2011届高三数学上册第一次调研考试题6

绝密★启用前 试卷类型：A2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科） 2011.3本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：如果事件A B 、互斥，那么P A B P A P B +=+()()()； 如果事件A B 、相互独立，那么P AB P A P B =()()()； 若柱体的底面积为S ，高为h ，则柱体的体积为V Sh =；若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为13V Sh =．一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知a b ∈R ，，若3i 1i i a b +=+⋅()（其中i 为虚数单位），则A ．11a b =-=，B ．11a b =-=-，C ．11a b ==-，D ．11a b ==，2．已知p ：“a =，q ：“直线0x y +=与圆221x y a +-=()相切”．则p 是q 的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11S =，424SS =，则64S S 的值为A ．94B ．32C ．54D ．44．如图，圆222:O x y +=π内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是 A ．24π B ．34π C ．22πD ．32π 5．在一条公路上每隔10公里有一个仓库，共有5个仓库．一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的．现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，若每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，则最少需要的运费是A ．450元B ．500元C ．550元D ．600元6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm ）为A ．2B ．1C ．23D ．1310040020一号 二号 三号 四号五号俯视图正(主)视图 侧(左)视图7．设平面区域D 是由双曲线2214y x -=的两条渐近线和直线680x y --=所围成三角形的边界及内部．当,x y D ∈()时，222x y x ++的最大值为A ．24B ．25C ．4D ．78．已知函数f x ()的定义域为 1 5-[，]，部分对应值如下表．f x ()的导函数y f x '=()的图象如图所示．下列关于函数f x ()的命题： ①函数y f x =()是周期函数； ②函数f x ()在0 2[，]是减函数；③如果当 1 x t ∈-[，]时，f x ()的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当12a <<时，函数y f x a =-()有4个零点． 其中真命题的个数有 A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．已知全集U =R ，集合A 为函数ln 1f x x =-()()的定义域，则U A ð= ． 10．设随机变量2~N 1 3X (，)，且06P X P X a ≤=>-()()，则实数a 的值为 ． 11．在ABC ∆中，已知a b c ，，分别为A ∠，B ∠，C ∠所对的边，S 为ABC ∆的面积．若向量2224 1p a b c q S =+-= ()()，，，满足//p q ，则C ∠= ． 12．已知命题“x ∃∈R ，12x a x -++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是 ．13．已知a 为如图所示的程序框图中输出的结果，则二项式6(的展开式中含2x 项的系数是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或 “：=” ）（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设P 是直线 :cos sin 4l ρθθ+=()上任一点，Q是圆24cos 3C ρρθ=-:上任一点，则PQ 的最小值是 ．15．（几何证明选讲）如图，割线PBC 经过圆心O ，1OB PB ==，OB 绕点O 逆时针旋转120︒到OD ，连PD 交圆O 于点E ，则PE = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数cos sin 2424x x f x x ππ=++-+π()()()()．（1）求f x ()的最小正周期； （2）若将f x ()的图象向右平移6π个单位，得到函数g x ()的图象，求函数g x ()在区间0π[，]上的最大值和最小值．BCDEPO第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日至23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm），这30名志愿者的身高如下：男女9 15 7 7 8 9 99 8 16 1 2 4 5 8 98 6 5 0 17 2 3 4 5 67 4 2 1 18 0 11 19若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．18．（本小题满分14分）如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，30BAC∠=︒，BM AC⊥交AC于点M，EA⊥平面ABC，//FC EA，431AC EA FC===，，．（1）证明：EM BF⊥；（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．AB CEFMO∙已知点F 是椭圆222101x y a a +=>+()的右焦点，点 0M m (，)、0 N n (，)分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0MN NF ⋅= ．若点P 满足2OM ON PO =+．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹C 交于A 、B 两点，直线OA ，OB 与直线x a =-分别交于点S ，T （O 为坐标原点），试判断FS FT ⋅是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足221n n a S -=，n *N ∈．数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（1）求1a ，d 和n T ；（2）若对任意的n *N ∈，不等式81n n T n λ<+⋅-()恒成立，求实数λ的取值范围； （3）是否存在正整数m n ，1m n <<()，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有m n ，的值；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数ln 1af x x a x =+∈+R ()()． （1）当92a =时，如果函数g x f x k =-()()仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （2）当2a =时，试比较f x ()与1的大小；（3）求证：1111ln 135721n n +>+++++ ()n ∈*N ()．。

江苏省南通市2011届高三第一次调研测试数学试卷一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1．已知集合M={－1，1}，{|124}x N x =≤≤，则M N = ．2．已知射手甲射击一次，命中9环以上（含9环）的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下（含6环）的概率为 ． 3．设(12i)34i z +=-（i 为虚数单位），则||z = ． 4．根据右图的算法，输出的结果是 ．5．某校对全校1200名男女学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了85人，则该校的男生数应是 人．6．若“2230x x -->”是“x a <”的必要不充分条件，则a 的最大值为 ． 7．设a ，b 为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题： （1）若a ∥α，a ∥β，则α∥β； （2）若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β； （3）若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； （4）若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ． 上述命题中，所有真命题的序号是 ．8．双曲线221412x y -=上一点M 到它的右焦点的距离是3，则点M 的横坐标是 ．9．函数()()sin f x x x x ωω=∈R ，又()2f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值等于π2，则正数ω的值为 ．10．若圆C ：22()(1)1x h y -+-=在不等式10x y ++≥所表示的平面区域内，则h 的最小值为 ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知A （0，－1），B （－3，－4）两点，若点C 在AOB ∠的平分线上，且OC =C 的坐标是 ．12．已知函数3221()(21)13f x x x a x a a =++-+-+，若()0f x '=在（1，3]上有解，则实数a 的取值范围为 ．13．已知21(),()()2x f x x g x m ==-，若对[]11,3x ∀∈-，[]20,2x ∃∈，12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是 ．14，则该三角形的面积的最大值是 ．For from 1 to 10End for Print EndS I S S I S ←←+（第4题）二．解答题：本大题共6小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知向量a ，b 满足|a |=2，|b |=1，|a －b |=2． （1）求a·b 的值； （2）求|a +b |的值． 16．（本题满分14分）如图，已知□ABCD ，直线BC ⊥平面ABE ，F 为CE 的中点． （1）求证：直线AE ∥平面BDF ；（2）若90AEB ∠= ，求证：平面BDF ⊥平面BCE ． 17．（本题满分15分）如图，某市准备在道路EF 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段是函数2πsin()3y A x ω=+()0,0A ω>>，[]4,0x ∈-时的图象，且图象的最高点为B （－1，2）。

