2013年全国数学竞赛考试试题详细参考答案

大江口中学2013年上学期七年级数学基础知识竞赛试题（时量：120分钟 满分：120分）命题：李庆华一、精心选一选，旗开得胜 （共10个小题，每小题3分， 共30分）1、分解因式（x-1）2-2（x-1）+1的结果是（ ）A ．（x-1）（x-2）B ．x 2C ．（x+1）2D ．（x-2）2 2、已知⎩⎨⎧==21y x 是方程2mx-y=10的解，则m 的值为（ ）Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．10 3、如果线段AB=5cm ，BC= 3cm ，那么A 、C 两点间的距离是（ ） A ．8 cm B 、2㎝ C ．4 cm D ．不能确定 4、如果一个角是64°，那么（ ）A ．它的余角是36°B ．它的补角是36°C ．它的余角是116°D ．它的补角是116° 5、如图1所示的图案中，不能由基本图形通过平移方法得到的图案是（ ）图1A B C D6、计算20092-2008×2010+(-1)2009的结果是（ ）A.0B.1C.-1D.37、将多项式42+x 加上一个整式，使它成为完全平方式，不能满足上述条件的整式是（ ） A ．4x B ．-4x C ．4 D ．-4 8、下列说法中错误的是（ ）A ．教室里的黑板是轴对称图形B ．扑克牌中的梅花图案是轴对称图形C ．五星红旗的五角星图案不是轴对称图形D ．英文字母印刷体大写“W”是轴对称图形 9、等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（ ） A ．40°，40° B ．80°，20°C ．50°，50°D ．50°，50°或80°,20°10、某种商品共10件，第一天以50元/件卖出3件，第二天以45元/件卖出2件，第三天以 40元/件卖出5件，则这种商品的平均售价为每件（ ） A ．42 B ．44 C ．45 D ．46二、耐心填一填，一锤定音 (每小题4分, 满分32分)11、一张试卷25道题，若做对一题得4分，做错一题倒扣1分，小红做完所有题后得70分。

2013年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题解答选择题答案填空题答案一、选择题（满分36分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入第1页指定地方，答对得6分，答错或不答均计0分）1．已知集合A={1, 2, 3, 4, 5}，B={2, 3, 4, 5, 6}，则集合C={(a, b)|a∈A, b∈B, 且关于x的方程x2+2ax+b2=0有实根}的元素个数为（A）7．（B）8．（C）9．（D）10．解当a＞0，b＞0时，x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.设集合D={(a,b)|a∈A, b∈B}，D的元素个数为5×5=25个，而C是D的子集，因此，集合C的元素如右面的整点图中的黑点所示：因此, C的元素个数等于10．22=（A）7．（B）8．（C）9．（D）10．解2224882--===．3．如图所示，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点O，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数31kyx+=的图像上，若A点的坐标为(−2, −2)，则k等于（A）2．（B）1．（C）0．（D）−1．解因为矩形的对角线平分矩形的面积，所以矩形CHOG的面积= 矩形OF AE的面积= |−2|×|−2|= 4．即3k+1=OG×GC= 4，因此k =1．4．定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x+1)=−f (x )，且在区间[−1, 0]上递增，则 （A）(3)(2)f f f <<． （B）(2)(3)f f f <<． （C）(3)(2)f f f <<． （D）(2)(3)f f f <<．解 根据题意f (x )=−f (x+1) =−[−f (x+2)]= f (x+2)，因为f (x )是偶函数，即f (a )= f (−a )， 则(3)(1)(1)f f f ==-，(2)(0)f f =，((22)f f f f ===． 而 −12＜0，f (x )在区间[−1, 0]上递增，所以(3)(2)f f f <<．5．由1开始的连续n 个正整数相乘，简记为n !=1×2×…×n ， 如3!=1×2×3=6，10!=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10=3628800等等，则12345672!3!4!5!6!7!8!++++++等于（A ）719720．（B ）50395040．（C ）4031940320．（D ）4032140320．解 因为1111!!!(1)!!n n n n n n n -=-=--，所以 12345672!3!4!5!6!7!8!++++++ 213141516171812!2!3!3!4!4!5!5!6!6!7!7!8!8!⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111*********!2!3!3!4!4!5!5!6!6!7!7!8!⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1140319118!4032040320=-=-=．6．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，P 为劣弧CD 上一点，P A交BD 于点M ，PB 交AC 于点N ，记∠P AC =θ，若MN ⊥P A ，则2cos 2θ−tan θ的值等于 （A ）1． （B． （C ）12． （D． 解 ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ ∠ACB =45º，DB ⊥AC ， ∴ ∠APB =∠ACB =45º， ∵ MN ⊥P A ，∴ ∠MNP =∠APB =45º，∴ MP =MN ．