高中数学学案：两条直线的相交

两条直线的位置关系——两条直线相交、平行与重合的条件时间：12月24日学习目标：1.掌握两直线相交、平行、重合的等价条件；2.会根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3.进一步体会归纳猜想、类比转化、分类讨论、数形结合等数学思想。

一、直线（斜截式方程）相交、平行与重合的条件自学完成下列学习内容，时间5分钟：1.在平面直角坐标系内作出直线221+=x y l ：，42:2+=x y l ，x y l -=:3的图象。

探究：（1）直线1l 与2l 的位置关系为： ；（2）从图象变换的角度理解：42:2+=x y l 的图象是由221+=x y l ：的图象向平行移动 个单位得到的。

因此，1l 与2l 为 直线；（3）直线1l 与3l 的位置关系为： ；思考：1.如果两条直线的斜率不相等，则两条直线相交，是否正确？2.如果两条直线的斜率相等，则两条直线平行，是否正确？归纳小结：已知直线111b x k y l +=：，222b x k y l +=：思考：与直线22+=x y l ：平行的直线的方程可设为： ； 推广：与直线b kx y l +=：平行的直线的方程可设为： ； 应用：求过点（-1，2），且与直线121+=x y 平行的直线的方程。

二、直线（一般式方程）相交、平行与重合的条件自学课本81页——82页，完成下列内容，时间10分钟：自学指导：（1）弄清楚两条直线相交的条件；（2）弄清楚两条直线平行或者重合的条件；（3）弄清楚两条直线平行的条件；（4）弄清楚两条直线重合的条件；检测题：1. 课本84页，练习A ：22. 直线02=-+k y x 与0124=+-y x 的位置关系是： ；3. 已知直线l 的方程为34120x y +-=，则与l 平行，且过点（—1，3）的直线方程是 ___ ___；归纳小结：已知两直线的方程01111=++C y B x A l ：，02222=++C y B x A l ：思考：如果222,,C B A 全不为0，上述结论如何等价转化？（提示：参考课本82页表格） 归纳小结：思考：与直线0543=-+y x 平行的直线的方程可以设为： ； 推广：与直线0=++C By Ax l ：平行的直线的方程可以设为： ； 应用：求过点（1，-4），且与直线0532=++y x 平行的直线的方程。

