此反复进行,可得一有根区间套1100...[,][,]...[,]n n n n a b a b a b --⊂⊂⊂⊂且110011*,0,1,2,...,()...()22n n n n n n a x b n b a b a b a --<<=-=-==-. 故 1lim()0,lim lim ()*2n n n n n n n n b a x a b x →∞→∞→∞-==+= 因此,1()2n n n x a b =+可作为()0f x =的近似根,且有误差估计11|*|()2n n x x b a +-≤- (7.2)2.迭代法将方程式(7.1)等价变形为 ()x x ϕ= (7.3)若要求*x 满足(*)0f x =则*(*)x x ϕ=;反之亦然.称*x 为函数()x ϕ的一个不动点.求方程(7.1)的根等价于求()x ϕ的不动点由式(7.3)产生的不动点迭代关系式(也称简单迭代法)为1(),0,1,2...k k x x k ϕ+== (7.4)函数()x ϕ称为迭代函数.如果对任意1(),0,1,2...k k x x k ϕ+==,由式(7.4)产生的序列{}k x 有极限 lim *k k x x →∞= 则称不动点迭代法(7.4)收敛.定理7.1(不动点存在性定理)设()[,]x C a b ϕ∈满足以下两个条件: 1.对任意[,]x a b ∈有();a x b ϕ≤≤2.存在正常数1L <,使对任意,[,]x y a b ∈,都有|()()|||x y x y ϕϕ-≤- (7.5) 则()x ϕ在[,]a b 上存在惟一的不动点*x .定理7.2(不动点迭代法的全局收敛性定理)设()[,]x C a b ϕ∈满足定理7.1中的两个条件,则对任意0[,]x a b ∈,由(7.4)式得到的迭代序列{}k x 收敛.到()x ϕ的不动点,并有误差估计式1|*|||1k k k Lx x x x L --≤-- (7.6)和 1|*|||1kk k k L x x x x L --≤-- (7.7)定理7.3(不动点迭代法的局部收敛性定理)设*x 为()x ϕ的不动点,'()x ϕ在*x 的某个邻域连续,且|'()|1x ϕ<,则迭代法(7.4)局部收敛.收敛阶的概念设迭代过程(7.4)收敛于方程()x x ϕ=的根*x ,如果迭代误差*k k e x x =-当k →∞时成产下列渐近关系式1(0)k k e C C e +→≠常数 (7.8)则称该迭代过程是p 阶收敛的.特别地,p=1时称线性收敛,p>1时称超线性收敛,p=2时称平方收敛.定理7.4(收敛阶定理)对于迭代过程(7.4),如果()()K x ϕ在所求根*x 的邻近连续,并且(1)()'(*)''(*)...(*)0(*)0p p x x x x ϕϕϕϕ-====≠ (7.9)则该迭代过程在点*x 的邻近是收敛的,并有()11lim(*)!p k p k ke x e p ϕ+→∞= (7.10)斯蒂芬森(Steffensen)迭代法当不动点迭代法(7.4)只有线性收敛阶,甚至于不收敛时,可用斯蒂芬森迭代法进行加速.具体公式为21(),()()20,1,2,...k k k k k k k k k k ky x z y y x x x z y x k ϕϕ+==-=--+= (7.11)此法也可写成如下不动点迭代式12(),0,1,2,...(())()(())2()k k x x k x x x x x x x ψϕψϕϕϕ+==-=--+ (7.12) 定理7.5(斯蒂芬森迭代收敛定理) 设*x 为式(7.12)中()x ψ的不动点,则*x 是()x ϕ的不动点;设''()x ϕ存在,'(*)1x ϕ≠,则*x 是()x ψ的不动点,则斯蒂芬森迭代法(7.11)是2阶收敛的. 3.牛顿迭代法牛顿迭代法是一种特殊的不动点迭代法,其计算公式为其迭代函数为1(),0,1,2,...'()k k k k f x x x k f x +=-= (7.13)()()'()f x x x f x ϕ=-牛顿迭代法的收敛速度当(*)0,'(*)0,''(*)0f x f x f x =≠≠时,容易证明,'(*)0f x ≠,''(*)''(*)0'(*)f x x f x ϕ=≠,由定理7.4知,牛顿迭代法是平方收敛的,且12''(*)lim2'(*)k k k e f x e f x +→∞=(7.14) 重根情形的牛顿迭代法当*x 是()0f x =的m 重根(2)m ≥时,迭代函数()()'()f x x x f x ϕ=-在*x 处的导数1'(*)10x m ϕ=-≠,且|'(*)|1x ϕ<.所以牛顿迭代法求重根只是线性收敛.若*x 的重数m 知道,则迭代式1(),0,1,2,...'()k k k k f x x x mk f x +==-= (7.15)求重根二阶收敛.当m 未知时,*x 一定是函数()()'()f x x f x μ=的单重零点,此时迭代式1()()'()'()['()]()''()0,1,2,...k k k k k k k k k k x f x f x x x x x f x f x f x k μμ+=-=--= (7.16)也是二阶收敛的.简化牛顿法如下迭代法10(),0,1,2,...'()k k k f x x x k f x +=-=称为简化牛顿法或平行弦法.牛顿下山法为防止迭代不收敛,可采用牛顿下山法.具体方法见教材. 4.弦截法将牛顿迭代法(7.13)中的'()k f x 用()f x 在1k x -,k x处的一阶差商来代替,即可得弦截法111()()()()k k k k k k k f x x x x x f x f x ++-=--- (7.17)定理7.6假设()f x 在其零点*x 的邻域:|*|x x δ∆-≤内具有二阶连续导数,且对任意x ∈∆有'()0f x ≠,又初值01,x x ∈∆,,则当邻域∆充分小时,弦截法(7.17)将按阶1.618p =≈收敛到*x .这里p 是方程210λλ--=的正根.5.抛物线法弦截法可以理解为用过11(,()),(())k k k k x f x x f x ---两点的直线方程的根近似替()0f x =的根.若已知()0f x =的三个近似根k x ,1k x -,2k x -用过1122(,()),(,()),(,())k k k k k k x f x x f x x f x ----的抛物线方程的根近似代替()0f x =的根,所得的迭代法称为抛物线法,也称密勒(Muller)法. 当()f x 在*x 的邻近有三阶连续导数,'(*)0f x ≠,则抛物线法局部收敛,且收敛阶为 1.839 1.84p =≈.二、知识结构图10[1,2]1x x --=≤≤--∈3-3-6k k 32三、常考题型及典型题精解例7-1 证明方程x 在上有一个实根x*,并用二分法求这个根,要求|x -x*|10.若要求|x -x*|10,需二分区间[1,2]多少次?解设f(x)=x ,则f(1)=-1<0,f(2)=5>0,故方程f(x)=0在[1,2]上有根x*.又因f'(x)=3x -1,所以当x [1,2]时,f'(x)>0,即f (x)=0在[1,2]上有惟一实根x*.用二分法计算结果如表7-1所示.表7-1k ka kb kx ()k f x 的符号0 1 2 31 1 1.25 1.252 1.5 1.51.3751.51.25 1.375 1.3125+ - + -610x e -≤≤⨯≤≤≤≤≥∈-3-39910-6k k k+101此时x =1.3253满足|x -x*|0.9771010,可以作为x*的近2似值.1 若要求|x -x*|,只需|x -x*|10即可,解得k+119.932,2即只需把[1,2]二分20次就能满足精度要求.例7-2 已知函数方程(x-2)=1,(1)确定有根区间[a,b];(2)构造不动点迭代公式使之对任意初始近似x [a,b],31|10.k x ---<k 迭代方法均收敛;(3)用所构造的公式计算根的近似值,要求|x1lim lim x x x x x e e e e →+∞→-∞∞∞∞∈解 (1)令f(x)=(x-2)-1,由于f(2)=-1<0,f(3)=-1>0,因此区间[2,3]是方程f(x)=0的一个有根区间.又因f'(x)=(x-1),f(x)=+,f(x)=-1,f'(1)=--1<0,当x>1时f(x)单增,x<1时f(x)单减,故f(x)=0在(-,+)内有且仅有一根x*,即x*[2,3].2'k k x x x x x x e e e e e e e ϕϕϕ-----∈∈≤≤≤∀∈k+100k+1(2)将(x-2)=1等价变形为x=2+,x [2,3].则(x)=2+.由于当x [2,3]时2(x)3,|(x)|=|-|<1故不动点迭代法x =2+,k=0,1,2,...,对x [2,3]均收敛.(3)取x =2.5,利用x =2+进行迭代计算,结果如表7-2所示.表7-24 2.120094976.73cos 3120cos c k x x x x ϕ≈=--+=∈≤4k+10-30k+1k+1k 此时x 已满足误差要求,即x*例考虑求解方程2的迭代公式2x =4+,k=0,1,2,...3(1)试证:对任意初始近似x R,该方法收敛;(2)取x =4,求根的近似值x ,要求|x -x |10;(3)所给方法的收敛阶是多少?2解 (1)由迭代公式知,迭代函数(x)=4+3{}os ,(,).|'sin |1(,)x x x ϕϕϕ∈-∞+∞≤<-∞+∞∀∈0k 022由于(x)的值域介于(4-)与(4+)之间,且3322(x)|=|-33故根据定理7.1,7.2知,(x)在内存在惟一的不动点x*,且对x R,迭代公式得到的序列x 收敛于x*.(2) 取x =4,迭代计算结果如表7-3所示.表7-3此时5x 已满足误差要求，即5* 3.347529903x x ≈=（3）由于'(*)0.1363231290x ϕ≈≠，故根据定理7 .4知方法是线性收敛的，并且有1lim'(*)k k k e x e ϕ+→∞=。