∵ AC 为圆的直径，∴∠APC =90º，∴P 、M 、O 、C 四点共圆．∴ AM ·AP = AO ·AC ．因此2cos 2θ − tan θ 222AO MN AM AM =⋅-222AO AM MNAM⋅-⋅= 2AO AC AM MN AM ⋅-⋅=2AM AP AM MN AM⋅-⋅= AP MN AM -=1AP PM AM-==．二、填空题（满分64分，每小题8分，请将答案填入第1页指定地方） 1．求222222235753sin 30sin 35sin 40sin 45sin 50sin 55sin 60tan 36tan 39tan 42tan 45tan 48tan 51tan 54++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 的值．解 注意到sin 2α+sin 2(90º−α)= sin 2α+cos 2α=1，sin 245º=12，n 为正整数时，tan n α×tan n (90º−α)= tan n α×cot n α=(tan α×cot α)n =1，tan45º=1，则222222235753s i n 30s i n 35s i n 40s i n 45s i n 50s i n 55s i n 60t a n 36t a n 39t a n 42t a n 45t a n 48t a n 51t a n 54++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 3.5=．2．f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=2x +2x +b (b 为常数)，求f (−10)的值．解 因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)=0，即20+2×0+b =0，得b =−1．由奇函数的性质f (−x )=−f (x )，有若x ＜0，即−x ＞0，则−f (x )= f (−x )=2−x −2x −1， 即f (x )= −2−x +2x +1 (x ＜0)． 所以f (−10)= −210−2×10+1= −1043．3．若实数x , y , z44x y z +-=，试确定(5x +3y −3z )2013的末位数字．解 易见x ≥7，则≥4，而4x y z+-≥0，又x , y , z满足方程44x y z +-=，且4x y z+-=0． 所以 x =7，x +y −z =0，(5x +3y −3z )2013 =142013，这个数的末位数字为4．4．如右图，正方形ABCD 被分成了面积相等的8个三角形，如果AGABCD 面积的值．解 过F 作KL//DC ，取AB 的中点N ，延长GN 交AH 于P ， 设正方形ABCD 的边长为a ，由于△DCI 、△ABH 的面积都是正方形ABCD 面积的18，所以CI =BH =14BC =4a ． 由△ADF 的面积=△DCL 的面积的2倍，得AB C D EFGIH ABCDE F P IH L KG N11222AD KF CD CI ⨯=⨯⨯ 所以KF =2CI 1.2a =所以F 为DI 中点． 易见，E 是AF 的中点，由△F AG 、△FHG 的面积相等，可得AP=PH ，即FP 为△F AH 的一条中线，因此F 、P ，N 是一条直线．同理可证，HG 的延长线必过AE 的中点E ，所以HE 为△F AH 的另一条中线，中线FP 与HE 的交点G 为△F AH 的重心，12GP FG =． 注意FP 为梯形AHID 的中位线，FP//BC ，所以 132224a aHI AD aFP ++===，所以134a GP FP ==，所以3488a a a GN GP PN =+=+=．而AN =2a ，根据勾股定理，有22223252864a a a AG ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2255064a =，所以a 2=128．5．已知实数m 、n 满足m −nm 2−3n 2为质数．若m 2−3n 2的最大值为a ，最小值为b ．试确定a −b 的值．解 设m 2−3n 2=p （p 为质数） ① 由m −nm= n ， ②把②式代入①式得n )2−3n 2= p ，整理得2n 2−+p −10=0， ∴ Δ=40−8p +80≥0，∴ p ≤15．∴ p 的最大值a =13，最小值b =2 ， ∴ a −b =11．6．在△ABC 的边BC 上有一点D ，∠ADB 是锐角，P 、Q 分别是△ABD 、△ACD 的外心，且四边形APDQ 面积是△ABC 面积的34．求sin ∠ADB 的值． 解 连结PQ ，易证△AQP ≌△DQP ， 由已知得38AQP ABCS S ∆∆=， 易证：△APQ ∽△ABC ，所以2AQP ABCS AQ S AC ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以AQ AC =． 连结QC ，作QH ⊥AC 于H ，则11112222ADB ACD CAD AD CD ADC AQC AQH ∠=∠+∠=+==∠=∠． 所以 sin ∠ADB = sin ∠AQH == 7．S (x )表示自然数x 的数字和，试确定方程x +S (x )+S (S (x ))=2013的解集． 解 显然x ＜2013，而S (x )最大为28，S (S (x ))最大为10，因此x 最小为2013−38=1975．因此1975≤x ＜2013，容易试验得x =2003，S (2003)=5，S (S (2003))=5，2003+5+5=2013； x =1991，S (1991)=20，S (S (1991))=2，1991+20+2=2013； x =1985，S (1985)=23，S (S (1985))=5，1985+23+5=2013； x =1979，S (1979)=26，S (S (1979))=8，1979+26+8=2013． 除此之外的x 都不满足方程，所以解集是{1979, 1985, 1991, 2003}．8．