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第九节 数学归纳法知识梳理数学归纳法：对于某些与正整数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性．先证明当n 取第一个值n 0时命题成立；然后假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．这种证明方法就叫做数学归纳法．用数学归纳法证明一个与正整数(或自然数)有关的命题的步骤：(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(例如n 0＝1，n 0＝2等)时结论正确；(2)(归纳递推)假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n ＝k ＋1时结论也正确．由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确．用数学归纳法来证明与正整数有关的命题时，要注意： 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．基础自测1．(2013·深圳月考)用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析：当n ≤4时，2n >n 2＋1不成立，n ≥5时，2n >n 2＋1成立，所以取n 0＝5. 答案：C2．下列代数式中(其中k ∈N *)，能被9整除的是( )A ．6＋6×7kB ．2＋7k －1C ．3 (2＋7k )D ．2(2＋7k ＋1)解析：(1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k ＝n (n ∈N *)命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n)－36，这就说明，当k ＝n ＋1时命题也成立．故选C.答案：C3．(2013·厦门质检)观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52，…，由此猜测第n 个不等式为________(n ∈N *)．解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.答案：1＋12＋13＋…＋12n －1>n24．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________．解析：a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，猜想a n ＝1n －n ＋.答案：a n ＝1n －n ＋1．已知f (x )＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x .(1)若x ≥1时，证明：f (x )≥ln x ；(2)证明：1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)＋nn ＋(n ≥1)．证明：(1)设g (x )＝f (x )－ln x ＝x 2－12x －ln x (x ≥1)，则g ′(x )＝12x 2－1x ＋12＝x 2－2x ＋12x2＝x －22x≥0(x ≥1)，所以g (x )在[1，＋∞)上单调递增，即当x ≥1时，g (x )≥g (1)＝0，即f (x )≥ln x .(2)(法一)由(1)有f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ≥ln x (x ≥1)，且当x ＞1时，12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＞ln x .令x ＝k ＋1k ，有ln k ＋1k ＜12k ＋1k －k k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋1，即ln(k ＋1)－ln k ＜12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1k ＋1，k ＝1,2,3，…，n .将上述n 个不等式依次相加，得ln(n ＋1)＜12＋12＋13＋…＋1n ＋1n ＋.整理得1＋12＋13＋…＋1n ＞ln(n ＋1)＋nn ＋.(法二)用数学归纳法证明．(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝ln 2＋14＜1，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式成立，即 1＋12＋13＋…＋1k ＞ln(k ＋1)＋k k ＋. 那么n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞ln(k ＋1)＋k k ＋＋1k ＋1＝ln(k ＋1)＋k ＋2k ＋. 由(1)有f (x )＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ≥ln x (x ≥1)．令x ＝k ＋2k ＋1，得12⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2k ＋1－k ＋1k ＋2≥ln k ＋2k ＋1＝ ln(k ＋2)－ln(k ＋1)．∴ln(k ＋1)＋k ＋2k ＋≥ln(k ＋2)＋k ＋1k ＋.∴1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞ln(k ＋2)＋k ＋1k ＋.这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式也成立．根据(1)，(2)，可知不等式对任何n ∈N *都成立．2．(2012·大纲全国卷)函数f (x )＝x 2－2x －3.定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．(1)证明：2≤x n <x x ＋1<3； (2)求数列{x n }的通项公式．(1)证明：因为f (4)＝42－8－3＝5，故点P (4,5)在函数f (x )的图象上，故由所给出的两点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))可知，直线PQ n 斜率一定存在. 