6-2反馈控制与极点配置

* a1 - a1 ]Tc1 2
1 - 1 2 = [5 - (-5) 2 - (-2)] × 6 - 1 8 = [- 7 / 3 26 / 3]
则在反馈律u=-Kx+v下的闭环系统的状态方程为
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2 1 11 58 x′ = x + 1 u 3 4 17
求反馈矩阵K的方法: 1. 对于SISO线性定常连续系统的极点配置问题,若其状态空 间模型为能控规范II形,则相应反馈矩阵为 K=[k1 … kn]=[an*-an … a1*-a1] 其中ai和ai*(i=1,2,…,n)分别为开环系统特征多项式和所期望 的闭环系统特征多项式的系数.
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K = KTc 2
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下面通过两个例子来说明计算状态反馈阵K的方法. 例6-2 设线性定常系统的状态方程为
1 2 2 x′ = x + 1 u 1 3
求状态反馈阵K使闭环系统的极点为-1±j2.
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解 1: 判断系统的能控性. : 判断系统的能控性. 开环系统的能控性矩阵为
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由于线性定常系统的特征多项式为实 系数多项式,因此考虑到问题的可解性, 对期望的极点的选择应注意下列问题: 1) 对于n阶系统,可以而且必须给出n 个期望的极点; 2) 期望的极点必须是实数或成对出 现的共轭复数; 3) 期望的极点必须体现对闭环系统 的性能品质指标等的要求.
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例 考察下述能控能观的系统
0 1 0 = x x + 1 u 0 0 y = [1 0]x
它在输出反馈下u=-hy下的闭环系统为
0 1 0 x= x + 1 u h 0 y = [1 0] x
其闭环特征多项式为s2+h.
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由于状态变量是描述系统内部动态运动和特性的,因此对 实际控制系统,它可能不能直接测量,更甚者是抽象的数学 变量,实际中不存在物理量与之直接对应. 若状态变量不能直接测量,则在状态反馈中需要引入所谓 的状态观测器来估计系统的状态变量的值,再用此估计值 来构成状态反馈律.这将在下节中详述.
通过验算可知,该闭环系统的极点为-1±j2,达到设计要求.
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例6-3 已知系统的传递函数为 G(s) = 10 s ( s + 1)( s + 2)
试选择一种状态空间实现并求状态反馈阵K,使闭环系统的极点 配置在-2和-1±j上. 解 1:要实现极点任意配置,则系统实现需状态完全能控. : 因此,可选择能控规范II形来建立被控系统的状态空间模 型. 故有
6.2 反馈控制与极点配置
本节讨论如何利用状态反馈与输出反馈来进行 线性定常连续系统的极点配置,即使反馈闭环 控制系统具有所指定的闭环极点.
– 对线性定常离散系统的状态反馈设计问题,有完全 平行的结论和方法.
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对线性定常系统,系统的稳定性和各种性能的品质指标,在很 大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的. – 因此在进行系统设计时,设法使闭环系统的极点位于s平面 上的一组合理的,具有所期望的性能品质指标的极点,是 可以有效地改善系统的性能品质指标的. 这样的控制系统设计方法称为极点配置. 在经典控制理论的系统综合中,无论采用频域法还是根 轨迹法,都是通过改变极点的位置来改善性能指标,本质 上均属于极点配置方法. – 本节所讨论的极点配置问题,则是指如何通过状态反馈阵K 的选择,使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选择 的一组期望极点上.
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定理6-1 对线性定常系统∑(A,B,C)利用线性状态反馈阵K,能使 闭环系统∑K(A-BK,B,C)的极点任意配置的充分必要条件为被 控系统∑(A,B,C)状态完全能控.
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6.2.2 SISO系统状态反馈极点配置方法 系统状态反馈极点配置方法
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0 1 0 0 x ′ = 0 0 1 x + 0 u 0 2 3 1 y = [10 0 0 ] x
2. 系统的开环特征多项式f(s)和由期望的闭环极点所确定的闭环 特征多项式f*(s)分别为 f(s)=s3+3s2+2s f*(s)=s3+4s2+6s+4 则相应的反馈矩阵K为 K=[a3*-a3 a2*-a2 a1*-a1]
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6.2.3 输出反馈极点配置
由于输出变量空间可视为状态变量空间的子空间,因此输出反 馈也称之为部分状态反馈. – 由于输出反馈包含的信息较状态反馈所包含的信息少,因此 输出反馈的控制与镇定能力必然要比状态反馈弱. 线性定常连续系统的输出反馈极点配置问题可描述为: – 给定线性定常连续系统
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因此,在反馈律u=-Kx+v下,闭环系统状态方程为
0 1 0 0 x ′ = 0 0 1 x + 0 u 4 6 4 1 y = [10 0 0 ] x
在例6-3中,由给定的传递函数通过状态反馈进行极点配置时 需先求系统实现,即需选择状态变量和建立状态空间模型. 这里就存在一个所选择的状态变量是否可以直接测量, 可以直接作反馈量的问题.