研究生数值分析上机试题及解答

东华大学研究生数值分析试题（上机部分）A 卷2008年12月时间：60分钟班级学号机号姓名得分注意：要求写出M 函数（如果需要）、MATLAB 命令和计算结果。

1. 求下列方程组在0<α, β<1中的解⎩⎨⎧-=+=βαββααsin 2.0cos 7.0cos 2.0sin 7.0 命令fun=inline('[x(1)-0.7*sin(x(1))-0.2*cos(x(2)),x(2)-0.7*cos(x(1))+0.2*sin(x(2))]','x'); [x,f,h]=fsolve(fun,[0.5 0.5]) 结果α=0.5265，β=0.50792命令>> fun=inline('c(1)+c(2)*x.^2','c','x'); >> x=[1.1 1.3 1.4 1.6 1.8]; >> y=[26 22 23 24 25];>> c=lsqcurvefit(fun,[0 0],x,y) 结果 c =23.7256 0.12873．求解下列微分方程组2(0)2013(0)1x x yx t y x yy '=-=⎧<<⎨'=+=⎩(结果只要求写出t =1时的解) 命令>> fun=inline('[y(1)-2*y(2);3*y(1)+y(2)]','t','y'); >> [t,y]=ode45(fun,[0 1], [2 1]) 结果x(1)=-5.6020, y(1)=2.15634．用定步长Gauss 积分法(课本123页)计算积分31e ln(1)x x dx -+⎰的近似值（等分数取4，每段取2个Gauss 点）。

命令fun=inline('exp(-x).*log(1+x)','x'); nagsint(fun,1,3,4,2) 结果 0.30865．矩阵改进平方根分解(课本25页)的计算公式为: d 1=a 11, 对i =2, 3, ⋯, n ,iki k ik ii i j ij ij j k jk ik ij ij l s a d i j d s l l s a s ∑∑-=-=-=-==-=1111,1,,2,1 ,/ ,试编写矩阵改进平方根分解的程序，并求矩阵1111551514A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的改进平方根分解。