高中数学两直线交点教案教学目标：1. 理解两条直线的交点概念。

2. 掌握求解两直线交点的方法。

3. 能够应用所学知识解决实际问题。

教学重点：1. 直线的方程形式。

2. 求解两直线交点的方法。

教学难点：1. 通过代数方法求解两直线交点。

2. 将代数方法应用于实际问题。

教学准备：1. 教师准备：课件、板书、教学素材。

2. 学生准备：课本、笔记、计算器。

教学流程：Step 1：导入教师引导学生回顾直线的基本性质，以及两条直线相交的情况。

Step 2：理论学习1. 讲解两直线交点的定义。

2. 介绍求解两直线交点的方法：代数方法。

3. 举例说明代数方法的具体步骤。

Step 3：示范演练教师通过板书和实例演示如何求解两直线交点，学生跟随进行练习。

Step 4：练习检测学生独立进行练习，检测其对两直线交点的理解和掌握程度。

Step 5：拓展应用教师带领学生应用所学知识解决实际问题，如求解交通信号灯的优化问题等。

Step 6：课堂总结教师总结本节课的重点内容，强调两直线交点的概念和求解方法，并提出下节课预习内容。

Step 7：作业布置布置作业，巩固所学知识。

教学反馈：通过学生作业和课堂表现等方式进行教学反馈，及时发现和解决问题。

教学延伸：鼓励学生主动探索更多应用场景，深入了解两直线交点的实际意义。

资源链接：1. 直线方程的概念及性质2. 两直线交点的相关练习题以上为本节课的教案内容，希望能够帮助学生更好地理解和掌握两直线交点的求解方法。

祝学生学习顺利！。

3.3.1 两条直线的交点坐标【教学目标】1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，2.当两条直线相交时，会求交点坐标.3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.【重点难点】教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点. 教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.【教学过程】导入新课问题1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系.课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法.问题2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题.新知探究 提出问题①已知两直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如何判断这两条直线的关系？ ②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？ ③解下列方程组(由学生完成)：(ⅰ)⎩⎨⎧=++=-+022,0243y x y x ; (ⅱ)⎪⎩⎪⎨⎧+==+-2131,0362x y y x ; (ⅲ)⎪⎩⎪⎨⎧+==-2131,062x y y x .如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？④当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形的交点坐标.几何元素及关系代数表示 点A A(a ，b) 直线l l ：Ax+By+C=0点A 在直线上 直线l 1与l 2的交点A关系.设两条直线的方程是l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 是否有唯一解.(ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l 1与l 2相交;(ⅱ)若二元一次方程组无解，则l 1与l 2平行;(ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l 1与l 2重合.即直线l 1、l 2联立得方程组⎪⎩⎪⎨⎧⇔⎪⎩⎪⎨⎧.,,212121平行重合相交无解无穷多解唯一解转化、l l 、l l 、l l(代数问题) (几何问题)③引导学生观察三组方程对应系数比的特点：(ⅰ)23≠14;(ⅱ)21316312=--=;(ⅲ)16312--=≠211.一般地，对于直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0(A 1B 1C 1≠0,A 2B 2C 2≠0),有方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⇔≠=⇔⇔==⇔⇔≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.,,002121212121212121212121222111平行无解重合无穷多解相交唯一解l l C CB B A A l lC C B B A A l l B B A A C y B x A C y B x A . 注意：(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂，重在应用.(b )如果A 1,A 2,B 1,B 2,C 1,C 2中有等于零的情况，方程比较简单，两条直线的位置关系很容易确定.④(a)可以用信息技术，当λ取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点.(b)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.(c)结论：方程表示经过这两条直线l 1与l 2的交点的直线的集合. 应用示例例1 求下列两直线的交点坐标,l 1：3x+4y-2=0,l 2：2x+y+2=0.解:解方程组⎩⎨⎧=++=-+,022,023y x y x 得x=-2，y=2，所以l 1与l 2的交点坐标为M(-2，2).变式训练求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l 1:x-2y+2=0,l 2:2x-y-2=0.解:解方程组x-2y+2=0,2x-y-2=0, 得x=2,y=2,所以l 1与l 2的交点是(2,2).设经过原点的直线方程为y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得k=1,所以所求直线方程为y=x.点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式. 例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标. (1)l 1：x-y=0，l 2：3x+3y-10=0. (2)l 1：3x-y+4=0，l 2：6x-2y-1=0. (3)l 1：3x+4y-5=0，l 2：6x+8y-10=0. 活动：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后再进行讲评.解:(1)解方程组⎩⎨⎧=-+=-,01033,0y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.35,35y x所以l 1与l 2相交,交点是(35,35). (2)解方程组⎩⎨⎧=--=+-)2(,0126)1(,043y x y x①×2-②得9=0,矛盾,方程组无解,所以两直线无公共点,l 1∥l 2. (3)解方程组⎩⎨⎧=-+=-+)2(,01086)1(,0543y x y x①×2得6x+8y-10=0.因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l 1与l 2重合.变式训练判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点.(1)l 1:7x+2y-1=0,l 2:14x+4y-2=0.(2)l 1:(3-2)x+y=7,l 2:x+(3+2)y-6=0.(3)l 1:3x+5y-1=0,l 2:4x+3y=5.答案：(1)重合，(2)平行，(3)相交，交点坐标为(2，－1).例3 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程. 思路解析：根据本题的条件，一种思路是先求出交点坐标，再设所求直线的点斜式方程求出所要求的直线方程；另一种思路是利用直线系(平行系或过定点系)直接设出方程，根据条件求未知量，得出所求直线的方程.解：(方法一)由方程组⎩⎨⎧=++=0,2y x 0,3-3y -2x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.57,53y x∵直线l 和直线3x+y-1=0平行， ∴直线l 的斜率k=-3. ∴根据点斜式有y-(57-)=-3［x-(53-)］，即所求直线方程为15x+5y+16=0.(方法二)∵直线l 过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点， ∴设直线l 的方程为2x-3y-3+λ(x+y+2)=0， 即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0. ∵直线l 与直线3x+y-1=0平行， ∴1321332--≠-=+λλλ.解得λ=211. 从而所求直线方程为15x+5y+16=0.点评：考查熟练求解直线方程，注意应用直线系快速简洁解决问题。

