2016届甘肃省兰州市高三实战考试数学(文)试题讲解

兰州一中2016届高三第三次模拟考试试题数学（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．函数f (x )( ) A ．(0,2) B ．(0,2] C ．(2,)+∞D ．(,2)-∞2．已知幂函数f (x )的图象经过(9,3)，则(3)f ＝ ( )A ．3 BCD ．13．下列命题错误．．的是 ( ) A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠” B ．若“p q ∧”为假命题，则p ，q 均为假命题 C ．回归直线y bx a =+一定过样本中心点(,)x y D ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件4．圆22(2)(1)2x y -+-=与x 轴交于A ,B 两点，则弦AB 所对劣弧 AB 的弧长为( )A ．3π BC ． 2π D5．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①()sin f x x =，②()cos f x x =，③1()f x x =， ④1()lg 1xf x x-=+， 则输出的函数是 ( )A ．()sin f x x =B ．()cos f x x =C ．1()f x x =D ．1()lg 1x f x x-=+ 6．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π47．设2log 31()3a =，5log 41()3b =，ln 33c =，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )A ． c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b >>8．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DC →的最大值为 ( )A ．1B ．12 C D ．2 9．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且 4S ＝(a ＋b )2－c 2，则sin()4C π+等于 ( )A ．1B ．2-C ．2D 10．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，若其准线经过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点M 为这两条曲线的一个交点， MF p =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．22B 2C 1D ．1211．已知函数224,0()4(3),0x x f x x x a x +≥⎧=⎨-+-<⎩，其中a R ∈.若对任意的正实数1x ，存在唯一的非零实数212()x x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．[1,5] B ．(0,2) C ．(2,5] D ．(,1][5,)-∞+∞ 12．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(,0)-∞ B ．(0，12) C ．(0,1) D ．(0,)+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知复数z ＝－2i ，则复数1+1z 虚部为_________. 14．在平面上，正三角形的内切圆与外接圆的半径之比为1:2；类似地，在空间，正四面体的内切球与外接球半径之比为___________.15．已知函数32()21f x x ax x =-++在区间[1,2]上单调递减，则实数a 的取值范围是___________.16．关于函数f (x )＝2(sin x －cos x )cos x 有以下四个结论：①函数f (x )的最大值为2；②把函数h (x )＝2sin2x －1的图象向右平移π4个单位可得到函数f (x )的图象；③函数f (x )在区间75[,]84ππ上单调递增； ④函数f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k 2π＋π8，－1(k ∈Z )．其中正确的结论是___________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题12分）已知正项等差数列{a n }前三项的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 1、b 2、b 3.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式； (2)令211n n n c b a =+-，求数列{n c }的前n 项和n S .如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点． (1)若P A ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面P AD ；(2)试在线段PC 上确定一点M ，使P A ∥平面MQB ，并求出PMPC的值.19．（本小题12分）某校为了解学生每天参加体育运动时间的情况，随机抽取了100名学生进行调查，其中女生有55名，下面是根据调查结果绘制的学生日均体育运动时间的频率分布直方图: 将日均体育运动时间不低于40分钟的学生称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女生．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否有90%的把握认为“体育迷”与性别有关？迷”中有2名女生．若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女生的概率． 附：K2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝63，A ，B 是椭圆C 上两点，N (3，1)是线段AB的中点.(1)求直线AB 的方程；(2)若以AB 10y +-=相切，求出该椭圆方程.21. （本小题满分12分）设函数()xf x e x =-，()()ln h x f x x a x =+-.(1)求函数()f x 在区间[1,1]-上的值域； (2)证明：当a >0时，()2ln h x a a a ≥-.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲 如图，AB 是O 的一条切线，切点为B ，直线ADE ， CFD ，CGE 都是O 的割线，已知AC=AB .(1)求证：FG//AC ； (2)若CG=1，CD=4，求GFDE的值.23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 225223 (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为θρsin 52=.(1)求直线l 及圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点B A ,.若点P||||PB PA +.24.（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲（1）求不等式1123-≥---x x 的解集；（2）已知1,,=+∈+b a R b a ，求证：225)1()122≥+++b b a a （.兰州一中2016届高三第三次模拟考试数学参考答案（文科）一、选择题: 本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.A;2.C;3. B;4.D;5.D;6.B;7.B;8.A;9.C; 10.C; 11.A; 12B. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.25; 14. 1：3 ; 15. 13[,)8+∞; 16. ③④ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：(1)设等差数列的公差为d ，由已知得a 1+a 2＋a 3=15，则a 2＝5. 所以{b n }中的b 1、b 2、b 3依次为7－d ，10，18＋d .依题意有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去). 故a n ＝2n +1. 又b 1=5，b 2=10，所以b n ＝b 1·q n －1＝5·2n －1.(2)∵a n ＝2n +1，b n ＝5·2n －1，∴c n ＝12152(21)1n n -+⨯+-=14n （n ＋1）+152n -⨯＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1+152n -⨯ ∴S n ＝14⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1+51(122)n -+++ ＝5254(1)n nn +⋅-+.18．解：(1)证明：连接BD ，因为四边形ABCD 为菱形，且∠BAD ＝60°，∴△ABD 为正三角形，又Q 为AD 的中点，所以AD ⊥BQ ；又因为P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，所以AD ⊥PQ ； 又BQ ∩PQ ＝Q ，所以AD ⊥平面PQB ， 又AD ⊂平面P AD ，所以平面PQB ⊥平面P AD . (2)解 连接AC 交BQ 于N ，作NM ∥P A 交PC 于点M ,因NM ∥P A ，NM MQB ⊂面,PA MQB ⊄面,所以P A ∥平面MQB . 由AQ ∥BC 可得，所以△ANQ ∽△CNB ，所以AN NC ＝AQ BC ＝12，因为P A ∥MN ，所以PM PC ＝AN AC ＝13.19．解:(1)由所给的频率分布直方图知，“体育迷”人数为100×(10×0.020＋10×0.005)＝25，“非体育迷”人数为75，则据题意完成2×2列联表：将2×2列联表的数据代入公式计算： K 2＝100(30×10－45×15)275×25×45×55＝10033≈3.030.因为3.030＞2.706，所以有90%的把握认为“体育迷”与性别有关．(2)由所给的频率分布直方图知，“超级体育迷”人数为100×(10×0.005)＝5， 记a i (i ＝1,2,3)表示男生，b j (j ＝1,2)表示女生，从5名“超级体育迷”中任意选取2人，所有可能结果构成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1) ，(a 1，b 2) ，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)， (a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2) }，共有10个基本事件组成，且每个基本事件出现是等可能的．用A 表示事件“任选2人，至少1名女生”，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(a 3，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 2)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，共有7个基本事件组成，故任选2人，至少有1名女生观众的概率为P (A )＝710.20. 解：(1)离心率e ＝63，设椭圆C ：x 2＋3y 2＝a 2(a ＞0)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，设直线AB 的方程为y ＝k (x －3)＋1，代入x 2＋3y 2＝a 2， 整理得(3k 2＋1)x 2－6k (3k －1)x ＋3(3k －1)2－a 2＝0.①Δ＝4[a 2(3k 2＋1)－3(3k －1)2]＞0，②且x 1＋x 2＝6k （3k －1）3k 2＋1，由N (3，1)是线段AB 的中点，得x 1＋x 22＝3.解得k ＝－1，代入②得a 2＞12，∴直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0. (2)圆心N (3，1)10y +-=的距离dAB ∴=当1k =-时方程①即22424480x x a -+-=1221206124x x a x x ⎧⎪∆>⎪∴+=⎨⎪⎪⋅=-⎩12AB x ∴=-==224a =.∴椭圆方程为221248x y +=. 21. 解：'()1x f x e =- ，'()=00f x x =令，得，在(1,0)-上，'()0f x <，()f x 单调递减；在(0,1)上，'()0f x >，()f x 单调递增.∴当x ∈[－1，1]时，min ()(0)1f x f ==，又1(1)1,(1)1,(1)(1)f f e f f e-=+=--<[1,1]e ∴-函数的值域为.（2）()ln x h x e a x =- ，'()0xa h x e x =-=，即(0)x ae x x=>， 当0a >时该方程有唯一零点记为0x ，即00xa e x =， 0(0,)'()0,()x x h x h x ∈<当时，单调递减；0(,+)'()0()x x h x h x ∈∞>当时，，单调递增.min00()()ln x h x h x e a x ∴==-00001ln lnx a a e a a x x x a=+=+ 0000ln ln ln 2ln x a aa e a a ax a a a a a x x =+-=+-≥-. 22. 解：(Ⅰ)因为AB 为切线，AE 为割线，2AB AD AE =⋅，又因为AC AB =，所以2AD AE AC ⋅=．所以AD ACAC AE=，又因为EAC DAC ∠=∠，所以ADC △∽ACE △， 所以ADC ACE ∠=∠，又因为G ,E ,D ,F 四点共圆,所以ADC EGF ∠=∠，所以EGF ACE ∠=∠，所以//FG AC . ………………………5分 (Ⅱ)由题意可得：F D E G ,,,四点共圆，CED CFG CDE CGF ∠=∠∠=∠∴,. CGF ∆∴∽CDE ∆.CGCDGF DE =∴. 又 4,1==CD CG ，∴GFDE=4. ………10分 23. 解：(1) 直线l 的直角坐标方程为053=--+y x圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －5)2＝5. ……………5分 (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得(3－22t )2＋(22t )2＝5，即t 2－32t ＋4＝0. 由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2. ………10分 24. 解：（1）当1x ≤时，3221x x -+-≥-，221x x ∴≥-∴-≤≤当13x <<时，3221x x --+≥-，362x x ∴≤∴≤，12x ∴<≤ 当3x ≥时，32210x x x x φ--+≥-∴≤∴∈，综上，原不等式的解集为[2,2]-. ……………5分(2)证明：41)2(,1,,2=+≤∴=+∈b a ab b a R b a 且 . 2222221111()()4()()a b a b a b a b ∴+++=++++2222()24[()2]a b ab a b ab a b +-=++-+225)41(4121)4121(421)21(4222=⨯-+⨯-+≥-+-+=ba ab ab . （当且仅当21==b a 时不等式取等号） (10)分。