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0 ~ 1 B = Tc 2 B = 1
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3. 求反馈律 求反馈律: 因此开环特征多项式 f(s)=s2-2s-5, 而由期望的闭环极点-1±j2所确定的期望闭环特征多项式 f*(s)=s2+2s+5, 则得状态反馈阵K为
~ 1 * K = KTc 2 = [a2 - a2
p2 p1 p3
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基于指定的期望闭环极点,线性定常连续系统的状态反馈极点 配置问题可描述为: – 给定线性定常连续系统
x = Ax + Bu
确定反馈控制律
u = Kx + v
使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭环 极点也就是成立
λi ( A BK ) = si* ,
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–
从而当h的值变化时,闭环系统的极点从2重的开环极点 s=0配置到
s = ± h 或 s = ± j h
–
而不能任意配置.
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上例说明,输出反馈对能控能观系统可以改变极点位置,但不能 进行任意的极点配置. – 因此,对某些系统,采取输出反馈可能不能配置闭环系统的 所有极点,使得闭环系统稳定或具有所期望的闭环极点. – 故,欲使闭环系统稳定或具有所期望的闭环极点,要尽可能 采取状态反馈控制或动态输出反馈控制(动态补偿器). 关于输出反馈可以任意配置极点数目p的问题,有如下定理(证 明略). 定理 定理6-2 对能控能观的线性定常系统∑(A,B,C),可采用静态输出 反馈进行"几乎"任意接近地配置p=min{n,m+r-1}个极点.
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定理6-2中的n,m,r分别为状态空间,输出空间和输入空间的 维数,"几乎"任意接近地配置极点的意义为可以任意地接近 于指定的期望极点位置,但并不意味着能确定配置在指定的期 望极点位置上. – 如,对例6-6的输出反馈问题,由于min{n,m+r-1}=1,则该系 统可以通过输出反馈"几乎"任意接近地配置的极点数 为1. 1 如期望的闭环极点为-1与-2,则输出反馈矩阵可以取 k=-1或-4,则可以将一个极点配置在-1或-2,但另一个闭 环极点不能配置. 再如期望的闭环极点为-1±2j,则输出反馈矩阵可以取 k=1,则可以将一个极点配置在与期望极点-1±2j 最接 近的-1上,但未能配置在期望的-1±2j上.
x = Ax + Bu y = Cx
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确定反馈控制律
u = Hx + v
使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭环 极点也就是成立
λi ( A BK ) = si* ,
i = 1,2,..., n
下面,先通过一输出反馈闭环系统的极点变化,考察输出反馈 能否像状态反馈那样对能控系统进行极点配置,然后给出相关 结论.
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�
i = 1,2,..., n
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下面分别讨论:
– 状态反馈极点配置定理 – SISO系统状态反馈极点配置方法 系统状态反馈极点配置方法 – 输出反馈极点配置
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6.2.1 状态反馈极点配置定理
在进行极点配置时,存在如下问题: 被控系统和所选择的期望极点满足哪些条件,则是可以进 行极点配置的. 下面的定理就回答了该问题.
2 - 4 [ B AB] = 1 1
则开环系统为状态能控,可以进行任意极点配置. 2. 求能控规范 形: 求能控规范II形
T1 = [0 1][ B
1 c2
AB]1 = [ 1 / 6 1 / 3]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
T1 1 1 2 T = = T1 A 6 1 8 0 1 ~ 1 A = Tc 2 ATc 2 = 5 2
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2. 若SISO被控系统的状态空间模型不为能控规范II形,则由 , 4.6节讨论的求能控规范II形的方法,利用线性变换x=Tc2 x 将系统∑(A,B)变换成能控规范II形 ∑(A, B) ,即有
A = Tc1 ATc 2 2 B = Tc1 B 2
对能控规范II形∑~进行极点配置,求得相应的状态反馈阵如 下 * * * K = an an an 1 an 1 a1 a1 因此,原系统∑的相应状态反馈阵K为