2．2.3 两条直线的位置关系第1课时 两条直线相交、平行与重合的条件学习目标 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.能根据斜截式方程和一般式方程判定两条直线是否平行或重合.3.能应用两直线平行与重合求参数或直线方程．知识点 两条直线相交、平行与重合的条件思考1 直线l 1：2x ＋3y －6＝0与直线l 2：3x ＋2y ＋6＝0的位置关系是怎样的？思考2 直线l 3：2x ＋3y －2＝0与直线l 4：4x ＋6y ＋3＝0的位置关系是怎样的？梳理 两条直线相交、平行与重合的判定方法 (1)代数法两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系，可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解进行判断(如表所示)：(2)几何法设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1；l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则： ①l 1与l 2相交⇔____________； ②l 1∥l 2⇔________________； ③l 1与l 2重合⇔____________.类型一 两条直线位置关系的判定例1 判断下列各组中两条直线的位置关系． (1)l 1：y ＝3x ＋4，l 2：2x －6y ＋1＝0； (2)l 1：2x －6y ＋4＝0，l 2：y ＝x 3＋23；(3)l 1：(2－1)x ＋y ＝3，l 2：x ＋(2＋1)y ＝2； (4)l 1：x ＝5，l 2：x ＝6.反思与感悟 两条直线位置关系的判定方法 设两条直线的方程分别为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.(1)若A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2、B 2≠0)，则两直线相交．(2)若A 1A 2＋B 1B 2＝0，则两直线相互垂直．(3)若A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0或(B 1C 2－B 2C 1≠0)或A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)，则两直线平行．跟踪训练1 已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，直线l 1与l 2：(1)相交？(2)平行？(3)重合？类型二 两条直线平行的应用例2 (1)求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线方程； (2)求过点P (3,2)且与经过点A (0,1)，B (－2，－1)的直线平行的直线方程．反思与感悟 (1)求与直线y ＝kx ＋b 平行的直线的方程时，根据两直线平行的条件可巧设为y ＝kx ＋m (m ≠b )，然后通过待定系数法，求参数m 的值．(2)求与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程时，可设方程为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，代入已知条件求出m 即可．其中对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论．跟踪训练2 若直线l 与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为56，求直线l的方程．类型三 两条直线的交点问题例3 求经过原点，且经过直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点的直线l 的方程．反思与感悟 利用过交点的直线系方程避免了解方程组的过程，减少了运算量，因此我们必须熟练掌握这一方法，并能灵活运用它解决求过两直线交点的直线方程的问题．跟踪训练3 三条直线x ＋y ＋1＝0,2x －y ＋8＝0，ax ＋3y －5＝0只有两个不同的交点，则a ＝________.1．直线Ax ＋4y －1＝0与直线3x －y －C ＝0重合的条件是( ) A ．A ＝12，C ≠0 B ．A ＝－12，C ＝14C ．A ＝－12，C ≠－14D ．A ＝－12，C ＝－142．直线2x －y ＋k ＝0和直线4x －2y ＋1＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．不平行C ．平行或重合D ．既不平行也不重合3．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为( ) A ．－8 B ．0 C ．2D ．104．过点(－1，－3)且与直线2x ＋y －1＝0平行的直线方程为________________________． 5．已知▱ABCD 的三个顶点的坐标分别是A (0,1)，B (1,0)，C (4,3)，求顶点D 的坐标．两条直线相交、平行与重合的条件(1)两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系，可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解的个数进行判断，也可用直线方程的系数进行判断，方法如下：答案精析问题导学 知识点思考1 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －6＝0，3x ＋2y ＋6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝6.∴l 1与l 2相交．思考2 24＝36≠－23，∴l 3∥l 4.梳理 (1)平行 A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) 相交 A 1A 2≠B 1B 2 重合 A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(2)①k 1≠k 2 ②k 1＝k 2且b 1≠b 2 ③k 1＝k 2且b 1＝b 2 题型探究例1 解 (1)A 1＝3，B 1＝－1，C 1＝4； A 2＝2，B 2＝－6，C 2＝1. 因为A 1A 2≠B 1B 2，所以l 1与l 2相交．(2)A 1＝2，B 1＝－6，C 1＝4； 把l 2化为x －3y ＋2＝0， 所以A 2＝1，B 2＝－3，C 2＝2. 因为A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2，所以l 1与l 2重合．(3)A 1＝2－1，B 1＝1，C 1＝－3； A 2＝1，B 2＝2＋1，C 2＝－2. 因为A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，所以l 1与l 2平行．(4)A 1＝1，B 1＝0，C 1＝－5； A 2＝1，B 2＝0，C 2＝－6， 因为A 1B 2－A 2B 1＝0，而A 2C 1－A 1C 2≠0，所以l 1与l 2平行． 跟踪训练1 解 因为直线l 1：x ＋my ＋6＝0， 直线l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0， 所以A 1＝1，B 1＝m ，C 1＝6， A 2＝m －2，B 2＝3，C 2＝2m .(1)若l 1与 l 2相交，则A 1B 2－A 2B 1≠0， 即1×3－m (m －2)≠0， 即m 2－2m －3≠0， 所以(m －3)(m ＋1)≠0， 解得m ≠3且m ≠－1.故当m ≠3且m ≠－1时，直线l 1与l 2相交．(2)若l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－m (m －2)＝0，2m 2－18≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3＝0，m 2≠9，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠3且m ≠－3，所以m ＝－1.故当m ＝－1时，直线l 1与l 2平行．(3)若l 1与l 2重合，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－m (m －2)＝0，2m 2－18＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ＝3或m ＝－3.所以m ＝3.故当m ＝3时，直线l 1与l 2重合．例2 解 (1)方法一 已知直线的斜率为－23，∵所求直线与已知直线平行，∴所求直线方程的斜率为－23.由点斜式，得所求直线的方程为y ＋4＝－23(x －1)，即2x ＋3y ＋10＝0.方法二 设与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线l 的方程为2x ＋3y ＋λ＝0(λ≠5)． ∵l 经过点A (1，－4)，∴2×1＋3×(－4)＋λ＝0，解得λ＝10， ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0.(2)经过点A (0,1)，B (－2，－1)的直线的斜率为k ＝1－(－1)0－(－2)＝1.∵所求直线经过点P (3,2)， ∴所求直线方程为y －2＝x －3 即x －y －1＝0.跟踪训练2 解 设直线l 的方程为 2x ＋3y ＋C ＝0， 令x ＝0，得y ＝－C3，令y ＝0，得x ＝－C2.由题意，得－C 3－C 2＝56，解得C ＝－1.所以直线的方程为2x ＋3y －1＝0.例3 解 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，∴直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点坐标为(－1，－2)． 又直线l 经过原点， ∴直线l 的方程为y －0－2－0＝x －0－1－0，即2x －y ＝0. 方法二 设所求直线方程为2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0， ∵直线过原点(0,0)， ∴8－λ＝0，∴λ＝8，∴直线方程为2x ＋3y ＋8＋8x －8y －8＝0， 即2x －y ＝0. 跟踪训练3 3或－6解析 当直线ax ＋3y －5＝0与x ＋y ＋1＝0平行时，a ＝3. 当直线ax ＋3y －5＝0与2x －y ＋8＝0平行时， a 2＝3－1≠－58，得a ＝－6， ∴a ＝3或a ＝－6. 当堂训练 1．D 2.C 3.A 4．2x ＋y ＋5＝0解析 设所求直线方程为2x ＋y ＋C ＝0， 将点(－1，－3)代入方程， 2×(－1)－3＋C ＝0，得C ＝5. ∴直线方程为2x ＋y ＋5＝0.5．解 设D (m ，n )，由题意，得AB ∥DC ，AD ∥BC ， 则有k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC .所以⎩⎪⎨⎪⎧0－11－0＝3－n4－m，n －1m －0＝3－04－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝4.所以点D 的坐标为(3,4)．。