直角△ABC 中，内切圆⊙O 切斜边AB 于D ，切BC 于E ，切CA 于F ，作DK ⊥AC 于K ，DP ⊥BC 于P ，已知AD =m ，BD =n ，试确定矩形CKDP 的面积（用m ，n 来表示）．解 设内切圆半径为r ，连接OD ，OE ，OF ，如图，则OD =OE =OF = r ．由切线长定理得AD =AF =m ，BD =BE =n ，CE =CF =r ．设△ABC 的半周长为p ，面积为S ，则p =r +m +n ，所以 ()()2r m r n S ++=．即 2S =r 2+rm +rn +mn =r (r +m +n )+mn =rp +mn ． 因为S =rp ，代入上式得 S = mn ． 因为DK //BC ，所以 △ADK ∽△ABC ，所以 223222()()()ADKABC m m m nS S mn m n m n m n ∆∆=⨯=⨯=+++， 同理可得223222()()()BDPABC n n mn S S mn m n m n m n ∆∆=⨯=⨯=+++， 因此，矩形CKDP 的面积 = 33222222()()()m n mn m n mn m n m n m n --=+++．。

2002年全国初中数学竞赛试题一、选择题1．设a ＜b ＜0，a 2＋b 2＝4ab ，则ba ba -+的值为【 】 A 、3 B 、6 C 、2 D 、32．已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值为【 】A 、0B 、1C 、2D 、33．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCD S S 矩形四边形等于【 】A 、65 B 、54 C 、43 D 、32ABC DEF G4．设a 、b 、c 为实数，x ＝a 2－2b ＋3π，y ＝b 2－2c ＋3π，z ＝c 2－2a ＋3π，则x 、y 、z 中至少有一个值【 】A 、大于0B 、等于0C 、不大于0D 、小于0 5．设关于x 的方程ax 2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是【 】A 、72-＜a ＜52 B 、a ＞52 C 、a ＜72- D 、112-＜a ＜06．A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于【 】 A 、22b a + B 、22b ab a ++ C 、()b a +21D 、a ＋b 二、填空题7．设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝2的两个实数根，则(x 1－2x 2)(x 2－2x 1)的最大值为 。

8．已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c)(x －c －d)－2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则b c c a -+-的值为 。

9．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝ 。

2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1. 设集合{2,0,1,3}A ，集合2{|,2}B x x A x A ．则集合B 中所有元素的和为 ．答案 5−．解 易知{2,0,1,3}B ．当2,3x 时，222,7x ，有22x A ；而当0,1x 时，222,1x ，有22x A ．因此，根据B 的定义可知{2,3}B ． 所以，集合B 中所有元素的和为5−．2. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线24y x 上，满足4OA OB ，F 是抛物线的焦点. 则OFA OFB S S ．答案 2．解 点F 坐标为(1,0)．设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212,44y y x x ，故21212121214()16OA OB x x y y y y y y ，即2121(8)016y y ，故128y y ． 21212111()2224OFA OFB S S OF y OF y OF y y =（）． 3. 在ABC 中，已知sin 10sin sin ,A B C cos 10cos cos ,A B C 则tan A 的值为 ．答案 11．解 由于sin cos 10(sin sin cos cos )10cos()10cos A A B C B C B C A ，所以sin 11cos A A ，故tan 11A ．4. 已知正三棱锥P ABC 底面边长为1，高为，则其内切球半径为 ．答案解 如图，设球心O 在面ABC 与面ABP 内的射影分别为H 和K ，AB 中点为M ，内切球半径为r ，则P 、K 、M 共线，P 、O 、H 共线，2PHM PKO ，且,OH OK r PO PH OH r ，MH ABPM ， 于是有1sin5OK MH KPO POPM ，解得r． 5. 设,a b 为实数，函数()f x ax b 满足：对任意[0,1]x ，有()1f x . 则ab 的最大值为 ．答案14． 解 易知(1)(0),(0)a f f b f ，则2221111(0)((1)(0))(0)(1)(1)(1)2444ab f f f f f f f ． 当2(0)(1)1f f ，即12a b 时，14ab ．故ab 的最大值为14． 6. 从1,2,,20 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为 ．答案 232323．解 设12345a a a a a <<<<取自1,2，…，20，若12345,,,,a a a a a 互不相邻，则123451123416a a a a a ≤<−<−<−<−≤，由此知从1,2,,20 中取5个互不相邻的数的选法与从1,2,,16 中取5个不同的数的选法相同，即516C 种．所以，从1,2,,20 中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为5552016165520202321323C C C C C −=−=． 