完整版数值分析第7章答案

1数值分析第七章第七章非线性方程求根一、重点内容提要（一）问题简介求单变量函数方程f(x)?0(7.1)f(x*)?0x*x*x*为也称为方程的根是指求(7.1).（实数或复数），使得称的根,m f(x)?(x?x*)g(x)f(x)f(x)函数的零点.若可以分解为g(x)g(x)?0x*x*为单称m=1满足时,是方程(7.1)的根.,则当其中m为正整数,g(x)x*x*是方程(7.1)的m称,充分光滑,为m重根.若重根,则有根;当m>1时(m?1)(m)f(x*)?f'(x*)?...?f(x*)?0,f(x*)?0f(x)f(a)f(b)?0,则方程(7.1)在(a,b)[a,b]若上连续且内至少有一个实根,称在[a,b]为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得.(二)方程求根的几种常用方法1.二分法f(x)f(a)f(b)?0f(x)?0f(x)?0*x在上连续,再设内有根,则设.在(a,b)在[a,b]1x?(a?b)a?a,b?bf(x)f(x)?0000计算和.,若则(a,b)内仅有一个根.令20000a?xb?b[a,b])f(a)f(x?0x*?x;,则令,结束计算;若若得新的有根区间,10,11001a?ab?x0)?(f(a)fx,得新,则令的有根区间0110,0011b?a?(b?a)x?(a?b)[a,b][a,b]?[a,b]f(x)0101111再令计算,.,.同上法得221110101[a,b],如此反复进行出新的有根区间,可得一有根区间套22...?[a,b]?[a,b]?...?[a,b]001?n1?nnn2数值分析第七章11a?x*?b,n?0,1,2,...,b?a?(b?a)?...?(b?a)0n0?1nnn?1nn且. 221lim(b?a)?0,lim x?lim(a?b)?x* nnnnn故2????n??nn1x?(a?b)f(x)?0nnn的近似根,可作为,且有误差估计因此21(b?a)|x?x*|?n1?n(7.2)22.迭代法?(x?)x等价变形为将方程式(7.1) (7.3)??(x*)?)(xf(x*)?0x**xx*的一个不动点为函数.;反之亦然则.若要求称满足?(x)的不动点由式(7.3)产生的不动点迭代关系式(也求方程(7.1)的根等价于求称简单迭代法)为?(x),k?0,1,2...x?(7.4)k1?k?(x),k??x0,1,2...?(x)称为迭代函数.函数如果对任意,由式(7.4)产生的序列??x有极限kk??k则称不动点迭代法(7.4)收敛.kk?1x?x*lim?(x)?C[a,b]满足以下两个条件: 定理7.1(不动点存在性定理)设?(x)??b;x?[a,b]a有1.对任意??(y)|?|x?y|?,y[a,b]|(x)?x 2.存在正常数使对任意, ,都有(7.5)1?L?(x)[a,b]x*.则在上存在惟一的不动点?(x)?C[a,b]满足定理7.2(定理不动点迭代法的全局收敛性定理)设7.1中的两个??x]b,?x[a?(x)并条件,由,(7.4),的不动点式得到的迭代序列则对任意到.收敛k0有误差估计式3数值分析第七章L|x?*|?x||x?x1kkk?(7.6)L1?k L|x?x*|?|x?x|1?kkk L1?(7.7)和??'(xx))(xx**的某,为设在的不动点定理7.3(不动点迭代法的局部收敛性定理)?'(x)|?|1,则迭代法(7.4)局部收敛个邻域连续,且.?(xx?)x*,的根如果迭代误差收敛阶的概念设迭代过程(7.4)收敛于方程e?x?x*k??时成产下列渐近关系式当kk e k?1?C(常数C?0)e(7.8) k则称该迭代过程是p阶收敛的.特别地,p=1时称线性收敛,p>1时称超线性收敛,p=2时称平方收敛.(K)?(x)x*的邻近连续,并定理7.4(收敛阶定理在所求根)对于迭代过程(7.4),如果且(p?1)???(x*)?...?*)?'(x*)?0''(x(p)?(x*)?0(7.9)*x的邻近是收敛的,则该迭代过程在点并有e1)(p?1k?*)x?lim(p!ep??k (7.10)k斯蒂芬森(Steffensen)迭代法当不动点迭代法(7.4)只有线性收敛阶,甚至于不收敛时,可用斯蒂芬森迭代法进行加速.具体公式为??(y?)(x),zy?kkkk2)?x(y kk x?x?kk?1z?2y?x kkk k?0,1,2,...(7.11)4数值分析第七章此法也可写成如下不动点迭代式?(x),kx??0,1,2,...kk?12?)?x(x)(?(x)?x????(x)?2?(x(x))(7.12)?(x)x**x是为式(7.12)中则的不动点7.5(定理斯蒂芬森迭代收敛定理)设,?(x)???1*)''(x)?'(x(x)*x的不动点,存在,的不动点;设则,则斯蒂芬森迭代法是(7.11)是2阶收敛的.3.牛顿迭代法牛顿迭代法是一种特殊的不动点迭代法,其计算公式为f(x)k,x?k?0,1,2,...?x k?k1)xf'(其迭代函数为(7.13)k f(x)??(x)?x f'(x)f(x*)?0,f'(x*)?0,f''(x*)?0时牛顿迭代法的收敛速度当,容易证f''(x*)??0*)?''(x 0'(x*)?ff'(x*),由定理,明,7.4知,牛顿迭代法是平方收敛的,且ef''(x*)1?k?lim2*)f'(ex2??k(7.14)k f(x)?0(m?2)*x时,迭代函数的m重顿重根情形的牛迭代法当根是f(x)1??x)?(x?'(x*)?1??0?'(x*)|?1|)xf'(*x.所以牛顿迭代法求处的导数在,且m x*的重数m知道,重根只是线性收敛.若则迭代式f(x)k,k?0,1,2,...??xx?m kk?1)'(xf(7.15)k f(x)??x()f'(x)*x此时迭代式,的单重零点一定是函数,未知时m当.求重根二阶收敛5数值分析第七章?(x)f(x)f'(x)kkk?xx??x?kk?1k?)f''(x)x)]?f(x'(x)[f'(kkkk k?0,1,2,...(7.16)也是二阶收敛的.f(x)k,?k?0,1,2,...x?x k1k?)xf'(如下迭代法简化牛顿法0称为简化牛顿法或平行弦法.牛顿下山法为防止迭代不收敛,可采用牛顿下山法.具体方法见教材.4.弦截法f'(x)xxf(x)在,处的一阶差商来代替,将牛顿迭代法(7.13)中的即可得弦用kkk?1截法f(x)k(xx?x??x)1kk?1k?k f(x)?f(x)(7.17)??x*|:|x??*x内具有二阶连续导数,的邻域在其零点定理7.6假设且对任1kk?)(xfx,x??10f'(x)?0?x?,又初值,,意则当邻域充分小时,有弦截法(7.17)将按阶?1?5?p?1.6182???1?0?*x2的正根收敛到是方程..这里p5.抛物线法(x,f(x)),(x?f(x))两点的直线方程的根近似替弦截法可以理解为用过kk?1kk?1xxx0x)?(fx)?0f(用,过三若的根.已知个近似根,的2kk?1k?(x,f(x)),(x,f(x)),(x,f(x))f(x)?0的根,的抛物线方程的根近似代替2??k?k121k?kkk所得的迭代法称为抛物线法,也称密勒(Muller)法.f(x)f'(x*)?0*x,则抛物线法局部收敛当,在,的邻近有三阶连续导数且收敛阶p?1.839?1.84. 为数值分析第七章二、知识结构图三、常考题型及典型题精解3上有一个实根x*,并用二分法2]在[1,?1?例7-1 证明方程x0?x-6-3,需二分区间[1,2]10.若要求|x-x*|?求这个根,要求|x-x*|?10kk多少次?3在[1,2],则f(1)=-1<0,f(2)=5>0,故方程f(x)=0x?解设f(x)=x1?2在[1,2]时,f'(x)>0,即f(x)=0-1,所以当x?上有根x*.又因f'(x)=3x上有惟一实根x*.用二分法计算结果如表7-1所示.[1,2]7-1表k abxf(x)的符号kkkk+ 2 0 1 1.5- 1.5 1 1 1.25+ 2 1.25 1.51.3751.3125 3 1.251.375 -1.375 1.3438 1.3125 4 +1.312551.3282+1.1341.3125-861.32041.32041.32827-1.32431.32431.32821.3263+87数值分析第七章9 1.3243 1.3282 1.3253 +1.32631-3-3,可以作为x*的近??10此时x=1.3253满足|x-x*|?10?0.97799102似值.1-6?6,只需|x10-x*|?-x*|即可,解得k+1?19.932, 若要求|x?10?kkk+12即只需把[1,2]二分20次就能满足精度要求.x=1,(1)确定有根区间[a,b];(2)构造不动e例7-2 已知函数方程(x-2)点迭代公式使之对任意初始近似x?[a,b],迭代方法均收敛;(3)用所构0?3.|?10造的公式计算根的近似值,要求|x?x1k k?xx因此区间[2,3]0,e解 (1)令f(x)=(x-2)-1>-1,由于f(2)=-1<0,f(3)=e x x)=-1,f(,lim,lim f(x)=+?是方程f(x)=0的一个有根区间.又因f'(x)=(x-1)e???xx???1-1<0,当x>1时f(x)单增,x<1时f(x)单减,故f(x)=0在(-?,+?)内f'(1)=-e有且仅有一根x*,即x*?[2,3].x?xx?.由于当?将(x-2)e[2,3].则=1等价变形为x=2+ee(x)=2+,x(2)2??x??<1'(x)|=|-e?e[2,3]x?时2?|(x)?3,|x?[2,3]均收敛.??故不动点迭代法x=2+e x,k=0,1,2,...,对k0k+1x?进行迭代计算,结果如表7-2所示.e(3)取x=2.5,利用x=2+k k+10表7-28数值分析第七章此时x已满足误差要求,即x*?x?2.120094976.44例7?3考虑求解方程2cos x?3x?12?0的迭代公式2 x=4+cos x,k=0,1,2,...k k+13(1)试证:对任意初始近似x?R,该方法收敛;0-3;10-x|?(2)取x=4,求根的近似值x,要求|x k0k+1k+1(3)所给方法的收敛阶是多少?2?(x)=4+cos x,解 (1)由迭代公式知,迭代函数322?(x)的值域介于(4-)与(4+由于)之间,且(??,??).x?3322?'(x)|=|-sin x|??1|33?(x)在(??,??)内存在惟一的故根据定理7.1,7.2知,??收敛于x*.x?x?R,迭代公式得到的序列不动点x*,且对k0(2) 取x=4,迭代计算结果如表7-3所示.0表7-3x*?xx?3.347529903已满足误差要求，即此时55?'(x*)?0.136323129?0，故根据定理7 .4）由于（3知方法是线性收敛的，并e?1k?'(x?*)lim e??k。

数值分析上机第七章+第九章

数值分析第三次上机实验报告学院班级：学生学号：学生姓名：同作者:实验日期：1.实验题目： P232 3.(1) 一、实验目的：设f(x)=1/x,(1)求f(x)在[1,2] 上的零次和一次最佳一致逼近多项式。

(2)求f(x)在[1,2] 上的零次和一次最佳平凡逼近多项式。

二、实验环境：1.matlab2014b/macOS Seirra2.G 楼机房三、实验内容及实验原理：1.零次最佳逼近多项式原理1: ()()02M m P x +=所以f(x)=1/x 在[1,2]上的零次最佳一致逼近多项式()01132P 24x +== 原理2：()()()0000,,f P x ϕϕϕ=()101P x a a x =+f(x)=1/x 在[1,2]上的零次最佳平方逼近多项式()()()210020011,ln 2,dx f x P x dxϕϕϕ===⎰⎰ 2. 一次最佳逼近多项式 (1)一次最佳一致逼近多项式：解：21'()f x x =- ，32''()0f x x =>∴ 1，2为交错点，设101P ()x a a x =+111()()12212f b f a a b a --===---且由112111'(),2f x x x =-=-=1111(1()()()322224f a f x a a xa-+++ =-==故得131P()42x x+=-(2)一次最佳平方逼近多项式解：设10101P(),1,x c c x xϕϕ=+==001000011111(,)(,)(,)=(,)(,)(,)c fc fϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦由0111,,x fxϕϕ===得：2001(,)1dxϕϕ==⎰221117(,)3x dxϕϕ==⎰2100113(,)(,)2xdxϕϕϕϕ===⎰2011(,)ln2f dxxϕ==⎰211(,)1f dxϕ==⎰得到法方程组：01013ln2237123c cc c⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解之得：**01c8.9782,c0.4766==1P()8.97820.4766x x∴=+四、实验结果及其分析:经拟合结果无误。