绝密★启用前 试卷类型：A2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科） 2011.3本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.不按要求填涂的，答案无效.3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答.漏涂、错涂、多涂的答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回. 参考结论：若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为13V Sh =．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0 1 2A =，，，集合{}2B x x =>，则A B =A ．{}2B ．{}0 1 2，，C ．{}2x x >D ．∅2．复数34i i +()（其中i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．双曲线2214y x -=的渐近线方程为A ．1x =±B ．2y =±C ．2y x =±D ．2x y =±4．已知:p 直线1:10l x y --=与直线2:20l x ay +-=平行，:1q a =-，则p 是q 的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．设数列{}1n -()的前n 项和为n S ，则对任意正整数n ，n S =A ．112n n ⎡⎤--⎣⎦() B ．1112n --+()C ．112n -+()D ．112n --()6．如图所示的方格纸中有定点 O P Q E F G H ,,,,,,，则OP OQ +=A ．OHB ．OGC ．FOD ．EO7．在同一平面直角坐标系中，画出三个函数24f x x π=+()()，sin 23g x x π=+()()，cos 6h x x π=-()()的部分图象（如图），则 A ．a 为f x ()，b 为g x ()，c 为h x () B ．a 为h x ()，b 为f x ()，c 为g x () C ．a 为g x ()，b 为f x ()，c 为h x () D ．a 为h x ()，b 为g x ()，c 为f x ()8．已知圆面2221C x a y a -+≤-:()的面积为S ，平面区域24D x y +≤:与圆面C 的公共区域的面积大于12S ，则实数a 的取值范围是A ．() 2-∞，B ．(] 2-∞，C ．()() 1 1 2-∞-，，D ．()(] 1 1 2-∞-，， c baQ0.00040.00030.00020.00019．如图所示程序框图，其作用是输入空间直角坐标平面中一点P a b c ()，，，输出相应的点 Q a b c ()，，．若P 的坐标为2 3 1()，，，则 P Q ，间的距离为（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=” ）A ．0 BCD．10．若实数t 满足f t t =-()，则称t 是函数f x ()的一个次不动点．设函数ln f x x =()与函数e xg x =()（其中e 为自然对数的底数）的所有次不动点之和为m ，则 A ．0m < B ．0m = C ．01m << D ．1m >二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 11．某机构就当地居民的月收入调查了1万人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图）．为了深入调查，要从这1万人中按月收入用分层抽样方法抽出100人，则月收入在2500 3000[，)（元）段应抽出 人．12．已知正三棱柱（侧棱与底面垂直，底面是正三角形）的高与底面边长均为2，其直观图和正(主)视图如下，则它的左(侧)视图的面积是 ．直观图正视图13则x 和y 可能满足的一个关系式是 ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分．14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中， P Q ，是曲线C :4sin ρθ=上任意两点，则线段PQ 长度的最大值为 ．15．（几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上异于 A B ，的点，CD AB ⊥，垂足为D ，已知2AD =，CB =CD = ．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分14分）已知向量 1 sin 2a α=-(，)与向量4 2cos 52b α=(，)垂直，其中α为第二象限角．（1）求tan α的值；（2）在ABC ∆中，a b c ，，分别为A B ∠∠，，C ∠所对的边，若222b c a +-=，求tan A α+()的值．如图，在四棱锥S ABCD -中，AB AD ⊥，//AB CD ，3CD AB =，平面SAD ⊥平面ABCD ，M 是线段AD 上一点，AM AB =，DM DC =，SM AD ⊥．（1）证明：BM ⊥平面SMC ；（2）设三棱锥C SBM -与四棱锥S ABCD -的体积分别为1V 与V ，求1V V的值．18．（本小题满分14分）已知函数313f x x ax b =-+()，其中实数 a b ，是常数．（1）已知{}0 1 2a ∈，，，{}0 1 2b ∈，，，求事件A “10f ≥()”发生的概率； （2）若f x ()是R 上的奇函数，g a ()是f x ()在区间[]11-，上的最小值，求当1a ≥时g a ()的解析式．19．（本题满分12分）如图，有一正方形钢板ABCD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC 是以直线AD 为对称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF ，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．ABEMSDCBA已知椭圆222210x y C a b a b+=>>:()的左焦点F 及点0 A b (，)，原点O 到直线FA 的距离．（1）求椭圆C 的离心率e ；（2）若点F 关于直线20l x y +=:的对称点P 在圆224O x y +=:上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标．21．（本小题满分14分）设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ． （1）已知11a =，2d =，（ⅰ）求当n ∈N *时，64n S n +的最小值； （ⅱ）当n ∈N *时，求证：13242231516n n n S S S S S S +++++<；（2）是否存在实数1a ，使得对任意正整数n ，关于m 的不等式m a n ≥的最小正整数解为32n -?若存在，则求1a 的取值范围；若不存在，则说明理由．。

闵行区2011学年第一学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（文理科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名及准考证号等填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．答题时客观题用2B 铅笔按要求涂写，主观题用黑色水笔填写． 2．本试卷共有23道题，共4页．满分150分，考试时间120分钟． 3．考试后只交答题纸，试卷由考生自己保留．一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若{3,2,1,0,1,2,3}U =---,2{10,}A x x x =-≤∈Z ,{|13,}B x x x =-≤≤∈Z ,则()U A B = ð ． 2．已知扇形的面积为316π，半径为1，则该扇形的圆心角的弧度数是 ． 3．已知a b ∈R 、，命题“若2a b +=，则222a b +≥”的否命题是 ．4．若α为第二象限角，且sin 204παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ααcos sin +的值为 ．5．椭圆221(1)x y t t+=>上一焦点与短轴两端点形成的三角形的面积为1，则t = ．6．设向量a b 、满足(2,1)a =，b = b 与a 的方向相反，则b 的坐标为 ．7．已知直线:1l y kx =+与两点(1,5)(4,2)A B --、，若直线l 与线段AB 相交，则k 的取值范围是 ．8．若*111()1()2331f n n n =++++∈-N ，则对于*k ∈N ，(1)()f k f k +=+ ．9．在ABC △中，若a b ≠，且22tan tan a b A B=，则C ∠的大小为 ． 10．执行右图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为 ． 11．(文)已知数列{n a }的前n 项和21nn S =-*()n ∈N ，则2limn n na S →∞+= ．(理)设等差数列{}n a 的首项及公差均是正整数，前n 项和为n S ，且11a >，46a >，312S ≤，则2012a = ．E12．(文) 若函数()y f x =()x ∈R 满足()(2)f x f x =+，且当[1,1]x ∈-时，2()f x x =，则函数()()lg g x f x x =-的零点个数为 个．（理）若偶函数()y f x =()x ∈R 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，则函数()()lg g x f x x =-的零点个数为 个．13．（文）如图，矩形OABC 中，AB =1，OA =2，以BC 中点E 为圆心、以1为半径在矩形内部作四分之一圆弧CD （其中D 为OA 中点），点P 是弧CD 上一动点，PM BC ⊥，垂足为M ，PN AB ⊥，垂足为N ，则四边形PMBN 的周长的最大值为 ．(理)如图，矩形OABC 中，AB =1，OA =2，以B 为圆心、BA 为半径在矩形内部作弧，点P 是弧上一动点，PM OA ⊥，垂足为M ，PN OC ⊥，垂足为N ，则四边形OMPN 的周长的最小值为 ．14．（文）在一圆周上给定1000个点，如图，取其中一点，标记上数1，从这点开始按顺时针方向数到第二个点，标记上数2，从标记上2的点开始按顺时针方向数到第三个点，标记上数3……，继续这个过程直到1，2，3，…，2012都被标记到点上，圆周上这些点中有些可能会标记上不止一个数，在标上2012的那一点上 的所有数中最小的数是 ．（理）已知线段AB 上有10个确定的点（包括端点A 与B ）．现对这些点进行往返标数（从A →B →A →B →…进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数）．如图：在点A 上标1，称为点1，然后从点1开始数到第二个数，标上2，称为点2，再从点2开始数到第三个数，标上3，称为点3（标上数n 的点称为点n ），……，这样一直继续下去，直到1，2，3，…，2012都被标记到点上．则点2012上的所有标数中，最小的是 ．二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．抛物线22y x =的准线方程是 [答]（ ） （A ）12x =-． (B) 12y =-． (C) 18x =-． （D ）18y =-． 16．若函数()y f x =的图像与函数12x y +=的图像关于y x =对称，则()f x =[答]（ ）(A) 2log x ． (B) 2log (1)x -． (C) 2log 1x -． (D)2log (1)x +．17．已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，记12121(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是 [答]（ ）N MP C BAOA B123564(A) 0a b c ++= ． (B) a b c 、、两两平行． (C) a b //． (D) a b c 、、方向都相同．18．（文）设1x 、2x 是关于x的方程20x mx +=的两个不相等的实数根，那么过两点211(,)A x x ，222(,)B x x 的直线与圆122=+y x 的位置关系是 [答]（ ）（A ）相离． （B ）相切． （C ）相交． （D ）随m 的变化而变化．（理）设1x 、2x 是关于x 的方程220x mx m m ++-=的两个不相等的实数根，那么过两点211(,)A x x ，222(,)B x x 的直线与圆()2211x y -+=的位置关系是 [答]（ ）（A ）相离． （B ）相切． （C ）相交． （D ）随m 的变化而变化．三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19.