一、单选题1．已知集合{|2,0}xM y y x ==>，{|lg }N x y x ==，则M N I 为（ ）A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．[2)+∞D ．[1,)+∞答案:B解析:∵0x >，∴0221x y =>=，∴(1,)M =+∞．函数lg y x =的定义域为()0,+∞，即()0,N =+∞．∴(1,)M N =+∞I ．故B 正确．2．已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形（如图所示），则它的体积为（ ）A ．16B ．13C ．23D ．56 答案：D解析：此几何体为正方体·切去一个棱角，则所求几何体的体积为115111(11)1326V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=．故D 正确.3．已知倾斜角为α的直线l 与直线230x y +-=垂直，（ ）A ．45B ．45- C ．2D ．12- 答案：B解析：直线230x y +-=的斜率为12-，由题意知直线l 的斜率为2，即tan 2α=． 2015cos(2)cos(10072)22ππαπα-=+- cos(2)cos(2)sin 222πππααα=+-=--=- 2sin cos αα=-2222sin cos 2tan sin cos tan 1αααααα=-=-++2224215⨯=-=-+．故B 正确． 4．已知,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若αγ⊥，αβ⊥，则//γβB ．若//m n ，m α⊂，n β⊂，则//αβC ．若//m n ，m α⊥，n β⊥，则D ．若//m n ，//m α，则//n α答案：C解析：垂直于同一平面的两个平面可能平行，也可能相交，所以A 选项不正确；两个平面内存在两条平行的直线时，两平面可能相交，也可能平行，所以B 选项不正确； ∵m n ，m α⊥，∴n α⊥，又n β⊥，∴//αβ，所以C 选项正确；若//m n ，//m α，则//n α或n α⊂，所以D 不正确．故C 正确．5．函数()|2|ln f x x x =--在定义域内的零点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3答案：//αβC解析：函数()|2|ln f x x x =--的定义域为()0,+∞，函数()|2|ln f x x x =--的零点个数等价于函数2,(2)|2|2,(2)x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩与ln y x =图像的交点个数．由数形结合可得两函数图像有2个交点，所以函数()|2|ln f x x x =--有2个零点．故C 正确．6．若非零向量,a b v v ，满足||||3a b =r r ,且()(32)b a a b -⊥+,则a 与b 的夹角为（ ） A ．4π B ．2π C ．34π D ．π 答案：A解析：因为()(32)a b a b -⊥+r r r r ，所以223232)0(()a b a b a a b b -+=-⋅-⋅=r r r r r r r r ．设a 与b 夹角为θ(0)θπ≤≤，又||||3a b =r r ，所以2223||cos 2||3|)0|3(b b b θ--=r r r ．因为|0|b ≠r ，所以上式可变形为82033θ--=，解得cos 2θ=．因为0θπ≤≤，所以4πθ=，故选A ．7．如图所示，点P 是函数2sin()(,0)y x x R ωϕω=+∈>图象的一个最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若0PM PN ⋅=uuu r uuu r ，则ω等于（ ）A ．8B ．8π C ．4π D ．2π 答案：C解析：由题意可得||2OP =． ∵0PM PN ⋅=uuu r uuu r ，∴PM PN ⊥uuu r uuu r ，∴90MPN ∠=由图像的对称性可知O 为,M N 的中点，所以在Rt MPN ∆中， ||2||4MN OP ==． ∴22||8T MN πω===，∴4πω=．故C 正确．8．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，2AO AB AC =+uuu r uu u r uuu r 且||||OA AB =，则向量BAuu r 在向量BC uu u r 方向上的投影为（ ）A ．12B ．32C ．12- D ．32- 答案：A解析：∵2AO AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，∴由向量加法的平行四边形法则可得O 为BC 的中点．∵O 为ABC ∆的外接圆的圆心，∴ABC ∆为直角三角形且=90A ∠．∵ABC ∆的外接圆半径为1，∴||=1OA u u r ．∴||=||||1O A A B O B ==．即ABO ∆为边长为1的正三角形．∴BA uu r 在BC uu u r 上的投影为1||cos =1cos60=2BA B ⨯o uu r ．故A 正确．9．已知实数满足：210210x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩，|221|z x y =--，则z 的取值范围是（ ）A ．5[,5]3B ．[0,5)C ．[0,5]D ．5[,5)3答案：B解析：由约束条件作出可行域如图：2(2,1)10x A x y =⎧⇒-⎨+-=⎩， 21012(,)1033x y B x y -+=⎧⇒⎨+-=⎩． 令221u x y =--，变形可得12u y x +=-，平移目标函数线12u y x +=-使之经过可行域，当目标函数线过点(2,1)A -时，纵截距最小，此时u 取得最大值，即()max 2221u =⨯-⨯-15-=．当目标函数线过点12(,)33B 时，纵截距最大，此时u 取得最小值，即min 1223u =⨯- 25133⨯-=-．因为点(2,1)A -不在可行域内，所以553u -≤<，||[0,5)z u ∴=∈．故B 正确．10．已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>（其中()f x ' 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）A()()34f ππ-<- B()()34f ππ< C ．(0)2()3f f π> D．(0)()4f π> 答案：A解析： 令()()cos f x g x x =，(,)22x ππ∈-． ∴2'()cos ()sin '()cos f x x f x x g x x +=，∵'()cos ()sin 0f x x f x x +>在(,)22ππ-上恒成立， ∴'()0g x >在(,)22ππ-上恒成立．∴()()cos f x g x x =在(,)22ππ-上单调递增． ∴()()34g g ππ-<-，即()()34cos()cos()34f f ππππ--<--，()()312f f ππ--<，()()34f ππ-<-．故A 正确． 11．已知命题p ：x R ∃∈，2(1)(1)0m x ++≤，命题q ：x R ∀∈，210x mx ++>恒成立．若p q ∧为假命题，则实数m 的取值范围为（ ）A ．2m ≥B ．2m ≤-或1m >-C ．2m ≤-或2m ≥D ．12m -<≤答案：B解析：当命题p 为真时，10m +≤，解得1m ≤-．当命题q 为真时，24110m ∆=-⨯⨯<，解得22m -<<．当命题p 与命题q 均为真时，则有12122m m m ≤-⎧⇒-<≤-⎨-<<⎩．命题p q ∧为假命题，则命题q 与命题p 至少有一个为假命题．所以此时2m ≤-或1m >-．故B 正确．12．已知函数1()n n f x x +=，n N *∈的图象与直线1x =交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则201312013220132012log log log x x x +++的值为（ ）A ．1-B ．20131log 2012-C ．2013log 2012-D ．1答案：A解析：∵1(1)11n n f +==，(1,1)P ．∵'()(+1)n n f x n x =，∴'(1)+1n f n =，由导数的几何意义可得在点P 处切线的斜率'(1)+1n k f n ==，所以在点P 处切线方程为1(1)(1)y n x -=+-，令0y =得+1n x n =，即+1n n x n =． ∴201312013220132012log log log x x x +++2013122012log ()x x x =⋅⋅⋅20131232012log ()2342013=⨯⨯⨯⨯L 1201320131log log 201312013-===-．故A 正确． 二、填空题13．已知数列{}n a 为等差数列，1233a a a ++=，5679a a a ++=，则4a = ． 答案：2解析：由等差中项可得1232567633,39a a a a a a a a ++==++==，21a =，63a =． 由等差中项可得2641+3222a a a +===． 14．若直线10(0ax by a +-=>，0)b >过曲线1sin (02)y x x π=+<<的对称中心，则12a b+的最小值为 ． 答案：3+解析：由题意可知：曲线1sin (02)y x x π=+<<的对称中心为(1,1)，所以1a b +=，122()()333b a a b a b a b ++=++≥+=+当且仅当21b a a a b=⇒=，2b =3+．15．设三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，1AA =且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 ．答案：16π解析：由题意可得：把三棱柱补成底面以2为边长的正方形，以对角线就是球的直径，所以242r r ==⇒=，所以该球的表面积是2416r ππ=；故填16π．16．数列{}n a 的通项为()(121sin 12)n n n a n π=-++⋅，前n 项和为n S ，则 100S = ．答案：200解析： 由()(121sin 12)n n n a n π=-++⋅可得所有的偶数项为1，奇数项有以下规律： 15921018a a a =-⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪⎩，371181624a a a =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪⎩所以159972526...25(2)(8)26502a a a a ⨯++++=⨯-+⨯-=-，3711992526 (258828002)a a a a ⨯++++=⨯+⨯= 所以10026502800501200S =-++⨯=.三、解答题17．设数列{}n a 满足：11a =，13n n a a += ，n N *∈．设n S 为数列{}n b 的前n 项和， 已知10b ≠，112n n b b S S -=，n N *∈． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设3log n n n c b a =，求数列的前项n 和n T ．答案：（Ⅰ）13n n a -=，12n n b -=；（Ⅱ）(2)22n n T n =-+．解析：（Ⅰ）由13n n a a +=可得{}n a 为公比为3的等比数列，根据等比数列的通项公式可求得n a ．根据公式11,(1),(2)n nn S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得n b ．（Ⅱ）根据对数的运算法则可求得n c ，分析可知应用错位相减法求数列的和．解：（Ⅰ）∵13n n a a +=，{}n a 是公比为3，首项11a =的等比数列，∴通项公式为13n n a -=．∵112n n b b S S -=⋅，∴当1n =时，11112b b S S -=⋅，∵11S b =，10b ≠，∴11b =．∴当1n >时，1122n n n n n b S S b b --=-=-，∴12n n b b -=，∴{}n b 是公比为2，首项的等比数列，∴通项公式为12n n b -=．（Ⅱ）11133log 2log 3(1)2n n n n n n c b a n ---=⋅==-，01221021222(2)2(1)2n n n T n n --=⋅+⋅+⋅++-+-① 12312021222(2)2(1)2n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-+-②①—②得： ()0121022221222(1)22(2)2n n n n n n T n n n --=⋅++++--=---=---11b =(2)22n n T n ∴=-+．18．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，1AC =，2BC =，AC BC ⊥，F E D ,,分别为棱AC B A AA ,,111的中点．（Ⅰ）求证：EF //平面11B BCC ；（Ⅱ）若异面直线1AA 与EF 所成角为30︒，求三棱锥DCB C -1的体积． 答案：（Ⅰ）详见解析；解析：（Ⅰ）法一：可以取11B C 中点M ，连接EM ，CM ，易证得EMCF 为平行四边形，从而可得//EF CM ，根据线面平行的判定定理可证得EF //平面11B BCC ．法二： 取AB 的中点O ，连接FO ,EO ，由中位线易证得//FO BC ，1//EO BB ，面面平行的判定定理可证得平面EFO //平面11BCC B ，从而可证得EF //平面11BCC B ．（Ⅱ）易证得1//AA EO ，由异面直线所成角的定义可知FEO ∠即为异面直线1AA 与EF 所成角．从而可得EO 的长即棱柱的高．根据线面垂直的判定定理易证得BC ⊥平面11ACC A ，从而可求得所求体积． 解：（Ⅰ）证明：取AB 的中点O ，连接FO ，EO ， 因为,E F 分别为棱11,A B AC 的中点， 所以//FO BC ，1//EO BB ，FO EO O =，1BC BB B =I ，FO ，EO ⊂平面EFO ， BC ，1BB ⊂平面1BCC B ，所以平面//EFO 平面11BCC B ， 又EF ⊂平面EFO ，所以//EF 平面11BCC B ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知FEO ∠为异面直线1AA 与EF 所成角，所以30FEO ∠=，因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BB ⊥平面ABC ，所以EO ⊥平面ABC ，EO FO ⊥，∵112FO BC ==，∴2,EF EO === 由∵AC BC ⊥，1CC ⊥BC ，∴BC ⊥平面11ACC A ，所以11111121332C BCD B CDC CDC V V BC S --∆==⋅=⨯⨯⨯=. 19．已知某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n 人，成绩分为A （优秀）、B （良好）、C （及格）三个等级，设,x y 分别表示语文成绩与数学成绩．例如：表中语文成绩为B 等级的共有2018442＋＋＝人．已知x 与y 均为B 等级的概率是018．．（Ⅰ）求抽取的学生人数；（Ⅱ）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求,a b 值；（Ⅲ）已知10a ≥，8b ≥求语文成绩为A 等级的总人数比语文成绩为C 等级的总人数少的概率．答案：（Ⅰ）100；（Ⅱ）14a =；17b =； （Ⅲ）314． 解析：（Ⅰ）x 与y 均为B 等级的共有18人，根据古典概型概率公式可求得所抽取的学生人数．（Ⅱ）抽取的100人中语文优秀的共有()79a ++人，根据语文优秀率可求得a 的值．再根据抽取的学生总数为100可求得b 的值．（Ⅲ）根据抽取的总学生数为100，可得31a b +=，再根据10a ≥，8b ≥可将满足条件的(),a b 一一例举，再将其中满足11b a +>16+的例举出，根据古典概型概率公式即可求得所求概率． （Ⅰ）由题意可知180.18n=，得．故抽取的学生人数是100 ． （Ⅱ） 由（Ⅰ）知100n =，790.3100a ++=，故14a =， 而792018456100ab ++++++++=，故17b =．（Ⅲ）设“语文成绩为A 等级的总人数比语文成绩为C 等级的总人数少”为事件A ， 由（Ⅱ）易知31a b +=，且10,8a b ≥≥满足条件的(,)a b 有(10,21)，(11,20)，(12,19)，(13,18)，(14,17)，(15,16)，(16,15)，(17,14)，(18,13)，(19,12)，(20,11)，(21,10)，(22,9)，(23,8)，共有14组，其中1116b a +>+的有3组，则所求概率为3()14P A =． 20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线10x y ++=与以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆C 上一点，若过点(2,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ，满足OS OT tOP +=uu r uu u r uu u r （O 为坐标原点），求实数t 的取值范围．答案：（Ⅰ）2212x y +=； （Ⅱ）(2,2)t ∈-．解析：（Ⅰ）根据椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形可得b c =，a =，再根据直线与圆相切可得,,abc 的一个关系式，解方程组可得,,a b c 的值． （Ⅱ）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为(2)y k x =-，与椭圆方程联立消去y ，整理为关于x 的一元二次方程，由题意可知其判别式大于0，从而可得k 的范围．再由韦达定理可得两根之和，两根之积． 设()00,P x y ，根据OS OT tOP +=uu r uu u r uu u r 可得00,,,x y t k 间的关系式．可解得00,x y ．将其代入椭圆方程可得,t k 的关系式，根据k 的范围可得t 的范围． 试题解析：解：（Ⅰ）由题意，以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为222()x c y a -+=，∴圆心到直线10x y ++=的距离d a ==()* ∵椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b c =，a ==，代入()*式得1b c ==，∴a == 故所求椭圆方程2212x y +=. （Ⅱ）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)2(-=x k y ，设()00,P x y 将直线方程代入椭圆方程得：2222(12)8820k x k x k +-+-=，∴4222644(12)(82)1680k k k k ∆=-+-=-+>，∴212k <． 设11(,)S x y ，22(,)T x y ，则2122812k x x k+=+，21228212k x x k -=+，由OS OT tOP +=uu r uu u r uu u r ， 当0t =，直线l 为x 轴，P 点在椭圆上适合题意；当0t ≠，得201220121228124(4)12k tx x x k kty y y k x x k ⎧=+=⎪⎪+⎨-⎪=+=+-=⎪+⎩∴2021812k x t k =⋅+，021412k y t k -=⋅+ 将上式代入椭圆方程得：4222222232161(12)(12)k k t k t k +=++， 整理得：2221612k t k =+，由212k <知，204t <<， 所以(2,0)(0,2)t ∈-，综上可得(2,2)t ∈-．21．已知函数21()(ln 2)f x a x x =-+，()a R ∈．（1）当0a =时，求()f x 在区间[1],e e上的最大值； （2）若在区间(1)+∞，上，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方，求a 的取值范围． 答案： （Ⅰ）12-； （Ⅱ）[]11,22-．解析：（1）利用导数判断函数在区间[1],e e上的单调性，进而看得出函数的最大值；（2）构造函数 21()22()()ln 2g f x ax a x ax x x =-=--+通过导数讨论函数的单调性得出函数的极值进而得到a 的取值范围；（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论．（1）当0a =时21()ln 2f x x x =-+ ()(11(0)())x x f x x x '-+-=> 当1[,1)x e ∈,有0()f x '>；当,(]1x e ∈，有()0f x '<， ∴()f x 在区间[1),1e上是增函数，在(1,]e 上为减函数， 有max 1(1)2()f f x ==-. （2）令21()22()()ln 2g f x ax a x ax x x =-=--+，则()g x 的定义域为(0,)+∞在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方等价于()0g x <在区间(1,)+∞上恒成立．()[121(]()1)x a x g x x---'=①①若12a >，令0()g x '=，得极值点11x =，2121x a =- 当12x x <，即112a <<时，在(1)0，上有0()g x '>，在2(1,)x 上有0()g x '<， 在2(),x +∞上有0()g x '>，此时()g x 在区间2(),x +∞上是增函数，并且在该区间上有2()(()),g x x g ∈+∞不合题意；当21x x ≤，即1a ≥时，同理可知， ()g x 在区间(1,)+∞上，有(1)),()(g g x ∈+∞，也不合题意；② 若12a ≤，则有210a -≤，此时在区间(1,)+∞上恒有0()g x '<， 从而()g x 在区间(1,)+∞上是减函数；要使()0g x <在此区间上恒成立，只须满足11(1)022g a a =--≤⇒≥-， 由此求得a 的范围是[]11,22-． 综合①②可知，当11[,]22a ∈-时，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方．22．如图，四边形ABCD 内接于O ，过点A 作O 的切线EP 交CB 的延长线于P ，已知EAD PCA ∠=∠．（Ⅰ）证明：AD AB =；（Ⅱ）证明：2DA DC BP =⋅．答案：（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．解析：（Ⅰ）由弦切角可得EAD DCA ∠=∠，又E A D P C A ∠=∠可得DCA PCA ∠=∠，同圆中两圆周角相等则圆周角所对的弧相等，等弧所对的弦也相等．（Ⅱ）易证得ADC ∆∽PBA ∆．根据三角形相似可得比例相等，从而可证得2DA DC BP =⋅．解：（Ⅰ）∵EP 与O ⊙O 相切于点A ，∴EAD DCA ∠=∠．又EAD PCA ∠=∠，∴DCA PCA ∠=∠，∴AD AB =．（Ⅱ）∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴D PBA ∠=∠，又DCA PCA PAB ∠=∠=∠， ∴ADC ∆∽PBA ∆． ∴DA DC BP BA =，即DA DC BP DA=，∴2DA DC BP =⋅． 23．已知平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 方程为2sin ρθ=；2C的参数方程为112x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． （Ⅰ）写出曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（Ⅱ）设点P 为曲线1C 上的任意一点，求点P 到曲线2C 距离的取值范围．答案：（Ⅰ）1C 的直角坐标方程：22(1)1x y +-=，2C0y -+=；（Ⅱ）1[0,]2． 解析：（Ⅰ）根据根据222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=可将2sin ρθ=化为直角坐标方程．将参数方程中的参数t 消去即可求得2C 的普通方程．（Ⅱ）由（Ⅰ）曲线1C 为圆，先求圆心到直线2C 的距离d ．点P 到直线2C 距离的最大值为d r +，因直线与圆相交，故距离的最小值为0．解：（Ⅰ）1C 的直角坐标方程：22(1)1x y +-=， 2C0y -+=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1C 为以()0,1为圆心，1r =为半径的圆，1C 的圆心(0,1)到2C的距离为112d ==<，则1C 与2C 相交，P 到曲线2C 距离最小值为0，最大值为d r +=，则点P 到曲线2C 距离的取值范围为1[0,]2． 24．已知关于x 的不等式|2|1m x --≥，其解集为[0,4]．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若a ，b 均为正实数，且满足a b m +=，求22a b +的最小值．答案：（Ⅰ）3m =； （Ⅱ）92． 解析：（Ⅰ）根据绝对值不等式可解得|2|1m x --≥中x 的范围，根据其解集为[]0,4，可得关于m 的方程，从而可求得m 的值．（Ⅱ）可利用基本不等式即()()()()22222222a b a b ab a b a b +=++≤+++求得所求最值． 解：（Ⅰ）不等式|2|1m x --≥可化为|2|1x m -≤-，∴121m x m -≤-≤-，即31m x m -≤≤+，∵其解集为[0,4]，∴3014m m -=⎧⎨+=⎩，3m =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知3a b +=，（方法一：利用基本不等式）∵ 222()2a b a b ab +=++222222()()2()a b a b a b ≤+++=+， ∴ 2292a b +≥，∴当且仅当32a b ==时，22a b +取最小值为92． ．（方法二：利用柯西不等式） ∵ 222222()(11)(11)()9a b a b a b +⋅+≥⨯+⨯=+=，∴ 2292a b +≥，∴当且仅当32a b ==时，22a b +取最小值为92． （方法三：消元法求二次函数的最值）∵3a b +=，∴3b a =-， ∴222222399(3)2692()222a b a a a a a +=+-=-+=-+≥， ∴当且仅当32a b ==时，22a b +取最小值为92．。