故有直线PQ n 的直线方程为y －5＝f x n －5x n －4·(x －4)．令y ＝0，可求得－5＝x 2n －2x n －8x n －4·(x －4)⇔－5x n ＋2＝x －4⇔x ＝4x n ＋3x n ＋2.所以x n ＋1＝4x n ＋3x n ＋2.下面用数学归纳法证明2≤x n <3. ①当n ＝1时，x 1＝2，满足2≤x 1<3.②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，2≤x k <3成立，则当n ＝k ＋1时，x k ＋1＝4x k ＋3x k ＋2＝4－5x k ＋2，由2≤x k <3⇔x k ＋2<5⇔1<5x k ＋2≤54⇔2<114≤4－5x k ＋2<3即2≤x k ＋1<3也成立．综上可知，2≤x n <3对任意正整数恒成立． 下面证明x n <x n ＋1：由x n ＋1－x n ＝4x n ＋3x n ＋2－x n ＝4x n ＋3－x 2n －2x n x n ＋2＝－x n －2＋4x n ＋2，由2≤x n <3⇒0<－(x n －1)2＋4≤3， 故有x n ＋1－x n >0，即x n <x n ＋1.综合①②可知，2≤x n <x n ＋1<3恒成立．(2)解析：由(1)及题意得x n ＋1＝3＋4x n2＋x n.设b n ＝x n －3，则1b n ＋1＝5b n ＋1，1b n ＋1＋14＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n ＋14，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ＋14是首项为－34，公比为5的等比数列．因此1b n ＋14＝－34·5n －1，即b n ＝－43·5n －1＋1， 所以数列{x n }的通项公式为x n ＝3－43·5n －1＋1(n ∈N *)．1．观察下表：设第n 行的各数之和为S n ，则S n ＝______________.解析：第一行，1＝12，第二行，2＋3＋4＝9＝32，第三行，3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，第四行，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，归纳：第n 行的各数之和S n ＝(2n －1)2.答案：(2n －1)22．(2013·揭阳一模改编)已知函数f (x )＝ax1＋xa (x >0，a 为常数)，数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *. (1)当a ＝1时，求数列{a n }的通项公式；(2)在(1)的条件下，证明对∀n ∈N *有：a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝n n ＋n ＋n ＋.(1)解析：当a ＝1时，a n ＋1＝f (a n )＝a n1＋a n ，两边取倒数，得1a n ＋1－1a n ＝1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝2为首项，1为公差的等差数列，所以1a n ＝n ＋1，a n ＝1n ＋1，n ∈N *. (2)证明：(法一)由(1)知a n ＝1n ＋1，故对k ＝1,2,3，…，a k a k ＋1a k ＋2＝1k ＋k ＋k ＋＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k ＋k ＋－1k ＋k ＋ 所以a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3－13×4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13×4－14×5＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋n ＋－1n ＋n ＋ ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3－1n ＋n ＋＝n n ＋n ＋n ＋.(法二)①当n ＝1时，等式左边＝12×3×4＝124，等式右边＝1×＋＋＋＝124，左边＝右边，等式成立；②假设当n ＝k (k ≥1)时等式成立，1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9即a 1a2a3＋a2a3a4＋…＋a k a k＋1a k＋2＝k k＋k＋k＋，则当n＝k＋1时，a1a2a3＋a2a3a4＋…＋a k a k＋1a k＋2＋a k＋1a k＋2a k＋3＝k k＋k ＋k＋＋1k＋k＋k＋＝k k＋k＋＋121k＋k＋k＋＝k3＋9k2＋20k＋12k＋k＋k＋＝k2k＋＋k＋k＋k＋k＋k＋＝k＋k＋k＋k＋k＋k＋＝k＋k＋＋5]k＋＋k＋＋3].这就是说当n＝k＋1时，等式成立，综①②知对于∀n∈N*有：a1a2a3＋a2a3a4＋…＋a n a n＋1a n＋2＝n n＋512n＋2n＋3.。
高考第一轮复习指导方法之数学归纳法数学归结法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个(或许局部)自然数范围内成立。
(一)第一数学归结法
普通地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤(1)证明当n取第一个值时命题成立，关于普通数列取值为1，但也有特殊状况，
(2)假定当n=k(k[n的第一个值]，k为自然数)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
(二)第二数学归结法
关于某个与自然数有关的命题，
(1)验证n=n0时P(n)成立，
(2)假定no
综合(1)(2)对一切自然数n(n0)，命题P(n)都成立，
(三)螺旋式数学归结法
P(n)，Q(n)为两个与自然数有关的命题，
假设(1)P(n0)成立，
(2)假定P(k)(kn0)成立，能推出Q(k)成立，假定Q(k)成立，能推出P(k+1)成立，综合(1)(2)，关于一切自然数n(n0)，P(n)，Q(n)都成立，
(四)倒推数学归结法(又名反向数学归结法)
(1)关于无量多个自然数命题P(n)成立，
(2)假定P(k+1)成立，并在此基础上推出P(k)成立，
综合(1)(2)，对一切自然数n(n0)，命题P(n)都成立
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