（本题满分12分）对于1122(,),(,)m x y n x y == ，规定向量的“*”运算为：1212(,)m n x x y y *=.若12(,1),(1,),(1,0),(0,1)a x b x e e ==-== ．解不等式12(*)11(*)1a b e a b e ⋅+>⋅+．20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．（文）设双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的虚轴长为渐近线方程是y =，O 为坐标原点，直线(),y kx m k m =+∈R 与双曲线C 相交于A 、B 两点，且OA OB ⊥．（1）求双曲线C 的方程； （2）求点(),P k m 的轨迹方程．（理）设双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>，12,R R 是它实轴的两个端点，I 是其虚轴的一个端点.已知其渐近线的方向向量是(1,，12IR R ∆O 为坐标原点，直线(),y kx m k m =+∈R 与双曲线C 相交于A 、B 两点，且OA OB ⊥．（1）求双曲线C 的方程； （2）求点(),P k m 的轨迹方程．21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．某地政府为改善居民的住房条件，集中建设一批经适楼房．用了1400万元购买了一块空地，规划建设8幢楼，要求每幢楼的面积和层数等都一致，已知该经适房每幢楼每层建筑面积均为250平方米，第一层建筑费用是每平方米3000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加80元． （1）若该经适楼房每幢楼共x 层，总开发费用为()y f x =万元，求函数()y f x =的表达式（总开发费用=总建筑费用+购地费用）；（2）要使该批经适房的每平方米的平均开发费用最低，每幢楼应建多少层？22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．（文）将边长分别为1、2、3、…、n 、n +1、…（*n ∈N ）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、……、第n 个阴影部分图形.容易知道第1个阴影部分图形的周长为8，设前n 个阴影部分图形的周长的平均值为()f n ，记数列{}n a 满足()1(),,n n f n n a f a n -⎧⎪=⎨⎪⎩当为奇数当为偶数. （1）求()f n 的表达式；（2）写出1,a 23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式； （3）记()n n b a s s =+∈R ，若不等式1120n n n nb b b b +++>有解，求s 的取值范围.（理）将边长分别为1、2、3、4、…、n 、n +1、…（*n ∈N ）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形.由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、……、第n 个阴影部分图形.设前n 个阴影部分图形的面积的平均值为()f n ．记数列{}n a 满足11a =,()+1(),,n n f n n a f a n ⎧⎪=⎨⎪⎩当为奇数当为偶数.（1）求()f n 的表达式；（2）写出23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；（3）记()n n b a s s =+∈R ，若不等式211110000nn n n n b b b b b ++++>有解，求s 的取值范围.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． （文）记函数()f x 在区间D 上的最大值与最小值分别为{}max ()|f x x D ∈与{}min ()|f x x D ∈． 设函数[]2,1,(),(,3]x b x b f x b x b ⎧-+∈⎪=⎨∈⎪⎩（13b <<），()(),[1,3]g x f x ax x =+∈，令{}{}()max ()|[1,3]min ()|[1,3]h a g x x g x x =∈-∈，记{}()min ()|d b h a a =∈R ． （1）若函数()g x 在[1,3]上单调递减，求a 的取值范围； （2）当12b a -=时，求()h a 关于a 的表达式； （3）试写出()h a 的表达式，并求(){}max ()|1,3d b b ∈．（理）记函数()f x 在区间D 上的最大值与最小值分别为{}max ()|f x x D ∈与{}min ()|f x x D ∈． 设函数[]2,1,(),(,3]x b x b f x b x b ⎧-+∈⎪=⎨∈⎪⎩，13b <<．()(),[1,3]g x f x ax x =+∈， （1）若函数()g x 在[1,3]上单调递减，求a 的取值范围； （2）若[0,1]a ∈.令{}{}()max ()|[1,3]min ()|[1,3]h a g x x g x x =∈-∈．记{}()min ()|d b h a a R =∈．试写出()h a 的表达式，并求(){}max ()|1,3d b b ∈．(3)令{}{}()max [()]|min [()]|k a g f x x I g f x x I =∈-∈(其中I 为[()]g f x 的定义域)．若I 恰好为[1,3]，求b 的取值范围，并求{}min ()|k a a R ∈．闵行区2011学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题 1．{}2,3； 2．83π； 3．若2a b +≠，则222a b +<； 4．12； 5．2； 6．(4,2)--； 7．(]3,4,4⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭； 8．11133132k k k ++++； 9．90o；10．23； 11．(文)12、(理) 4024； 12．10； 13．(文)2+、(理)6- 14．（文）12、(理)3.二. 选择题 15． D ；16．C ；17．B ；18．（文）B 、（理）D三. 解答题19.（本题满分12分）解：12(*)1(,)(1,0)111(,)(0,1)11(*)1a b e x x x x x x a b e ⋅+-⋅+-+==>-⋅++⋅+（8分） 121001011x xx x x -+⇔->⇔<⇔-<<++． （12分） 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．解：（1）（文）由题意，有b =b =，1a ∴= （4分）故双曲线C 的方程为2213y x -=. （6分）（理）由题意，双曲线的渐近线方程为y =，则有b =又12IR R ∆a b ⋅，得1,a b ==（4分）所以双曲线C 的方程为2213y x -=. （6分） （2）设()()2211,,,y x B y x A ，直线AB ：m kx y +=与双曲线2213y x -=联立消去y ， 得222(3)230k x kmx m ----= （8分）由题意230k -≠，且()()()2221222122243302333km k m km x x k m x x k ⎧∆=---->⎪⎪⎪+=⎨-⎪⎪--=⎪-⎩又由O A O B ⊥ 知12120x x y y +=（10分）而()()2212121212121212()x x y y x x kx m kx m x x k x x km x x m +=+++=++++所以22222223320333m m km k km m k k k+++++=--- ，（12分）化简得22233m k -=① 由0∆>可得223k m <+② 由①②可得22233m k -=故点P的轨迹方程是22233(y x x -=≠ （14分）21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．（1）由已知，每幢经适楼房最下面一层的总建筑费用为：3000250750000⨯=（元）75=（万元），从第二层开始，每幢每层的建筑总费用比其下面一层多：8025020000⨯=（元）2=（万元），每幢楼房从下到上各层的总建筑费用构成以75为首项，2 为公差的等差数列，（2分）所以函数表达式为： 2*(1)()8[752]140085921400()2x x y f x x x x x -==+⨯+=++∈N ； （6分） （2）由（1）知经适楼房每平方米平均开发费用为：2()40(74175)()100008250f x x x g x x x++=⨯=⨯ （10分）()175407440744018x x ⎛⎫=++≈ ⎪⎝⎭≥（元） （12分）当且仅当175x x=，即13.2x ≈时等号成立，但由于*x ∈N ，验算：当13x =时，175()401374401813g x ⎛⎫=++≈ ⎪⎝⎭，当14x =时，175()401474402014g x ⎛⎫=++≈ ⎪⎝⎭．答：该经适楼建为13层时，每平方米平均开发费用最低． （14分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．解：（文）（1）第n 个阴影部分图形的周长为8n , （2分）故(88)()442n nf n n n+⨯==+⋅． （4分）（2）1(1)8a f ==，21()(8)36a f a f ===，3(3)16a f == （7分）当n 为奇数时，()44n a f n n ==+当n 为偶数时，[]11()4444(1)44164n n n a f a a n n --==+=-++=+ 故44,164,n n n a n n +⎧=⎨+⎩当为奇数当为偶数． （9分）（3）44,164,n n n s n b a s n s n ++⎧=+=⎨++⎩当为奇数当为偶数1120n n n nb b b b +++>有解11212()0n n n n n n n b b b b b b b +++++⇔-=->有解，当n 为奇数时，12()0n n n b b b ++->即[]()16(1)4444(2)40n s n s n s +++++-+++>⎡⎤⎣⎦ ，亦即16200n s ++<有解，故()max 162036s n <--=- （12分） 当n 为偶数时，12()0n n n b b b ++->即[]()4(1)416416(2)40n s n s n s +++++-+++>⎡⎤⎣⎦ ，于是480n s ++<，故()max 4816s n <--=-． （14分） 综上所述：16s <-． （16分）（理）解：（1）由题意，第1个阴影部分图形的面积为2221-，第2个阴影部分图形的面积为2243-，……，第n 个阴影部分图形的面积为()222(21)n n --.（2分）故()()()22222221432(21)()n n f n n⎡⎤-+-+--⎣⎦=1234(21)221n n n n+++++-+==+ （4分）（2）11a =，2(1)3a f ==，32()2317a f a ==⨯+=， （7分） 当n 为偶数时，(1)21n a f n n =-=-，当n 为大于1的奇数时，[]11()2122(1)1145n n n a f a a n n --==+=--+=-，故1,121,45,1n n a n n n n =⎧⎪=-⎨⎪-⎩当当为偶数当为大于的奇数． （9分）（3）由（2）知1,121,45,1n s n b n s n n s n +=⎧⎪=-+⎨⎪-+⎩当当为偶数当为大于的奇数．又21111000nn n n n b b b b b ++++>11212()0n n n n n n n b b b b b b b +++++⇔-=->． （ⅰ）当n =1时，即213()(3)(6)0b b b s -=+->，于是303s s +<⇒<- （ⅱ）当n 为偶数时，即[]()()4(1)5(21)2(2)141(4)0n s n s n s n s +-+-+-+-+=-+->⎡⎤⎣⎦于是410n s -+<，()max 426s n <-+=-． （12分） （ⅲ）当n 为大于1的奇数时，即[]()()()()2(1)1454(2)52180n s n s n s n s +-+⋅-+-+-+=++⋅->⎡⎤⎣⎦于是210n s ++<，max (21)7s n <--=-． （14分）综上所述：3s <-． （16分）23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．