固体物理基础 习题解答6.7章

固体物理基础习题解答第一章 金属自由电子气体模型思 考 题1.如何理解电子分布函数)(E f 的物理意义是： 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率?[解答]金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布， 温度为T 时, 分布在能级E 上的电子数目1/)(+=-T k E E B F e g n ,g 为简并度, 即能级E 包含的量子态数目. 显然， 电子分布函数11)(/)(+=-T k E E B F e E f是温度T 时, 能级E 的一个量子态上平均分布的电子数。

因为一个量子态最多由一个电子所占据, 所以)(E f 的物理意义又可表述为： 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率。

2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量？［解答]晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量。

格波的能量子称为声子， 价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量。

频率为i ω的格波的声子数11/-=T k i B i e n ω .从上式可以看出, 绝对零度时， 任何频率的格波的声子全都消失。

因此， 绝对零度时， 价电子与晶格不再交换能量.3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的?[解答］自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由（价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上， 即分布在一个费密球内。

在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上， 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变。

也就是说， 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近。

4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化?［解答] 费密能级3/2220)3(2πn m E F=,其中n 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, n 变小， 费密能级降低. 5.为什么温度升高, 费密能反而降低？[解答］当0≠T 时， 有一半量子态被电子所占据的能级即是费密能级. 温度升高， 费密面附近的电子从格波获取的能量就越大, 跃迁到费密面以外的电子就越多， 原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半, 有一半量子态被电子所占据的能级必定降低. 也就是说, 温度升高， 费密能反而降低. 6.为什么价电子的浓度越大， 价电子的平均动能就越大?[解答］由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子浓度的关系.价电子的浓度越大价电子的平均动能就越大, 这是金属中的价电子遵从费密—狄拉克统计分布的必然结果. 在绝对零度时， 电子不可能都处于最低能级上， 而是在费密球中均匀分布。

《固体物理学》习题解答( 仅供参考 )参加编辑学生柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），秦丽丽（第七章）指导教师黄新堂华中师范大学物理科学与技术学院2003级2006 年 6 月第一章晶体结构1.氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为 a。

解：氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。

氯化钠的基元为一个 Na+和一个 Cl－组成的正负离子对。

金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。

由于 NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为：⎧⎪a1=a2( j + k)⎪⎪⎨a 2=a2( k + i)⎪⎪⎪a 3=a ( i +j)⎩ 2相应的晶胞基矢都为：⎧a =a i,⎪⎨b =a j,⎪⎩c =a k.2.六角密集结构可取四个原胞基矢a1, a 2,a 3与 a4,如图所示。

试写出O'A1A3、A1 A3 B3 B1、 A2 B2 B5 A5、 A1 A2 A3 A4 A5 A6这四个晶面所属晶面族的晶面指数(h k l m)。

解：(1)．对于O'A1A3面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，- 1 ，１。

所以，其晶面2( )指数为。

(2)．对于A1A3B3B1面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，-12，∞。

所以，其晶面指数为(1120)。

(3)．对于A2B2B5A5面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，-1，∞，∞。

1所以，其晶面指数为 (1 100)。

(4)．对于 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：∞ ，∞ ，∞ ，１。

所以， 其晶面指数为 (0001) 。

3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的比为：简立方： π6 ；体心立方： 83π；面心立方： 62π ；六角密集： 62π ；金刚石：3π 。

《固体物理》基础知识训练题及其参考答案说明：本内容是以黄昆原著、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本，重点训练读者在固体物理方面的基础知识，具体以19次作业的形式展开训练。

第一章作业1：1.固体物理的研究对象有那些？答：（1）固体的结构；（2）组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律；（3）固体的性能与用途。

2.晶体和非晶体原子排列各有什么特点？答：晶体中原子排列是周期性的，即晶体中的原子排列具有长程有序性。

非晶体中原子排列没有严格的周期性，即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。

3.试说明体心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特点？试画图说明。

有那些单质晶体分别属于以上三类。

答：体心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体的体心位置还有一个原子。

常见的体心立方晶体有：Li，Na，K，Rb，Cs，Fe等。

面心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体每个表面的中心还都有1个原子。

常见的面心立方晶体有：Cu, Ag, Au, Al等。

六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一层原子单元是在正六边形的每个角上分布1个原子，且在该正六边形的中心还有1个原子；第二层原子单元是由3个原子组成正三边形的角原子，且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷处。