两条直线的位置关系【学习目标】1．掌握两条直线的位置关系。

2．能根据斜率判定两条直线平行或垂直。

3．学会利用斜率判定两条直线平行或垂直的应用。

4．通过自主学习、合作讨论探究，体验学习的快乐。

5．小组合作探究时，激情投入。

【学习重点】两条直线相交、平行、重合的条件，要求学生能熟练掌握，并灵活运用。

【学习难点】用代数方法推导两条直线相交、平行、重合条件的思路。

【学习过程】一、预习案相关知识在平面几何中，我们所学的两条直线的位置关系是什么？在平面直角坐标系中，怎样判定两条直线平行或垂直？还有其他方法吗？ 教材助读 1．两条直线平行我们知道，斜率相等的两条直线倾斜角相等，它们相互平行；反之，两条直线平行，它们的倾斜角相等，若倾斜角不为，则它们的斜率相等。

于是有以下结论：（1）（2）2．两条直线垂直一般地，设直线111:y x l k b =+，直线222:y x l k b =+。

（1）若1l 垂直2l ，则12.k k =__________反之，若12.1k k =-，则（2）特别地，对于直线1:x a l =，直线2:y b l =，由于1l 垂直x 轴，2l 垂直y 轴， 所以 预习自测1．判断下列两直线是否平行，并说明理由： （1）1:32y x l =+； 2:35y x l =+； （2）1:21y x l =+； 2:3y x l =； （3）1:5x l =； 2:8x l = 2．判断下列两直线是否垂直，并说明理由：（1）1:42y x l =+； 21:54y x l =-+（2）1:536x y l +=； 2:355x y l -=； （3）1:5y l = ； 2:8x l =3．求过A （1，2）且分别适合下列条件的直线方程： （1）平行于直线340x y ++= ； （2）垂直于直线10x y -+= 二、探究、合作、展示基础知识探究1．两条不重合的直线111:y x l k b =+和222:y x l k b =+（12b b ≠），若1l ／／2l ，则1k ______2k 。