2016年兰州市高三实战考试文科数学试题答案及评分参考12.解析：∵()2f x ax b '=+∴(0)0f b '=>又∵对于任意实数x 都有0)(≥x f ，∴0a ≥且240b ac -≤∴24b ac ≤，∴0c >∴(1)112(0)f a b c a c f b b +++==+≥+≥' 二、填空题13. 14. 4 15. 16. ①或③三、解答题17. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差是d ．∵()382726a a a a d +-+==-，∴d =－3．∴2712723a a a d +=+=-，解得11a =-．∴数列{}n a 的通项公式为 32n a n =-+． ……………6分（Ⅱ）∵数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列，∴1n n n a b q -+=，即132n n n b q --++=，∴132n n b n q -=-+．所以21[147(32)](1)n n S n q q q -=++++-+++++(31)21(1)2n n n q q q --=++++⋯+ 故当1q =时，()231322n n n n n S n -+=+=； ……………11分 当1q ≠时，()31121nn n n q S q--=+-． ……………12分 18. 解：（Ⅰ）12月中旬市民到户外的时间可能是11日、12日、13日、14日、15日、16日、17日、18日、19日、20日，共10种情况；12月中旬市民不适合进行户外活动的时间有13日、14日、19日、20日，共4种情况.设“12月中旬市民不适合进行户外活动”为事件A ，则 42()105P A == 所以12月中旬市民不适合进行户外活动的概率为25 …………6分 （Ⅱ）该游客在12月中旬来此城市旅游，想连续游玩两天，到此城市的时间可能为：{11,12}、{12,13}、{13,14}、{14,15}、{15,16}、{16,17}、{17,18}、{18,19}、{19,20}，共9种情况，连续两天都适合旅游的时间为：{11,12}、{15,16}、{16,17}、{17,18}，共4种情况.设“适合旅游的时间”为事件B ，则4()9P B = 所以游客在12月中旬来此城市旅游，想连续游玩两天，适合旅游的概率为49…12分 19. 解：（Ⅰ）证明：连结OP ,因PA PB =,O 为AB 的中点故OP AB ⊥.∵侧面PAB ⊥底面ABCD∴OP 平面ABCD∴OP OD ⊥，OP OC ⊥∵OD PC ⊥，∴OD ⊥平面OPC ，∴OD OC ⊥， …………4分又∵OP OC ⊥，故OC ⊥平面OPD所以OC PD ⊥． …………6分（Ⅱ）在矩形ABCD 中，由（Ⅰ）得OD OC ⊥，所以2AB AD =，故1AD =．∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形∴DA ⊥平面PAB CB ⊥平面PAB DPA ∆≌CPB ∆∴DPA ∠为直线PD 与平面PAB 所成的角∴DPA ∠=30 ，CPB ∠=30 ，PA PB ==连接PO ，则PO ⊥AB ，所以PO ⊥平面ABCD∴PO 为四棱锥的-P ABCD 的高在PAB ∆中，2AB =，PA PB =∴PO =∴111233P ABCD ABCD V PO S -=⋅=⨯=………………12分 20. 解：（Ⅰ）由122c a c a =⇒=，所以22224,3a c b c ==， 将点3(1,)2P 的坐标代入椭圆方程得21c =， 故所求椭圆方程为22143x y += ………………5分 （Ⅱ）当1l 与2l 中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积为6S =，若1l 与2l 的斜率都存在，设1l 的斜率为k ，则2l 的斜率为1k-． ∴直线1l 的方程为(+1y k x =），设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 整理得，2222(43)84120k x k x k +++-=4222=644(34)(412)1441440k k k k ∆-+-=+>∴2122843k x x k +=-+， 212241243k x x k -⋅=+，∴122||43x x k -=+，∴212212(1)|||43k AB x x k +=-=+ ………………8分 同理可得得 2212(1)||34k CD k +=+， ∴2222172(1)||||2(43)(34)k S AB CD k k +=⋅=+⋅+，令2(0,)k t =∈+∞，∴22272(1)6(122512)6(43)(34)122512t t t t S t t t t +++-==+⋅+++， 66288661249491225t t=-≥-=++ ∴288[,6)49S ∈ 综上可知，四边形ABCD 面积的取值范围是288[,6]49.………………12分 21. 解：(I)因为11ln )(--+-=xa ax x x f 所以222111)(xa x ax x a a x x f -+--=-+-=' ),0(+∞∈x 令111,0)('-=a x f ，可得两根分别为 因为2.10<<a ，所以0111>>-a, 当)1,0(∈x 时,此时()0<'x f ,函数)(x f 单调递减；)11,1(-∈ax 时,此时()0>'x f ,函数)(x f 单调递增； ),11(+∞-∈ax 时,此时0)(<'x f ,函数)(x f 单调递减 ……………… 5分 (II)因为)21,0(41∈=a ,由(I)知，,)2,0(311∉=-a,当)1,0(∈x 时，,0)('<x f 函数)(x f 单调递减;当)2,1(∈x 时，0)(>'x f ,函数)(x f 单调递增,所以)(x f 在)2,0(上的最小值为21)1(-=f 由于“对任意)2,0(1∈x ,存在]2,1[2∈x ,使)()(21x g x f ≥等价于()x g 在]2,1[上的最小值不大于)(x f 在)2,0(上的最小值21-” (*) ………………8分 又]2,1[,4)()(22∈-+-=x b b x x g ，所以①当1<b 时，因为025)1()]([min >-==b g x g 此时与(*)矛盾②当21≤≤b 时，因为04)]([2min ≥-=b x g 同样与(*)矛盾③当2>b 时，因为b g x g 48)2()]([min -==，且当2>b 时，048<-b ,解不等式2148-≤-b ，可得817≥b 所以实数b 取值范围),817[+∞ ………………12分 22. 解： (I)因为DE 是圆O 的直径， 所以2BED EDB π∠+∠=又BC DE ⊥，所以2CBD EDB π∠+∠=AB 切圆O 于点B ， 得DBA BED ∠=∠所以CBD DBA ∠=∠ ………………5分 (II)由(I)知BD 平分CBA ∠， 则3BA AD BC CD==，又BC，从而AB =所以4AC =， 所以3AD =， 由切割线定理得2AB AD AE =⋅ ，所以26AB AE AD== 故3DE AE AD =-=即圆O 的直径为3. ………………10分.23. 解：（Ⅰ）由322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得直线l的普通方程为30x y +-=又由ρθ=得圆C的直角坐标方程为220x y +-=即22(5x y +=. ………………5分(II)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22(3)()522-+=，即240t -+=由于(24420∆=-⨯=>，故可设12,t t 是上述方程的两实数根，所以12t t +=124t t ⋅=又直线l过点P ，A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t所以1212PA PB t t t t +=+=+= ………………10分24. 解：（I ）当4a =时，|1|||5x x a -+-≥等价为1255x x <⎧⎨-+≥⎩或1435x ≤<⎧⎨≥⎩或4255x x >⎧⎨-≥⎩ 解得0x ≤或5x ≥所以不等式()5f x ≥的解集为{|x 0x ≤或5x ≥} ………………5分 （II ）因为()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =-+-≥---=-所以min ()|1|f x a =-要使()4f x ≥对a R ∈恒成立，则须|1|4a -≥即可所以3a ≤-或5a ≥即实数a 的取值范围是{|a 3a ≤-或5a ≥}………………10分。