数值分析第七章习题

郑州大学研究生课程（2010-2011学年上学期）数值分析Numerical Analysis- 1 -第七章习题1. 应用对分法求三次方程324100x x +−=在区间[1，2]上的实根，并做误差估计. 2. 若应用对分法求方程sin02xxe π−=在区间[0，1]上误差不超过512的近似根，应对分几次？3. 求方程324100x x +−=在区间[1，2]上的根，并构造如下2个迭代格式:(1) 121110()()4k k kx x x ϕ+==+(2) 3212()410k k k k k x x x x x ϕ+==−−+试判定迭代格式的收敛性，对收敛的格式求近似根，并给出误差估计. 4. 试用迭代的方法证明函数()xf x e −=满足积分方程0()1()xf x f t dt =−∫.5.用不动点迭代法计算s =的近似值.6. 确定求230xx e −=正根的不动点迭代的收敛区间[],a b ，并求出满足4110k k x x −+−<的近似值1k x x +∗=，若要求近似值的误差410ε−≤，应迭代几步？7.6位有效数字.8. 用双点割线法求方程32210200x x x ++−=的根，要求6110k k x x −+−<. 9. 设x a =是()x a ϕ=在区间[],a b 上的不动点，试证：（1）当[]1,C a b ϕ∈且'()0a ϕ≠时，不动点迭代1()n n x x ϕ+=有线性收敛速度；（2）当[]2,C a b ϕ∈且'()0a ϕ=而''()0a ϕ≠，不动点迭代1()n n x x ϕ+=至少有平方收敛速度.10. 设方程1232cos 0x x −+=有迭代式124cos 3k k x x +=+（1）试证：对任意初值0x ，迭代序列{}n x 收敛；（2）取迭代初值04x =，求该方程在误差不超过310−的近似根；（3）此迭代法的收敛阶是多少？证明所得结论.。

数值分析_第七章_解线性方程组的直接解方法.