解：（文）（1）(1)2,[1,](),(,3]a x b x b g x ax b x b -+∈⎧=⎨+∈⎩（2分）由题意1000a a a -<⎧⇒<⎨<⎩． （4分）（2）当21b a =+时，01a <<，(1)42,[1,21]()21,(21,3]a x a x a g x ax a x a -++∈+⎧=⎨++∈+⎩，显然g (x )在[1,21]a +上单调递减，在[21,3]a +上单调递增，又此时(1)(3)51g g a ==+ 故{}max ()|[1,3](1)(3)51g x x g g a ∈===+， （6分）{}2min ()|[1,3](21)231g x x g a a a ∈=+=++ （8分）从而：()h a =()222,0,1a a a -+∈． （10分） （3）(1)2,[1,](),(,3]a x b x b g x ax b x b -+∈⎧=⎨+∈⎩．1）当0a ≤时，{}max ()|[1,3]g x x ∈=g(1)=a +2b -1, {}min ()|[1,3]g x x ∈=g(3)=3a +b此时，()21h a a b =-+-．2) 当1a ≥时，{}max ()|[1,3]g x x ∈=g(3)=3a +b , {}min ()|[1,3]g x x ∈= g(1)=a +2b -1此时，()21h a a b =-+． （12分） 3) 当102b a -<≤时，{}max ()|[1,3]g x x ∈= g(1)=a +2b -1,{}min ()|[1,3]g x x ∈= g (b )=ab +b ， 此时，()1h a a b ab =+--．4) 当112b a -<<时，{}max ()|[1,3]g x x ∈=g (3)=3a +b ,{}min ()|[1,3]g x x ∈= g (b )=ab +b ， 此时，()3h a a ab =-．故21,01(1)1,02()1(3),1221,1a b a b b a b a h a b b a a a b a -+-≤⎧⎪-⎪-+-<≤⎪=⎨-⎪-<<⎪⎪-+≥⎩， （14分）因()h a 在1(,]2b --∞上单调递减，在1[,)2b -+∞单调递增，故{}()m i n ()|d b h a a R=∈=h (12b -)=(3)(1)2b b --, （16分） 故当2b =时，得(){}1max ()|1,32d b b ∈=． （18分）（理）（1）(1)2,[1,](),(,3]a x b x b g x ax b x b -+∈⎧=⎨+∈⎩，（2分）由题意1000a a a -<⎧⇒<⎨<⎩．（4分） （2） (1)2,[1,](),(,3]a xb x b g x ax b x b -+∈⎧=⎨+∈⎩．（ⅰ）当102b a -≤≤时，{}max ()|[1,3]g x x ∈= g(1)=a +2b -1, {}min ()|[1,3]g x x ∈= g (b )=ab +b ， 此时，()1h a a b ab =+--．（ⅱ）当112b a -<≤时，{}max ()|[1,3]g x x ∈=g (3)=3a +b , {}min ()|[1,3]g x x ∈= g (b )=ab +b ， 此时，()3h a a ab =-．故1(1)1,02()1(3),12b b a b a h a b b a a -⎧-+-≤≤⎪⎪=⎨-⎪-<≤⎪⎩， （6分）因()h a 在1[0,]2b -上单调递减，在1[,1]2b -单调递增，故{}()min ()|d b h a a R =∈=h (12b -)=(3)(1)2b b --, （8分） 故当2b =时，得(){}1max ()|1,32d b b ∈=． （10分）（3）（ⅰ）当(,3]x b ∈时，f(x)=b , [()]g f x ab b =+（ⅱ）当[1,]2[1,]x b x b b ∈⎧⎨-+∈⎩，即x b =时，[()]g f x ab b =+（ⅲ）当[1,]2(,3]x b x b b ∈⎧⎨-+∈⎩时，即[1,][23,)x b x b b ∈⎧⎨∈-⎩（*）， （13分）①若2b -3>1即b >2, 由（*）知[23,)x b b ∈-，但此时{}[23,)(,3][1,3]I b b b b =-⋃⋃≠，所以b >2不合题意．②若2b -31≤即b ≤2, 由（*）知[1,)x b ∈，此时{}[1,)(,3][1,3]I b b b =⋃⋃=， 故12b <≤， （15分）且2,[1,][()],(,3]ax ab b x b g f x ab b x b -++∈⎧=⎨+∈⎩，于是，当0a ≤时，()()(2)(1)k a ab b ab b a b a =+-+-=-第 11 页 共 11 页 当0a >时，()(2)()(1)k a ab b a ab b b a =+--+=-即(1),0()(1),0b a a k a b a a -≤⎧=⎨->⎩ （17分） 从而可得当a =0时，{}min ()|k a a R ∈=0. （18分）。

江苏省重点学校2011届高三第一次调研联考数学测试试卷参考公式：一组样本数据n x x x ,,,21 ，方差2211()ni i s x x n ==-∑一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．命题p ：2,2x R x ∃∈>，则命题p 的否定为 ▲ . 2．若复数i i i z 其中,2)1(=+是虚数单位，则复数z z ⋅= ▲ .3．已知函数2,0(),0x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，则((2))f f -= ▲ . 4．若123123,,,,2,3,3,3,,3n nx x x x x x x x 的方差为则的方差为 ▲ .5．一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环的概率为6．已知3tan(),45παα+=则tan = ▲ .7．直线110,l x ky -+=:210l kx y -+=:，则1l ∥2l 的充要条件是 ▲ .8．已知|a |=3，|b |=4，(a +b )⋅(a +3b )=33，则a 与b 的夹角为 .9．如果执行右面的程序框图，那么输出的S = ▲ .10．设1F 和2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点，若1F ，2F ，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为 ▲ .11．函数2cos y x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取最大值时，x 的值是___▲___． 12．我们知道若一个边长为a ，面积为S 的正三角形的内切圆半径23Sr a =，由此类比，若一个正四面体的一个面的面积为S ,体积为V ,则其内切球的半径r = ▲ .13．设12a =，121n n a a +=+，211n n n a b a +=--，*n∈b 14．图为函数()1)f x x =<<的图象，其在点(())M t f t ，l l y 处的切线为，与轴和直线1=y 分别交于点P 、Q ，点N （0，1），若△PQN 的面积为b时的点M 恰好有两个，则b 的取值范围为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分） 已知函数21()2cos 22f x x x x =--∈R ，．（Ⅰ）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（Ⅱ）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且()0c f C ==，若sin 2sin B A =，求a ，b 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥平面，AD CD =，DB 平分ADC ∠，E 为PC 的中点． （Ⅰ）证明：//PA BDE 平面； （Ⅱ）证明：AC PBD ⊥平面．17. (本小题满分15分)如图,某小区准备在一直角围墙ABC 内的空地上植造一块“绿地ABD ∆”,其中AB 长为定值a ,BD 长可根据需要进行GFDC A DCBP E调节(BC 足够长).现规划在ABD ∆的内接正方形BEFG 内种花,其余地方种草,且把种草的面积1S 与种花的面积2S 的比值12S S 称为“草花比y ”.(Ⅰ)设DAB θ∠=,将y 表示成θ的函数关系式； (Ⅱ)当BE 为多长时,y 有最小值?最小值是多少?18. (本小题满分15分)已知C 过点)1,1(P ,且与M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)设Q为C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅的最小值；(Ⅲ)过点P 作两条相异直线分别与C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.19．（本小题满分16分）已知函数()ln af x x x =-.(Ⅰ)求函数()f x 的单调增区间；(Ⅱ)若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为32，求实数a 的值；(Ⅲ)若函数2()f x x <在(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 的首项为b ，公比为a (其中,a b 均为正整数)． (Ⅰ) 若1122,a b a b ==，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若1213,,,k n n n a a a a a ，，，12(3)k n n n <<<<<成等比数列，求数列{}k n 的通项公式；(Ⅲ) 若11223a b a b a <<<<，且至少存在三个不同的b 值使得等式()m n a t b t N +=∈成立，试求a 、b 的值．附加题部分（满分40分） 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题；每题10分，共20分；解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4－1：几何证明选讲如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P ． （1）求证：PM2=PA·PC ；（2）若⊙O 的半径为，求MN 的长．OCM NA PB 考试证号—————————————————————B ．选修4－2：矩阵与变换试求曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦，N =10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦．C ．选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O ：cos sin ρθθ=+和直线sin 4l ρθπ⎛⎫-=⎪⎝⎭:． （1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当(0,)θ∈π时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．D ．选修4－5：不等式选讲用数学归纳法证明不等式：211111(1)12n n n n n n *++++>∈>++N 且．【必做题】第22题，23题，每题10分，共20分；解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75．（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为ξ，求随机变量ξ的期望)(ξE ．23．已知点F(0，1)，点P 在x 轴上运动，M 点在y 轴上，N 为动点，且满足0PM PF ⋅=， PN PM +=0．