常见的六角密排晶体有：Be，Mg，Zn，Cd等。

4.试说明, NaCl，金刚石，CsCl, ZnS晶格的粒子排列规律。

答：NaCl：先将错误!未找到引用源。

两套相同的面心立方晶格，并让它们重合，然后，将一套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长，就组成Nacl晶格；金刚石：先将碳原子组成两套相同的面心立方体，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度，就组成金刚石晶格；Cscl:：先将错误!未找到引用源。

组成两套相同的简单立方，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度，就组成Cscl晶格。

《固体物理学》习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。

因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。

这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。

它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π=（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯=（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个74.062r224r 346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(ac 2/1≈=证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。

固体物理学概念和习题固体物理基本概念和思考题：1.给出原胞的定义..答：最小平行单元..2.给出维格纳-赛茨原胞的定义..答：以一个格点为原点;作原点与其它格点连接的中垂面或中垂线;由这些中垂面或中垂线所围成的最小体积或面积即是维格纳-赛茨原胞..3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型..4. 请描述七大晶系的基本对称性..5. 请给出密勒指数的定义..6. 典型的晶体结构简单或复式格子;原胞;基矢;基元坐标..7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义..8. 请给出晶体衍射的布喇格定律..9. 给出布里渊区的定义..10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么11. 写出晶体衍射的结构因子..12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式..13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式;并简述各项的来源..14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件..15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点..晶体含N个原胞;每个原胞含p个原子;问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式16. 给出声子的定义..17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点..18. 在晶体热容的计算中;爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设..19. 简述晶体热膨胀的原因..20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程..21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布给出具体表达式22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义..23. 写出金属的电导率公式..24. 给出魏德曼-夫兰兹定律..25. 简述能隙的起因..26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律..27. 请给出在一级近似下;布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系..28. 