因‖R０‖＜１，故lim‖R０‖k→∞２k＝０．则２k‖Rk‖≤‖R０‖→０（k→∞），－１即Rk→０（k→∞）．Rk＝I－ACk，故当Rk→０时，Ck→A．四、习题１畅用Gauss消去法解方程组２x１＋x２＋x３＝４，３x１＋x２＋２x３＝６，x１＋２x２＋２x３＝５．２畅（１）设A是对称矩阵且a１１≠０，经过Gauss消去法一步后，A约化为a１１０证明A２是对称矩阵．（２）用Gauss消去法解对称方程组０畅６４２８x１＋０畅３４７５x２－０畅８４６８x３＝０畅４１２７，０畅３４７５x１＋１畅８４２３x２＋０畅４７５９x３＝１畅７３２１，－０畅８４６８x１＋０畅４７５９x２＋１畅２１４７x３＝－０畅８６．３畅（１）用表达式（７畅４）证明其中aij＝aij．（１）a１TA２．aij＝aij－li１a１j－li２a２j－…－li，k－１ak－１，j，i，j≥k，（k）（１）（１）（２）（k－１）（r）（２）使Gauss消去法中arj＝urj（j≥r），利用（１）证明urj＝arj－k∑lrkukj（j＝r，r＋１，…，n），＝１lir＝（air－k∑likukr）／urr（i＝r＋１，…，n）．＝１４畅设方程组x１＋２x２＋３x３＝１，５x１＋４x２＋１０x３＝０，３x１－０．１x２＋x３＝２．r－１r－１３１８（１）试用Gauss全主元消去法求解．（２）试用Gauss列主元消去法求解．５畅设A为n阶非奇异矩阵且有分解式A＝LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，求证A的所有顺序主子式均不为零．２，…，n－１）时，则有６畅由Gauss消去法证明：当Δi≠０（i＝１，A＝LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵．７畅设A为n阶矩阵，若｜aii｜＞j∑｜aij｜（i＝１，２，…，n），则称A＝１j≠in为对角优势矩阵．试证明：设A是对角优势矩阵，又设经过Gauss消去法一步后，A具有形式a１１０α１TA２，则A２是对角优势矩阵．且由此推断：对于对称的对角优势矩阵，用Gauss消去法和部分（列）主元Gauss 消去法可得到同样的结论．８畅设Lk为指标是k的初等下三角矩阵，即１筹Lk＝１mk＋１，k…mnk１筹１．（除第k列对角元下元素外，Lk与单位阵I相同）求证当i，j＞k时，L珟k＝IijLkIij也是一个指标为k的初等下三角矩阵，其中Iij 为初等排列矩阵．９畅试推导矩阵A的Crout分解的计算公式：A＝LU，其中L为下三角矩阵，U 为单位上三角矩阵．１０畅设UX＝b，其中U为三角矩阵．（１）就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式．（２）计算解三角形方程组UX＝b的乘除法次数．３１９（３）设U为非奇异矩阵，试推导求U３２３T－１的计算公式．１１畅用平方根法（Cholesky分解）解方程组２２０３５９１－２１０３０１２５９１７０１－２１－２A＝－４－６４１８２x１x２x３x１x２x３００１－２８－１６．－２０，b＝５＝３．７１０＝１６．３０１１０－１－１１２畅用LDL分解法解方程组３３５－２A＝１００１３畅用追赶法解三对角方程组AX＝b，其中．１４畅求矩阵A的LU分解，并利用分解结果计算A．１５畅下述矩阵能否分解为A＝LU，其中L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵．若能分解，那么分解是否唯一？１A＝２４２４６３７０．６０．１０．５０．３１３１２３１１１６２５１５６１５．４６１，B＝２１，C＝２１６畅设A＝F唱范数．１７畅求证：，计算A的行范数、列范数、２唱范数及（１）‖X‖∞≤‖X‖１≤n‖X‖∞，３２０（２）‖A‖F≤‖A‖２≤‖A‖F．n×n１８畅设P∈R范数．定义且为非奇异矩阵，又设‖X‖为R上一向量‖X‖P＝‖PX‖．n试证明‖X‖P是R上向量的一种范数．１９畅设X∈R，X＝（x１，x２，…，xn），求证：p→∞nTn２０畅证明：当且仅当与Y线性相关且XY≥０时，才有Tlim（i∑｜xi｜＝１np）１＝１max｜xi｜＝‖X‖∞．≤i≤n‖X＋Y‖２＝‖X‖２＋‖Y‖２．２１畅设A∈Rn×n，求证特征值相等λ（AA）＝λ（AA）．TT２２畅证明：如果A＝（α１，α２，…，αn）是按列分块的，则‖A‖２F＝‖α１‖２＋‖α２‖２＋…＋‖αn‖２．２２２－１２３畅证明：如果‖B‖＜１，则‖I－（I－B）‖≤‖B‖．２４畅证明：对任何矩阵算子范数有‖I‖＝１（其中I是单位矩阵），‖A‖‖A－１‖≥１．nj≠i２５畅（１）如果A是对角优势矩阵，即｜aii｜＞j∑｜aij｜（i＝１，２，＝１…，n），证明aii≠０（i＝１，２，…，n）．（２）设A为对角优势矩阵，使A＝DB，其中D＝diag（aii），证明B＝I－C，其中‖C‖∞＜１，因此由定理（７畅１６），A是非奇异阵．（３）证明：如果应用Gauss消去法解对角优势方程组，则所有元素akk≠０．（k）２６畅设‖A‖s、‖A‖t为任意两种R明存在常数c１、c２＞０，使n×n上矩阵算子范数，证n×nc１‖A‖s≤‖A‖t≤c２‖A‖s（对一切A∈R）．３２１２７畅设A＝１００９９９９９８，计算A的条件数cond（A）ν（ν＝２，∞）．２８畅证明：如果A是正交阵，则Cond（A）２＝１．２９畅设A，B∈Rn×n且‖·‖为Rn×n上矩阵的算子范数，证明TT３０畅设A为对称正定矩阵，且其分解为A＝LDL＝WW，其中W＝L，求证：T１Cond（A·B）≤Cond（A）·Cond（B）．（１）cond（A）２＝（cond（W）２）．２（２）cond（A）２＝cond（W）２·cond（W）２．３１畅设对称正定矩阵A＝试计算‖A－１T２－１－１２，λ２，且找出b１‖２＝１／λ，‖A‖２＝λ２及cond２（A）＝（常数）及扰动δb，使‖δb‖２‖δX‖２＝cond２（A）．２２３２畅求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计‖δX‖．２４０－１７９２４０－１７９畅５－３１９２４０２４０x１x２＝x１x２３４＝，即AX＝b，３４，即（A＋δA）（X＋δX）＝b．－３１９畅５３３畅已知Hilbert矩阵３２２１H３＝１１T１＝b时，若H３及b有微小误‖δX‖∞．∞７畅０００３－７T．（１）计算H３的条件数cond∞（H）．１１１３４７（２）解方程H３X＝差（取３位有效数字），估计解X的误差３４畅设A＝２畅０００１－２－１１，b＝，已知方程组AX＝b的精确解为X＝（３，－１）．（１）计算条件数cond∞（A）．计算剩余r＝b－AX珚．（２）若近似解X珚＝（２．９７，－１．０１），（３）利用定理７畅２０计算不等式右端，并与不等式左端比较，此结果说明什么？３５畅填空题（１）X＝（２，３，－４），则‖X‖１＝，‖X‖２＝，‖X‖∞TT＝．１－３２－１０２０１，则‖A‖１＝，ρ（A）＝．０－１则cond２（A）＝．２０a，为使A可分解为A＝LL，其中L为３２３T（２）A＝－１２－１１２（３）A＝（４）设A＝１０a２对角线元素为正的下三角形矩阵，a的取值范围，取a＝１，则L＝．五、习题解答１畅解为消去第２、３两个方程中的x１，取l２１＝，l３１＝．将第２个方程减去－l２１倍的第１个方程，第３个方程减去－l３１倍的第１个方程，得２x１＋x２＋x３－＝４，x２＋x３＝０，x２＋x３＝３．为消去第３个方程中的x２，取l３２＝－３．将第３个方程减去－l３２倍的第２个方程，得三角方程组２x１＋x２＋x３＝４，－１１x２＋x３＝０，３x３＝３．回代，算出方程组的解x３＝３／３＝１，x２＝０－１x３（１）－１＝１，x１＝（４－x２－x３）／２＝１．２畅解（１）记A＝（aij）＝（aij）．经Gauss消元一步后，A２的元素为a（２）ij（１）＝a（１）ij（１）i１（１）－a１j．１１（１）（１）（１）因A是对称的，所以有aij＝aji，ai１＝aj１，于是有３２４a故A２是对称的．（２）ij＝a（１）jij１（１）（２）－a１i＝aji．１１（１）（２）用Gauss消去法求解所给对称方程组，得X＝（４畅５８６０３５，－０畅６３１５２２８，２畅７３５１９９）．倡T ３畅解（１）因aij＝aij（k）（k－１）－li，k－１ak－１，j，（k－１）而故aij＝aij（k）（k－２）（１）aij（k－１）＝aij（k－２）－li，k－２ak－２，j，（k－２）（k－１）－li，k－２ak－２，j－li，k－１ak－１，j＝…（k－２）（１）（２）（k－２）（k－１）＝aij－li１a１j－li２a２j－…－li，k－２ak－２，j－li，k－１ak－１，j，i，j≥k．（２）由（１）有urj＝a又０＝air由此解出（r＋１）（r）rj＝arj－k∑lrkakj（j＝r，r＋１，…，n）．＝１（k）r－１＝air－li１u１r－li２u２r－…－lirurr．lir＝likukrair－k∑＝１rrr－１．４畅解（１）选主元为１０，将第一行与第二行交换，第１列与第３列交换，得１０x３＋４x２＋５x１＝０，３x３＋２x２＋x１＝１，x３－０．１x２＋３x１＝２．消去第２、３方程中的x３，得１０x３＋４x２＋５x１＝０，０畅８x２－０．５x１＝１，－０．５x２＋２．５x１＝１．第２次选的主元为２畅５．将上述第２个方程与第３个方程交３２５换，第２列与第３列交换，得１０x３＋５x１２畅５x１消去第３方程中的未知数x１，得１０x３＋５x１＋４x２＝０，２畅５x１－０．