（1）求动点N 的轨迹C 方程；（2）由直线y= -1上一点Q 向曲线C 引两条切线，切点分别为A ，B ，求证：AQ ⊥BQ ．参考答案1、2,2x R x ∀∈≤ 2、2 3、4 4、18 5、1100 6、14-7、1- 8、120︒ 9、650 10、2 11、6π 12、34V S 13、201221- 14、18,427⎛⎫⎪⎝⎭ 15．解：（1）1cos21()2sin 21226x f x x x +π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， （3分）则()f x 的最小值是－2，（4分）最小正周期是22T π==π；（6分）（2）()sin 210,sin 2166f C C C ππ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则， 110,022,2666C C C ππ<<π∴<<π∴-<-<π， 2,623C C πππ∴-==， （8分）sin 2sin B A =， 由正弦定理，得12a b =，① （10分） 由余弦定理，得222222cos ,33c a b ab a b abπ=+-=+-即， ②由①②解得1,2a b ==． （14分） 16．证明：（1）连结AC ，设ACBD H =，连结EH ，在ADC ∆中，因为AD CD =，且DB 平分ADC ∠，所以H 为AC 的中点，又∵E 为PC 的中点， ∴//EH PA ，……………………………4分 又EH BDE ⊂平面，且PA BDE ⊄平面， ∴//PA BDE 平面；……………………7分 （2）∵PD ABCD ⊥平面，AC ABCD ⊂平面， ∴PD AC ⊥，由（1）得BD AC ⊥， 又PDDB D =， 故AC PBD ⊥平面．……………14分17. 解:(Ⅰ)因为tan BD a θ=,所以ABD ∆的面积为21tan 2a θ((0,)2πθ∈)…(2分) 设正方形BEFG 的边长为t ,则由FG DG AB DB =,得tan tan t a t aa θθ-=,解得tan 1tan a t θθ=+,则2222tan (1tan )a S θθ=+…………………………………………………………(6分)所以222212211tan tan tan 22(1tan )a S a S a θθθθ=-=-+,则212(1tan )12tan S y S θθ+==- (9分)(Ⅱ)因为tan (0,)θ∈+∞,所以1111(tan 2)1(tan )2tan 2tan y θθθθ=++-=+1≥… (13分) 当且仅当tan 1θ=时取等号,此时2aBE =.所以当BE 长为2a时,y 有最小值1…………………………… (15分) 18. 解:(Ⅰ)设圆心C (,)a b ,则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩,解得00a b =⎧⎨=⎩…………… (3分) 则圆C 的方程为222x y r +=,将点P 的坐标代入得22r =,故圆C 的方程为222x y +=…………………… (5分) (Ⅱ)设(,)Q x y ,则222x y +=,且(1,1)(2,2)PQ MQ x y x y ⋅=--⋅++… (7分) =224x y x y +++-=2x y +-,所以PQ MQ ⋅的最小值为4-(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)(Ⅲ)由题意知, 直线PA 和直线PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设:1(1)PA y k x -=-,:1(1)PB y k x -=--,由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩,得222(1)2(1)(1)20k x k k x k ++-+--= …………………………………………(11分)因为点P 的横坐标1x =一定是该方程的解,故可得22211A k k x k --=+………… (13分) 同理,22211B k k x k +-=+, 所以(1)(1)2()1B A B A B A AB B A B A B Ay y k x k x k k x x k x x x x x x ------+====---=OP k所以,直线AB 和OP 一定平行……………………………………(15分)19、解：（1）由题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，且221()a x af x x x x +'=+=．……2分①当0a ≥时，()0f x '>，∴()f x 的单调增区间为(0,)+∞．………………(3分) ②当0a <时，令()0f x '>，得x a >-，∴()f x 的单调增区间为(,)a -+∞．…4分（2）由（1）可知，2()x af x x +'=①若1a ≥-，则0x a +≥，即()0f x '≥在[1,]e 上恒成立，()f x 在[1,]e 上为增函数，∴min 3[()](1)2f x f a ==-=，∴32a =-（舍去）．…………… (6分)②若a e ≤-，则0x a +≤，即()0f x '≤在[1,]e 上恒成立，()f x 在[1,]e 上为减函数，∴min 3[()]()12a f x f e e ==-=，∴2e a =-（舍去）．………………………8分③若1e a -<<-，当1x a <<-时，()0f x '<，∴()f x 在(1,)a -上为减函数， 当a x e -<<时，()0f x '>，∴()f x 在(,)a e -上为增函数，∴min 3[()]()ln()12f x f a a =-=-+=，∴a =综上所述，a =………………………………………………………………10分（3）∵2()f x x <，∴2ln ax x x -<．∵0x >，∴3ln a x x x >-在(1,)+∞上恒成立……………………………12分令32()ln ,()()1ln 3g x x x x h x g x x x '=-==+-，则2116()6x h x x x x -'=-=. ∵1x >，∴()0h x '<在(1,)+∞上恒成立，∴()h x 在(1,)+∞上是减函数，∴()(1)2h x h <=-，即()0g x '<，∴()g x 在(1,)+∞上也是减函数，∴()(1)1g x g <=-．∴当2()f x x <在(1,)+∞恒成立时，1a ≥-．……………………………………16分20．解：（Ⅰ）由1122,a b a b ==得：a ba b ab =⎧⎨+=⎩，解得：0a b ==或2a b ==，,a b N +∈， 2a b ∴==，从而2,2nn n a n b ==…………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得132,6a a ==，∴1213,,,k n n n a a a a a ，，，构成以2为首项，3为公比的等比数列，即：123k k n a +=⋅ ……………………………………………………… 7分1223k k n +=⋅，13k k n +∴=…………………………………………10分(Ⅲ) 由11223a b a <<<得：2a b a b ab a b <<+<<+， 由a b ab +<得：()1a b b ->；由2ab a b <+得：()12a b b-<，而*,,a b N a b ∈<，即：1b a >≥，从而得：12211241111b b a b b b b <+=<<=+≤----，2,3a ∴=，当3a =时，2b =不合题意，故舍去，所以满足条件的2a =. …………………………………………………………………12分 又2(1)m a b m =+-，12n n b b -=⋅，故()1212n b m t b -+-+=⋅，即：()1212n m b t--+=+①若1210n m --+=，则2t N =-∉，不合题意；………………………………… 14分②若1210n m --+≠，则1221n t b m -+=-+，由于121n m --+可取到一切整数值，且3b ≥，故要至少存在三个b 使得()m n a t b t N +=∈成立，必须整数2t +至少有三个大于或等于3的不等的因数，故满足条件的最小整数为12，所以t 的最小值为10，此时3b =或4或12…………………………………………………………………16分附加题部分21． A ．（1）证明：连结ON ．∵PN 切⊙O 于N ，∴∠ONP=90°．∴∠ONB+∠BNP=90°． ∵OB=ON ，∴∠OBN=∠ONB ．∵BO ⊥AC 于O ，∴∠OBN +∠BMO=90°．∴∠BNP=∠BMO=∠PMN ，∴PM=PN ． ∴PM2=PN2=PA·PC ．………………………………………………………5分（2）解：OM=2，BO=BM=4．∵BM·MN=CM·MA=(+2)(-2)=8，∴MN=2．………………………………10分B ．解：MN = 1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦=10202⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，---------------------------------------------------4分即在矩阵MN 变换下122x x x y y y ⎡⎤''⎡⎡⎤⎤⎢⎥→=⎢⎢⎥⎥⎢⎥''⎦⎦⎣⎣⎢⎦⎣，-------------------------------------7分 则1sin 22y x ''''=，即曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式为2sin 2y x =．----------10分C ．解：（1）圆O ：cos sin ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+， 圆O 直角坐标方程为：22x y x y +=+，直线sin 4l ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭:， 即sin cos 1ρθρθ-=，则直线l 的直角坐标方程为：1y x -=； --------------------------------------6分（2）由220,10,x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩得0,1,x y =⎧⎨=⎩故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1,)2π．----------------------------------10分D ．证明：（1）当2n =时，左边＝11113123412++=>，∴2n =时成立； ----------3分（2）假设当(2)n k k =≥时成立，即21111112k k k k ++++>++，那么当1n k =+时，左边2221111()11(1)k k k k =++++++++ 222111111()11(1)k k k k k k =++++++-+++2221111(21)111(1)k k k k k k k -->++⋅-=+>++，∴1n k =+时也成立， --------------------------------------8分根据（1）（2）可得不等式对所有的1n >都成立． ---------------------------10分22．解：（1）分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件1A 、2A 、3A ；E 表示事件“恰有一人通过笔试”，则123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++0.60.50.60.40.50.60.40.50.4=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.38=；--------------5分（2）解法一：因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为0.3p =，所以~(30.3)B ξ，，故()30.30.9E np ξ==⨯=．------------10分 解法二：分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件AB C ，，， 则()()()0.3P A P B P C ===所以2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=， 2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=，3(3)0.30.027P ξ===． 于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=．23．解：（1）设N(x ，y)．因PN PM +=0，故P 的坐标为(2x，0)，M(0，-y)，于是，(,)2x PM y =--，(,1)2x PF =-， 因0PM PF ⋅=，即得曲线C 的方程为x2=4y ； -------------------5分（2）设Q(m ，-1)．由题意，两条切线的斜率k 均存在，故可设两切线方程为y=k(x-m)-1， 将上述方程代入x2=4y ，得x2-4kx+4km+4=0，依题意，∆=(-4k)2-4(4km+4)=0，即k2-mk-1=0，上述方程的两根即为两切线的斜率，其积为-1，即它们所在直线互相垂直． -------------------10分。