给出空穴概念..29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万Langevin方程..30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势..31. 解释直接能隙和间接能隙晶体..32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别..33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义..34. 给出半导体的电导率..35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关..36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应..37. 什么叫费米液体38. 请给出纯金属的电导率随温度的关系..39. 请解释刃位错、螺位错、晶界和小角晶界并画出示意图..40. 请列出顺磁性、抗磁性的主要区别..41. 请列出铁磁性固体的主要特征..42. 请列出亚铁磁性与反铁磁性的主要区别..43. 什么是格波和声子晶体中声子有多少种可能的量子态44. 请说明Debye热容量模型的基本假设;为什么说Debye热容量模型在低温下是正确的45. 什么是近自由电子近似和紧束缚近似46. 请用能带论解释晶体的导电性;并试述导体、半导体、绝缘体能带的特点47. 什么是n型半导体和p型半导体什么是本征半导体48. 试分析晶格热振动引起晶体热膨胀的原因以及限制声子自由程的原因..固体物理学习题注意：固体物理习题集黄波等编写上波矢q的定义q=1/λ与课堂上所用的波矢k相差2πk=2π/λ；另外习题集上的量纲多采用厘米克秒制;注意其与国际单位制之间的转换1.在14种布喇菲格子中;为什么没有底心四方、面心四方和底心立方格子2.在六角晶系中常用4个指数h;k;i;l来表示;如图;前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a1;a2;a3上的截距为：a1/h;a2/k;a3/i;第4个指数表示该晶面在六重轴c上截距为c/l;证明：i=-h+k;并将下列用h;k;l表示的晶面改用h;k;i;l表示：0011̅331 1̅032̅3100010 21̅̅̅̅3..答：根据几何学可知;三维空间独立的坐标轴最多不超过三个..前三个指数中只有两个是独立的;它们之间存在以下关系：i＝- h + k ..0001;1323;1100;3213;1010;0110;2133..3.证明理想六角密堆积结构的c/a比是√8/3=1.633;如果c/a值比这个值大得多;可以把晶体视为由原子密集平面所组成;这些面是疏松堆垛的..4.在单晶硅中;哪个晶面的原子面密度最大在面心立方晶格中;哪个晶面的原子面密度最大答：单晶硅中;晶面上的原子密度是111>110>100；面心立方晶格中;晶面原子排列密度111> 100 >110..5. 如图的两种正六边形边长为a平面格子是布喇菲格子还是复式格子应如何选取其基矢和原胞6. 六角空间点阵;六角空间点阵的基矢可以取为：a⃗=√3a2x̂+a2ŷ；b⃗⃗=−√3a2x̂+a2ŷ；c⃗=cẑ；1 证明：原胞的体积是√32a2c；2证明：倒易点阵的基矢是：A⃗=√3a x̂+2πaŷ;B⃗⃗=√3ax̂+2πaŷ;C⃗=2πcẑ；因此直接点阵就是它本身的点阵;但轴经过了转动；3 描述并绘出六角空间点阵的第一布里渊区..7. 证明第一布里渊区的体积是(2π)3V c此处V c是晶体初基晶胞的体积..8. 金刚石的晶体结构是一类典型的结构;如果晶胞是惯用立方体;基元由八个原子组成；1 给出这个基元的结构因子；2 求结构因子的诸零点并证明金刚石结构所允许的反射满足h+k+l=4n;且所有指数都是偶数;n是任何整数；否则所有指数都是奇数..体心立方、面心立方晶胞的结构因子和消光条件..如：面心立方晶体惯用晶胞基元包含几个原子;写出其基元原子的位置和其衍射的结构因子;并给出消光条件 9. 如果a 表示晶格常数;θ表示入射光束与衍射光束之间的交角;证明对于简 单立方晶格;sinθ2=λ2a(ℎ2+k 2+l2)12式中h k l 为密勒指数; 为入射光波长..10. 画出体心立方和面心立方晶体结构的金属在100;110;111面上的原子排列.. 11. 若一晶体的总互作用能可表示为：U (r )=N2(−αr m +βr n );试求： 1 平衡间距r 0； 2 结合能W ； 3 体弹性模量；4 若m=2;n=10;r 0=3 ;W=4eV;求α、β的值..12. 黄昆教材2.6用雷纳德-琼斯势计算Ne 在体心立方和面心立方结构中的结 合能之比..13. 黄昆教材 2.7对于H 2;从气体的测量得到雷纳德-琼斯势中的参数为：ε=50×10-23J;σ=2.96 ;计算一摩尔氢原子结合成面心立方固体分子氢时的结合能..A 12=12.13; A 6=14.4514. 