５x２＝２，０．７x２＝１．４．回代求得，x２＝２，x１＝１．２，x３＝－１．４．得（２）列主元为５，将第１行与第２行交换，再消去x１，５x１＋４x２＋１０x３＝０，１畅２x２＋x３＝１，－２．５x２－５x３＝２．列主元为－２．５，将第２行与第３行交换，再消去x２，得５x１＋４x２＋１０x３＝０，－２畅５x２－５x３回代求得x３＝－１．４，x２＝２，x１＝１．２．５畅证设A、L、U的k阶顺序主子矩阵分别为Ak、Lk、Uk（k＝１，２，…，n），显然Ak＝LkUk．由A＝LU分解的定义可知，L１U的各阶顺序主子式均不为零，即故det（Lk）＝１，det（Uk）≠０．det（Ak）＝det（Lk）det（Uk）≠０，k＝１，…，n，＝２，－１畅４x３＝１畅９６．＋４x２＝０，－０．５x２＝２，－０．５x１＋０．８x２＝１．即A的各阶顺序主子式均不为零．（i）６畅证因Δi≠０，（i＝１，２，…，n－１）（Δi是i阶顺序主子式），所以aii≠０（i＝１，２，…，n－１），则Gauss消去法可进行到底，即存３２６在指标为i的初等下三角阵Li，使Ln－１Ln－２…L１A＝U，故A＝L１其中L＝L１－１－１－１（２）－１…Ln－２Ln－１U＝LU，－１－１…Ln－２Ln－１为下单位三角阵，U是上三角阵．aij＝aij－（２）７畅证记A２＝（aij），则有i１a１j．１１nj≠in又A是对角优势矩阵，可知｜aii｜＞j∑｜aij｜，i＝１，２，…，n．故＝１∑｜a｜＝j∑j＝２＝２（２）ijj≠innnj≠ii１aij－a１j１１≤j∑｜aij｜＋j∑＝２＝２j≠i｜ai１｜｜a１j｜１１j≠in｜aij｜n∑｜a１j｜＝j∑｜aij｜－｜ai１｜＋＝１１１j＝２j≠ij≠i≤｜aii｜－＝｜aii｜－≤｜aii｜－≤aii－ni１（｜a１１｜－j∑｜a１j｜）＝２１１j≠ini１（｜a１１｜－j∑｜a１j｜＋｜a１i｜）＝２１１ni１｜a１i｜（｜a１１｜－j∑｜a１j｜＞０．）＝２１１i１（２）a１i＝｜aii｜（i＝２，…，n）．１１即A２也是对角优势矩阵．若A是对角优势矩阵，经Gauss消元一步后．A→A（２）＝a１１０αTA２．由上述证明及第２题结论知，A２仍是对角优势矩阵，即｜a｜＞j∑｜aij｜（i＝２，…，n）．＝２（２）ii（２）j≠in由对称性也有３２７｜a｜＞i∑｜a｜＝i∑｜aij｜，（j＝２，…，n）．＝２＝２（２）jj（２）ji（２）i≠ji≠jnn这正好与Gauss顺序消去而第二步消元前所选列主元应为a２２，（k）法的主元相同．以此类推第k次所选主元就是akk，所以用Gauss （２）顺序消去法和列主元消去法得到同样的结果．８畅证因１筹Lk＝１mk＋１，k…mnk０，１，０，…，０）．故ek＝（０，…，T第k列＝I－lkek．筹１TT其中I是单位阵，lk＝（０，…，０，－mk＋１，k，…，－mik，…，－mn，k），L珟k＝IijLkIij＝Iij（I－lkek）Iij＝IijIIij－（Iijlk）（ekIij）＝I－lkek′TTT仍是指标为k的初等下三角阵，其中lk＝（０，…，０，－mk＋１，k，…，mjk，…，－mik，…，－mnk）．′T９畅解设A＝LU，即a１１a１２…a１na２１a２２…a２n…………an１an２…ann根据矩阵乘法，有ai１＝li１u１１＝li１，i＝１，…，n，a１j＝l１１u１j，得u１j＝３２８a１j，j＝２，…，n．１１＝l１１l２１l２２……筹ln１ln２…lnn１u１２１…u２３筹……筹筹u１nu２n…un－１，n１．现设L的前k－１列与U的前k－１行已算好，因akk－１ik＝r∑＝１lirurk＝r∑＝１lirurk＋likukk（i＝k，…，n，ukk＝１），k－１所以lik＝aik－r∑＝１lirurk（i＝k，…，n）．同样akk－１kj＝r∑＝１lkrurj＝r∑＝１lkrurj＋lkkukj（j＝k＋１，…，n），k－１kj所以u－r∑＝１lkrurjkj＝akk，j＝k＋１，…，n．综上，Crout分解公式li１＝ai１，i＝１，２，…，n，u１j＝a１j／l１１，j＝２，…，n，lk－１ik＝aik－r∑＝１lirurk，i＝k，…，n，uk－１kj＝（akj－r∑＝１lkrurj）／lkk，j＝k＋１，…，n．１０畅解（１）设U为上三角阵，则有u１１……u１nx１b１u２２…u２nx２筹……＝b２…．unnxnbn由unnxn＝bn，得xn＝bn／unn．一般地，由uiixi＋ui，i＋１xi＋１＋…＋uinxn＝bi，得nxbi－j＝∑ijxji＝ui＋１ii（i＝n－１，n－２，…，１）．当U是下三角矩阵时，有３２９u１１u２１…un１u２２…un２筹…unnx１x２ (x)n＝b１b２…bn．由u１１x１＝b１，得x１＝b１／u１１．一般地，由ui１x１＋ui２x２＋…＋uiixi＝bi，i＝２，…，n，得xi＝（bi－j∑uijxj）／uii，i＝２，…，n．＝１（２）乘法次数，对固定的i有n－i次，i从１到n，所以总乘法次数R （n－i）＝i∑i＝R＝i∑＝１＝１除法次数D，D＝n．＋n故总的乘除法次数＝＋n＝．２nn－１i－１．（３）设Uu１１…筹－１＝V，这里V也是上三角阵，即u１n…unnv１１…筹v１n (v)nnj１＝UV＝１筹１．V按行计算，i＝n－１，…，１，vij＝－k＝i＋１∑uikvkjii，j＝i＋１，…，n．vii＝，i＝１，２，…，n．ii２２３＝２＞０，Δ３＝２３２２０３０１２＞０．１１畅解因系数矩阵顺序主子式Δ１＝３＞０，Δ２＝３２且系数矩阵对称，故为正定方程组．按照算法（７畅９）得３３０l１１＝，l２１＝２／，l３１＝，l２２＝则有３２３２２０３０１２由２／得再由２／y１＝－y１y２y３５＝３，７＝２／－２／－．，l３２＝－，l３３＝．５１１，y２＝－，y３＝．x１x２x３＝５／－１／，１／－得x３＝１１，x２＝，x１＝１．１２畅解此方程组的系数矩阵为对称正定矩阵，因此可用改进的平方根法，用算式（７畅１１）得到d１＝a１１＝３，t２１＝a２１＝３，l２１＝d２＝a２２－t２１l２１＝５－３＝２，t３２＝a３２－t３１l２１＝９－１＝８，l３２＝t２１３＝＝１，１３１５＝，１t３１＝a３１＝５，l３１＝３２８２＝＝４，d３＝a３３－t３１l３１－t３２l３２＝．２３３１１则A＝LDL＝T３１２１１１５／３２．１５／３２１２／３１由LY＝b，即１y１１０１１y２＝１６，５／３２１y３３０得y１＝１０，y２＝６，y３＝４／３．再解DLTX＝Y，得x３＝２，x２＝－１，x１＝１．１３畅解设－２１００１u１d１１－２１０l２１u２d２０１－２１＝l ３１u３００１－２l４１由分解公式（７畅１５）计算得d１＝１，d２＝１，d３＝１，u１＝－２，l２＝－１，u２＝－３，l３＝－２，u３＝－４，l４＝－３，u４＝－５．由公式（７畅１６）解１y１１－１１LY＝b＝痴y２１－２１y＝３０，－１y４－１得y１＝１，y２＝３，y３＝１，y４＝－１．再由公式（７畅１７）解３３２d３．u４－２UX＝Y痴１－x１１－４１－x２x３＝１３１，１－x４１３７６得x４＝，x３＝－，x２＝－，x１＝－．１４畅解由矩阵的三角分解公式（７畅６），计算得１－２４８A＝LU＝２１０１０－３２．３－１１００－７６１００－０．５０畅２－０畅１３６９－１－１L＝－２１０，U＝０畅１－０畅０４２１１．－５１１－０畅０１３１６所以－０畅２１５５０畅０６３１－０畅１３６９－１－１－１A＝UL＝０畅０１０５５０畅０５７８９－０畅０４２１１．０畅０６５３－０畅０１３１６－０畅０１３１６１５畅解设A能分解，则有１A＝LU＝l２１l３１０１l３２００１u１１００u１２u２２０u１３u３３u３３１＝２４２４６３１．７由分解公式（７畅６）知，u１１＝１，u１２＝２，u１３＝３，l２１＝２，l３１＝４，u２２＝０，而a３２＝l３２u２２＋l３１u１２＝０＋４×２＝８与a３２＝６矛盾，故A的LU分解不能进行．但A为非奇异阵，所以存在排列阵P，使PA＝LU．即将A的１行与２行交换，则可分解为LU．设B＝LU，则１２３１２３１１＝１１l２１l３１０１l３２００１u１１００u１２u２２０u１３u２３u３３３３３．由分解公式（７畅６）知，u１１＝u１２＝u１３＝１，l２１＝２，l３１＝３，u２２＝０．而由３＝l３１u１２＋l３２u２２，得３＝３＋l３２u２２．故l３２可任选，即B的三角分解存在且不唯一．因C的各阶顺序主子均不为０，故由定理７畅４知，C的三角分解存在且唯一．１６畅解A的行范数６＋０．５，０．１＋０．３｝＝１．１．‖A‖∞＝max｛０．A的列范数６＋０．１，０．５＋０．３｝＝０．８．‖A‖１＝max｛０．‖A‖F＝（０．３６＋０．２５＋０．０１＋０．０９）AA＝T１／２＝０．８４２６．０畅３３０畅３４．０畅６０畅５０畅１０畅３０畅６０畅１０畅６０畅３＝２０畅３７０畅３３｜λI－AA｜＝TTλ－０畅３７－０畅３３－０畅３３λ－０畅３４＝λ－０．７１λ＋０．０１６９＝０．所以λmax（AA）＝０．６８５，则‖A‖２＝１７畅证（１）由定义知，‖X‖∞≈０畅８３．n＝１max｜xi｜≤i∑｜xi｜≤i≤n＝１＝‖X‖１≤i∑max｜xi｜＝n‖X‖∞，＝１１≤i≤n∞n从而‖X‖２∞≤‖X‖１≤n·‖X‖TT．（２）由范数定义有‖A‖２＝λmax（AA）≤λ１（AA）＋λ２（AA）＋…＋λn（AA）TT＝AA的对角元之和＝i∑a＋i∑a＋…＋i∑ani＝１＝１＝１T２１i２２２i２nnn＝j∑∑a＝i∑∑aij＝‖A‖F．