7. 若实数,x y满足x ，则x 的取值范围是 ． 答案 {0}[4,20] ． 解,(,0)a b a b ，此时22()x y x y a b ，且条件中等式化为2242a b a b ，从而,a b 满足方程22(2)(1)5a b (,0)a b ．如图所示，在aOb 平面内，点(,)a b 的轨迹是以(1,2)为,0a b 的部分，即点O 与弧 ACB 的02, ，从而 2204,20x a b ． 8. 已知数列{}n a 共有9项，其中191a a ，且对每个{1,2,,8}i ，均有112,1,2i i a a，则这样的数列的个数为 ． 答案 491． 解 令1(18)i i ia b i a，则对每个符合条件的数列{}n a ，有 88191111i i i i ia ab a a，且12,1,(18)2i b i ． ① 反之，由符合条件①的8项数列{}n b 可唯一确定一个符合题设条件的9项数列{}n a ．记符合条件①的数列{}n b 的个数为N ．显然(18)i b i 中有偶数个12，即2k 个12；继而有2k 个2，84k 个1．当给定k 时，{}n b 的取法有22882C C k kk 种，易见k 的可能值只有0,1,2，所以224486841C C C C 12815701491N ．因此，根据对应原理，符合条件的数列{}n a 的个数为491．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足12,2,3,n n S S n −≥= ，这里1n n S x x =++ ．证明：存在常数0C >，使得2,1,2,n n x C n ≥⋅=． 解 当2n ≥时，12n n S S −≥等价于11n n x x x −≥++ ． ① …………………4分对常数114C x =，用数学归纳法证明： 2,1,2,n n x C n ≥⋅= ． ②……………………8分1n =时结论显然成立．又2212x x C ≥=⋅．对3n ≥，假设2,1,2,,1kk x C k n ≥⋅=− ，则由①式知()121n n x x x x −≥+++()21122n x C C −≥+⋅++⋅()223122222n n C C −=++++=⋅ ，所以，由数学归纳法知，②式成立．…………………16分10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为22221(0)x y a b a b ，1A 、2A 分别为椭圆的左、右顶点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点．若平面中两个点Q 、R 满足11QA PA ，22QA PA ，11RF PF ，22RF PF ，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明．解 令c ，则1212(,0),(,0),(,0),(,0)A a A a F c F c ．设001122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y ，其中22000221,0x y y a b．由1122,QA PA QA PA 可知111010()()0A Q A P x a x a y y，① 221010()()0A Q A P x a x a y y． ②…………………5分将①、②相减，得102()0a x x ，即10x x ，将其代入①，得220100x a y y ，故22010x a y y ，于是22000,x a Q x y ． …………………10分 根据1122,RF PF RF PF ，同理可得22000,x c R x y． …………………15分 因此2222200000x a x c b QR y y y ，由于0(0,]y b ，故QR b （其中等号成立的充分必要条件是0y b ，即点(0,)P b 为 ）． …………………20分 11. （本题满分20分）求所有的正实数对(,)a b ，使得函数2()f x ax b 满足：对任意实数,x y ，有()()()()f xy f x y f x f y ．解 已知条件可转化为：对任意实数,x y ，有22222()(())()()ax y b a x y b ax b ay b ． ①先寻找,a b 所满足的必要条件．在①式中令0y ，得22()()b ax b ax b b ，即对任意实数x ，有2(1)(2)0b ax b b ．由于0a ，故2ax 可取到任意大的正值，因此必有10b ，即01b ． …………………5分在①式中再令y x ，得422()()ax b b ax b ，即对任意实数x ，有2422()2(2)0a a x abx b b ． ②将②的左边记为()g x ．显然20a a （否则，由0a 可知1a ，此时22()2(2)g x bx b b ，其中0b ，故()g x 可取到负值，矛盾），于是 2222222()()()(2)ab ab g x a a x b b a a a a 222()(22)11b b a a x a b a a0 对一切实数x 成立，从而必有20a a ，即01a ． …………………10分进一步，考虑到此时01b a ，再根据(22)01b g a b a，可得22a b ．至此，求得,a b 满足的必要条件如下：01b ，01a ，22a b ． ③…………………15分下面证明，对满足③的任意实数对(,)a b 以及任意实数,x y ，总有①成立，即222222(,)()(1)()2(2)h x y a a x y a b x y axy b b对任意,x y 取非负值．事实上，在③成立时，有2(1)0,0a b a a ，(22)01ba b a，再结合222x y xy ，可得2222(,)()(1)(2)2(2)h x y a a x y a b xy axy b b2222()2(2)a a x y abxy b b22()(22)11b b a a xy a b a a0 ． 综上所述，所求的正实数对(,)a b 全体为{(,)|01,01,22}a b b a a b ． …………………20分。