固体物理习题集1.15和黄昆教材1.11 证明六角晶体的介电常数张量为(ε1000ε200ε2) 15. 固体物理习题集2.1设两原子间的互作用能可表示为：u (r )=−αrm+βr n式中;第一项为引力能；第二项为排斥能；α、β均为正常数..证明;要使这两原子系统处于平衡状态;必须n>m..16. 固体物理习题集2.2设两原子间的互作用能可由：u(r)=−αr m +βr n表述..若m=2;n=10;而且两原子构成稳定的分子;其核间距离为：3×10-10m;离解能为4eV;试计算：1α和β；2使该分子分裂所必须的力和当分裂发生时原子核间的临界间距；3使原子间距比平衡距离减少10%时所需要的压力..17. 固体物理习题集2.11有一晶体;平均每对离子的互作用能为：u(R)=λA n R n−αe2R式中;R是最RR近邻离子间距；α是马德隆常数；λ、A n为常数..若n=10; α=7.5;平衡时最近邻距离R0=2.81×10-10m..求由2N=2×1022个离子组成的这种晶体平衡时的总互作用能..18. 固体物理习题集2.21设LiF晶体NaCl结构的总互作用能可写成：U=N2(Zλe−R/ρ−αe2/R); 式中;N、Z、R分别代表晶体的离子总数、任一离子的最近邻数和离子间的最短间距；α是马德隆常数；λ、ρ为参量..求平衡时最近邻间距R0、总结合能U0和体积弹性模量B 的表达式..19. 固体物理习题集2.32设NaCl晶体的互作用能可表示为：U(R)=−N2(αe2/R−Ae−R/ρ)式中的N、R、ρ、A分别为晶体中的离子数、近邻离子间距、排斥核半径和排斥能参数..实验测定;NaCl 晶体近邻离子的平衡间距R0=2.82×10-10m;体积弹性模量K=2.4×1011dyn/cm2;已知NaCl结构的马德隆常数α=1.7476;试求NaCl晶体的排斥核半径ρ和排斥能参数A..20. 2N个正负离子组成一个一维链晶体..平衡时两个最近邻正负离子间距为R0..试证：1该晶体的马德隆常数为μ＝2ln2..2自然平衡状态下的结合能为E b(R0)=2Nq2ln24πε0R0(1−1n)..-q +q21. 固体物理习题集3.5已知由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的密度可以表示为：g(ω)= 2Nπ(ωm2−ω2)−1/2式中ωm是格波的最高频率..求证它的振动模总数恰好等N..22. 固体物理习题集3.8设有一维原子链如图;第2n个原子与第2n+1个原子之间的恢复力常数为β;第2n个原子与第2n-1个原子之间的恢复力常数为β'β'<β..设两种原子的质量相等;最近邻原子间距均为a;试求晶格振动的振动谱以及波矢q=0和q=±1/4a时的振动频率..s23. 固体物理习题集3.14设有一维双原子链;链上最近邻原子间的恢复力常数交错地等于β和10β..若两种原子的质量相等;并且最近邻间距为a/2;试求在波矢k=0和k=π/a处的ωk;并画出其色散关系曲线..24. 固体物理习题集3.21考虑一个由相同原子组成的二维正方格子的横振动..设原子质量为M;点阵常数为a;最近邻原子间的恢复力常数为β;试求：1格波的色散关系；2长波极限下格波的传播速度..25. 边长为L的正方形二维晶体;含N个原胞;试求：1 该点阵振动的模式密度Dω；2 德拜截止频率νD 和德拜温度θD ；3 点阵振动内能表达式和低温下比热表达式.. 其中∫x 2e x −1dx≈2.4∞026. 固体物理习题集3.30已知一个频率为ωi 的谐振动在温度T 下的平均能量εi̅=12ℎωi +ℎωi e ℎωi /k B −1试用爱因斯坦模型求出由N 个原子组成的单原子晶体晶格振动的总能量;并求其在高温和低温极限情况下的表达式.. 27. 固体物理习题集3.53设一维原子链中;两原子的互作用能由下式表示u (x )=u 0[(σx )12−2(σx)6]式中x 为相邻原子间距..求原子链的线胀系数α.. 28. 固体物理习题集3.56 设某离子晶体中离子间的互作用能u (r )=−e 2r +Br9式中;B 为待定常数；r 为近邻离子间距..求该离子晶体的线胀系数..已知近邻离子的平衡间距为3×10-10m..29. 具有简立方结构的晶体;原子间距为2 ;由于晶体中非谐作用的存在;一但个沿1;1;0方向传播的波矢为1.3×1010m -1的声子同另一个波矢大小相等;沿1;-1;0方向传播的声子相互作用;合并成第三个声子;试求新形成的第三个声子的波矢.. 30. 固体物理习题集5.10已知金属铯的E F =1.55eV;求每立方厘米的铯晶体中所含的平均电子数..31. 固体物理习题集3.14证明：在T=0K时;费米能级E0F处的能态密度为g(E F0)=3N 2E F0式中N为金属中的自由电子总数..32. 固体物理习题集5.16证明：低温下金属中电子气的费米能E F=E F0[1−π212(k B TE F0)2]其中E F0=ℎ22m(3n8π)2/3为绝对零度的费米能;n为电子浓度..33. 