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2,0x M y y x ==>，{}lg N x y x ==，则MN 为( )A. (0，＋∞)B. (1，＋∞)C. [2，＋∞)D.［1，＋∞) 【答案】B考点：1函数的定义域,值域;2集合的运算.2. 已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形 (如图所示),则它的体积为( )A.16B.13C.23D.56【答案】D 【解析】试题分析：此几何体为正方头切去一个棱角.则所求几何体的体积为115111111326V ⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故D 正确. 考点：三视图.【易错点晴】本题主要考查的是三视图和空间几何体的体积，属于容易题．解题时要看清楚是求表面积还是求体积，否则很容易出现错误．本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体的体积即可． 3. 已知倾斜角为α的直线l 与直线230x y +-=垂直，则( )2【答案】B考点：1直线垂直;2诱导公式;3三角恒等变换.4. 已知,m n 是两条不同．．的直线，,,αβγ是三个不同．．的平面，则下列命题中正确的是( ) A. 若,,//αγαβγβ⊥⊥则 B. 若//,,,//m n m n αβαβ⊂⊂则 C. 若//,,,//m n m n αβαβ⊥⊥则 D. 若//,//,//m n m n αα则 【答案】C 【解析】试题分析：垂直于同一平面的两个平面可能平行,也可能相交,所以A 选项不正确; 两个平面内存在两条平行的直线时,两平面可能相交,也可能平行,所以B 选项不正确;,,m n m n αα⊥∴⊥,又n β⊥,αβ∴,所以C 选项正确;若,m n m α,则n α或n α⊂,所以D 不正确. 故D 正确.考点：1线面位置关系;2面面位置关系.【易错点晴】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系，属于容易题．解题时一定要抓住题目中的重要字眼“真命题”， 否则很容易出现错误．解决空间点、线、面的位置关系这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊图形进行检验，也可作必要的合情推理．5．函数()|2|ln f x x x =--在定义域内的零点的个数为( ) A.0B ．1C ．2D ．3【答案】C考点：1函数零点;2数形结合思想.【思路点晴】本题主要考查的是函数的零点,难度一般.本题重点在于将零点问题转化为两图像的交点问题.由数形结合即可得出答案.6. 若非零向量,a b 22a b =，且()(32)a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为( )A.4πB.2πC.34π D. π【答案】A 【解析】 试题分析：()()32a b a b -⊥+,()()2232320a b a b aa b b ∴-⋅+=-⋅-=.设a 与b 夹角为θ()0θπ≤≤22a b =22223cos 20b b b θ⎫∴--=⎪0b ≠,∴上式可变形为8203θ-=,解得cos θ=.0,4πθπθ≤≤∴=.故A 正确. 考点：1向量垂直;2向量数量积公式.7. 如图所示，点P 是函数2sin()(,0)y x x R ωϕω=+∈>图象的一个最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若0PM PN ⋅=，则ω等于( )A.8B.8πC.4πD.2π【答案】C考点：1正弦函数图像;2三角函数解析式.【思路点晴】本题主要考查的是求三角函数()sin y A x ωϕ=+的形式.根据图像可得A 的值, A 为振幅所以A OP =,其中ω跟周期有关,应先求周期T ,MN 等于半个周期从而可得周期T ,即可得ω. 8．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，2AO AB AC =+且OA AB =，则向量BA 在向量BC 方向上的投影为( )A.12B.32C.12-D.32-【答案】A 【解析】 试题分析：2AO AB AC =+,∴由向量加法的平行四边形法则可得O 为AB 的中点.O 为ABC ∆的外接圆的圆心,ABC ∴∆为直角三角形且=90A ∠.ABC ∆的外接圆半径为1,=1OA ∴. =AB 1OA OB ∴==.即ABO ∆为边长为1的正三角形.BA ∴在BC 上的投影为1cos =1cos 60=2BA B ⨯.故A 正确.考点：1向量加法的平行四边形法则;2三角形外接圆;3向量的投影.9．已知实数y x ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≥+-01212y x x y x ，|122|--=y x z ，则z 的取值范围是( ) A.]5,35[ B.)5,0[ C.]5,0[ D.)5,35[【答案】B考点：线性规划.【方法点晴】本题主要考查的是线性规划，属于中档题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．10．已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-满足()cos ()sin 0f x x f x x '+> (其中()f x ' 是函数()f x 的导函数)，则下列不等式成立的是( )A.()()34f ππ-<-B.()()34f ππ<C. (0)2()3f f π>D. (0)()4f π>【答案】A考点：1用导数求函数的单调性;2用单调性比较大小.【思路点晴】本题属于用导数研究函数性质问题,难度中等.根据已知()()'cos sin 0f x x f x x +>可联想到需构造函数()()cos f x g x x =.根据函数()'g x 的正负得函数的增减区间.根据函数()()cos f x g x x=的单调性再比较大小.11．已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立． 若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为( ) A.m ≥2B. m ≤－2或m >－1C. m ≤－2或m ≥2D.－1＜m ≤2【答案】B 【解析】试题分析：当命题p 为真时,+10m ≤,解得1m ≤-. 当命题q 为真时,24110m ∆=-⨯⨯<,解得22m -<<.当命题p 与命题q 均为真时,则有12122m m m ≤-⎧⇒-<≤-⎨-<<⎩. 命题p q ∧为假命题,则命题q 与命题p 至少有一个为假命题. 所以此时2m ≤-或1m >-.故B 正确.考点：命题真假的判定.【思路点睛】本题主要考查的是命题真假的判定.先分别求得命题p 为真时m 的范围和命题q 均为真时m 的范围. 命题p q ∧为假命题,则命题q 与命题p 至少有一个为假命题,包含情况较多,不如先求两命题均为真时m 的范围,这样较简单.根据两命题均为真时m 取值集合与两命题至少有一个为假时m 取值集合互补,可求得所求.12. 已知函数1()n n f x x +=,n ∈N *的图象与直线1x =交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则12013log x ＋22013log x ＋…＋20122013log x 的值为( )A.－1B. 1－log 20132012C.-log 20132012D.1 【答案】A考点：1导数的几何意义;2对数的运算.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知数列{}n a 为等差数列，1233a a a ++=，5679a a a ++=，则4a = . 【答案】2 【解析】试题分析：由等差中项可得1232567633,39a a a a a a a a ++==++==,261,3a a ∴==.由等差中项可得2641+3222a a a +===. 考点：等差中项.14. 若直线()100,0ax by a b +-=>>过曲线()1sin 02y x x π=+<<的对称中心，则12a b+的最小值为 .【答案】3+考点：1函数的对称性;2基本不等式.15. 设三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，12,90,AB AC BAC AA ==∠=︒=，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 . 【答案】16π 【解析】试题分析：取BC 中点D ,取''B C 中点'D .90BAC ∠=,'DD ∴的中点即为该三棱柱外接球的圆心.在Rt BAC ∆中12AD BC ===设外接球半径为R ,222224R OD AD ∴=+=+=.∴该球的表面积为2416R ππ=.考点：几何体外接球问题.【思路点睛】本题主要考查几何体的外接球问题,难度稍大.当三棱柱的所有顶点都在同一球面上时,球心在底面的射影即为底面三角形的外心,又底面三角形为直角三角形其外接圆的圆心在斜边的中点,所以球心即在两底面三角形斜边中点连线的中点处.根据勾股定理可求得此外接球的半径,由球的表面积公式可求得此球的表面积.16. 数列{}n a 的通项为(1)(21)sin 12n n n a n π=-+⋅+，前n 项和为n S ，则100S = ． 【答案】200考点：数列求和.【思路点睛】本题主要考查的是数列求和,难度稍大.根据通项公式可以先多求出几项发现其规律, n 为偶数时sin02n π=,所以偶数项均为1.根据求出的奇数项分析可发现相邻两个奇数项的和为定值6.从而可求得此数列前100项的和.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）设数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=3a n ,n ∈N *．设S n 为数列{b n }的前n 项和， 已知b 1≠0，2b n –b 1=S 1 S n ，n ∈N *．（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）设c n =b n log 3 a n ，求数列{c n }的前n 项和T n .【答案】（Ⅰ）13n n a -=,12n n b -=;（Ⅱ）()222nn T n =-+.【解析】考点：1等比数列的定义,通项公式;2公式法求通项公式;错位相减法求数列的和.【方法点睛】数列通项公式的主要求法有:公式法,累加法,累乘法,构造法等.数列前n 项和的求法有:公式法,分组求和法,倒序相加法,裂项相消法,错位相减法等.当数列通项公式为等差乘等比的形式时应用错位相减法.18. （本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，1AC =,2BC =,AC BC ⊥,F E D ,,分别为棱AC B A AA ,,111的中点． （Ⅰ）求证:EF ∥平面11B BCC ；（Ⅱ）若异面直线1AA 与EF 所成角为 30，求三棱锥DCB C -1的体积．【答案】（Ⅰ）详见解析; .（Ⅱ）由（Ⅰ）知FEO ∠异面直线1AA 与EF 所成角,所以 30=∠FEO , ……………6分因为三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱，所以⊥1BB 平面ABC ,所以⊥EO 平面ABC ,FO EO ⊥∴, 121==BC FO ,3,222=-==∴FO EF EO EF , 由⊥⊥1,CC BC AC BC ,⊥∴BC 平面11A ACC , ……………………10分所以11113C BCD B CDC CDC V V BC S --∆==⋅112132=⨯⨯⨯=……………………12分 考点：1线面平行;2棱锥的体积;3异面直线所成的角.【方法点晴】本题主要考查的是线面平行，棱锥的体积问题，属于中档题．证明线面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是中位线，平行四边形，平行线分线段成比例逆定理，平行公理等. 求棱锥的体积时关键是找准棱锥的顶点即棱锥的高.常用体积转化法求高.19. （本小题满分12分）已知某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n 人，成绩分为A （优秀）、B （良好）、C （及格）三个等级，设x ，y 分别表示语文成绩与数学成绩．例如：表中语文成绩为B 等级的共有20＋18＋4＝42人．已知x 与y 均为B 等级的概率是0.18．（Ⅰ）求抽取的学生人数；（Ⅱ）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求a ，b 值；（Ⅲ）已知10,8,a b ≥≥求语文成绩为A 等级的总人数比语文成绩为C 等级的总人数少的概率.【答案】（Ⅰ）100; （Ⅱ）14a =;17b =;（Ⅲ）314.由（Ⅱ）易知31a b +=，且10,8a b ≥≥满足条件的(),a b 有10,2111,2012,1913,18,14,17,15,16,16,15,17,14,18,13,19,1220,11,21,10,22,9,23,8（）,（）,（）,（）（）（）（）（）（）（）,(）（）（）（）,共有14组，其中1116b a +>+的有3组， …………..11分 则所求概率为3()14P A =. …………..12分 考点：古典概型概率.20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线10x y ++=与以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆C 上一点，若过点(2,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ，满足OS OT tOP +=（O 为坐标原点），求实数t 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2212x y +=;（Ⅱ）(2,,2)t ∈-.所以()2,0(0,2)t ∈-， ……………………………………………………………11分综上可得(2,,2)t ∈-. ……………………………………………………………12分考点：1椭圆的方程;2直线与椭圆的位置关系问题.21. （本小题满分12分）已知函数21()()ln ,()2f x a x x a R =-+∈.（Ⅰ）当0a =时，求()f x 在区间1[,]e e 上的最大值；（Ⅱ）若在区间（1， +∞）上，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）12-;（Ⅱ）11[,]22-.（2）令21()()2()2ln 2g x f x ax a x ax x =-=--+，则()g x 的定义域为 (0,)+∞ 在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方等价于()0g x < 在区间(1,)+∞上恒成立. ……………………5分 (1)[(21)1]()x a x g x x---'=① ①若12a >，令()0g x '=，得极值点1211,21x x a ==- 当12x x <，即112a <<时，在()01，上有()0g x '>，在2(1,)x 上有()0g x '<， 在2(,)x +∞上有()0g x '>，此时()g x 在区间2(,)x +∞上是增函数，并且在该区间上有 2()((),)g x g x ∈+∞不合题意； 当21x x ≤，即1a ≥时，同理可知，()g x 在区间(1,)+∞上，有()((1),)g x g ∈+∞，也不合题意； ……………………8分② 若12a ≤，则有210a -≤，此时在区间(1,)+∞上恒有()0g x '<， 从而()g x 在区间(1,)+∞上是减函数； 要使()0g x <在此区间上恒成立，只须满足11(1)022g a a =--≤⇒≥-，由此求得a 的范围是11[,]22-。

甘肃省兰州市2016年高三实战考试理科数学 第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。

1.已知集合U R =，集合{|2}A x x =<，{|lg(1)0}B x x =->，则()U AC B =（）A ．{|12}x x <<B ．{|12}x x ≤<C ．{|2}x x <D ．{|1}x x ≤2.在复平面内，复数121i z i+=-（i 是虚数单位）对应的点在（ )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4。

采用系统抽样方法从1000人抽取50人做问卷调查，将他们随机编号1,2,…，1000. 适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8. 若抽到的50人中，编号落入区间[1,400]的人做问卷A ，编号落入区间[401,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中,做问卷C 的人数为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．155.已知MOD 函数是一个求余函数,其格式为(,)MOD n m ,其结果为n 除以m 的余数，例如：(8,3)2MOD =，如图所示是一个算法的程序框图，若输出的结果为4，则输入n 的值为（ ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．166.在ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若2,2b ac c a ==，则cos C =（ ）A ．24B ．24-C ．34D ．34-7。