高中数学两直线相交教案
教学内容：两条直线的性质及相交情况
教学目标：学生能够理解两直线相交的概念，掌握两直线相交时的相关性质，并能够运用相关知识解决问题。

教学重点：两直线的相交情况、相交角的性质、解决相关问题。

教学难点：判断两直线相交情况、运用相关性质解题。

教学准备：黑板、彩色粉笔、直尺、圆规等。

教学过程：
一、引入课题
通过绘制两条相交直线，引导学生讨论两直线相交时可能出现的情况。

二、讲解两直线相交的情况
讲解两直线相交的情况，包括相交于一点、平行、重合等情况，并引导学生探讨各种情况下的性质。

三、介绍相交角的性质
讲解相交角的定义及基本性质，包括邻补角、对顶角等，并引导学生观察相交角的特点。

四、实例演练
给学生提供一些相关的实例题，让他们运用所学知识解决问题。

五、课堂练习
让学生自主解答一些相关问题，加深对知识的理解和掌握。

六、作业布置
布置相关作业，巩固学生学习成果。

七、课堂小结
对本节课的重点内容进行总结，并激励学生继续努力学习。

3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离目标定位 1.会求两条直线的交点坐标.2.理解两条直线的平行、相交与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解的对应关系.3.掌握平面上两点间的距离公式并会应用.自 主 预 习1.两条直线的交点已知两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若两直线的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若方程组有唯一解，则两条直线相交；若方程组无解，则两条直线平行.若方程组有无穷多个解，则两条直线重合. 2.过定点的直线系方程已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交于点P (x 0，y 0)，则方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0表示过点P 的直线系，不包括直线l 2. 3.两点间的距离平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式 |P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. 4.两点间距离的特殊情况(1)原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. (2)当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. (3)当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|.即 时 自 测1.判断题(1)求两直线的交点就是解由两直线方程组成的方程组.(√)(2)两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交的充要条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.(√) (3)方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，表示经过直线l 1：∴A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的所有直线.(×)(4)两点间的距离公式与两点的先后顺序无关.(√)提示 (3)无论λ取什么实数，都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，因此它不能表示直线l 2. 2.直线x ＝1与直线y ＝2的交点坐标是( )A.(1，2)B.(2，1)C.(1，1)D.(2，2)答案 A3.已知M (2，1)，N (－1，5)，则|MN |等于( ) A.5B.37C.13D.4解析 |MN |＝（2＋1）2＋（1－5）2＝5. 答案 A4.已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数a 满足的条件是________.解析 l 1与l 2相交则有：a 4≠36，∴a ≠2.答案 a ≠2类型一 两直线的交点问题【例1】 求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程.解 法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2，2).∵直线过坐标原点，∴其斜率k ＝2－2＝－1. 故直线方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.法二 ∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )，即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0.将原点坐标(0，0)代入上式，得λ＝1，∴直线l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.规律方法 (1)方法一是解方程组方法，思路自然，但计算量稍大，法二运用了交点直线系，是待定系数法，计算简单，但要注意判断原点(0，0)不能在直线2x ＋y ＋2＝0上.否则，会出现λ的取值不确定的情形.(2)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系有两种：①λ1(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ2(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0可表示过l 1、l 2交点的所有直线； ②A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0不能表示直线l 2.【训练1】 求经过直线l 1：x ＋3y －3＝0，l 2：x －y ＋1＝0的交点且平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程.解 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴直线l 1与l 2的交点坐标为(0，1)，再设平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程为2x ＋y ＋C ＝0， 把(0，1)代入所求的直线方程，得C ＝－1， 故所求的直线方程为2x ＋y －1＝0. 法二 设过直线l 1、l 2交点的直线方程为x ＋3y －3＋λ(x －y ＋1)＝0(λ∈R )，即(λ＋1)x ＋(3－λ)y ＋λ－3＝0，由题意可知，λ＋1λ－3＝－2，解得λ＝53， 所以所求直线方程为83x ＋43y －43＝0，即2x ＋y －1＝0.类型二 两点间距离公式的应用(互动探究)【例2】 已知△ABC 三顶点坐标A (－3，1)、B (3，－3)、C (1，7)，试判断△ABC 的形状. [思路探究]探究点一 如何判断三角形的形状？提示 判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.探究点二 从哪几个方面分析三角形的形状？提示 在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或满足勾股定理. 解 法一 ∵|AB |＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213， |AC |＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213， 又|BC |＝（1－3）2＋（7＋3）2＝226，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |，∴△ABC 是等腰直角三角形.法二 ∵k AC ＝7－11－（－3）＝32，k AB ＝－3－13－（－3）＝－23，则k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB .又|AC |＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213， |AB |＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213， ∴|AC |＝|AB |.∴△ABC 是等腰直角三角形.规律方法 1.判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.2.在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理.【训练2】已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标.解设点P的坐标为(x，0)，由|PA|＝10，得（x－3）2＋（0－6）2＝10，解得：x＝11或x＝－5.所以点P的坐标为(－5，0)或(11，0).类型三坐标法的应用【例3】证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.证明如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0).设B(a，0)，D(b，c)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(a＋b，c)，因为|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，|BC|2＝b2＋c2，|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2.所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2).所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2.规律方法坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点：①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴.【训练3】已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.证明如图所示，建立直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c).∴|AC |＝（b －0）2＋（c －0）2＝b 2＋c 2，|BD |＝（a －b －a ）2＋（c －0）2＝b 2＋c 2.故|AC |＝|BD |. [课堂小结]1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2).2.解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.3.两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.1.直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是( ) A.(4，1)B.(1，4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝13.即直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.答案 C2.