≠2010—2011学年度高中毕业班第一次调研考试数学试题（理科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试题卷上答题无效。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

注意事项： 1．答题前，考生务必先认真核对条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号，无误后将本人姓名、考生号、考场号和座位号填在答题卡相应位置，座位号同时填涂在答题卡背面左上角，将条形码粘贴在答题卡指定的位置，并将试题卷装订线内项目填写清楚。

2．选择题答案必须使用2B 铅笔规范填涂。

如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．非选择题答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写。

4．严格按题号所指示的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

5．保持答题卡清洁、完整，严禁折叠、严禁在答题卡上作任何标记，严禁使用涂改液和修正带。

第Ⅰ卷 选择题本卷共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是 334R V π=球P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 其中R 表示球的半径次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(一、选择题1．已知集合2{|1},{|1},M x x N x ax N M ====⊂集合若，那么a 的值是 （ ）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．0，1或-1 2．已知角α的终边过点(8,6sin30)P m --︒，且4cos 5α=-，则m 的值为 （ ）A ．12-B．C ．12 D3．命题“对任意的32,10x R x x ∈-+≤”的否定是 （ ）A ．不存在32,10x R x x ∈-+≤B ．存在32,10x R x x ∈-+≤C ．存在32,10x R x x ∈-+>D ．对任意的32,10x R x x ∈-+>4．函数()sin()4f x x π=-的一个单调增区间为（ ）A ．37,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭D ．3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 5．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A B I ⊆⊆，则下列各式中错误的是 （ ）A ．()I C AB I ⋃= B ．()()I IC A C B I ⋃=C ．()I A C B φ⋂=D ．()()I I I C A C B C B ⋂=6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,,60,1,a b c A a b c =︒==则等于（ ）A ．1B ．2C 1D 7．如果01a <<，那么下列不等式中正确的是（ ）A ．1132(1)(1)a a ->- B ．(1)log (1)0a a -+>C ．32(1)(1)a a ->+D ．1(1)1aa +->8．已知二次函数()f x 的图象如右图所示，则其导函数()f x '的图象大致形状是 （ ）9．设函数()f x 是定义在R 上的以5为周期的奇函数，若23(2)1,(3)3a a f f a ++>=-，则a 的取值范围是（ ）A ．(,2)(0,3)-∞-⋃B ．(2,0)(3,)-⋃+∞C ．(,2)(0,)-∞-⋃+∞D ．(,0)(3,)-∞⋃+∞10．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 （ ）A ．3πB ．2π C D ．211．已知函数①23()5f x x-=②cos ()5x f x e =；③()5x f x e =；④()5ln f x x =。

第6题江苏省盐城市2010/2011学年度高三年级第一次调研考试数学试题一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．1．已知集合{}{}4,2,0,2,4,|13=--=-<<P Q x x ，则P Q = ． 2．若复数1234,12(z i z i i =+=+是虚数单位)，则12-z z = ． 3．命题：,sin 2x R x ∀∈<的否定是 ．4．某单位有职工100人，其中不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人， 50岁及以上的有30人．现在用分层抽样的方法抽取20人进行问卷调查，则35岁到49岁的应抽取 人．5．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 ．6．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S= ． 7．函数23cos(2)4π=--y x x 的最小正周期为 ． 8．观察下列几个三角恒等式：①tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101++=； ②tan5tan100tan100tan(15)+- tan(15)tan51+-= ； ③tan13tan35tan35tan 42tan 42tan131++=．一般地，若tan ,tan ,tan αβγ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为 ． 9．已知点(,)P a b 关于直线l 的对称点为(1,1)'+-P b a ，则圆22:+C x y 620--=x y 关于直线l 对称的圆'C 的方程为 ．10．设,x y 满足约束条件1210,0≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩y x y x x y ，若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为35，则a b +的最小值为 ．11．已知平面,,αβγ，直线,l m 满足：,,,αγγαγβ⊥==⊥ m l l m ，那么①m β⊥； ②l α⊥； ③βγ⊥； ④αβ⊥．可由上述条件可推出的结论有 (请将你认为正确的结论的序号都填上)．12．在ABC ∆中，60ACB ∠=，sin :sin 8:5A B =，则以,A B 为焦点且过点C 的椭圆的离心率为 ．13．已知{n a }是公差不为0的等差数列，{n b } 是等比数列，其中1122432,1,,2a b a b a b ====，且存在第15题 C 1ABCDEFA 1B 1 第16题第17题常数α、β ，使得n a =log n b αβ+对每一个正整数n 都成立，则βα= ．14．已知函数2342011()12342011=+-+-+⋅⋅⋅+x x x x f x x ，2342011()12342011=-+-+-⋅⋅⋅-x x x x g x x ，设()(3)(3)=+⋅-F x f x g x ，且函数()F x 的零点均在区间[,](,,)<∈a b a b a b Z 内，则-b a 的最小值为 ．二．解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．（本小题满分14分） 如图，O 为坐标原点，点,,A B C 均在⊙O 上，点A 34(,55，点B 在第二象限，点C (1,0)．（1）设COA θ∠=，求sin 2θ的值；（2）若AOB ∆为等边三角形，求点B 的坐标． 16．（本小题满分14分）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，E 、F 分别为A 1C 1、B 1C 1的中点， D 为棱CC 1上任一点．（1）求证：直线EF ∥平面ABD ； （2）求证：平面ABD ⊥平面BCC 1B 1． 17．（本小题满分16分） 已知抛物线:C 22(0)y px p =>的准线为l ，焦点为F ．⊙M 的圆心在x 轴的正半轴上，且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为3π的直线n ，交l 于点A ，交⊙M 于另一点B ，且2AO OB ==． （1）求⊙M 和抛物线C 的方程；（2）若P 为抛物线C 上的动点，求PM PF ⋅的最小值；（3）过l 上的动点Q 向⊙M 作切线，切点为,S T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．18．（本小题满分14分）因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放(14≤≤a a ，且)∈a R 个单位的药剂，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (天)变化的函数关系式近似为()y a f x =⋅，其中161(04)8()15(410)2⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩x xf x x x ．若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效治污的作用． （1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天?（2）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a 的最小值(精确到0.11.4)． 19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足12,a =前n 项和为n S ，11()2()n n npa n n a a n n ++-⎧=⎨--⎩为奇数为偶数．（1）若数列{}n b 满足221(1)n n n b a a n +=+≥，试求数列{}n b 前n 项和n T ； （2）若数列{}n c 满足2n n c a =，试判断{}n c 是否为等比数列，并说明理由； （3）当12p =时，问是否存在*n N ∈，使得212(10)1n n S c +-=，若存在，求出所有的n 的值；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分16分）已知函数2()|ln 1|f x x a x =+-，()||22ln 2,0g x x x a a =-+->． （1）当1a =时，求函数()f x 在区间[1,]e 上的最大值；（2）若3(),[1,)2f x a x ≥∈+∞恒成立，求a 的取值范围； （3）对任意1[1,)x ∈+∞，总存在惟一．．的．