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为( ） A ．32π B ．32C ．3πD ．38。

已知直线10ax y +-=与圆22:(1)()1C x y a -++=相交于,A B ，且ABC ∆为等腰直角三角形,则实数a 的值为（ ）A ．17或-1 B ．-1 C ．1或—1 D ．19。

2016届甘肃省兰州一中高三12月月考数学（文）试题及解析一、选择题1．已知集合{}2,0x M y y x ==>，{}lg N x y x ==，则M N 为（ ）A ．（0，＋∞）B ．（1，＋∞）C ．[2，＋∞）D ．［1，＋∞）【答案】B【解析】试题分析：00,221x x y >∴=>= ，()1,M ∴=+∞．函数lg y x =的定义域为()0,+∞，即()0,N =+∞．()1,M N ∴=+∞ ．故B 正确．【考点】1函数的定义域，值域；2集合的运算．2．已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形 （如图所示），则它的体积为（ ）A ．16B ．13C ．23D ．56【答案】D【解析】试题分析：此几何体为正方头切去一个棱角．则所求几何体的体积为115111111326V ⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭． 故D 正确．【考点】三视图．【易错点晴】本题主要考查的是三视图和空间几何体的体积，属于容易题．解题时要看清楚是求表面积还是求体积，否则很容易出现错误．本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体的体积即可．3．已知倾斜角为α的直线l 与直线230x y +-=（ ）A ．2 D 【答案】B【解析】试题分析：直线230x y +-=的斜率为12-，由题意知直线l 的斜率为2，即tan 2α=．2015cos 2cos 1007222ππαπα⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2cos 2sin 222πππααα⎛⎫⎛⎫=+-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin cos αα=-2222sin cos 2tan sin cos tan 1αααααα=-=-++2224215⨯=-=-+．故B 正确． 【考点】1直线垂直；2诱导公式；3三角恒等变换．4．已知,m n 是两条不同．．的直线，,,αβγ是三个不同．．的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若,,//αγαβγβ⊥⊥则B ．若//,,,//m n m n αβαβ⊂⊂则C ．若//,,,//m n m n αβαβ⊥⊥则D ．若//,//,//m n m n αα则【答案】C【解析】试题分析：垂直于同一平面的两个平面可能平行，也可能相交，所以A 选项不正确；两个平面内存在两条平行的直线时，两平面可能相交，也可能平行，所以B 选项不正确； ,,m n m n αα⊥∴⊥ ，又n β⊥，αβ∴ ，所以C 选项正确；若,m n m α ，则n α 或n α⊂，所以D 不正确．故D 正确．【考点】1线面位置关系；2面面位置关系．【易错点晴】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系，属于容易题．解题时一定要抓住题目中的重要字眼“真命题”， 否则很容易出现错误．解决空间点、线、面的位置关系这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊图形进行检验，也可作必要的合情推理．5．函数()|2|ln f x x x =--在定义域内的零点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】试题分析：函数()2ln f x x x =--的定义域为()0,+∞，函数()2l n f x x x =--的零点个数等价于函数()()2,022,0x x y x x x -≥⎧⎪=-=⎨-<⎪⎩与ln y x =图像的交点个数．由数形结合可得两函数图像有2个交点，所以函数有()2ln f x x x =--2个零点．故C 正确．【考点】1函数零点；2数形结合思想．【思路点晴】本题主要考查的是函数的零点，难度一般．本题重点在于将零点问题转化为两图像的交点问题．由数形结合即可得出答案．6．若非零向量,a b满足a = ，且()(32)a b a b -⊥+ ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．4πB ．2π C ．34π D ．π 【答案】A【解析】试题分析：()()32a b a b -⊥+ ，()()2232320a b a b a a b b ∴-⋅+=-⋅-= ． 设a 与b 夹角为θ()0θπ≤≤，又a =2223cos 20b b θ⎫∴--=⎪⎪⎭0b ≠ ，∴上式可变形为8203θ-=，解得cos θ=．0,4πθπθ≤≤∴= ．故A 正确． 【考点】1向量垂直；2向量数量积公式．7． 如图所示，点P 是函数2sin()(,0)y x x R ωϕω=+∈>图象的一个最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若0PM PN ⋅=，则ω等于（ ）A ．8B ．8π C ．4π D ．2π 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得2OP =． 0,,90PM PN PM PN MPN ⋅=∴⊥∴∠=由图像的对称性可知O 为,M N 的中点，所以在Rt MPN ∆中， 24MN OP ==． 228T MN πω∴===，4πω∴=．故C 正确．【考点】1正弦函数图像；2三角函数解析式．【思路点晴】本题主要考查的是求三角函数()sin y A x ωϕ=+的形式．根据图像可得A 的值， A 为振幅所以A OP =，其中ω跟周期有关，应先求周期T ，MN 等于半个周期从而可得周期T ，即可得ω．8．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，2AO AB AC =+ 且OA AB = ，则向量BA在向量BC方向上的投影为（ ）A ．12B ．32C ．12- D ．32- 【答案】A【解析】试题分析：2AO AB AC =+ ，∴由向量加法的平行四边形法则可得O 为AB的中点．O 为ABC ∆的外接圆的圆心，ABC ∴∆为直角三角形且=90A ∠ ．ABC ∆的外接圆半径为1，=1OA ∴ ．=AB 1OA OB ∴== ．即ABO ∆为边长为1的正三角形．BA ∴ 在BC 上的投影为1cos =1cos 60=2BA B ⨯ ．故A 正确． 【考点】1向量加法的平行四边形法则；2三角形外接圆；3向量的投影．9．已知实数y x ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≥+-012012y x x y x ，|122|--=y x z ，则z 的取值范围是（ ） A ．]5,35[ B ．)5,0[ C ．]5,0[ D ．)5,35[ 【答案】B【解析】试题分析：由约束条件作出可行域如图：()22,110x A x y =⎧⇒-⎨+-=⎩， 21012,1033x y B x y -+=⎧⎛⎫⇒⎨ ⎪+-=⎝⎭⎩． 令221u x y =--，变形可得12u y x +=-，平移目标函数线12u y x +=-使之经过可行域，当目标函数线过点()2,1A -时，纵截距最小，此时u 取得最大值，即()max 222115u =⨯-⨯--=．当目标函数线过点12,33B ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，纵截距最大，此时u 取得最小值，即min 125221333u =⨯-⨯-=-． 因为点()2,1A -不在可行域内，所以553u -≤<，[)0,5z u ∴=∈．故B 正确．【考点】线性规划．【方法点晴】本题主要考查的是线性规划，属于中档题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．10．已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-满足()cos ()sin 0f x x f x x '+> （其中()f x ' 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A()()34f ππ-<- B()()34f ππ< C ．(0)2()3f f π> D．(0)()4f π> 【答案】A【解析】试题分析：令()()cos f x g x x =，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭． ()()()2'cos sin 'cos f x x f x x g x x +∴=，()()'cos sin 0f x x f x x +> 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立， ()'0g x ∴>在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立．()()cos f x g x x ∴=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增． 34g g ππ⎛⎫⎛⎫∴-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34cos cos 34f f ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，312f f ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭<，34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故A 正确．【考点】1用导数求函数的单调性；2用单调性比较大小．【思路点晴】本题属于用导数研究函数性质问题，难度中等．根据已知()()'c o s s i n 0f x x f x x +>可联想到需构造函数()()cos f x g x x=．根据函数()'g x 的正负得函数的增减区间．根据函数()()cos f x g x x =的单调性再比较大小． 11．已知命题p ：∃x ∈R ，（m ＋1）（x 2＋1）≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为（ ）A ．m≥2B ．m≤－2或m>－1C ．m≤－2或m≥2D ．－1＜m≤2【答案】B【解析】试题分析：当命题p 为真时，+10m ≤，解得1m ≤-．当命题q 为真时，24110m ∆=-⨯⨯<，解得22m -<<．当命题p 与命题q 均为真时，则有12122m m m ≤-⎧⇒-<≤-⎨-<<⎩．命题p q ∧为假命题，则命题q 与命题p 至少有一个为假命题．所以此时2m ≤-或1m >-．故B 正确．【考点】命题真假的判定．【思路点睛】本题主要考查的是命题真假的判定．先分别求得命题p 为真时m 的范围和命题q 均为真时m 的范围．命题p q ∧为假命题，则命题q 与命题p 至少有一个为假命题，包含情况较多，不如先求两命题均为真时m 的范围，这样较简单．根据两命题均为真时m 取值集合与两命题至少有一个为假时m 取值集合互补，可求得所求．12． 已知函数1()n n f x x +=，n ∈N 的图象与直线1x =交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则12013log x ＋22013log x ＋…＋20122013log x 的值为（ ）A ．－1B ．1－log 20132012C ．-log 20132012D ．1【答案】A【解析】试题分析：()()1111,1,1n n f P +==∴ ．()()'+1n n f x n x = ，()'1+1n f n ∴=，由导数的几何意义可得在点P 处切线的斜率()'1+1n k f n ==，所以在点P 处切线方程为()()111y n x -=+-，令0y =得+1n x n =，即+1n n x n =． 201312013220132012log log log x x x ∴+++()2013122012log x x x =⋅⋅⋅20131232012log 2342013⎛⎫=⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭1201320131log log 201312013-===-．故D 正确． 【考点】1导数的几何意义；2对数的运算．二、填空题13．已知数列{}n a 为等差数列，1233a a a ++=，5679a a a ++=，则4a = ．【答案】2【解析】试题分析：由等差中项可得1232567633,39a a a a a a a a ++==++==，261,3a a ∴==． 由等差中项可得2641+3222a a a +===． 【考点】等差中项．14．若直线()100,0ax by a b +-=>>过曲线()1sin 02y x x π=+<<的对称中心，则12a b+的最小值为 ．【答案】3+【解析】试题分析：令(),x k k Z ππ=∈，得(),x k k z =∈．所以函数2sin y x π=的对称中心为()(),0,k k Z ∈．02x << ，∴曲线()1sin ,02y x x π=+<<的对称中心为()1,1．将点()1,1代入10ax by +-=可得10a b +-=，即()1,0,0a b a b +=>>．()12122333b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=+⋅+=++≥+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当2b a a b=即1,2a b = 【考点】1函数的对称性；2基本不等式．15．设三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，12,90,AB AC BAC AA ==∠=︒=，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 ．【答案】16π【解析】试题分析：取BC 中点D ，取''B C 中点'D ．90BAC ∠= ，'DD ∴的中点即为该三棱柱外接球的圆心．