经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( )A.2x ＋y －8＝0B.2x －y －8＝0C.2x ＋y ＋8＝0D.2x －y ＋8＝0解析 首先解得交点坐标为(1，6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0. 答案 A3.已知点A (－2，－1)，B (a ，3)，且|AB |＝5，则a 的值为________. 解析 由题意得（a ＋2）2＋（3＋1）2＝5，解得a ＝1或a ＝－5.答案 1或－54.求经过两条直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线l 的方程.解 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75.∵所求直线l 和直线3x ＋y －1＝0平行， ∴直线l 的斜率k ＝－3，根据点斜式可得y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，即所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0.基 础 过 关1.已知A (－1，0)，B (5，6)，C (3，4)，则|AC ||CB |的值为( )A.13B.12C.3D.2解析 由两点间的距离公式，得|AC |＝[3－（－1）]2＋（4－0）2＝42，|CB |＝（3－5）2＋（4－6）2＝22，故|AC ||CB |＝4222＝2.答案 D2.两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值为( ) A.－24 B.6 C.±6 D.24解析 在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0得y ＝k3，将⎝ ⎛⎭⎪⎫0，k 3代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6.答案 C3.以A (5，5)，B (1，4)，C (4，1)为顶点的三角形是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形解析 ∵|AB |＝17，|AC |＝17，|BC |＝32， ∴三角形为等腰三角形.故选B.答案 B4.设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于________. 解析 设A (x ，0)，B (0，y )，∵AB 中点P (2，－1)， ∴x 2＝2，y2＝－1，∴x ＝4，y ＝－2， 即A (4，0)，B (0，－2)，∴|AB |＝42＋22＝2 5. 答案 2 55.若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则k 的取值范围是________.解析 由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33＋62＋3k ，y ＝6k －232＋3k .由于交点在第一象限，故x >0，y >0，解得k >33.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 6.在直线l ：3x －y ＋1＝0上求一点P ，使点P 到两点A (1，－1)，B (2，0)的距离相等. 解 法一 设P 点坐标为(x ，y )，由P 在l 上和点P 到A ，B 的距离相等建立方程组⎩⎨⎧3x －y ＋1＝0，（x －1）2＋（y ＋1）2＝（x －2）2＋y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，所以P 点坐标为(0，1).法二 设P (x ，y )，两点A (1，－1)、B (2，0)连线所得线段的中垂线方程为x ＋y －1＝0.① 又3x －y ＋1＝0，②解由①②组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，所以所求的点为P (0，1).7.求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标.证明 法一 对于方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0，令m ＝0，得x －3y －11＝0；令m ＝1，得x ＋4y ＋10＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －11＝0，x ＋4y ＋10＝0得两条直线的交点坐标为(2，－3).将点(2，－3)代入直线方程，得(2m －1)×2＋(m ＋3)×(－3)－(m －11)＝0. 这表明不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3).法二 将已知方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0整理为(2x ＋y －1)m ＋(－x ＋3y ＋11)＝0.由于m 取值的任意性，有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，－x ＋3y ＋11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3.所以不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3).能 力 提 升8.已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互为垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为( ) A.24B.20C.0D.－4解析 由垂直性质可得2m －20＝0，m ＝10.由垂足可得⎩⎪⎨⎪⎧10＋4p －2＝0，2－5p ＋n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－2，n ＝－12.∴m －n＋p ＝20. 答案 B9.两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( ) A.895B.175C.135D.115解析 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0，过定点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝135.答案 C10.过点P (3，0)作一直线l ，使它被两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0所截的线段AB 以P 为中点，则此直线l 的方程是________.解析 法一 显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意，当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，将此方程分别与l 1，l 2的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3），2x －y －2＝0和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3），x ＋y ＋3＝0. 解得x A ＝3k －2k －2和x B ＝3k －3k ＋1，∵P (3，0)是线段AB 的中点，∴x A ＋x B ＝6，即3k －2k －2＋3k －3k ＋1＝6，解得k ＝8. 故直线l 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 法二 设l 1上的点A 的坐标为(x 1，y 1)， ∵P (3，0)是线段AB 的中点， ∴l 2上的点B 的坐标为(6－x 1，－y 1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－y 1－2＝0，（6－x 1）＋（－y 1）＋3＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝113，y 1＝163.∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫113，163，由两点式可得l 的方程为8x －y －24＝0.答案 8x －y －24＝011.已知直线l 1过点A (2，1)，B (0，3)，直线l 2的斜率为－3且过点C (4，2). (1)求l 1，l 2的交点D 的坐标； (2)已知点M (－2，2)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，72，若直线l 3过点D 且与线段MN 相交，求直线l 3的斜率k 的取值范围.解 (1)∵直线l 1过点A (2，1)，B (0，3)，∴直线l 1的方程为y －13－1＝x －20－2，即y ＝－x ＋3.∵直线l 2的斜率为－3且过点C (4，2)， ∴直线l 2的方程为y －2＝－3(x －4)，即y ＝－3x ＋14.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋14，y ＝－x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝112，y ＝－52，即l 1，l 2的交点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫112，－52. (2)由题设知k MD ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52－2－112＝－35.k ND ＝72－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52152－112＝3.因为过点D 的直线与线段MN 相交，故直线l 3的斜率k 的取值范围为：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－35∪[3，＋∞).探 究 创 新12.某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A (1，2)，B (4，0)，一条河所在直线方程为l ：x ＋2y －10＝0，若在河边l 上建一座供水站P 使之到A ，B 两镇的管道最省，问供水站P 应建在什么地方？此时|PA |＋|PB |为多少？解 如图所示，过A 作直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交l 于P ，因为若P ′(异于P )在直线l 上，则|AP ′|＋|BP ′|＝|A ′P ′|＋|BP ′|>|A ′B |.因此，供水站只能在点P 处，才能取得最小值.设A ′(a ，b )，则AA ′的中点在l 上，且AA ′⊥l ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＋2×b ＋22－10＝0，b －2a －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝6，即A ′(3，6). 所以直线A ′B 的方程为6x ＋y －24＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋y －24＝0，x ＋2y －10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3811，y ＝3611.所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3811，3611. 故供水站应建在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3811，3611处， 此时|PA |＋|PB |＝|A ′B |＝（3－4）2＋（6－0）2＝37.。