2[2,)x ∈+∞，使得12()()f xg x =成立， 求a 的取值范围．附加题部分21．（选做题）在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内． A ．（选修4—1：几何证明选讲）如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点，⊥OC AB ，过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连结CF 交AB 于点E ．求证：2DE DB DA =⋅． B ．（选修4—2：矩阵与变换）求矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值及对应的特征向量． C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值． D ．（选修4—5：不等式选讲）A D第21-A 题已知0>m ， a ， b ∈R ，求证：()222a mba mb ++≤．（必做题）第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内． 22．（本小题满分10分）设,m n N ∈，()(12)(1)m n f x x x =+++．（1）当m n ==2011时，记220110122011()f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，求0122011a a a a -+-⋅⋅⋅-； （2）若()f x 展开式中x 的系数是20，则当m 、n 变化时，试求2x 系数的最小值．23．（本小题满分10分）有一种闯三关游戏规则规定如下：用抛掷正四面体型骰子（各面上分别有1，2，3，4点数的质地均匀的正四面体）决定是否过关，在闯第(1,2,3)n n =关时，需要抛掷n 次骰子，当n 次骰子面朝下的点数之和大于2n 时，则算闯此关成功，并且继续闯关，否则停止闯关． 每次抛掷骰子相互独立． （1）求仅闯过第一关的概率；（2）记成功闯过的关数为ξ，求ξ的分布列和期望．参考答案一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．1．{}0,2 2．22+i 3．,sin 2∃∈≥x R x 4．5 5．346．61 7．π 8．90,tan tan tan tan tan tan 1αβγαββγγα++=++=当时 9．22(2)(2)10-+-=x y 10．8 11．②④ 12．71313．4 14．9 二．解答题：本大题共6小题，计90分． 15．解：（1）因为34cos ,sin 55θθ==，所以24sin 22sin cos 25θθθ==．（2）因为AOB ∆为等边三角形，所以60AOC ∠=，所以cos cos(60)∠=∠+BOC AOC =同理，sin BOC ∠=，故点A 的坐标为． 16．证明：（1）因为E 、F 分别为11AC 、11B C 的中点，所以11////EF AB AB ．而EF ABD ⊄面， AB ABD ⊂面，所以直线EF ∥平面ABD ．（2）因为三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱，所以1AB BB ⊥，又AB BC ⊥，而1BB ⊂面11BCC B ，BC ⊂面11BCC B ，且1BB BC B = ，所以AB ⊥面11BCC B ，又AB ABD ⊂面，所以平面ABD ⊥平面11BCC B ．17．（1）解：因为1cos 602122p OA =⋅=⨯= ，即2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =．设⊙M 的半径为r ，则122cos 60OB r =⋅= ，所以M 的方程为22(2)4x y -+=． （2）解：设(,)(0)P x y x ≥，则(2,)(1,)PM PF x y x y ⋅=----=222322x x y x x -++=++，所以当0x =时， PM PF ⋅有最小值为2．（3）证明：以点Q 这圆心，QS 为半径作⊙Q ，则线段ST 即为⊙Q 与⊙M 的公共弦． 设点(1,)Q t -，则22245QS QM t =-=+，所以⊙Q 的方程为222(1)()5x y t t ++-=+ 从而直线QS 的方程为320x ty --=(*)．因为230x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩一定是方程(*)的解，所以直线QS 恒过一个定点，且该定点坐标为2(,0)3．18．解：（1）因为4a =，所以644(04)8202(410)x y x x x ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩则当04x ≤≤时，由64448x-≥-，解得0x ≥，所以此时04x ≤≤；当410x <≤时，由2024x -≥，解得8x ≤，所以此时48x <≤．综合，得08x ≤≤，若一次投放4个单位的制剂，则有效治污时间可达8天． （2）当610x ≤≤时，1162(5)(1)28(6)y x a x =⨯-+---=161014a x a x -+--=16(14)414a x a x -+---， 因为14[4,8]x -∈，而14a ≤≤，所以[4,8]，故当且仅当14x -=时，y有最小值为4a -．令44a -≥，解得244a -≤≤，所以a的最小值为24 1.6-≈．19．解：（1）据题意得2214n n n b a a n +=+=-，所以{}n b 成等差数列，故222n T n n =--． （2）当12p =时，数列{}n c 成等比数列；当12p ≠时，数列{}n c 不为等比数列． 理由如下：因为122212n n n c a p a n +++==+2(4)2np a n n =--+42n pc pn n =--+，所以12(12)n n nc n p p c c +-=-+，故当12p =时，数列{}n c 是首项为1，公比为12-等比数列；当12p ≠时，数列{}n c 不成等比数列． （3）当12p =时，121()2n n n a c -==-，121214()2n n n n a b a n -+=-=---． 因为21112...n n S a b b b +=++++=2222n n --+(1n ≥)，212(10)1n n S c +-= ，244164nn n ∴++=， 设2()44416x f x x x =---(2)x ≥，则()()4ln 484x g x f x x '==--，2()(ln 4)480x g x '∴=->(2)x ≥，且(2)(2)0g f '=>，()f x ∴在[2,)+∞递增，且(30f =），(1)0f ≠， ∴仅存在惟一的3n =使得212(10)1n n S c +-=成立．20．解：（1）当1a =，[1,]x e ∈时2()ln 1f x x x =-+，1()2(1)1f x x f x''=-≥=，所以()f x 在[1,]e 递增，所以2max ()()f x f e e ==．（2）①当e x ≥时，a x a x x f -+=ln )(2，xax x f +='2)(，0>a ，0)(>∴x f 恒成立， )(x f ∴在),[+∞e 上增函数，故当e x =时，2min )(e e f y ==；②当e x <≤1时，2()ln =-+f x x a x a ，)2)(2(22)(a x a x x x a x x f -+=-=' （ⅰ）当,12≤a即20≤<a 时，)(x f '在),1(e x ∈时为正数，所以)(x f 在区间),1[e 上为增函数，故当1=x 时，a y +=1min ，且此时)()1(e f f <2=e ，（ⅱ）当e a <<21，即222e a <<时，)(x f '在)2,1(a x ∈时为负数，在间),2(e ax ∈ 时为正数，所以)(x f 在区间)2,1[a 上为减函数，在],2(e a 上为增函数，故当2ax =时，2ln 223min a a a y -=，且此时)()2(e f af <2=e ， （ⅲ）当e a≥2，即 22e a ≥时，)(x f '在),1(e x ∈时为负数，所以)(x f 在区间[1，e]上为减函数，故当e x =时，2min )(e e f y ==．综上所述，函数)(x f y =的最小值为⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-≤<+=222min2,22,2ln 22320,1e a e e a a a a a a y 所以当312a a +≥时，得02a <≤；当33ln 2222a a a a -≥(222a e <<)时，无解；当232e a ≥ （22a e ≥）时，得a ≤不成立．综上，所求a 的取值范围是02a <≤．（3）①当02a <≤时，()g x 在[2,)+∞单调递增，由(2622ln 21g a a =--≤+），得52ln 2233a -≤≤； ②当122a <≤时，()g x 在[2,)+∞先减后增，由3(2222ln 2ln 222=--<-）a a ag a ，得ln 22ln 20222a a a +--<，设()ln 22ln 2(2a h t t t t t =+--=，()2ln 0(12)h t t t '=+><<，所以()h t 单调递增且(2)0h =，所以()0h t <恒成立得24a <<；③当222a e <<时，()f x 在[2,]2a 递增，在[,]2aa 递减，在[,)a +∞递增，所以由(2a g 3ln 222a a a <-，得23ln 22ln 204222a a a a-++-<，设2()3ln 22ln 2m t t t t t =-++-，则2()22ln 0((2,)m t t t t e '=-+>∈，所以()m t 递增，且(2)0m =，所以()0m t >恒成立，无解．④当22a e >时，()f x 在[2,]2a 递增，在[,]2a a 递减，在[,)a +∞递增，所以由(2ag e <得2222ln 204a e -+-<无解． 综上，所求a 的取值范围是52[ln 2,4)33a ∈-．附加题部分21．A ．证明：连结OF ，因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD=90°，所以∠OFC+∠CFD=90°． 因为OC=OF ，所以∠OCF=∠OFC ，又因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF+∠CEO=90°．所以∠CFD=∠CEO=∠DEF ，所以DF=DE ，因为DF 是⊙O 的切线，所以DF 2=DB·DA ，所以DE 2=DB·DA ． B ．解：特征多项式2221()(2)14312f λλλλλλ--==--=-+--．由()0f λ=，解得121,3λλ==．将11λ=代入特征方程组，得0,0--=⎧⎨--=⎩x y x y 0⇒+=x y ，可取11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦为属于特征值λ1=1的一个特征向量．同理，当23λ=时，由0,00x y x y x y -=⎧⇒-=⎨-+=⎩，所以可取11⎡⎤⎢⎥⎣⎦为属于特征值23λ=的一个特征向量．综上所述，矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个特征值1213λλ==，；属于11λ=的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，属于23λ=的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．解：（1）曲线C 的极坐标方程可化为22sin ρρθ=．又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=．（2）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得4(2)3y x =--．令0y =，得2x =，即M 点的坐标为(2，0)． 又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(1，0)，半径1r =，则MC 所以1MN MC r +≤． D ．证明：因为0m >，所以10m +>，所以要证()222a mba mb ++≤，即证222()(1)()a mb m a mb +≤++，即证22(2)0m a ab b -+≥，即证2()0a b -≥，而2()0a b -≥显然成立，故()22211a mba mb m m++≤++． 22．解：（1）令1x =-，得0122011a a a a -+-⋅⋅⋅-=20112011(12)(11)1-+-=-．（2）因为112220m n C C m n +=+=，所以202n m =-，则2x 的系数为2222m nC C +(1)42m m -=⨯ (1)2n n -+222m m =-1(202)(192)2m m +--=2441190m m -+，所以当5,10m n ==时，()f x 展开式中2x 的系数最小，最小值为85．23．解：（1）记“仅闯过第一关的概率”这一事件为A ，则339()41664P A =⋅=． （2）由题意得，ξ的取值有0，1，2，3，且1(0)4p ξ==，9(1)64p ξ==，(2)p ξ==3135641664⋅⋅273512=，(3)p ξ==313841664⋅⋅39=，即随机变量ξ的概率分布列为：所以，10123464512512512E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．。