在Rt BAC ∆中12AD BC ==设外接球半径为R ，222224R OD AD ∴=+=+=．∴该球的表面积为2416R ππ=．【考点】几何体外接球问题．【思路点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，难度稍大．当三棱柱的所有顶点都在同一球面上时，球心在底面的射影即为底面三角形的外心，又底面三角形为直角三角形其外接圆的圆心在斜边的中点，所以球心即在两底面三角形斜边中点连线的中点处．根据勾股定理可求得此外接球的半径，由球的表面积公式可求得此球的表面积．16．数列{}n a 的通项为(1)(21)sin12n n n a n π=-+⋅+，前n 项和为n S ，则100S = ． 【答案】200 【解析】试题分析：由已知可得13s i n 122a π=-+=-；25sin 11a π=+=；337sin 182a π=-+=； 49sin 211a π=+=；5511sin 1102a π=-+=-；613sin311a π=+=；7715sin 1162a π=-+=； 分析可知偶数项均为1，所以前100项中偶数项的和为15050⨯=． 分析可知相邻两项奇数项的和为6，所以前100项中奇数项的和为5061502⨯=． 10050150200S ∴=+=．【考点】数列求和．【思路点睛】本题主要考查的是数列求和，难度稍大．根据通项公式可以先多求出几项发现其规律， n 为偶数时sin 02n π=，所以偶数项均为1．根据求出的奇数项分析可发现相邻两个奇数项的和为定值6．从而可求得此数列前100项的和．三、解答题17．设数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=3a n ，n ∈N ．设S n 为数列{b n }的前n 项和， 已知b 1≠0，2b n –b 1=S 1 S n ，n ∈N ．（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）设c n =b n log 3 a n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．【答案】（Ⅰ）13n n a -=，12n n b -=；（Ⅱ）()222nn T n =-+． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由13n n a a +=可得{}n a 为公比为3的等比数列，根据等比数列的通项公式可求得n a ．根据公式()()11,1,2n n n S n b S S n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩可求得n b ．（Ⅱ）根据对数的运算法则可求得n c ，分析可知应用错位相减法求数列的和．试题解析：解：（Ⅰ）13n n a a += ，{}n a ∴是公比为3，首项11a =的等比数列， ∴通项公式为13n n a -=．112n n b b S S -=⋅ ，∴当1n =时，11112b b S S -=⋅，11S b = ，10b ≠，11b ∴=．∴当1n >时，1122n n n n n b S S b b --=-=-，∴12n n b b -=，∴{}n b 是公比为2，首项11a =的等比数列，∴通项公式为12n n b -=．（Ⅱ）()11133log 2log 312n n n n n n c b a n ---=⋅==-，()()012210212222212n n n T n n --=⋅+⋅+⋅++-+- ①()()123120212222212n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-+- ② ①–②得：()()()012102222122212222n n n n n n T n n n --=⋅++++--=---=--- ()222n n T n ∴=-+．【考点】1等比数列的定义，通项公式；2公式法求通项公式；错位相减法求数列的和．【方法点睛】数列通项公式的主要求法有：公式法，累加法，累乘法，构造法等．数列前n 项和的求法有：公式法，分组求和法，倒序相加法，裂项相消法，错位相减法等．当数列通项公式为等差乘等比的形式时应用错位相减法．18．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，1AC =，2BC =，AC BC ⊥，F E D ,,分别为棱AC B A AA ,,111的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面11B BCC ；（Ⅱ）若异面直线1AA 与EF 所成角为 30，求三棱锥DCB C -1的体积．【答案】（Ⅰ）详见解析； 【解析】试题分析：（Ⅰ）法一：可以取11B C 中点M ，连接,EM CM ，易证得EMCF 为平行四边形，从而可得EF CM ，根据线面平行的判定定理可证得EF ∥平面11B BCC ．法二： 取AB 的中点O ，连接EO FO ,，由中位线易证得FO ∥BC ，EO ∥1BB ，面面平行的判定定理可证得平面EFO ∥平面11B BCC ，从而可证得EF ∥平面11B BCC ．（Ⅱ）易证得1AA EO ，由异面直线所成角的定义可知FEO ∠即为异面直线1AA 与EF 所成角．从而可得FO 的长即棱柱的高．根据线面垂直的判定定理易证得BC ⊥平面11A ACC ，从而可求得所求体积．试题解析：解：（Ⅰ）证明：取AB 的中点O ，连接EO FO ,， 因为F E ,分别为棱AC B A ,11的中点，所以FO ∥BC ，EO ∥1BB ，B BB BC O EO FO ==1, ，⊂EO FO ,平面EFO ， ⊂1,BB BC 平面11B BCC ，所以平面EFO ∥平面11B BCC ，又⊂EF 平面EFO ，所以EF ∥平面11B BCC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知FEO ∠异面直线1AA 与EF 所成角，所以 30=∠FEO ， 因为三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱，所以⊥1BB 平面ABC ，所以⊥EO 平面ABC ，FO EO ⊥∴， 121==BC FO ，3,222=-==∴FO EF EO EF ， 由⊥⊥1,CC BC AC BC ，⊥∴BC 平面11A ACC ，所以11113C BCD B CDC CDC V V BC S --∆==⋅112132=⨯⨯⨯= 【考点】1线面平行；2棱锥的体积；3异面直线所成的角．【方法点晴】本题主要考查的是线面平行，棱锥的体积问题，属于中档题．证明线面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是中位线，平行四边形，平行线分线段成比例逆定理，平行公理等．求棱锥的体积时关键是找准棱锥的顶点即棱锥的高．常用体积转化法求高．19．已知某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n 人，成绩分为A （优秀）、B （良好）、C （及格）三个等级，设x ，y 分别表示语文成绩与数学成绩．例如：表中语文成绩为B 等级的共有20＋18＋4＝42人．已知x 与y 均为B 等级的概率是0．18．（Ⅰ）求抽取的学生人数；（Ⅱ）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求a ，b 值；（Ⅲ）已知10,8,a b ≥≥求语文成绩为A 等级的总人数比语文成绩为C 等级的总人数少的概率．【答案】（Ⅰ）100；（Ⅱ）14a =；17b =；（Ⅲ）314． 【解析】试题分析：（Ⅰ）x 与y 均为B 等级的共有18人，根据古典概型概率公式可求得所抽取的学生人数．（Ⅱ）抽取的100人中语文优秀的共有()79a ++人，根据语文优秀率可求得a 的值．再根据抽取的学生总数为100可求得b 的值．（Ⅲ）根据抽取的总学生数为100，可得31a b +=，再根据10,8a b ≥≥可将满足条件的(),a b 一一例举，再将其中满足1116b a +>+的例举出，根据古典概型概率公式即可求得所求概率． 试题解析：解：（Ⅰ）由题意可知180.18n=，得100n =．故抽取的学生人数是100 ．（Ⅱ） 由（Ⅰ）知100n =，790.3100a ++=，故14a =， 而792018456100ab ++++++++=，故17b =． （Ⅲ）设“语文成绩为A 等级的总人数比语文成绩为C 等级的总人数少”为事件A ， 由（Ⅱ）易知31a b +=，且10,8a b ≥≥满足条件的(),a b 有10,2111,2012,1913,18,14,17,15,16,16,15,17,14,18,13,19,1220,11,21,10,22,9,23,8（）,（）,（）,（）（）（）（）（）（）（）,(）（）（）（）,共有14组，其中1116b a +>+的有3组，【考点】古典概型概率．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线10x y ++=与以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆C 上一点，若过点(2,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ，满足OS OT tOP += （O 为坐标原点），求实数t 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）(2,,2)t ∈-． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形可得b c =，a =，再根据直线与圆相切可得,,a b c 的一个关系式，解方程组可得,,a b c 的值．（Ⅱ）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为)2(-=x k y ，与椭圆方程联立消去y 整理为关于x 的一元二次方程，由题意可知其判别式大于0，从而可得k 的范围．再由韦达定理可得两根之和，两根之积．设()00,P x y ，根据OS OT tOP += 可得00,,,x y t k 间的关系式．可解得00,x y ．将其代入椭圆方程可得,t k 的关系式，根据k 的范围可得t 的范围．试题解析：解：（Ⅰ）由题意，以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为222)(a y c x =+-，∴圆心到直线01=++y x 的距离d a ==（）∵椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b c =，c b a 22==， 代入（）式得1b c ==， ∴22==b a ， 故所求椭圆方程为.1222=+y x （2）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为)2(-=x k y ，设()00,P x y ，将直线方程代入椭圆方程得：()028*******=-+-+k x k x k ，∴()()081628214642224>+-=-+-=∆k k k k ，∴212<k ． 设()11,y x S ，()22,y x T ，则222122212128,218kk x x k k x x +-=+=+， 由OS OT tOP += ，当0t =，直线l 为x 轴，P 点在椭圆上适合题意；当0≠t ，得201220121228124(4)12k tx x x k k ty y y k x x k =+=+-=+=⎧⎪⎪⎨+-=+⎪⎪⎩∴20218,12k x t k=⋅+021412k y t k -=⋅+ 将上式代入椭圆方程得：1)21(16)21(3222222224=+++k t k k t k ， 整理得：2222116k k t +=，由212<k 知，402<<t ， 所以()2,0(0,2)t ∈- ，综上可得(2,,2)t ∈-．【考点】1椭圆的方程；2直线与椭圆的位置关系问题．21．已知函数21()()ln ,()2f x a x x a R =-+∈．（Ⅰ）当0a =时，求()f x 在区间1[,]e e 上的最大值；（Ⅱ）若在区间（1， +∞）上，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）12-；（Ⅱ）11[,]22-． 【解析】试题分析：（Ⅰ）当0a =时 21()ln 2f x x x =-+，求导，讨论导数的正负，得函数的增减区间．根据函数的单调性可求得函数的最值．（Ⅱ）令21()()2()2ln 2g x f x ax a x ax x =-=--+，原问题等价于()0g x < 在区间(1,)+∞上恒成立．求()'g x ．令()0g x '=得两根，讨论两根的大小，根据两根的大小讨论导数的正负，得函数()g x 的单调区间，根据函数单调性可得函数()g x 的最大值，令其最大值小于0即可求得a 的范围．试题解析：解：（Ⅰ）当0a =时 21()ln 2f x x x =-+ (1)(1)()(0)x x f x x x -+-'=> 当1[,1)x e ∈，有()0f x '>；当(1,]x e ∈，有()0f x '<，()f x ∴在区间 1[,1)e上是增函数，在 (1,]e 上为减函数， 所以max 1()(1).2f x f ==- （2）令21()()2()2ln 2g x f x ax a x ax x =-=--+，则()g x 的定义域为 (0,)+∞ 在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方等价于()0g x < 在区间(1,)+∞上恒成立．(1)[(21)1]()x a x g x x---'=① ①若12a >，令()0g x '=，得极值点1211,21x x a ==- 当12x x <，即112a <<时，在()01，上有()0g x '>，在2(1,)x 上有()0g x '<， 在2(,)x +∞上有()0g x '>，此时()g x 在区间2(,)x +∞上是增函数，并且在该区间上有 2()((),)g x g x ∈+∞不合题意；当21x x ≤，即1a ≥时，同理可知，()g x 在区间(1,)+∞上，有()((1),)g x g ∈+∞，也不合题意；② 若12a ≤，则有210a -≤，此时在区间(1,)+∞上恒有()0g x '<， 从而()g x 在区间(1,)+∞上是减函数；要使()0g x <在此区间上恒成立，只须满足11(1)022g a a =--≤⇒≥-， 由此求得a 的范围是11[,]22-。