7．2.2 两条直线的位置关系[学习目标]1．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2．理解直线相交、平行、重合、垂直的意义，会利用直线的几何特征判定直线相交、平行、重合、垂直．3．会由两条直线的法向量来判定两条直线相交、平行、重合、垂直． [预习导引]1．利用法向量确定两直线的位置关系 (1)两条直线平行或重合⇔它们的法向量平行． (2)两条直线相交⇔它们的法向量不平行． (3)两条直线垂直⇔它们的法向量垂直． 2．两直线的夹角两直线的夹角α的大小规定在0≤α≤π2的范围内，当法向量的夹角满足0≤θ≤π2时，α＝θ；当法向量的夹角θ>π2时，α＝π－θ． 3．定理2设直线l 1，l 2的方程分别为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则 l 1与l 2重合⇔存在实数λ≠0，使⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝λA 1，B 2＝λB 1，C 2＝λC 1；l 1与l 2平行⇔存在实数λ≠0，使⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝λA 1，B 2＝λB 1，C 2≠λC 1；l 1与l 2相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0； l 1与l 2垂直⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0； l 1与l 2夹角θ的余弦cos θ＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21·A 22＋B 22.要点一 判断两直线是否相交例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l 1：2x －y ＝7和l 2：3x ＋2y －7＝0； (2)l 1：2x －6y ＋4＝0和l 2：4x －12y ＋8＝0； (3)l 1：4x ＋2y ＋4＝0和l 2：y ＝－2x ＋3.解 (1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －7＝0，3x ＋2y －7＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，因此直线l 1和l 2相交，交点坐标为(3，－1)．(2)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋4＝0，4x －12y ＋8＝0有无数组解，表明直线l 1和l 2重合．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2y ＋4＝0，2x ＋y －3＝0，无解，表明直线l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2.规律方法 方程组有一解，说明两直线相交；方程组没有解说明两直线没有公共点，即两直线平行；方程组有无数个解说明两直线重合．跟踪演练1 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标．(1)⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0；(2)⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0，y ＝13x ＋12.解 (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得该方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－103，y ＝143.所以两直线相交，且交点坐标为(－103，143)．(2)解方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0，y ＝13x ＋12，①②②×6得2x －6y ＋3＝0，因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②有无数组解，所以两直线重合． 要点二 判断两条直线的位置关系例2 判断下列各组直线的位置关系． (1)l 1：2x ＋y ＋1＝0，l 2：x －3y －5＝0； (2)l 1：x －y ＋2＝0，l 2：2x －2y ＋3＝0； (3)l 1：3x －4y －1＝0，l 2：6x －8y －2＝0； (4)l 1：x －y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋3＝0.解 (1)对l 1，l 2，由21≠1－3，知l 1与l 2相交．(2)对l 1，l 2，由12＝－1－2≠23，知l 1与l 2平行．(3)对l 1，l 2，由36＝－4－8＝－1－2，知l 1与l 2重合．(4)对l 1，l 2，由A 1A 2＋B 1B 2＝1×1＋(－1)×1＝0，知l 1⊥l 2. 规律方法 利用法向量判断．跟踪演练2 根据下列条件，判断直线l 1与直线l 2的位置关系． (1)l 1：y ＝－3x ＋1，l 2：x ＋13y －6＝0；(2)l 1：(lg 2)x －y ＋5＝0，l 2：(log 210)x ＋y －6＝0；(3)l 1经过点A (1，2 009)，B (1，2 010)，l 2经过点P (0，－2)，Q (0，5)． 解 (1)l 1的一般式方程为3x ＋y －1＝0， 由31＝113≠－1－6，知l 1∥l 2. (2)对于l 1，l 2由A 1A 2＋B 1B 2＝lg2·log 210＋(－1)·1＝0知l 1⊥l 2. (3)因为l 1过点A (1，2 009)，B (1，2 010)， 所以方程为x ＝1，与x 轴垂直． 因为l 2过点P (0，－2)，Q (0，5)， 所以方程为x ＝0，即y 轴，所以l 1∥l 2. 要点三 应用位置关系求参数值例3 已知直线l 1：ax －y ＋a ＋2＝0，l 2：ax ＋(a 2－2)y ＋1＝0.问当a 为何值时，直线l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合？ 解 若A 1，A 2，B 1，B 2全不为0时，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋a ＋2＝0ax ＋（a 2－2）y ＋1＝0，得A 1A 2＝a a ＝1，B 1B 2＝－1a 2－2，C 1C 2＝a ＋21，由A 1A 2＝B 1B 2得a ＝－1或a ＝1，由A 1A 2＝C 1C 2得a ＝－1， 所以，当a ≠±1时，A 1A 2≠B 1B 2，l 1与l 2相交； 当a ＝1时，A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，l 1与l 2平行； 当a ＝－1时，A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2，l 1与l 2重合． 若A 1，A 2，B 1，B 2中有为0的值时，当a ＝0时，方程组化为⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋2＝0－2y ＋1＝0，这时l 1与l 2平行；当a 2－2＝0即a ＝±2时，方程组化为⎩⎨⎧2x －y ＋2＋2＝0，2x ＋1＝0，或⎩⎨⎧－2x －y ＋2－2＝0，－2x ＋1＝0，此时两直线相交． 综上所述，(1)当a ≠±1且a ≠0时l 1与l 2相交； (2)当a ＝0或a ＝1时，l 1与l 2平行； (3)当a ＝－1时，l 1与l 2重合． 规律方法 两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.(1)l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0；(2)也可利用法向量来直接求解．跟踪演练3 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，直线l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合？解 当m ＝0时，则l 1：x ＋6＝0，l 2：2x －3y ＝0， ∴l 1与l 2相交，当m ＝2时，则l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：3y ＋4＝0， ∴l 1与l 2相交．当m ≠0，m ≠2时，A 1A 2＝1m －2，B 1B 2＝m 3，C 1C 2＝62m.当A 1A 2＝B 1B 2时，1m －2＝m3，解得m ＝－1或m ＝3. 当A 1A 2＝C 1C 2时，1m －2＝62m，解得m ＝3. 综上所述，(1)当m ≠－1且m ≠3时，(A 1A 2≠B 1B 2)，l 1与l 2相交；(2)当m ＝－1时，(A 1A 2＝B 1B 2，A 1A 2≠C 1C 2)，l 1与l 2平行；(3)当m ＝3时，(A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2)，l 1与l 2重合．1．直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0 D ．2x －3y ＋8＝0答案 A解析 ∵直线2x －3y ＋4＝0的法向量为(2，－3)， ∴l 的法向量为(3，2)，∴l 的方程为3x ＋2y ＋C ＝0，将(－1，2)代入得C ＝－1， ∴l 的方程为3x ＋2y －1＝0.2．