2011年广西桂林市高三第一次调研数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1. 已知复数Z 的共轭复数Z ¯=2+i 1−i，则复数Z 对应的点位于（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2. 设全集I =R ，集合M ={x||x|<2}，N ={x|xx−2<0}，则(∁I N)∩M =( ) A [−2, 0] B (−2, 0]∪[2, +∞) C (−2, 0] D [0, 2) 3. 设0<b <a <1，则下列不等式恒成立的是（ ）A ab <b 2<1B log 12b <log 12a <0 C 2<2a <2b D |a|−|b|=|a −b|4. 已知函数f(x)=2x 的反函数为f −1(x)，若f −1(a)+f −1(b)=4，则1a+1b的最小值为（ ）A 1B 12C 13D 145. 已知向量满足|a →|=2|b →|，若p ：关于x 的方程x 2+|a →|x +a →⋅b →=0没有实数根；q ：向量a →，b →的夹角θ∈[0, π6)，则p 是q 的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 6. 已知点M 在曲线x 2+y 2+4x +3=0，点N 在不等式组{x −2≤03x +4y ≥4y −3≤0所表示的平面区域上，那么|MN|的最小值是（ ） A 1 B2√103 C 2√103−1 D 27. 如果|cosθ|=15，5π2<θ<3π，那么sin θ2的值为（ ）A√105 B √155 C −√105 D −√1558. 在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n +1}也是等比数列，则S n 等于（ ）A 2n+1−2B 3nC 2nD 3n −19. 曲线y =2sin(x +π4)cos(x −π4)和直线y =12在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|等于（ ） A π2 B 3π4 C π D 2π10. 若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点F 分成3:1两段，则此椭圆的离心率为（ ） A 12 B √22 C 13 D √3311. 设向量m →=(sinB, √3cosB)，n →=(√3cosC, sinC)，且A 、B 、C 分别是△ABC 的三个内角，若m →⋅n →=1+cos(B +C)，则A =( ) A 5π6 B π3 C 2π3 D π612. 函数y =f(x)(x ∈R)满足：对一切x ∈R,f(x)≥0,f(x +1)=√7−f 2(x)，当x ∈[0,1)时，f(x)={x +2(0≤x <√5−2)√5(√5−2≤x <1)则f(2011−√3)=( )A √2B 2−√3C 2+√3D 2√2√3−3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13. 不等式3−√1−x >√33的解集是________． 14. 已知双曲线C ：x 29−y 216=1的左、右焦 点分别为F 1、F 2，P 为C 的右支上一点，且|PF 2→|=|F 1F 2→|，则△PF 1F 2的面积等于________．15. 已知直线l ：y =−12x +m 与曲线C ：y =12√|4−x 2|仅有三个交点，则实数m 的取值范围是________．16. 已知函数f(x)的导数f′(x)=a(x +1)⋅(x −a)，若f(x)在x =a 处取到极大值，则a 的取值范围是________．三、解答题（共6小题，满分70分）17. 设函数f(x)=cosωx(sinωx +cosωx)，其中0<ω<2． （1）若f(x)的周期为π，求当−π6≤x ≤π3时，f(x)的值域（2）若函数f(x )的图象的一条对称轴为x =π3，求ω的值．18. 学校决定对教学楼部分房间配制现代化的电子教学设备，并对其中两种电子设备配备外壳，现有A 种电子装置45台，B 种电子装置55台，需用到两种规格的薄金属板；甲种薄金属板每张面积2m 2，可做A 、B 的外壳分别为3个和5个，乙种薄金属板每张面积3m 2，可做A 、B 的外壳各6个，求两种薄金属板各用多少线时，才能使用料总的面积最小．19. 在数列{a n }中，已知a 1=1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且对任意正整数n ，S n+1=4a n +2．（1）令b n =a n+1−2a n (n =1, 2,…)，证明{b n }是等比数列，并求{b n }的通项公式； （2）令f(x)=xln(1+x)−a(x +1)，为数列{1log2c n+2⋅log 2c n+1}的前n 项和，求limn →∞T n．20. 已知函数f(x)=xln(1+x)−a(x +1)，其中a 为常数．（1）当x ∈[1, +∞)时，f ′(x)>0恒成立，求实数a 的取值范围；（2）求g(x)=f′(x)−axx+1的单调区间．21. 在直角坐标平面内，已知点A(2, 0)，B(−2, 0)，P是平面内一动点，直线PA、PB斜率之积为−34．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点(12, 0)作直线l与轨迹C交于E、F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k 的取值范围．22. 已知函数y=f(x)，x∈N∗，y∈N∗满足：①对于任意a，b∈N∗，a<b，都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a)；②对任意n∈N∗，都有f[f(n)]=3n．（1）证明：f(x)为N∗上的单调增函数；（2）求f(1)，f(2)，f(3)的值；（3）令a n=f(3n)，n∈N∗，证明：n4n+2≤1a1+1a2+⋯+1a n<14．2011年广西桂林市高三第一次调研数学试卷（理科）答案1. A2. C3. D4. B5. B6. A7. D8. C9. C10. B11. C12. A13. (34, 1]14. 4815. (1, √2)16. (−1, 0)17. 解：f(x)=√32sin2ωx+12cos2ωx+12=sin(2ωx+π6)+12．（1）因为T=π，所以ω=1．∴ f(x)=√32sin2ωx+12cos2ωx+12=sin(2x+π6)+12当−π6≤x≤π3时，2x+π6∈[−π6, 5π6]，所以f (x)的值域为[0, ]．（2）因为f(x)的图象的一条对称轴为x=π3，所以2ω(π3)+π6=kπ+π2(k∈Z)，ω=32k+12(k∈Z)，又0<ω<2，所以−13<k<1，又k∈Z，所以k=0，ω=12．18. 两种薄金属板各用5张时，才能使用料总的面积最小．19. 解（1）a n+1=S n+1−S n=4(a n−a n−1)①∵ b n=a n+1−2a n∴ b n+1=a n+2−2a n+1由①得b n+1=4(a n+1−a n)−2a n+1=2(a n+1−2a n)∴ b n+1b n =2(a n+1−2a n)a n+1−2a n=2∴ b n}是公比为2的等比数列∵ b1=a2−2a1=3∴ b n=3×2n−1（2）∵ C n=b n3=2n−1∴ 1log2c n+2⋅log2c n+1=1n(n+1)∴ T n=(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1∴ limn→∞T n=limn→∞(1−1n+1)=120. 解：（1）由f′(x)=ln(1+x)+x1+x−a>0得a<ln(1+x)+x1+x，令ℎ(x)=ln(1+x)+x1+x ，则ℎ′(x)=11+x+1(1+x)2．当x∈[1, +∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在[1, +∞)上递增，∴ a<ℎ(1)=12+ln2．∴ 实数a的取值范围是(−∞, 12+ln2)．（2）g(x)=ln(1+x)+(1−a)xx+1−a，x∈(−1, +∞)则g′(x)=11+x −1−a(x+1)2=x+2−a(x+1)2①当a>1时，x∈(−1, a−2)，g′(x)<0，g(x)是减函数，x∈(a−2, +∞)时，g′(x)>0，g(x)是增函数．②当a ≤1时，x ∈(−1, +∞)，g ′(x)>0，g(x)是增函数．所以：当a >1时，减区间为(−1, a −2)，增区间为(a −2, +∞)； 当a ≤1时，增区间为(−1, +∞)． 21. 解：（1）设P 点的坐标为(x, y)， 依题意，有y x−2⋅yx+2=−34(x ≠±2)．化简并整理，得x 24+y 23=1(x ≠±2)．∴ 动点P 的轨迹C 的方程是x 24+y 23=1(x ≠±2)．（2）依题意，直线l 过点(12，0)且斜率不为零，故可设其方程为x =my +12，由方程组{x =my +12x 24+y 23=1消去x ，并整理得4(3m 2+4)y 2+12my −45=0设E(x 1, y 1)，F(x 2, y 2)，M(x 0, y 0)，则 ∴ y 1+y 2=−3m3m 2+4， ∴ y 0=y 1+y 22=−3m2(3m 2+4)∴ x 0=my 0+12=23m 2+4，∴ k =y 0x 0−2=m4m 2+4，①当m =0时，k =0； ②当m ≠0时，k =14m+4m∵ |4m +4m |=4|m|+4|m|≥8，∴ 0<1|4m+4m|≤18．∴ 0<|k|≤18．∴ −18≤k ≤18且k ≠0．综合①②可知直线MA 的斜率k 的取值范围是：−−18≤k ≤18．22. 解：（1）由①知，对任意a ，b ∈N ∗，a <b ，都有(a −b)（f(a)−f(b)）>0， 由于a −b <0，从而f(a)<f(b)， 所以函数f(x)为N ∗上的单调增函数．（2）令f(1)=a ，则a ≥1，显然a ≠1，否则f （f(1)）=f(1)=1，与f （f(1)）=3矛盾．从而a >1，而由f （f(1)）=3， 即得f(a)=3．又由（1）知f(a)>f(1)=a，即a<3．于是得1<a<3，又a∈N∗，从而a=2，即f(1)=2．进而由f(a)=3知，f(2)=3．于是f(3)=f（f(2)）=3×2=6，（3）f(a n)=f（f(3n)）=3×3n=3n+1，a n+1=f(3n+1)=f（f(a n)）=3a n，a1= f(3)=6．即数列{a n}是以6为首项，以3为公比的等比数列．∴ a n=6×3n−1=2×3n(n=1, 2, 3)．于是1a1+1a2+⋯+1a n=12(13+132+⋯+13n)=12×13(1−13n)1−13=14(1−13n)，显然14(1−13n)<14，另一方面3n=(1+2)n=1+C n1×2+C n2×22+...+C n n×2n≥1+2n，从而14(1−13n)≥14(1−12n+1)=n4n+2．综上所述，n4n+2≤1a1+1a2+⋯+1a n<14．。