说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分,考试时间120分钟。

答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={}{}|1,|12,x x B x x >=-<<则（C R A ） B =( ) A ．{}|1x x >- B ．{}|11x x -<≤ C ．{}|12x x -<< D ．{}|12x x <<【答案】B考点：集合的运算.【易错点晴】本题主要考查集合交并补的运算，属容易题.再求集合A 的补集时主要端点能否取到的问题,否则容易出错.2. 已知函数()(cos 2cos sin 2sin )sin ,f x x x x x x =+x R ∈,则()f x 是( ).A 最小正周期为π的奇函数 .B 最小正周期为π的偶函数.C 最小正周期为2π的奇函数 .D 最小正周期为2π的偶函数 【答案】A【解析】 试题分析：()1()(cos 2cos sin 2sin )sin cos 2sin cos sin sin 22f x x x x x x x x x x x x =+=-==,所以函数()f x 的周期22T ππ==,且函数()f x 为奇函数.故A 正确. 考点：1三角函数的化简,周期;2函数的奇偶性.【思路点晴】应先将函数()f x 用两角和差公式,二倍角公式化简变形为()()sin f x A x ωϕ=+的形式,再根据周期公式,和奇函数的定义判断函数的周期和奇偶性.3. 下列说法中，正确的是（ ）A .命题“若a b <，则22am bm <”的否命题是假命题B .设,αβ为两不同平面，直线l α⊂，则“l β⊥”是 “αβ⊥” 成立的充分不必要条件C .命题“存在2,0x R x x ∈->”的否定是“对任意2,0x R x x ∈-<”D .已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件【答案】B考点：1命题的真假;2充分必要条件.4. 设向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1),如果向量a ＋2b 与2a －b 平行,则a 与b 的数量积等于( )A ．－72B ．－12C .32D .52【答案】D 【解析】试题分析：由已知可得()()212,4,22,3a b m a b m +=-+-=--,因为2a b + 与2a b - 平行,所以可得()()123240m m -+⨯---⨯=,解得12m =-.即1,12b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.1512122a b ⎛⎫∴⋅=-⨯-+⨯= ⎪⎝⎭.故D 正确.考点：1向量共线;2数量积公式. 5. 若0.52a =，log 3b π=，22log sin5c π=，则( ) A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】A考点：指数函数,对数函数的单调性.【思路点晴】本题主要考查的是用指数函数,对数函数的单调性比较指数,对数的大小的问题,属容易题.本题应结合指数函数,对数函数的单调性用插入数法比较大小,可使问题简化. 6. 已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．12B . －12C ．－32D .32【答案】A 【解析】试题分析：点()8,3P m -- , r ∴=4cos 5α∴==-，即22641664925m m =+.解得 214m =. 4cos 05α=-< ,80,0m m ∴-<∴>.所以12m =.故A 正确. 考点：任意角的三角函数.【易错点晴】本题主要考查任意角三角函数的定义,属容易题.本题在解得214m =时容易忽视m 的符号而错选.因根据余弦值的符号确定点横坐标的符号,从而可得m 的符号.7. 函数)(x f 是奇函数,且在（+∞,0）内是增函数,0)3(=-f ,则不等式0)(<⋅x f x 的解集为( )A ．}303|{><<-x x x 或B ．}303|{<<-<x x x 或C ．}33|{>-<x x x 或D ．}3003|{<<<<-x x x 或【答案】D 【解析】试题分析：()f x 是奇函数,所以()()330f f =--=,且()f x 在(),0-∞上也单调递增. 结合图像可得()0f x >得30x -<<或3x >;()0f x <得3x <-或03x <<.()()000x x f x f x >⎧⎪⋅<⇔⎨<⎪⎩或()00x f x <⎧⎪⎨>⎪⎩,解得03x <<或30x -<<.故D 正确.考点：1函数的奇偶性;2函数的单调性.8. 为了得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，可将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移5π6个单位长度B ．向右平移5π6个单位长度 C ．向左平移5π12个单位长度 D ．向右平移5π12个单位长度 【答案】C考点：三角函数图像伸缩平移变换【易错点晴】本题主要考查三角函数图像伸缩平移变换.本题的易错点有2个.首先是不统一函数即将两个函数都转化为正弦或余弦;其次是同一函数之后以2x 为整体进行平移.注意三角函数伸缩平移变换首先函数形式应一致,同时伸缩平移都是针对,x y 而言的.9．设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,()()()()0f x g x f x g x ''+> 且g(3)=0.则不等式()()0f x g x <的解集是( )A ．（－3,0)∪(3,+∞)B ．(－3,0)∪(0, 3)C ．(－∞,- 3)∪(3,+∞)D ．(－∞,－ 3)∪(0, 3)【答案】D 【解析】试题分析：令()()()h x f x g x =⋅,因为()f x ,()g x 分别是R 上的奇函数和偶函数, 所以()h x 在R 上为奇函数.当0x < 时,()()()()()'''0h x f x g x f x g x =⋅+⋅>,所以函数()h x 在(),0-∞上单调递增.考点：1用导数求函数的单调性;2函数的奇偶性;3数形结合思想. 【思路点晴】本题属于导数,奇偶性总和问题, .难度中等.根据已知()()()()''0f x g x f x g x ⋅+⋅>可联想到需构造函数()()()h x f x g x =⋅.根据函数()'h x 的正负得函数的增减区间.同时根据()f x ,()g x 判断()()()h x f x g x =⋅的奇偶性.结合函数图像解不等式()()()0h x f x g x =⋅<10. 如图所示，两个不共线向量OA ,OB的夹角为θ，,M N 分别为OA 与OB 的中点，点C在直线MN 上，且(,)OC xOA yOB x y R =+∈，则22x y +的最小值为( ).A 4 .B 18 .C 2.D 12【答案】B 【解析】试题分析：,,M N C 三点共线, ∴存在实数t 使得NC tNM =()01t ≤≤,()()1122t t OC ON NC ON t NM ON t OM ON t ON tOM OA OB-∴=+=+=+-=-+=+ .122t x ty -⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩.()()222221122144t t x y t t -+∴+==-+,()01t ≤≤.令()()2221,01f t t t t =++≤≤,函数()f t 图像开口向上以12t =为对称轴, 因为[]10,12t =∈ ()min 11112212422f t f ⎛⎫∴==⨯-⨯+= ⎪⎝⎭.()22min111428x y ∴+=⨯=.故B 正确. 考点：1向量的加减法,向量共线;2二次函数求最值.11. 设()f x 是定义在R 上的增函数，且对任意x ，都有()()0f x f x -+=恒成立，如果实数,m n 满足不等式22(621)(8)0f m m f n n -++-<，那么22m n +的取值范围是( ).A （9，49） .B （13，49） .C （9，25） .D （3，7）【答案】A考点：1函数的奇偶性,单调性;2不等式表示平面区域;3点与圆的位置关系.12. 已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝(12)x －m ，若对∀x 1∈，∃x 2∈，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )A ．[14，＋∞)B ．(－∞，14]C ．[12，＋∞)D ．(－∞，－12]【答案】A 【解析】试题分析：当03x ≤≤时()22'01xf x x =≥+恒成立,所以函数()f x 在[]0,3上单调递增. 所以()()min 0ln10f x f ===;函数()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]1,2上单调递减,所以()()min 124g x g m ==-.对[][]120,3,1,2x x ∀∈∃∈使得()()12f x g x ≥等价于()()min min f x g x ≥, 即104m ≥-,解得14m ≥.故A 正确. 考点：1用导数求最值;2转化思想.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ=________. 【答案】23考点：1向量的加减法;2向量共线.14. 若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin a ＝335，则sin 56πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝________. 【答案】35【解析】 试题分析：因为3cos sin cos cos sin sin sin sin 66623ππππαααααααα⎛⎫⎛⎫+-=--=-=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以3cos 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 53sin sin cos 63235ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.考点：1两角和差公式;2诱导公式.【思路点晴】本题主要考查的是三角函数公式,难度一般.因为角6πα+中6π位特殊角,所以应先用两角和差公式将cos 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭展开将已知条件变形.本题的难点在于观察角56πα+与角3πα+只差为2π,即可用诱导公式求解.15. 已知向量a ，b 满足|a |＝1，|a ＋b |＝7，〈a ，b 〉＝π3，则|b |＝________. 【答案】2考点：1向量模长;2数量积公式.16. 设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为________.【答案】()1,-+∞ 【解析】试题分析：()f x 的定义域为()0,+∞，()1'f x ax b x=--， 依题意可得()'110f a b =--=，解得1b a =-.∴()2111ax ax xf x ax a x x-++-=-+-=.(1)若0a ≥，当01x <<时，f ′(x )>0，()f x 单调递增；当1x >时，()'0f x <，()f x 单调递减，所以1x =是()f x 的极大值点．(2)若0a <，由()'0f x =，得1x =或1x a=-. 因为1x =是()f x 的极大值点，所以11a->，解得10a -<< 综合(1),(2)得a 的取值范围是()1,-+∞. 考点：1导数研究函数的单调性;2极值点.【方法点晴】本题主要考查的是推理与证明和利用导数研究函数的极值，属于难题．解题时一定要注意函数的定义域，否则很容易出现错误．利用导数求函数()f x 的极值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③求方程()0f x '=的所有实数根；④列表格．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题10分）已知AC ＝(cos x 2＋sin x 2，－sin x 2)，BC ＝(cos x 2－sin x 2，2cos x 2).(1)设f (x )＝AC BC ⋅，求f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)设有不相等的两个实数x 1，x 2∈[,]22ππ-，且f (x 1)＝f (x 2)＝1，求x 1＋x 2的值. 【答案】(1) 最小正周期2T π=;()f x 的单调递减区间是()32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦;(2) 2π-.考点：1向量的数量积公式;2三角函数的化简,周期,单调性.18. （本小题12分）根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：(Ⅰ)从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．【答案】(Ⅰ)35;（Ⅱ）年该居民区PM2.5年平均浓度为42.5微克/立方米. 去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进． 【解析】（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.50.1537.50.662.50.1587.50.142.5⨯+⨯+⨯+⨯=（微克/立方米）．……………………………………………10分因为42.535>，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进． ………………………………12分 考点：1古典概型概率;2平均数. 19. （本小题12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱ABCD PD 底面⊥,2,PD DC E ==是PC 的中点.（Ⅰ）证明EDB PA 平面//； （Ⅱ）求三棱锥A -BDP 的体积.【答案】（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）43.考点：1线面平行;2棱锥的体积.【方法点晴】本题主要考查的是线面平行，棱锥的体积问题，属于中档题．证明线面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是中位线，平行四边形，平行线分线段成比例逆定理，平行公理等.求棱锥的体积时关键是找准棱锥的顶点即棱锥的高.常用体积转化法求高. 20. （本小题12分）己知A 、B 、C 是椭圆m ：22221x y a b+=（0a b >>）上的三点，其中点A 的坐标为，BC 过椭圆的中心，且0AC BC ⋅= ，||2||BC AC =。

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2,0x M y y x ==>，{}lg N x y x ==，则M N 为( )A. (0，＋∞)B. (1，＋∞)C.()((1),)g x g ∈+∞，也不合题意； ……………………8分② 若12a ≤，则有210a -≤，此时在区间(1,)+∞上恒有()0g x '<， 从而()g x 在区间(1,)+∞上是减函数；要使()0g x <在此区间上恒成立，只须满足11(1)022g a a =--≤⇒≥-， 由此求得a 的范围是11[,]22-。

……………………11分 综合①②可知，当11[,]22a ∈-时，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方. ……………12分 考点：用导数研究函数的性质.四、请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，过点A 作⊙O 的切线EP 交CB 的延长线于P ，已知EAD PCA ∠=∠.（Ⅰ）证明：AD AB =； （Ⅱ）证明：2DA DC BP =⋅．【答案】（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）详见解析.（Ⅱ）∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴D PBA ∠=∠， ……………………………………………………………6分又DCA PCA PAB ∠=∠=∠， ∴ADC ∆∽PBA ∆. ∴DA DC BP BA =，即DA DC BP DA=，∴2DA DC BP =⋅. ………………………10分 考点：1弦切角;3三角形相似.23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 方程为2sin ρθ=;2C的参数方程为112x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（Ⅰ）写出曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（Ⅱ）设点P 为曲线1C 上的任意一点，求点P 到曲线2C 距离的取值范围．【答案】（Ⅰ）1C 的直角坐标方程：()2211x y +-=，2C 0y -;（Ⅱ）⎡⎢⎣⎦.考点：1参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程间的互化;2直线和圆位置关系,点到线的距离.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知关于x 的不等式|2|1m x --≥，其解集为[0,4].（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若a ，b 均为正实数，且满足a b m +=，求22a b +的最小值.【答案】（Ⅰ）3m =;（Ⅱ）92.（方法三：消元法求二次函数的最值）∵3a b +=，∴3b a =-， ∴222222399(3)2692()222a b a a a a a +=+-=-+=-+≥， ∴当且仅当32a b ==时，22a b +取最小值为92.………………………………10分 考点：1绝对值不等式;2基本不等式.。

甘肃省兰州第一中学2016届高三冲刺模拟题数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分， 考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，a R ∈，若2ia i-+为纯虚数，则复数2z a =的模等于（） AB C D 2. 若全集U=R 集合1{||2|1},{|0},()2U x A x x B x C A B x +=+≥=≤-则为（ ）A ．{|1,2}x x x ≤->或B ．{|1,2}x x x <-≥或C ．{|1,2}x x x <->或D ．{|1,2}x x x ≤-≥或3. 已知数列{a n }满足1＋n a 3log ＝13log +n a (n ∈N ＋)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则31log (a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．15 B ．15- C ．5 D ．－54．设a 为函数)(cos 3sin R x x x y ∈+=的最大值，则二项式6)1(xx a -的展开式中含2x 项的系数是（ ）A ．192B ．－192C ．182 5. 阅读如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（ ）A ．910 B ．89C ．78 D ．676．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的侧视图的面积不可能．．．等于( )A ．BC D7. ,====(a ，t 均为正实数)，类比以上等式，可推测a ，t 的值，则t －a ＝( )A ．31B ．41C ．55D ．718. 如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =．动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，AP AB AE λμ=+．下列三个命题：①当点P 与D 重合时，2λμ+=； ②λμ+的最小值为0，λμ+的最大值为3；③在满足12λμ≤+≤的动点P 中任取两个不同的点1P 和2P ，则1210||2PP <≤或121||2PP ≤≤其中正确命题的个数为（ ） A ． 0B ．1C ．2D ．39. 如图，已知直线4330x y -+=与单位圆交于A ，B 两点，劣弧AB 所对的圆心角为α，则tan()4πα+的值为（ ）A ． 1731-B ．3117-C ．1731D ．311710. 已知三棱锥D ABC -的顶点都在球O 的球面上, 90,6,8BAC AB AC ∠=︒==,平面 DAB ⊥平面,ABC ,120DA DB ADB =∠=︒, 则球O 的表面积是( ) A ．3208πB ． π76C ． π100D ． π112 11. 设1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()0OP OF PF +⋅=（O 为坐标原点），且122||3||PF PF =，则双曲线的离心率为 ( )ABC ．32D ．12. 若函数)0,0(1)(>>-=b a e bx f ax的图象在0x =处的切线与圆221x y +=相切，则a b +的最大值是（ ）A ．4 B．C ．2 D第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数222,1,()log (1),1,x x f x x x ⎧-≤=⎨-⎩>则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 14. 已知实数,m n ，且点(1,1)在不等式组2,22,1.mx ny ny mx ny +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域内，则2m n +的取值范围为 ．15. 已知数列{a n }的通项公式为1)1(1+++=n n n n a n )(*N n ∈ ，其前n 项和为S n ，则在数列S 1、S 2、…、S 2 016中，有理数项的项数为 ．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别为椭圆()222210.0x y a b a b+=>>的左、右焦点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线2BF 与椭圆的另一个交点为D ．若127cos 25F BF ∠=,则直线CD 的斜率为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)已知函数221()2(cos sin )12f x x x x =---，R x ∈，将函数()f x 向左平移6π 个单位后得函数()g x ，设ABC ∆三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．（Ⅰ）若c =()0f C =，sin 3sin B A =，求a 、b 的值；（Ⅱ）若0)(=B g 且(cos ,cos )m A B =，(1,sin cos tan )n A A B =-，求m n ⋅的取值范围．18．（本小题满分12分）某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测．检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格（Ⅰ）试分别估计产品甲，乙下生产线时为合格品的概率；（Ⅱ）生产一件产品甲，若是合格品可盈利100元，若是不合格品则亏损20元；生产一件产品乙，若是合格品可盈利90元，若是不合格品则亏损15元.在（Ⅰ）的前提下： （1）记X 为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）求生产5件乙所获得的利润不少于300元的概率．19．(本小题满分12分)已知四边形ABCD 满足AD ∥BC ，12BA AD DC BC a ====，是BC 的中点，将BAE ∆沿着AE 翻折成1B AE ∆，使面1B AE ⊥面AECD ，为1B D 的中点. （Ⅰ）求四棱1B AECD -的体积； （Ⅱ）证明：1B E ∥面ACF ；（Ⅲ）求面1ADB 与面1ECB 所成二面角的余弦值．DAE CF1B20. (本小题满分12分)已知抛物线L ：22x py =和点()2,2M ，若抛物线L 上存在不同两点A 、B 满足AM BM +=0．（Ⅰ）求实数p 的取值范围；（Ⅱ）当2p =时，抛物线L 上是否存在异于A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线，若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分)已知函数2()ln (01)xf x a x x a a a =+->≠且 （Ⅰ）求函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 单调区间；（Ⅲ）若存在[]1,21,1x x ∈-，使得12()()1f x f x e -≥-（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围．选考题:（请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分; 做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.） 22．（本小题满分10分）选讲4-1：几何证明选讲如图，AB 是O 的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是O 的割线，已知AC=AB. （Ⅰ）求证：FG//AC ； （Ⅱ）若CG=1，CD=4，求GFDE的值.23（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 225223 (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为θρsin 52=（Ⅰ）求直线及圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线交于点B A ,.若点P 的坐标为(3，5)，求||||PB PA +.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲（Ⅰ）求不等式1123-≥---x x 的解集; （Ⅱ）已知1,,=+∈+b a R b a ，求证：225)1()122≥+++b b a a （．兰州一中2016届高三冲刺模拟题参考答案（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