直线x ＋2y ＋1＝0与2x ＋ay －1＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 D解析 两条直线的法向量分别为n 1＝(1，2)，n 2＝(2，a )，∵两直线平行，∴1×a －2×2＝0，即a ＝4.3．两直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的条件是( ) A ．A 1A 2＋B 1B 2＝0 B ．A 1A 2－B 1B 2＝0 C.A 1A 2B 1B 2＝－1 D.B 1B 2A 1A 2＝1 答案 A解析 两直线的法向量分别为n 1＝(A 1，B 1)，n 2＝(A 2，B 2)，两直线垂直的条件是n 1⊥n 2，即n 1·n 2＝0，∴A 1A 2＋B 1B 2＝0.4．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________.答案 1解析∵直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，∴1×2＋(－2)×m＝0，∴m＝1.5．已知直线ax＋4y－2＝0和2x－5y＋b＝0垂直，交于点A(1，m)，则a＝________，b＝________，m＝________.答案10 －12 －2解析两直线垂直，则2a＋4×(－5)＝0，∴a＝10.∵(1，m)为两直线的交点，∴10×1＋4m－2＝0，∴m＝－2.又点(1，－2)在直线2x－5y＋b＝0上，∴2×1＋2×5＋b＝0，∴b＝－12.1．利用法向量判定两直线的位置关系时，如果两直线的法向量平行，一定要验证，因为可能出现平行或重合两种情况．2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)；与直线Ax＋By＋C ＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋m＝0.利用此结论解平行、垂直问题可以简化解题过程．3．平行与垂直是两直线间最重要的位置关系，利用平行和垂直的条件判断多边形的形状是常见的基本应用，要考虑各种情况.一、基础达标1．过点(－3，2)且与直线2x－y＋5＝0垂直的直线方程为( )A．x＋2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0C．x－2y＋1＝0 D．－2y－1＝0答案 B解析直线与2x－y＋5＝0垂直，所以所求直线的法向量为(1，2)，其方程可设为x＋2y＋C ＝0，将(－3，2)代入得－3＋4＋C ＝0，C ＝－1，即所求方程为x ＋2y －1＝0.2．已知直线(a －2)x ＋ay －1＝0与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，则a 的值为( ) A ．－6 B ．6 C ．－45D.45答案 B解析 若两直线平行，则a －22＝a3≠－15.解得a ＝6. 3．直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a 为( ) A ．－1 B ．1 C ．±1 D ．－32答案 C解析 若两直线互相垂直，则 (a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， ∴(a －1)(－a －1)＝0， ∴a ＝±1.4．若直线ax ＋by －11＝0与3x ＋4y －2＝0平行，并过直线2x ＋3y －8＝0和x －2y ＋3＝0的交点，则a ，b 的值分别为( ) A ．－3，－4 B ．3，4 C ．4，3 D ．－4，－3答案 B解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －8＝0x －2y ＋3＝0，得交点B (1，2)，代入方程ax ＋by －11＝0中，有a ＋2b－11＝0 ①，又直线ax ＋by －11＝0平行于直线3x ＋4y －2＝0，所以－a b ＝－34 ②，11b ≠12③.由①②③，得a ＝3，b ＝4.5．两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0互相垂直，则k ＝________. 答案 23解析 两直线的法向量分别为n 1＝(2，3)，n 2＝(1，－k )， 若两直线垂直，则n 1·n 2＝2－3k ＝0，∴k ＝23.6．若直线l 1：3x ＋y ＝0与直线l 2：ax －y ＋1＝0的夹角为60°，则a ＝________. 答案 0或 3解析 两直线的法向量分别为n 1＝(3，1)，n 2＝(a ，－1)， 则由已知得|3·a －1|2·a 2＋1＝cos 60°＝12. 解得a ＝0或a ＝3.7．求经过直线x ＋2y －1＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线2x －y ＋3＝0平行的直线l 的方程．解 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝3. ∵直线l 与直线2x －y ＋3＝0平行， ∴可设l 为2x －y ＋C ＝0.∵l 过点(－5，3)，∴2×(－5)－3＋C ＝0，解得C ＝13. ∴直线l 的方程为2x －y ＋13＝0. 二、能力提升8．已知直线l 1：3x ＋4y －5＝0与l 2：3x ＋5y －6＝0相交，则它们夹角的余弦值为( ) A.2917034 B ．－2917034C.92534 D.2915034 答案 A解析 两直线的法向量分别为n 1＝(3，4)，n 2＝(3，5)， 则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉| ＝|3×3＋4×5|32＋42·32＋52＝2934170. 9．已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －2，－3)，直线l 2经过点C (2，3)，D (－1，a －2)，如果l 1⊥l 2，则a ＝________. 答案 －6或5解析 直线l 1的方向向量n 1＝(a －5，－3－a )， 直线l 2的方向向量n 2＝(－3，a －5)．若l 1⊥l 2，则n 1·n 2＝0， 即－3(a －5)－(3＋a )(a －5)＝0， ∴a ＝5或a ＝－6.10．若三条直线x ＋y ＋1＝0，2x －y ＋8＝0和ax ＋3y －5＝0共有三个不同的交点，则实数a 应满足的条件是________．答案 a ∈R 且a ≠13且a ≠3且a ≠－6解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，2x －y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝2，即两直线的交点坐标为(－3，2)，依题意知，实数a 满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ·（－3）＋3×2－5≠0，－a 3≠－1，－a 3≠2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠13，a ≠3，a ≠－6，即实数a 满足的条件为a ∈R ，且a ≠13且a ≠3且a ≠－6.11．已知两直线l 1：x ＋(1＋m )y ＝m －2，l 2：2mx ＋4y ＝16，求当m 为何值时，l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合；(4)垂直？解 直线l 1和l 2的法向量分别为n 1＝(1，1＋m )，n 2＝(2m ，4)． (1)若两直线相交，则n 1与n 2不平行， ∴4－2m (1＋m )≠0，解得，m ≠－2且m ≠1. (2)若两直线平行，则12m ＝1＋m 4≠m －216，解得m ＝1.(3)若两直线重合，则12m ＝1＋m 4＝m －216，解得m ＝－2.(4)若两直线垂直，则n 1⊥n 2， ∴2m ＋4(1＋m )＝0，∴m ＝－23.综上所述，当m ≠－2且m ≠1时，l 1与l 2相交； 当m ＝1时，l 1与l 2平行； 当m ＝－2时，l 1与l 2重合；当m ＝－23时，l 1与l 2垂直．三、探究与提高12．是否存在实数a ，使三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0能围成一个三角形？请说明理由．解 (1)当l 1∥l 2时，－a ＝－1a，即a ＝±1；(2)当l 1∥l 3时，－a ＝－1，即a ＝1； (3)当l 2∥l 3时，－1a＝－1，a ＝1.(4)当l 1与l 2，l 3相交于同一点时，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0得交点(－1－a ，1)，将其代入ax ＋y＋1＝0中，得a ＝－2或a ＝1.故当a ≠1且a ≠－1且a ≠－2时，这三条直线能围成一个三角形．13．如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD ＝5 m ，宽AB ＝3 m ，其中一条小路定为AC ，另一条小路过点D ，问如何在BC 上找到一点M ，使得两条小路AC 与DM 相互垂直？解 如图以点B 为坐标原点，BC ，BA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系．由AD ＝5，AB ＝3，可得C (5，0)，D (5，3)，A (0，3)．设点M (x ，0)，则AC →＝(5，－3)，DM →＝(x －5，－3)． 因为AC ⊥DM ，则AC →·DM →＝0，即(5，－3)·(x －5，－3)＝0，5(x －5)＋9＝0， 解得x ＝165，即BM ＝165m.故当BM ＝165m 时，两条小路AC 与DM 相互垂直．。