固体物理习题集5.22证明;在T=0K时;金属中自由电子气的压强和体积弹性模量分别为：P=25NVE F0; B=23NVE F0式中E F0为T=0K时的费米能；V、N分别代表金属的体积和自由电子总数..已知锂体心立方结构的晶格常数a=3.5×10-10m;费米能E F0=7.6×10-19J;试估计锂中自由电子对体积弹性模量的贡献..34. 固体物理习题集5.25证明：1T=0K时;金属中自由电子的能量密度E0 V =4πℎ2k F55m式中;k F 为费米球半径;V 为金属体积.. 2金属中电子的平均能量E 0N =3ℎ2k F210m35. 固体物理习题集5.12铜的费米能级EF=7.1eV;试计算每单位体积铜的平均电子数;并与从密度计算得到的电子浓度相比较..已知铜的密度等于8.96g/cm 3.. 代入数据得：n=8.5322cm 10⨯ 36. 固体物理习题集问答6.5一维晶格能量E 和波矢k 的关系如图所示..设电子能谱与自由电子相同;试写出与简约波矢k=π/2a 对应的点A 第一能带、B 第二能带和C 第三能带处的能量.. 37. 固体物理习题集问答6.7对简单立方、体心立方和面心立方晶格;由紧束缚近似导出的能带底部电子的有效质量均可表示为m ∗=ℎ28π2a 2J能否据此断言：具有这三种结构的晶体;在能带底部的电子具有同样大小的有效质量38. 固体物理习题集6.1证明：在三维晶格中;电子能量在k 空间中具有周期性：Ek=Ek+G 式中;G 为任一倒格矢..证明：所以：()()()r G G k i GG k e G G k C r ⋅-++-+=∑00ϕ定义：G G G →-0 则有：()()r r k G k ϕϕ=+0所以：EK=EK+G39. 固体物理习题集6.8设有一单价金属;具有简单立方结构;晶格常数a=3.345×10-10m;试求1费米球的半径；2费米球到布里渊区边界的最短距离..40. 固体物理习题集6.14应用紧束缚方法于一维单原子链;如只计及最近邻原子间的相互作用;试证明其S态芯电子的能带为Ek=E min+4Jsin2πak 式中;E min为能带底部的能量;J为交迭积分..并求能带的宽度及能带底部和顶部附近的电子有效质量..41. 固体物理习题集6.20一矩形晶格;原胞边长a=2×10-10m;b=4×10-10m;1画出倒格子图；2以广延图和简约图两种形式;画出第一布里渊区和第二布里渊区；3 画出自由电子的费米面设每个原胞有两个电子..42. 固体物理习题集8.23;8.24试证明：如只计及最近邻原子间的相互作用;用紧束缚方法导出的体心立方晶体的S态电子的能带为Ek=E0-A-8Jcosπak x cosπak y cosπak z式中J为交迭积分;试求：1体心立方晶格能带的宽度；2能带底部和顶部电子的有效质量；3画出沿k x方向k y=k z=0Ek x和vk x的曲线..43. 固体物理概念题与习题指导5.14已知某简立方晶体的晶格常数为a;其价电子的能带： E= Acosak x cosak y cosak z +B 其中常数A;B>0 1 已测得带顶电子的有效质量m ∗=−22a 2;试求参数A;2 试求能带宽度；3 试求布里渊区中心点附近电子的态密度.. 所以能态密度为44. 固体物理习题集7.13设v F ; T F 分别为费米面电子的速度和平均自由时间;gE F 为费米能级处的状态密度;证明：对于球形费米面的情况;电导率σ=e 2 vF 2T F gE F /3 45. 固体物理习题集8.1证明：在一给定温度下;当电子浓度n=n i μh /μe 1/2;空穴浓度p=n i μe /μh 1/2时;半导体的电导率为极小..这里n i 是本征载流子浓度;μe 和μh 分别为电子和空穴的迁移率.. 46. 固体物理习题集8.27实验得到一锗样品不呈现任何霍尔效应..已知锗中电子迁移率为3500cm 2/V s;空穴迁移率为1400cm 2/V s;问电子电流在该样品的总电流中所占的比例等于多少 47. 黄昆教材4.12设有二维正方晶格;晶体势场为U (x,y )=−4Ucos (2πa x)cos (2πay)用近自由电子近似的微扰论简并微扰近似求出布里渊区顶角π/a;π/a 处的能隙..本题类似于基特尔教材7.6 48. 黄昆教材5.1设有一维晶体的电子能带可以写成E(k)=ℎ2ma2(78−cos ka+18cos2ka)其中;a是晶格常数;试求：1能带的宽度；2电子在波矢k状态的速度；3能带底部和能带顶部的有效质量..49. 黄昆教材5.2晶格常数为2.5 的一维晶格;当外加102V/m和107V/m电场时;试分别估算电子自能带底运动到能带顶所需要的时间..50. 黄昆教材5.6若已知Ek=Ak2+ck x k y+k y k z+k z k x;导出k＝0点上的有效质量张量;并找出主轴方向使用空间旋转矩阵..51. 黄昆教材6.1He3的自旋为1/2;是费米子..