甘肃省兰州市2016年高三实战考试理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U R =，集合{|2}A x x =<，{|lg(1)0}B x x =->，则()U AC B =（ ）A ．{|12}x x <<B ．{|12}x x ≤<C ．{|2}x x <D ．{|1}x x ≤ 2.在复平面内，复数121iz i+=-（i 是虚数单位）对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4.采用系统抽样方法从1000人抽取50人做问卷调查，将他们随机编号1,2，…，1000. 适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8. 若抽到的50人中，编号落入区间[1,400]的人做问卷A ，编号落入区间[401,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷C 的人数为（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．155.已知MOD 函数是一个求余函数，其格式为(,)MOD n m ，其结果为n 除以m 的余数，例如：(8,3)2MOD =，如图所示是一个算法的程序框图，若输出的结果为4，则输入n 的值为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．166.在ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2,2b ac c a ==，则cos C =（ ）A ．4B ．4-C ．34D ．34-7.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（ ）A B ．3π D ．38.已知直线10ax y +-=与圆22:(1)()1C x y a -++=相交于,A B ，且ABC ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为（ ）A ．17或-1 B ．-1 C ．1或-1 D ．19. 24sin 225α=，02πα<<)4πα-的值为（ ）A ．15-B ．15C ．75-D ．7510.已知命题：①函数2(11)x y x =-≤≤的值域是1[,2]2； ②为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数sin 2y x =图象上的所有点向右平移3π个单位长度； ③当0n =或1n =时，幂函数n y x =的图象都是一条直线； ④已知函数2()|log |f x x =，若a b ≠，且()()f a f b =，则1ab =. 其中正确的命题是（ ）A ．①③B ．①④C ．①③④D ．①②③④11.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>22(0)y px p =>的准线与双曲线C 的渐近线交于,A B 两点，OAB ∆（O 为坐标原点）的面积为方程为（ ）A ．28y x =B ．24y x =C ．22y x =D ．2y =12.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为''(),(0)0f x f >，对于任意的实数x 都有()0f x ≥，则'(1)(0)f f 的取值范围是（ ） A ．3[,)2+∞ B ．[2,)+∞ C ．5[,)2+∞ D ．[3,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知m R ∈，向量(,1)a m =，(2,6)b =-，且a b ⊥，则||a b -= .14.已知变量,x y 满足：202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为 .15.已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG ∆（点G 在图象的最高点）是边长为2的等边三角形，则(1)f =.16. ,αβ是两平面，,AB CD 是两条线段，已知EF αβ=，AB α⊥于B ，CD α⊥于D ，若增加一个条件，就能得出BD EF ⊥，现有下列条件：①AC β⊥；②AC 与,αβ所成的角相等；③AC 与CD 在β内的射影在同一条直线上；④//AC EF .其中能成为增加条件的序号是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，273823,29a a a a +=-+=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S . 18. （本小题满分12分）根据我国发布的《环境空气质量只收（AQI ）技术规定》：空气质量指数划分为0～50、51～100、101～150、151～200、201～300和大于300共六级，分别对应空气质量指数的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显. 专家建议：当空气质量指数小于150时，可以户外运动；空气质量指数151及以上，不适合进行旅游等户外活动.以下是某市2015年12月中旬的空气质量指数情况：（1）求12月中旬市民不适合进行户外活动的概率；（2）一外地游客在12月中旬来此城市旅游，(ˇˍˇ) 想～连续游玩两天，求适合旅游的概率.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PA PB =，O 为AB 的中点，OD PC ⊥.（1）求证：OC PD ⊥；（2）若PD 与平面PAB 所成的角为030，2AB =，求四棱锥的P ABCD -的体积.20. （本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ，过它的两个焦点分别为12,F F 分别作直线1l 与2l ，1l 交椭圆于,A B 两点，2l 交椭圆于,C D 两点，且12l l ⊥.（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形ACBD 的面积S 的取值范围. 21. （本小题满分12分） 已知函数1()ln 1,af x x ax a R x-=-+-∈. （1）当102a <<时，讨论()f x 的单调性； （2）设2()24g x x bx =-+，当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在2[1,2]x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切圆O 于点B ，直线AO 交圆O 于,D E 两点，BC DE ⊥，垂足为C . （1）证明：CBD DBA ∠=∠；（2）若3,AD DC BC ==O 的直径.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. 在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为ρθ=. （1）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）若点P的坐标为，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()|1||1|,f x x x a R =-+-∈. （1）当4a =时，求不等式()5f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥对a R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.2016年兰州市高三实战考试 文科数学试题答案及评分参考一、选择题∴24b ac ≤，∴0c >∴(1)112(0)f a b c a c f b b +++==+≥+≥' 二、填空题13. 4 15. 16. ①或③ 三、解答题17. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差是d ． ∵()382726a a a a d +-+==-，∴d =－3．∴2712723a a a d +=+=-，解得11a =-．∴数列{}n a 的通项公式为 32n a n =-+． ……………6分 （Ⅱ）∵数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列， ∴1n n n a b q -+=，即132n n n b q --++=， ∴132n n b n q -=-+．所以21[147(32)](1)n n S n q q q -=++++-+++++(31)21(1)2n n n q q q --=++++⋯+ 故当1q =时，()231322n n n n nS n -+=+=； ……………11分 当1q ≠时，()31121nn n n q S q--=+-． ……………12分 18. 解：（Ⅰ）12月中旬市民到户外的时间可能是11日、12日、13日、14日、15日、16日、17日、18日、19日、20日，共10种情况；12月中旬市民不适合进行户外活动的时间有13日、14日、19日、20日，共4种情况.设“12月中旬市民不适合进行户外活动”为事件A ，则42()105P A == 所以12月中旬市民不适合进行户外活动的概率为25…………6分 （Ⅱ）该游客在12月中旬来此城市旅游，想连续游玩两天，到此城市的时间可能为：{11,12}、{12,13}、{13,14}、{14,15}、{15,16}、{16,17}、{17,18}、{18,19}、{19,20}，共9种情况，连续两天都适合旅游的时间为：{11,12}、{15,16}、{16,17}、{17,18}，共4种情况.设“适合旅游的时间”为事件B ，则4()9P B =所以游客在12月中旬来此城市旅游，想连续游玩两天，适合旅游的概率为49…12分 19. 解：（Ⅰ）证明：连结OP ,因PA PB =,O 为AB 的中点 故OP AB ⊥.∵侧面PAB ⊥底面ABCD ∴OP 平面ABCD ∴OP OD ⊥，OP OC ⊥∵OD PC ⊥，∴OD ⊥平面OPC ，∴OD OC ⊥， …………4分 又∵OP OC ⊥，故OC ⊥平面OPD所以OC PD ⊥． …………6分 （Ⅱ）在矩形ABCD 中，由（Ⅰ）得OD OC ⊥，所以2AB AD =，故1AD =． ∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形∴DA ⊥平面PAB CB ⊥平面PAB DPA ∆≌CPB ∆ ∴DPA ∠为直线PD 与平面PAB 所成的角∴DPA ∠=30，CPB ∠=30，PA PB == 连接PO ，则PO ⊥AB ，所以PO ⊥平面ABCD ∴PO 为四棱锥的-P ABCD 的高在PAB ∆中，2AB =，PA PB ==∴PO =∴111233P ABCD ABCD V PO S -=⋅=⨯=………………12分 20. 解：（Ⅰ）由122c a c a =⇒=，所以22224,3a c b c ==，将点3(1,)2P 的坐标代入椭圆方程得21c =，故所求椭圆方程为22143x y += ………………5分（Ⅱ）当1l 与2l 中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积为6S =，若1l 与2l 的斜率都存在，设1l 的斜率为k ，则2l 的斜率为1k-． ∴直线1l 的方程为(+1y k x =），设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得，2222(43)84120k x k x k +++-=4222=644(34)(412)1441440k k k k ∆-+-=+>∴2122843k x x k +=-+， 212241243k x x k -⋅=+，∴12||x x -=∴212212(1)|||43k AB x x k +=-=+ ………………8分 同理可得得 2212(1)||34k CD k +=+， ∴2222172(1)||||2(43)(34)k S AB CD k k +=⋅=+⋅+，令2(0,)k t =∈+∞， ∴22272(1)6(122512)6(43)(34)122512t t t t S t t t t +++-==+⋅+++，66288661249491225t t=-≥-=++ ∴288[,6)49S ∈ 综上可知，四边形ABCD 面积的取值范围是288[,6]49.………………12分21. 解：(I)因为11ln )(--+-=xaax x x f 所以222111)(x ax ax x a a x x f -+--=-+-=' ),0(+∞∈x 令111,0)('-=ax f ，可得两根分别为 因为2.10<<a ，所以0111>>-a, 当)1,0(∈x 时,此时()0<'x f ,函数)(x f 单调递减；)11,1(-∈ax 时,此时()0>'x f ,函数)(x f 单调递增；),11(+∞-∈ax 时,此时0)(<'x f ,函数)(x f 单调递减 ……………… 5分 (II)因为)21,0(41∈=a ,由(I)知，,)2,0(311∉=-a,当)1,0(∈x 时，,0)('<x f 函数)(x f 单调递减;当)2,1(∈x 时，0)(>'x f ,函数)(x f 单调递增,所以)(x f 在)2,0(上的最小值为21)1(-=f 由于“对任意)2,0(1∈x ,存在]2,1[2∈x ,使)()(21x g x f ≥等价于()x g 在]2,1[上的最小值不大于)(x f 在)2,0(上的最小值21-” (*) ………………8分 又]2,1[,4)()(22∈-+-=x b b x x g ，所以① 当1<b 时，因为025)1()]([min >-==b g x g 此时与(*)矛盾②当21≤≤b 时，因为04)]([2min ≥-=b x g 同样与(*)矛盾③当2>b 时，因为b g x g 48)2()]([min -==，且当2>b 时，048<-b ,解不等式2148-≤-b ，可得817≥b 所以实数b 取值范围),817[+∞ ………………12分 22. 解： (I)因为DE 是圆O 的直径， 所以2BED EDB π∠+∠=又BC DE ⊥，所以2CBD EDB π∠+∠=AB 切圆O 于点B ， 得DBA BED ∠=∠所以CBD DBA ∠=∠ ………………5分 (II)由(I)知BD 平分CBA ∠， 则3BA AD BC CD==，又BC AB = 所以4AC ==， 所以3AD =， 由切割线定理得2AB AD AE =⋅ ，所以26AB AE AD== 故3DE AE AD =-=即圆O 的直径为3. ………………10分.23. 解：（Ⅰ）由32x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得直线l的普通方程为30x y +-=又由ρθ=得圆C的直角坐标方程为220x y +-=即22(5x y +=. ………………5分 (II)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22(3))5+=，即240t -+=由于(24420∆=-⨯=>，故可设12,t t 是上述方程的两实数根，所以12t t +=124t t ⋅=又直线l过点P ，A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t所以1212PA PB t t t t +=+=+=………………10分24. 解：（I ）当4a =时，|1|||5x x a -+-≥等价为1255x x <⎧⎨-+≥⎩或1435x ≤<⎧⎨≥⎩或4255x x >⎧⎨-≥⎩ 解得0x ≤或5x ≥所以不等式()5f x ≥的解集为{|x 0x ≤或5x ≥} ………………5分 （II ）因为()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =-+-≥---=-所以min ()|1|f x a =-要使()4f x ≥对a R ∈恒成立，则须|1|4a -≥即可所以3a ≤-或5a ≥即实数a 的取值范围是{|a 3a ≤-或5a ≥} ………………10分沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。