＝１i＝１＝１j＝１２ji２nnnn又‖A‖２＝λmax（AA）２T３３４≥＝从而TTT［λ１（AA）＋λ２（AA）＋…＋λn（AA）］１２‖A‖F．‖A‖F≤‖A‖２≤‖A‖F．注：此处用到了矩阵的特征值之和等于其对角线上元素之和的概念．从所证不等式也知道，矩阵的２唱范数可由F唱范数得到控制；矩阵的２唱范数与F唱范数是等价的．１８畅证只要证明‖X‖P＝‖PX‖满足范数定义的（１），（２），（３）．（１）因P非奇异，故对任意X≠0，PX≠0，则‖X‖P＝‖PX‖＞０；当X＝0时，PX ＝0，则‖X‖（２）对任意实数α，‖αX‖P＝‖PαX‖＝‖αPX‖＝｜α｜‖PX‖＝｜α｜‖X‖（３）‖X＋Y‖PPP＝‖PX‖＝０；当‖X‖P＝‖PX‖＝０时，则PX＝0，即X＝0．．＝‖P（X＋Y）‖＝‖PX＋PY‖≤‖PX‖＋‖PY‖＝‖X‖P＋‖Y‖P．综上所述，‖X‖P是R上的一种向量范数．１９畅证因‖X‖p∞n＝１max｜xi｜≤i∑｜xi｜≤n·１max｜xi｜＝n·‖X‖≤i≤n≤i≤n＝１‖X‖∞≤（i∑｜xi｜）＝１np１／ppnppp∞，两边开p次方有≤n‖X‖∞．１而plim＝１，故→∞２０畅证由Cauchy不等式，有｜（X，Y）｜≤‖X‖２‖Y‖２，且当且仅当X、Y线性相关时，有３３５lim（i∑｜xi｜）p→∞＝１pn１／p１＝‖X‖∞．｜（X，Y）｜＝‖X‖２‖Y‖２；又当且仅当XY≥０时，有｜（X，Y）｜＝（X，Y）．T故（X，Y）＝‖X‖２‖Y‖２当且仅当X、Y线性相关，且XYT≥０时，所以‖X＋Y‖２＝（X＋Y，X＋Y）＝（X，X）＋２（X，Y）＋（Y，Y）２＝‖X‖２＋２‖X‖２‖Y‖２＋‖Y‖２２２＝（‖X‖２＋‖Y‖２）２当且仅当X、Y线性相关，且X，Y≥０时，即‖X＋Y‖２＝‖X‖２＋‖Y‖２迟痴X，Y线性相关，且XY≥０．T２１畅证由于I－A及记B＝μIATTOμI－AIμIAATTAμIAμI＝＝μIO２２AμI－AATT，．（７畅２６）（７畅２７）μIOAμIμIμI－AAATOμI．对（７畅２６）、（７畅２７）两式两边取行列式得μdet（B）＝μdet（μI－AA），nnnn２２T记λ＝μ≠０，故２μdet（B）＝μdet（μI－AA）．TTT２２畅证设A＝（α１α２…αn）按列分块，即αj＝（α１j，α２j，…，αnj）（j ＝１，２，…，n），则‖αj‖＝i∑αij．而＝１２２２Tndet（λI－AA）＝det（λI－AA）．‖α１‖＋‖α２‖２２nn２ij２２＋…＋‖αn‖＝j∑‖αj‖２＝１２２２nn２２n＝j∑（∑α）＝j∑∑αij＝‖A‖F．＝１i＝１＝１i＝１２３畅证因‖B‖＜１，由定理７畅１６知I－B可逆且‖（I－B）－１‖≤，所以３３６‖I－（I－B）－１‖＝‖（I－B）≤‖（I－B）≤－１－１（I－B－I）‖‖‖B‖‖B‖．２４畅证由矩阵算子范数定义有‖I‖＝maxX≠O由矩阵范数的相容性有‖A‖‖A优势矩阵，则j＝１j≠i０－１‖IX‖‖X‖＝max＝１．X≠O‖≥‖AA－１‖＝‖I‖＝１．２５畅证（１）用反证法．若有某个i０使ai０i０＝０，因A是对角∑｜ai０j｜＜｜ai０j０｜＝０．n这是不可能的．得证．（２）因A＝DB，即a１１A＝a２１…an１而１B＝a２１２２…n１nn１２１１１………………１n１１a２n２２…１＝１１１１３３７…………a１na２n…anna１１a２２筹ann１２１２２…n１nn a１２１１１………………a１n１１２n２２…１＝DB．＝０－－－a２１２２n１nn－１２１１０…………－１n１１＝I－C．a２n２２０‖C‖∞＝maxi∑j＝１nj≠iaijii＝max∑ij＝１n｜aij｜＜１iij≠in｜aij｜＜｜aii｜）．所以由定理（这是因为A是对角优势矩阵，则j∑＝１j≠i７畅１６知，B＝I－C为非奇异阵．由（１）aii≠０，故D非奇异．因此A＝DB 非奇异．２，…，n．而a１１（３）设A为对角优势阵，由（１）知aii≠０，i＝１，＝a １１，所以a１１≠０．又设经Gauss消元一步后A具有形式：（１）（１）a１１０（２）（k）α１TA２．（２）由习题７知，A２也是对角优势矩阵．又由（１）知aii≠０，i＝２，…，n，即有a２２≠０．如此类推akk≠０．２６畅证因‖A‖s＝maxX≠O‖AX‖s．s对一切X都有由定理７畅１０知，存在a１，a２＞０，b１，b２＞０，a１‖AX‖s≤‖AX‖t≤a２‖AX‖s，与b１‖X‖s≤‖X‖t≤b２‖X‖s．于是１‖AX‖s‖AX‖t２‖AX‖s≤≤．１st２s令１２＝c１＝c２，故有１２c１‖AX‖s‖AX‖t‖AX‖s≤≤c２．sts３３８c１maxX≠0即‖AX‖s‖AX‖t‖AX‖s２max≤max≤c．X≠0X≠0stsc１‖AX‖s≤‖AX‖t≤c２‖AX‖s．１００９９A－１２７畅解A＝９９９８＝，则－９８９９‖A－１９９－１００．‖A‖∞＝１９９，‖A－１‖∞＝１９９，所以∞因A是对称矩阵，故cond（A）∞＝‖A‖‖∞＝１９９×１９９＝３９６０１．λmax（A）．min＝λ－１９８λ－１＝０，２cond（A）２＝由det（λI－A）＝得即λ－１００－９９－９９λ－９８λ１＝１９８畅００５０５０３，λ２＝－０畅００５０５０３５．cond（A）２＝λ１＝３９２０６．２T－１２８畅证因A是正交阵，故A＝Acond（A）２＝max＝min，则max＝１．minmax＝min－１－１２９畅证由条件数的定义及矩阵范数的相容性，有cond（AB）＝‖AB‖‖（AB）＝‖A‖‖AT－１‖‖‖A－１－１≤‖A‖‖B‖‖B‖‖‖‖B‖‖B＝cond（A）cond（B）．３０畅证（１）因A＝WW，所以cond（A）２＝‖A‖２‖A ２－１－１T‖２＝‖WW‖２‖（WW）TT－１‖２＝‖W‖２‖W‖２＝（cond（W）２）．２２T（２）由习题２１知，λ（WW）＝λ（WW），则３３９‖W‖２＝TTTmax＝－T故由（１）得，cond（W）２＝‖W‖２‖Wmax＝‖W‖２．－１‖２＝‖W‖２‖W２T‖２＝cond（W）２．３１畅解由cond（A）２＝［cond（W）２］＝cond（W）２cond（W）２．｜λI－A｜＝λ－２１１λ－２＝λ－４λ＋３＝０，２解得所以‖A设b＝－１λ１＝１，λ２＝３．‖２＝１，‖A‖２＝３，cond（A）２＝，δb＝１１，这时有λ２＝３．１１－１‖δX‖２‖δb‖２＝cond（A）２．２２事实上，设X＋δX＝Y，则A（X＋δX）＝b＋δb，即２－１解得y１＝又解得x１＝所以δX＝１１‖δX‖２＝２－１２y１y２＝２０，４２，y２＝．２－１１１，x２＝－．－１２x１x２＝１－１，＋＝＝３．而cond（A）２＝３４０‖δb‖２＝cond（A）２２＝cond（A）２＝３，故‖δX‖２‖δb‖２＝cond（X）２．２２３２畅解记A＝T２４０－１７９－３１９２４０T，δA＝０－０畅５－０畅５０则AX＝b的解X＝（４，３），而（A＋δA）（X＋δX）＝b的解（X＋δX）＝（８，６）．故‖X‖而A－１∞＝４，‖δX‖＝２４０１７９－１－１∞＝４．，∞∞３１９２４０‖A‖‖δA‖‖δA‖cond∞（A）＝‖A∞‖‖∞∞＝６２６畅２，＝０畅５６０１２．＝０畅５，‖A由推论７畅１９畅２得‖δX‖∞∞‖δA‖∞∞０畅５６０１２≤＝≤１畅２７４，∞１－cond∞（A）∞∞‖δX‖∞≤１畅２７４‖X‖∞≤５畅１０，表明估计‖δX‖∞＝４略大，是符合实际的．９３３畅解（１）H３－１－３６１９２－１８０３０－１８０；１８０＝－３６３０‖H３‖∞＝所以c ond∞（H３）＝７４８．－１，‖H３‖∞＝４０８，（２）方程组在H３及b有微小变化时为１畅０００畅５０００畅３３３０畅５０００畅３３３０畅２５００畅３３３０畅２５００畅２００x１＋δx１x２＋δx２x３＋δx３１畅８３＝１畅０８０畅７８３３４１简记为（H３＋δH３）（X＋δX）＝b＋δb，它的精确解为X＋δX＝（１畅０８９５１２５３８，０畅４８７９６７０６２，１畅４９１００２７９８）．T而H３X＝b的精确解X＝（１，１，１），于是δX＝（０畅０８９５，－０畅５１２０，０畅４９１０）．‖δH３‖∞‖δb‖∞－３≈０畅１８×１０＜０畅０２％，≈０畅１８２％３∞∞而‖δX‖∞≈５１畅２％．∞这表明H３及b的相对误差不超过０畅３％，而引起解的相对误差超过５０％．由推论７畅１９畅２，可得‖δX‖∞≤∞≤３∞１－cond∞（H３）３∞‖δb‖∞‖δH３‖∞＋３∞∞TT４０８（（０畅０００２）＋０畅００１８２）≤０畅８９７４＝８９畅７４％．这个估计结果比实际误差大是合理的．３４畅解（１）先算出A于是cond∞（A）＝‖A（２）r＝b－AX珚＝＝７畅０００３－７－１＝‖∞１００００２００００‖A‖－∞１００００２０００１２畅０００１－２＝，－１＝４０００１×３畅０００１≈１２００１２．－１１０畅０５－０畅０５．２畅９７－１畅０１７畅０００３－７－６畅９５０３－６畅９５∞∞（３）依定理７畅２０，右端为cond∞（A）而左端为３４２‖r‖＝１２００１２×０畅０５≤８５７畅１９２，‖X－X珚‖∞０畅０３＝＝０畅０１．∞这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余‖r‖很小，误差估计仍然较大，因此，当A病态时用‖r‖大小作为检验解的准确度是不可靠的．３５畅解（１）‖X‖１＝９，‖X‖２＝２（３）由１１２０a＞０，得a＜３，故a的取值范围－＜a＜２，‖X‖∞＝５．２（２）‖A‖１＝４，ρ（A）＝１（｜λI－A｜＝（λ－１），λ１，２＝１）．０a２，取a＝１时，L＝１００００．２３４３。