液体He3在绝对零度附近的密度为0.081g/cm3..计算费米能E F和费米温度T F..52. 黄昆教材6.3若把银看成具有球形费米面的单价金属;计算以下各量：1费米能和费米温度；2费米球半径；3费米速度；4费米球面的横截面积；5在室温及低温时电子的平均自由程..银的密度等于10.5 g/cm3;原子量等于107.87;电阻率等于1.61×10-6Ω cm在295K0.038×10-6Ω cm在20K..53. 黄昆教材7.1InSb的电子有效质量me=0.015mm为电子静质量;介电常数ε=18;晶格常数a=6.479 ;试计算：1施主的电离能；2基态的轨道半径；3若施主均匀分布;相邻杂质原子的轨道之间发生交叠时;掺有的施主杂质浓度应高于多少54. 黄昆教材7.3已知Si中只含施主杂质ND=1015/cm3..现在40K下测得电子浓度为1012/cm3;试估算施主杂质的电离能..E i=1.381×10−23×40ln (1015−1012)×1.266×10181024=1.156×10−20J=0.0722eV55. 黄昆教材7.4某一N型半导体电子浓度为1×1015/cm3;电子迁移率为1000cm2/Vs;求其电阻率..56. 基特尔教材4.5孔氏异常Kohn anomaly：假定晶面运动方程F s=∑C p(u s+p−u s)p中平面力常数C p取如下形式C p=A sin pk0apa;其中A和k0是常数;而p遍取所有的整数值..这种形式是对于金属的预期结果..利用这个公式和式ω̅2=2M ∑C pp>0(1−cos pKa)求出ω2和ω2/ K的表达式;证明K=k0时; ω2/ K是无穷大;于是在k0处ω2对K或ω对K的图形有一条垂直的切线：即在k057. 基特尔教材7.2约化能区中的自由电子能量..a在空点阵近似下考虑面心立方晶体在约化能区图式表示中的自由电子能带;在约化能区图式表示中所有的k都变换到第一布里渊区内..粗略绘出111方向上的所有能带的能量;直至相当于布里渊区边界k=2π/a1/2;1/2;1/2处的最低带能量的6倍..就令这个能量为能量的单位..这个问题表明;为什么带边不一定要在布里渊区中心..当考虑到晶体势场时;有几个简并能带交叉被消除.. 58. 基特尔教材7.4金刚石结构中的势能..a 试证对于金刚石结构;在G=2A 时;一个电子所感受的晶体势场的傅立叶分量U G 为零;其中A 是惯用立方晶胞的倒易点阵中的基矢..b 证明在周期点阵中波动方程通常的一级近似解中与矢量A 末端垂直的布里渊区边界面上的能隙为零;并且证明在二级近似中该能隙不为零.. 59. 基特尔教材7.6正方点阵..考虑在二维情况下具有晶体势场Ux;y= 4Ucos2πx/acos2πy/a的正方点阵..应用中心方程近似求出布里渊区角点π/a;π/a 处的能隙..这个问题只需解一个2×2的行列式方程就足够了..本题类似于黄昆教材4.12 60. 基特尔教材9.3六角密堆积结构. 考虑点阵常数为a 和c 的三维简单六角点阵晶体的第一布里渊区;令G c ⃗⃗⃗⃗⃗表示平行于晶体点阵的 c ⃗ 轴的最短倒易点阵矢量..a 证明六角密堆积晶体结构的晶体势U r ⃗的傅立叶分量U G c ⃗⃗⃗⃗⃗为零； b U2G c ⃗⃗⃗⃗⃗是否也为零 c 为什么原则上可以得到由处于简单六角点阵的阵点上的二阶原子所构成的绝缘体 d 为什么不可能得到六角密堆积结构的单价原子构成的绝缘体解：设原胞中有m 个原子;他们在原胞中的位置由n R 表示;则晶格势能为 其中()∑=⋅-=mn R iG n e G S 1正倒格矢分别为：()0,0,11a a = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0,23,212a a ()1,0,03c a =()⎪⎭⎫⎝⎛++-+=233223211m m m i eG S π ;对于平行于c 轴的最短的倒格矢G;有同理;对于六角密堆结构;当G=02G ±时;()()0222≠±=±c C G U G S 所以简单六角原胞中含有一个原子;第一个能带可容纳2N 个电子..若晶体是双价原子组成的;则N 个原子的体系可提供2N 个价电子;这样能带可能全被填满..所以在原则上其可构成绝缘体..同理：单价原子构成的六角密堆结构;是不可能成为绝缘体的..61. 方俊鑫教材32题平面正六方形晶格如图;六角形两个对边的间距是a;基矢a⃗=a2x̂+√3a2ŷ; b⃗⃗=−a2x̂+√3a2ŷ;试画出此晶体的第一、二、三布里渊区..如图所示：62. 方俊鑫教材38题某晶体中电子的等能量曲面是椭球面E(k⃗⃗)=22(k x2m1+k y2m1+k z2m1);求能量E到E+dE之间的状态数..63. 某二维晶体;其原胞的基矢|a1⃗⃗⃗⃗⃗|=2;|a2⃗⃗⃗⃗⃗|=2；a1⃗⃗⃗⃗⃗⊥a2⃗⃗⃗⃗⃗..设晶体有N个原胞;每个原胞内平均有1个电子：1画出该晶体的第一、二布里渊区；2在扩展布里渊区图上画出自由电子的费米面..。

精品文档一．本章习题P272 习题1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633.一．说明：C 是上下底面距离， a 是六边形边长。

二．分析：首先看是怎样密堆的。

如图 (书图 1.10(a)，P8)，六方密堆结构每个格点有12 个近邻。

（同一面上有 6 个，上下各有 3 个）上下底面中间各有一个球，共有六个球与之相切，每个球直径为a。

中间层的三个球相切，又分别与上下底面的各七个球相切。

球心之间距离为a。

所以球心之间即格点之间距离均为a（不管是同层还是上下层之间）。

三．证明：如图 OA=a ，OO ’=C/2 （中间层是上下面层的一半），AB=aO’是 ABC 的三垂线交点AO'AB a 33（由余弦定理x2a2x 22ax cos30aa a 2xcos30 , x)2cos303OA222( c)2( a )2 OO'AO' 23 a2( c )2( a )2222 a2 1 c234c822 1.633a332．若晶胞基矢 a,b, c 互相垂直，试求晶面族（ hkl ）的面间距。

一、分析：我们想到倒格矢与面间距的关系d2 。

G倒格矢与晶面族（ hkl ）的关系 Ghb 1 kb 2 lb 3写出 (b 1b 2b 3 ) 与正格子基矢(ab c) 的关系。

即可得与晶面族（hkl ） 垂直的倒格矢 G 。

进而求得此面间距 d 。

二、解：a,b, c 互相垂直，可令 aai , b bj ,cck晶胞体积 v a (b c )abc倒格子基矢：b 12(b c)2 (bj ck ) 2 ivabc ab 22 (c a)2 (ck ai ) 2vabc jb b 32 (a b) 2 (ai bj ) 2 kvabcc2 ( hik j lk )G hb 1kb 2 lb 3而与 （ hkl ）晶面族垂直的倒格矢abc( h ) 2 ( k )2 ( l ) 2G2abc故（ hkl ） 晶面族的面间距2 dG22 ( h)2( k ) 2 ( l ) 2ab c1( h ) 2 ( k )2 ( l )2abc3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？1．分析：考虑选取原胞的条件：（即布拉菲晶格的最小单元）（1）体积最小的重复结构单元（2）只包含一个格点（3）能反映晶格的周期性应将几个原子组合成一个格点，然后构成原胞。