数值分析上机题参考答案.docx

如有帮助欢迎下载支持数值分析上机题姓名：陈作添学号： 040816习题 120．（上机题）舍入误差与有效数N11 3 1 1设S N，其精确值为。

22 2 NN 1j 2j1（1）编制按从大到小的顺序111 ，计算 S 的通用程序。

S N1 321N 21 N22（2）编制按从小到大的顺序111，计算 S 的通用程序。

S N1(N 1)2 122 1NN 2（3）按两种顺序分别计算S 102 ， S 104 ， S 106 ，并指出有效位数。

（编制程序时用单精度）（4）通过本上机题，你明白了什么？按从大到小的顺序计算 S N 的通用程序为：按从小到大的顺序计算 S N 的通用程序为：#include<iostream.h> #include<iostream.h> float sum(float N) float sum(float N) {{float j,s,sum=0; float j,s,sum=0; for(j=2;j<=N;j++) for(j=N;j>=2;j--) {{s=1/(j*j-1); s=1/(j*j-1); sum+=s;sum+=s;}}return sum;return sum;}}从大到小的顺序的值从小到大的顺序的值精确值有效位数从大到小从小到大0.7400490.740050.74004965 S 1020.7498520.74990.74994 4S 1040.7498520.7499990.74999936S 106通过本上机题，看出按两种不同的顺序计算的结果是不相同的，按从大到小的顺序计算的值与精确值有较大的误差，而按从小到大的顺序计算的值与精确值吻合。

从大到小的顺序计算得到的结果的有效位数少。

计算机在进行数值计算时会出现“大数吃小数”的现象，导致计算结果的精度有所降低，我们在计算机中进行同号数的加法时，采用绝对值较小者先加的算法，其结果的相对误差较小。

数值分析上机试题对应参考答案

一、问答题1、什么是近似值x * 有效数字？若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说x*有n 位有效数字。

它可表示为X=±10m ×(a 1+a 2×10-1+…+a n ×10-(n-1),其中a i (i=1,2,…,n)是0到9中的一个数字，a 1≠0,m 为整数，且︱x －x *︱≠21×10m-n+12、数值计算应该避免采用不稳定的算法，防止有效数字的损失. 因此，在进行数值运算算法设计过程中主要注意什么？（1）简化计算过程，减少运算次数；（2）避免两个相近的数相减；（3）避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值；（4）防止大数“吃掉”小数的现象；（5）使用数值稳定的算法，设法控制误差的传播。

3、写出“n 阶阵A 具有n 个不相等的特征值”的等价条件（至少写3 个）(1)|A|不为零(2)n 阶矩阵A 的列或行向量组线性无关 (3)矩阵A 为满秩矩阵(4)n 阶矩阵A 与n 阶可逆矩阵B 等价4、迭代法的基本思想是什么？就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解得方法。

其基本思想为：先任取一组近似解初值X 0，然后按照某种迭代原则，由X 0计算新的近似解X 1，以此类推，可计算出X 2,X 3，…X K ，。

,如果｛X ｝收敛，则取为原方程组的解。

5、病态线性方程组的主要判断方法有哪些？（1）系数矩阵的某两行（列）几乎近似相关（2）系数矩阵的行列式的值很小（3）用主元消去法解线性方程组时出现小主元（4）近似解x*已使残差向量r=b-Ax*的范数很小，但该近似解仍不符合问题要求。

6、Lagrange 插值的前提条件是什么？并写出二次Lagrange 插值的基函数。

前提条件是：⎩⎨⎧≠==i j i j x j，，（01)l i .2,1,0,n j i ， = 二次Lagrange 插值的基函数：()))(())((2010210x x x x x x x x x l ----=()))(())((2101201x x x x x x x x x l ----= ()))(())((1202102x x x x x x x x x l ----=7、什么是数值积分的代数精度？如果某一个求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度（或代数精确度）。

数值分析上机题答案

数值分析上机题姓名：武均学号：142648习题117．（上机题）舍入误差与有效数设2211NN j S j ==-∑，其精确值为1311221N N ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭。

（1）编制按从大到小的顺序22211121311N S N =+++---，计算N S 的通用程序。

（2）编制按从小到大的顺序2221111(1)121N S N N =+++----，计算NS 的通用程序。

（3）按两种顺序分别计算210S ，410S ，610S ，并指出有效位数。

（编制程序时用单精度）（4）通过本上机题你明白了什么？按从大到小的顺序计算N S 的通用程序为： #include<iostream.h>float sum(float N) { float j,s,sum=0; for(j=2;j<=N;j++) { s=1/(j*j-1); sum+=s; } return sum; } 按从小到大的顺序计算N S 的通用程序为： #include<iostream.h> float sum(float N) {float j,s,sum=0; for(j=N;j>=2;j--) {s=1/(j*j-1); sum+=s; }return sum; }从大到小的顺序的值从小到大的顺序的值精确值有效位数从大到小从小到大210S 0.740049 0.74005 0.740049 6 5 410S0.749852 0.7499 0.7499 4 4 610S0.7498520.7499990.74999936通过本上机题，看出按两种不同的顺序计算的结果是不相同的，按从大到小的顺序计算的值与精确值有较大的误差，而按从小到大的顺序计算的值与精确值吻合。

从大到小的顺序计算得到的结果的有效位数少。

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3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

[hist x]; end flag = 0; fprintf('\nNewton Iteration fails!!\n');
在命令窗口输入： >>f = inline('[(x1+3)*(x2^3-7)+18;sin(x2*exp(x1)-1)]','x1','x2'); >>g = inline ('[x2^3-7,3*x2^2*(x1+3);x2*exp(x1)*cos(x2*exp(x1)-1),exp(x1)*cos(x2*exp(x1)-1)]','x1','x2');
hist = 0 -0.428571428571429 -0.000000000000101 0 1.557407724654902 1.000000000000127 -0.141348392468100 1.087738055836075 -0.002875590925150 1.001269946612821
数理强化班
数值分析第七章计算机实习题
写一程序实现下面问题的牛顿算法——求解方程组：
3 ( x1 3)( x2 7) 18, x1 sin( x e 1) 0. 2
源程序如下：
function [x,it,hist] = newton2(x0,f,g,maxit,tol) % Newton method for eqation systerm % INPUTS: % x0 % f % g % maxit % tol % OUTPUTS: % x % it % hist format long; if nargin<5, if nargin<4, if nargin<3, end end end flag = 1; x0 = [0;0]; x = x0; hist = x; it = 0; x = x0 - feval(g,x0(1),x0(2))\feval(f,x0(1),x0(2)); if norm(x0-x)>=tol, x0 = x; else fprintf('\nNewton Iteration successes!!\n') return end it = it + 1; for k = 1:maxit, tol = 1e-7; maxit = 100; error('too few input!!'); solution iteration history of iteration initial point function gradient maximum iteration tolerance for convergence
0.000000056935424 1.000000431005363
由以上运行结果可知：该方程组采用牛顿迭代法迭代 5 步可到足够精度，解为 x 1 .
0
>> [x,it,hist] = newton2([0;0],f,g)
得到如下运行结果： >> [x,it,hist] = newton2([0;0],f,g) Newton Iteration successes!! x= -0.000000000000000 1.000000000000000
it = 5

数值分析第七章上机题

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